資源簡介

4.2.2等差數列的前n項和公式（第2課時）
導學案
學習目標
1.進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式，了解等差數列前n項和的一些性質.
2.掌握等差數列前n項和的最值問題．
重點難點
1.重點:等差數列的前項和公式的應用.
2.難點:綜合與靈活運用等差數列的前項和公式.
課前預習 自主梳理
知識點一　等差數列前n項和的性質
1．若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為.
2．設等差數列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數列，且公差為m2d.
3．若等差數列{an}的項數為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
4．若等差數列{an}的項數為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
思考　在性質3中，an和an＋1分別是哪兩項？在性質4中，an＋1是哪一項？
答案　中間兩項，中間項．
知識點二　等差數列{an}的前n項和公式的函數特征
1.公式可化是關于的表達式:.當時，關于的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前項和公式是關于的二次函數，它的圖象是拋物線上橫坐標為正整數的一系列孤立的點.
2.等差數列前項和的最值
(1)在等差數列中，
當時，有最大值，使取得最值的可由不等式組確定;
當時，有最小值，使取到最值的可由不等式組確定.
（2），若，零的二次函數的角度中:
當時，有最小值;
當時，有最大值.當取最接近對稱軸的正整數時，取到最值.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的填正確，錯誤的填錯誤．
（1）等差數列的前項和一定是關于的二次函數．( )
（2）若無窮等差數列的公差，則其前項和不存在最大值．( )
（3）若兩個等差數列、的前項和分別為、，則一定有.( )
2．已知等差數列，其前n項和滿足，則（ ）
A．4 B． C． D．3
3．已知等差數列滿足，，則的前項的和為（ ）
A． B． C． D．
4．數列前項和為，且，則取最小值時，的值是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
5．設數列為等差數列，其前n項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
例8某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個座位．問第1排應安排多少個座位．
分析：將第1排到第20排的座位數依次排成一列，構成數列．設數列的前項和為．由題意可知，是等差數列，且公差及前20項的和已知，所以可利用等差數列的前項和公式求首項．
解：設報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數依次排成一列，構成數列，其前項和為根據題意，數列是一個公差為2的等差數列，且．
由，可得．
因此，第1排應安排21個座位．
環節二 觀察分析，感知概念
例9已知等差數列的前項和為，若，公差，則是否存在最大值 若存在，求的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由．
分析：由和，可以證明是遞減數列，且存在正整數，使得當時，，遞減．這樣，就把求的最大值轉化為求的所有正數項的和．
另一方面，等差數列的前項和公式可寫成，所以當時，可以看成二次函數當時的函數值．如圖4.2-4，當時，關于的圖象是一條開口向下的物物線上的一些點．因此，可以利用二次函數求相應的，的值．
環節三 抽象概括，形成概念
解法1：由，得，所以是遞減數列．
又由，可知：
當時，；
當時，；
當時，．
所以
．
也就是說，當或6時，最大．
因為，所以的最大值為30．
環節四 辨析理解 深化概念
解法2：因為．
所以，當取與最接近的整數即5或6時，最大，最大值為30．
環節五 概念應用，鞏固內化
想一想，這是為什么？
思考
在例9中，當時，有最大值嗎？結合例9考慮更一般的等差數列前項和的最大值問題．
環節六 歸納總結，反思提升
問題 請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
等差數列{an}的前n項和公式的函數特征
1.公式可化是關于的表達式:.當時，關于的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前項和公式是關于的二次函數，它的圖象是拋物線上橫坐標為正整數的一系列孤立的點.
2.等差數列前項和的最值
(1)在等差數列中，
當時，有最大值，使取得最值的可由不等式組確定;
當時，有最小值，使取到最值的可由不等式組確定.
(2)，若，零的二次函數的角度中:當時，有最小值;當時，有最大值.當取最接近對稱軸的正整數時，取到最值.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教科書 練習 第24頁 第 4，5題
習題4.2第24頁 第5，6，7，8題.
備用練習
6．已知在等差數列中，，，則數列的前項和（ ）
A． B． C． D．
7．已知數列的前項和，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．等差數列 中，，當 取得最小值時，n的值為（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
9．記為等差數列的前項和，則（ ）
A． B．
C．，，成等差數列 D．，，成等差數列
10．我國古代數學家沈括，楊輝，朱世杰等研究過二階等差數列的相關問題.如果，且數列為等差數列，那么數列為二階等差數列.現有二階等差數列的前4項分別為1，3，6，10，則該數列的前10項和為（ ）
A．120 B．220 C．240 D．256
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 正確 錯誤
【分析】（1）取，可判斷（1）的正誤；（2）利用二次函數的基本性質可判斷（2）的正誤；（3）利用等差數列的基本性質和等差數列的求和公式可判斷（3）的正誤.
【詳解】（1）若等差數列的通項公式為，則，故（1）錯誤；
（2）由，且，
由二次函數的基本性質可知，當時，，
此時，不存在最大值，故（2）正確；
（3）若兩個等差數列、的前項和分別為、，
則，故（3）錯誤.
故答案為：（1）錯誤；（2）正確；（3）錯誤.
2．A
【分析】由等差數列的前項和公式，與等差中項易得，由等差中項易得.
【詳解】是等差數列，其前n項為，
，
，.
故選：A.
3．C
【分析】利用已知等式可求得等差數列的公差和首項，由等差數列求和公式可求得結果.
【詳解】設等差數列公差為，
，，，
解得：，，解得：，
的前項的和為.
故選：C.
4．B
【分析】由題知數列是公差為3的遞增等差數列，再根據等差數列的性質求解即可.
【詳解】在數列中，由，得，
所以數列是公差為3的等差數列．
又，
所以數列是公差為3的遞增等差數列．
由，解得．
因為，
所以數列中從第五項開始為正值．
所以當時，取最小值．
故選：B．
5．B
【分析】設等差數列的公差為d，根據等差數列通項公式列出方程，求出和，進而求出等差數列的前n項和為，再根據二次函數的性質，即可求出結果.
【詳解】設等差數列的公差為d，
由解得
∴．
∴當時，取得最大值．
∵對任意都有成立，
∴為數列的最大值，∴．
故選：B.
6．B
【分析】將題干中兩個已知等式相加，利用等差數列的性質求出的值，然后利用等差數列求和公式可求得的值.
【詳解】已知在等差數列中，，，
所以，，，
因此，.
故選：B.
7．B
【分析】，又由，后由累乘法可得答案.
【詳解】注意到，則當時，.
故.
故選：B
8．A
【分析】求得數列的首項和公差d，可得通項公式，繼而求得的表達式，結合二次函數知識即可得答案.
【詳解】設等差數列的首項為，公差為d，則 ，
解得，則，
所以，
由于，故當n取4或5時，取得最小值，
故選：A.
9．BCD
【分析】利用等差數列求和公式分別判斷.
【詳解】由已知得，
A選項，，，，所以，A選項錯誤；
B選項，，B選項正確；
C選項，，，，，，則，C選項正確；
D選項，，，，則，D選項正確；
故選：BCD.
10．B
【分析】根據題意可知數列的前4項，再由可求出，由數列為等差數列，可求出的通項公式，代入中再利用累加法可求出的通項公式，從而可求出結果.
【詳解】由題意可知數列的前4項為1，3，6，10，即，
因為，所以，
所以等差數列的公差為，
所以，
所以，
所以，，……，
，
所以上面個式子相加得
，
所以，
所以
，
故選：B
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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