資源簡介

4.4 數學歸納法 導學案
學習目標
1.了解數學歸納法的原理.
2.能用數學歸納法證明一些簡單的命題.
重點難點
1.教學重點：
（1）了解數學歸納法的基本思想和原理，
（2）如何類比多米諾骨牌原理解決數學問題，掌握數學歸納法的基本步驟，；
（3）能應用數學歸納法證明與正整數n有關的數學命題；.
2.教學難點：
（1）通過游戲模型和生活實例，了解數學歸納法的基本思想；
（2）學握數學歸納法的證明步驟及每個步驟的作用
課前預習 自主梳理
知識點　數學歸納法
1．數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）（歸納奠基）證明當n＝n0（n0∈N*）時命題成立；
（2）（歸納遞推）以當“n＝k（k∈N*，k≥n0）時命題成立”為條件，推出“當n＝k＋1時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．這種證明方法叫做數學歸納法．
2．數學歸納法的證明形式
記P（n）是一個關于正整數n的命題．我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：
條件：（1） P（n0）為真；（2）若P（k）為真，則P（k＋1）也為真．
結論：P（n）為真．
3. 數學歸納法中的兩個步驟
在數學歸納法的兩步中，第一步驗證（或證明）了當n＝n0時結論成立，即命題P（n0）為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P（k）為真，則P（k＋1）也為真．只要將這兩步交替使用，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1）真……，從而完成證明．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤
（1）應用數學歸納法證明數學命題時.( )
（2）用數學歸納法進行證明時，要分兩個步驟，缺一不可．( )
（3）推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設. ( )
2．用數學歸納法證明，第一步驗證（ ）
A．n=1 B．n=2
C．n=3 D．n=4
3．用數學歸納法證明“凸n邊形的內角和等于(n－2)π”時，歸納奠基中n0的取值應為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．利用數學歸納法證明…且）時，第二步由到時不等式左端的變化是（　　）
A．增加了這一項
B．增加了和兩項
C．增加了和兩項，同時減少了這一項
D．以上都不對
5．利用數學歸納法證明不等式（，）的過程中，由到時，左邊增加了（ ）
A．1項 B．k項 C．項 D．項
新課導學
學習探究
環節一：創設情境，引入課題
在數列的學習過程中，我們已經用歸納的方法得出了一些結論，例如等差數列的通項公式等，但并沒有給出嚴格的數學證明．那么，對于這類與正整數有關的命題，我們怎樣證明它對每一個正整數都成立呢 本節我們就來介紹一種重要的證明方法數學歸納法．
探究已知數列滿足，，計算，，，猜想通項公式，并證明你的猜想．
分析：計算可得，再結合，由此猜想：，如何證明這個猜想呢？
計算可得，，，再結合，由此猜想：．
如何證明這個猜想呢
環節二 觀察分析，感知概念
我們自然會想到從開始一個個往下驗證．一般來說，與正整數n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證起來會很麻煩．特別是證明n取所有正整數都成立的命題時，逐一驗證是不可能的．因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立．
問題1 多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.
我們先從多米諾骨牌游戲說起．碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下．這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；……總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下．
思考
在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么
可以看出，使所有骨牌都能倒下的條件有兩個：
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下．
問題2 你認為條件（2）的作用是什么？如何用數學語言來描述它？ 遞推作用：當第k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.
【設計意圖】問題情境引發數學歸納法的學習欲望，挖掘多米諾骨牌全部倒下的原理，通過類比、遷移“骨牌原理”獲得證明數學命題的方法.
