資源簡介

4.2.2等差數列的前n項和公式（第1課時）
導學案
學習目標
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程.
2.掌握等差數列前n項和公式.
3.熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個求另外兩個．
重點難點
1.重點： 等差數列的前n項和的應用
2難點：等差數列前n項和公式的推導方法
課前預習 自主梳理
知識點　等差數列的前n項和公式
已知量 首項，末項與項數 首項，公差與項數
求和公式
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）等差數列前項和公式的推導方法是倒序相加．( )
（2）若數列的前項和，則為常數列．( )
（3）等差數列的前項和，等于其首項、第項的等差中項的倍．( )
（4）.( )
2．已知數列是等差數列，其前n項和為，若，則（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
3．在等差數列中，則數列前9項和為（ ）
A．54 B．27 C．36 D．24
4．已知等差數列的前項和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知數列滿足則其前9項和等于（ ）
A．150 B．180 C．300 D．360
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
前面我們學習了等差數列的概念和通項公式，下面我們將利用這些知識解決等差數列的求和問題．
據說，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：
當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：
高斯的算法實際上解決了求等差數列
①
前100項的和的問題．
高斯（Gauss，1777－1855），德國數學家，近代數學的奠基者之一. 他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做出過杰出貢獻.
環節二 觀察分析，感知概念
問題1：你能說說高斯在求和過程中利用了數列①的什么性質嗎？你能從中得到求數列①的前項和的方法嗎？
對于數列①，設，那么高斯的計算方法可以表示為
．
可以發現，高斯在計算中利用了
這一特殊關系，這就是上一小節例5中性質的應用，它使不同數的求和問題轉化成了相同數（即101）的求和，從而簡化了運算．
問題2：你能用高斯的方法求嗎？
將上述方法推廣到一般，可以得到：
當是偶數時，有
于是有
．
當是奇數時，有
．
所以，對任意正整數，都有
．
環節三 抽象概括，形成概念
問題3：我們發現，在求前個正整數的和時，要對分奇數、偶數進行討論，比較麻煩．能否設法避免分類討論？
如果對公式作變形，可得
它相當于兩個相加，而結果變成個相加．
受此啟發，我們得到下面的方法：
將上述兩式相加，可得
所以
環節四 辨析理解 深化概念
問題4：上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數列的前項和嗎？
可以發現，上述方法的妙處在于將“倒序”為，再將兩式相加，得到個相同的數（即）相加，從而把不同數的求和轉化為個相同的數求和．
對于等差數列，因為，由上述方法得到啟示，我們用兩種方式表示：
①
②
得
由此得到等差數列的前項和公式 （1）
對于等差數列，利用公式（1），只要已知等差數列的首項和末項，就可以求得前項和．另外，如果已知首項和公差，那么這個等差數列就完全確定了，所以我們也可以用和來表示．
把等差數列的通項公式代入公式（1），可得
（2）
將（1）變形可得，所以就是等差教列前項的平均數．實際上，我們就是利用等差數列的這一重要特性來推導它的前項和的．你還能發現這一特性的一些應用嗎
問題5：不從公式（1）出發，你能用其他方法得到公式（2）嗎？
環節五 概念應用，鞏固內化
例6 已知數列是等差數列．
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，，求．
問題6：對于等差數列的相關量，，，，，已知幾個量就可以確定其他量
分析：對于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得．
解：（1）因為，，根據公式，可得
．
（2）因為，，所以．根據公式，可得
．
（3）把，，代入，得
．
整理，得．
解得，或(舍去)．所以．
例7已知一個等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎？
分析：把已知條件代入等差數列前項和的公式（2）后，可得到兩個關于與的二元一次方程．解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得和．
解：由題意，知，．
把它們代入公式，
得，解方程組，得．
所以，由所給的條件可以確定等差數列的首項和公差．
一般地，對于等差數列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數列就完全確定．
探究
已知數列的前項和為，其中，，為常數，且．任取若干組，，，在電子表格中計算，，，，的值（圖給出，，的情況），觀察數列的特點，研究它是一個怎樣的數列，并證明你的結論．
環節六 歸納總結，反思提升
問題7 請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．知識清單：
（1）等差數列前n項和及其計算公式．
（2）等差數列前n項和公式的推導過程．
（3）由an與Sn的關系求an.
（4）等差數列在實際問題中的應用．
2．方法歸納：函數與方程思想、倒序相加法、整體思想．
3．常見誤區：由Sn求通項公式時忽略對n＝1的討論．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教科書 練習 第24頁 第 1，2，3題
習題4.2第24頁 第1，2，3，4題.
備用練習
6．已知為等差數列，為其前項和，若，則公差等于（ ）
A．3 B． C． D．
7．等差數列的前項和為，且，，則的公差為（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知等差數列滿足，則其前項和等于（ ）
A．2300 B．2400 C．2600 D．2500
9．在等差數列中，，則此等差數列的前9項之和為（ ）
A．5 B．27 C．45 D．90
10．下列說法中正確的是（ ）
A．數列是遞增數列 B．數列是遞減數列
C．數列是遞增數列 D．數列的前項和的最大值為
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 正確 正確 正確
【分析】根據等差數列前項和公式判斷（1）（3）（4），根據求出通項公式 ，即可判斷（2）.
【詳解】對于（1）：等差數列前項和公式的推導方法是倒序相加，故正確；
對于（2）：若數列的前項和，當時，
當時，所以，
綜上可得，即為常數列，故正確；
對于（3）：設等差數列的前項和為，則，
又等差數列的首項與第項的等差中項為，
所以等差數列的前項和，等于其首項、第項的等差中項的倍，故正確；
對于（4）：，故正確.
故答案為：正確；正確；正確；正確
2．D
【分析】根據給定條件，利用等差數列前n項和公式，結合等差數列性質計算作答.
【詳解】等差數列的前n項和為，，所以.
故選：D
3．A
【分析】由等差數列前n項和公式及等差中項的應用，即可求.
【詳解】.
故選：A
4．B
【分析】設等差數列的公差為，根據題設條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，再利用等差數列的求和公式可求得的值.
【詳解】設等差數列的公差為，則，
，
所以，，解得，
所以，，
故選：B.
5．B
【分析】根據等差數列的性質和前項和公式求解.
【詳解】因為
所以所以其前9項和等于，
故選:B.
6．C
【分析】根據等差數列的通項和前項和公式，列方程求解即可.
【詳解】設等差數列的首項為，則，聯立解得，
故選:C
7．C
【分析】利用等差數列前項和公式列出方程組，能求出的公差.
【詳解】∵等差數列的前項和為，且，，
∴，
解得，.
∴的公差為4.
故選：C.
【點睛】本題考查等差數列公差的計算，屬于基礎題.
8．D
【解析】先由通項公式求出，再由等差數列求和公式即可求出.
【詳解】由，
得，解得，
所以．
故選：D.
9．C
【分析】根據已知求得，由此求得.
【詳解】依題意，即，即，
所以.
故選：C
10．C
【解析】根據數列單調性的定義依次判斷ABC選項，可知AB錯誤，C正確；根據等差數列前項和的二次函數性可知D錯誤.
【詳解】對于A，，是遞減數列，A錯誤；
對于B，數列各項為：，，，，…，不是遞減數列，B錯誤；
對于C，，是遞增數列，C正確；
對于D，數列是以為首項，為公差的等差數列，前項和，
，的最大值為，D錯誤.
故選：C.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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