思考
你認為條件（2）的作用是什么 如何用數學語言描述它
可以看出，條件（2）實際上是給出了一個遞推關系：第塊骨牌倒下第塊骨牌倒下．
這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下，事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．
假設有無限多塊多米諾骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠進行下去．
思考
你認為前面的猜想“數列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌解決這個問題嗎？
顯然，如果能得到一個類似于“第塊骨牌倒下第塊骨牌倒下”的遞推關系，那么猜想的正確性也就得到證明了．為此，我們先回顧一下猜想的獲得過程：
由，利用遞推關系，推出；
由，利用遞推關系，推出；
由，利用遞推關系，推出．
……
思考
歸納上述過程的共性，你能得出推理的一般結構嗎
我們發現，上述過程蘊含著一個與多米諾骨牌游戲的條件（2）類似的遞推結構：
以成立為條件，推出也成立．它相當于命題：
當時猜想成立，則時猜想也成立．
這里k是任意的，所有能使猜想成立的正整數都可以作為k，并且這樣的k也是存在的，因為數“1”就是一個例子．
只要能夠證明這個命題，我們就可以在的條件下，由這個命題得到，對任意正整數n，成立．事實上，如果時猜想成立，即，那么，
即當時，猜想也成立．
這樣，對于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；……．所以，對于任意正整數，猜想都成立，即數列的通項公式是．
環節三 抽象概括，形成概念
一般地，證明一個與正整數有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）（歸納奠基）證明當時，命題成立；
（2）（歸納推理）以“當時，命題成立”為條件推出“當時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立，這種證明方法稱為數學歸納法（mathematical induction）．
思考
數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？
記是一個關于正整數的命題，我們可以把用數學歸納法證明形式改寫如下：
條件：（1）為真；（2）若為真，則也為真．
結論：為真．
在數學歸納法的兩步中，第一步驗證（或證明）了當時結論成立，即命題為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新的命題：若為真，則也為真．
完成了這兩步，就有為真，為真……為真，真……從而完成證明．
環節四 辨析理解 深化概念
例1用數學歸納法證明：如果是一個公差為的等差數列，那么 ①
對任何都成立．
分析：因為等差數列的通項公式涉及全體正整數，所以用數學歸納法證明的第一步應證明時命題成立．第二步要明確證明的目標，即要證明一個新命題：如果時①式是正確的，那么時①式也是正確的．
證明：（1）當時，左邊，右邊，①式成立．
（2）假設當時，①式成立，即，
根據等差數列的定義，有
于是．
即當時，①式也成立．
由（1）（2）可知，①式對任何都成立．
在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設，并把“證明的目標”牢記在心．
練習（第47頁）
1．下列各題在應用數學歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？
（1）求證：當時，．
證明：假設當時，等式成立，即．
則當時，左邊右邊．
所以當，等式也成立．
由此得出，對任何，等式都成立．
（2）用數學歸納法證明等差數列的前項和和公式是．
證明：①當時，左邊，右邊，等式成立．
②假設當時，等式成立，即．
則當時，，．
上面兩式相加并除以2，可得
即當時，等式也成立．
由①②可知，等差數列的前項和公式是．
1．【解析】這兩題的證明都是錯誤的．
第（1）題的錯誤在于缺少第一步的驗證，因此歸納假設時命題成立沒有基礎．事實上，當時，左邊，右邊，所以左邊右邊．
第（2）題的錯誤是第二步推理利用了“倒序相加法”，而沒有證明命題“若為真，則也為真，所以該證法不是用數學歸納法的證明．
注：第二步正確的證明方法如下：
假設當時，等式成立，即，
則當時，
．這表明，當時，等式也成立．
2．用數學歸納法證明：首項為，公比為的等比數列的通項公式是，前項和公式是．
2．【解析】（1）證明通項公式是，
①當時，，顯然滿足；
②假設時，成立，
則當時，成立，
由①②可知，對于任意，都有成立．
證明：前項和公式，
③當時，成立；
④假設時，成立，
則當時，成立，
由③④可知，對于任意，都有成立．
環節五 概念應用，鞏固內化
例2用數學歸納法證明：
． ①
分析：用數學歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當時，①式成立”為條件，得出“當時，①式也成立”的命題，證明時必須用上上述條件．
證明：（1）當時，①式的左邊，
右邊，
所以①式成立．
（2）假設當時，①式成立，即，
在上式兩邊同時加上，有
即當時①式也成立．
由（1）（2）可知，①式對任何都成立．
例3已知數列滿足，，試猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明．
分析：先將數列的遞推關系化為，通過計算的值，歸納共性并作出猜想，在應用數學歸納法證明猜想．
解：由可得
由
可得
同理可得．
歸納上述結果，猜想 ①
下面用數學歸納法證明這個猜想．
（1）當時，①式左邊，右邊，猜想成立．
（2）假設當時，①式成立，即，
那么．
即當時，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想對任何都成立．
例4設為正實數，為大于1的正整數，若數列
的前項和為，試比較與的大小，并用數學歸納法證明你的結論．
分析：該問題中涉及兩個字母x和n，x是正實數，n是大于1的正整數．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與n的大小關系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與n的大小關系后作出猜想，兩種做法都必須用數學歸納法證明得到的猜想．
解法1：由已知可得
．
當時，，由可得；
當時，，由，可得；
由此，我們猜想，當，且時，．
下面用數學歸納法證明這個猜想．
（1）當時，由上述過程知，不等式成立．
（2）假設當，不等式成立，即
由，可得，所以
于是．
所以，當時，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式對任何大于1的正整數都成立．
解法2：顯然，所給數列是等比數列，公比為，于是
．
當時，，由可得
當時，，由可得
由此，我們猜想，當，且時，都有．
下面用數學歸納法證明這個猜想．
（1）當時，由上述過程知，不等式成立．
（2）假設當且，不等式成立，即
由，知．
所以
．
所以，當時，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式對任何大于1的正整數都成立．
環節六 歸納總結，反思提升
問題：請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．知識清單：
（1）數學歸納法的概念．
（2）數學歸納法的步驟．
2．方法歸納：歸納—猜想—證明．
3．常見誤區：
（1）對題意理解不到位導致n0的取值出錯；
（2）推證當n＝k＋1時忽略n＝k時的假設．
（1）數學知識：數學歸納法——將無限遞推轉化為有限步驗證，實現由量變到質變的飛躍；
（2） 數學方法：數學歸納法——兩個步驟一個結論；
（3） 數學思想：歸納思想、遞推思想、類比思想.
注意：
1.用數學歸納法進行證明時，要分兩個步驟，兩個步驟缺一不可.
2.（1）（歸納奠基）是遞推的基礎.→找準n0
（2）（歸納遞推）是遞推的依據→n＝k時命題成立．作為必用的條件運用，而n＝k+1時情況則需要利用假設及已知的定義、公式、定理等加以證明.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第51頁 練習 第1，2，3，4題
第51 頁 習題4.1 第1，2題
備用練習
6．用數學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊增加了（ ）
A． B．
C． D．
7．用數學歸納法證明：，當時，左式為，當時，左式為，則應該是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，則等于（ ）
A． B．
C． D．
9．用數學歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數式為（　　）
A． B． C． D．
10．用數學歸納法證明能被31整除時，從k到添加的項數共有（ ）項
A．7 B．6 C．5 D．4
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 正確 錯誤
【分析】利用數學歸納法步驟和原則，即可得出.
【詳解】（1）應用數學歸納法證明數學命題時，歸納奠基，故（1）錯誤；
（2）用數學歸納法進行證明時，要分兩個步驟，缺一不可．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立．故（2）正確；
（3）推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設，不符合數學歸納法的原則和要求，也無法保證“傳遞性”，故（3）錯誤.
故答案為：錯誤；正確；錯誤
2．C
【分析】由數學歸納法的一般步驟，第一步需要驗證取第一個值時命題是否成立.
【詳解】由題知，即n的最小值為3，
∴第一步驗證n=3時，不等式是否成立.
故選：C
3．C
【分析】根據數學歸納法的步驟，結合題意即可求解.
【詳解】邊數最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3.
故選：C
4．C
【詳解】當時，左端，那么當時 左端，故第二步由到時不等式左端的變化是增加了和兩項，同時減少了這一項，故選C.
5．D
【分析】分別分析當與時等號左邊的項，再分析增加項即可
【詳解】由題意知當時，左邊為，
當時，左邊為，
增加的部分為，共項．
故選：D
6．D
【分析】當時，寫出左端，并當時，寫出左端，兩者比較， 可得答案.
【詳解】當時，左端，
那么當時 左端，
故由到時不等式左端的變化是增加了，兩項，同時減少了這一項，
即，
故選：．
7．B
【分析】根據題意表示出和，然后代入計算即可.
【詳解】由題意，，，所以
.
故選：B.
8．C
【分析】根據遞推關系求出，從而作差可得.
【詳解】解：由，
，
所以，
故選：C．
9．B
【分析】
分別求出時左端的表達式，和時左端的表達式，比較可得“n從到”左端需增乘的代數式．
【詳解】
解：當時，左端＝，
當時，左端＝，
故左邊要增乘的代數式為.
故選：B．
10．C
【分析】分別寫出與時相應的代數式，對比觀察求解.
【詳解】當時，則
當時，則
∴從k到添加的項數共有5項
故選：C.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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