資源簡介

4.3.1等比數列的概念（導學案）
學習目標
1.通過實例，理解等比數列的概念.
2.掌握等比中項的概念并會應用.
3.掌握等比數列的通項公式并了解其推導過程.
4. 靈活應用等比數列通項公式的推廣形式及變形．
重點難點
1、教學重點
探索并掌握等比數列的通項公式，能運用通項公式解決實際問題.
2、教學難點
（1）等比數列的運算、等比數列的性質及應用．
（2）掌握等比數列的判斷與證明方法．
課前預習 自主梳理
知識點一　等比數列的概念
1．定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)
2．遞推公式形式的定義：＝q(n∈N*且n>1).
思考　為什么等比數列的各項和公比q均不能為0
答案　由于等比數列的每一項都可能作分母，故每一項均不能為0，因此q也不能為0.
知識點二　等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．此時，G2＝ab
思考　當G2＝ab時，G一定是a，b的等比中項嗎？
答案　不一定，如數列0，0，5就不是等比數列．
知識點三　等比數列的通項公式
（1）已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，則數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1.
（2）第n項與第m項的關系為an＝amqn－m ，變形得qn－m＝.
（3）由an＝·qn可知，當q>0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是指數函數f(x)＝·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即an＝f(n)．
知識點四　等比數列通項公式的推廣和變形
等比數列{an}的公比為q，則
an＝a1 qn－1①
＝amqn－m②
＝·qn.③
其中當②中m＝1時，即化為①.
當③中q>0且q≠1時，y＝·qx為指數型函數．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）等比數列中不存在數值為0的項．( )
（2）常數列a，a，a，a，…一定是等比數列．( )
（3）若數列的通項公式是，則一定是等比數列．( )
（4）存在一個數列既是等差數列，又是等比數列．( )
（5）任何兩個實數都有等比中項．( )
（6）數列是等比數列．( )
（7）若一個數列從第2項起每一項與前一項的比為常數，則該數列為等比數列．( )
（8）等比數列的首項不能為零，但公比可以為零．( )
（9）常數列一定為等比數列．( )
2．在等比數列中，，，則首項
A． B． C． D．1
3．已知數列-1，，，-16成等差數列，-1，，，，-16成等比數列，則（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知等比數列滿足，且成等差數列，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知在等比數列中，，等差數列的前n項和為，且，則（ ）
A．26 B．52 C．78 D．104
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
問題1：前面我們學習了等差數列，類比等差數列的研究思路和方法，從運算的角度出發，你覺得還有怎樣的數列是值得研究的？
我們知道，等差數列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數”，類比等差數列的研究思路和方法，從運算的角度出發，你覺得還有怎樣的數列是值得研究的？
【師生活動】 學生獨立思考、討論交流．
教師提示，類比已有的學習經驗是一個好方法，比如“等差數列”；然后指引學生回顧等差數列相鄰兩項的關系，確定新數列的研究問題：相鄰兩項比是固定常數．
【設計意圖】意在引導學生從運算的角度，類比已有研究對象的主要特征，發現一個新的特殊數列作為研究對象，這樣的過程有利于培養學生發現問題和提出問題的能力．
問題2：“請看下面幾個問題中的數列”，類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？你發現了什么規律？
【師生活動】 學生獨立觀察，充分思考，交流討論．
根據學生交流討論情況，教師可以適時地選擇以下問題進行追問．
【設計意圖】該情境讓學生從生活實例中發現各組數列在運算上的特點，目的在從而自然引出本節課的探究問題——等比數列的概念
請看下面幾個問題中的數列．
1．兩河流域發掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數列：
； ①
； ②
； ③
古巴比倫人用60進制計數，這里轉化為十進制．
2．《莊子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是
④
3．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20 min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產生的后代個數依次是
⑤
4．某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復利，他5年內每年末得到的本利和分別是
． ⑥
追問：（1）你能用自然語言歸納每組數列的特征嗎？（從相鄰兩項間的關系分析）
（2）請歸納概括上述四個具體例子的共同特點． （類比等差數列的過程）
（3）類比等差數列的概念，從上述幾個數列的規律中，你能抽象出等比數列的概念嗎可以用符號語言表示嗎？
【師生活動】 教師引導學生梳理觀察、討論、分析的結果，抽象概括成數學定義，給出等比數列的定義．
【設計意圖】讓學生充分經歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，其中包括獨立思考和交流討論．這是一個提升學生數學抽象素養的時機．
復利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息．
環節二 觀察分析，感知概念
探究：類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律 你發現了什么規律
我們可以通過除法運算探究以上數列的取值規律．
如果用表示數列①，那么有
，，……，．
這表明，數列①有這樣的取值規律：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9．
其余幾個數列也有這樣的取值規律，請你寫出相應的規律．
問題3： 請同學們結合上述實例子的運算特點和等差數列的定義總結等比數列的定義。
環節三 抽象概括，形成概念
思考：
類比等差數列的概念，從上述幾個數列的規律中，你能抽象出等比數列的概念嗎
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列（geometric progression）．這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示（顯然)．例如，數列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，．
問題4：結合等比數列的定義，觀察等比數列的相鄰三項，你有什么新的發現？
【師生活動】 讓學生獨立閱讀這段內容，然后分別提出自己的新發現．
教師根據學生的回答情況，可以選擇以下問題進行追問．
追問：（1）等比數列相鄰三項有什么代數關系？
（2）類比等差中項，你能得到等比中項的定義嗎？能夠用符號語言表示嗎？
【師生活動】 根據學生探究的情況，教師引導，幫助學生建立等比中項的定義．
【設計意圖】對于難度不大的內容，引導學生通過類比的方法去找到等比數列中相鄰三項的關系，并抽象概念得到等比數列的定義．
問題5：回憶等差中項的定義？
追問1 類比等差中項的定義，能否總結出等比中項的定義？
與等差中項類似，如果在與中間插入一個數，使，，成等比數列，那么叫做與的等比中項（geometric mean）．此時，．
追問2 如何求等比數列的通項公式
【師生活動】
【設計意圖】通過問題 :5 通過類比等差數列的相關知識，進一步解析等比數列.
問題6：請同學們回憶等差數列的通項公式推導方法有哪些呢？
追問：你能等比數列的定義推導它的通項公式嗎？
環節四 辨析理解 深化概念
探究：
你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？
設一個等比數列的公比為．根據等比數列的定義，可得
．
所以
由此可得
又，這就是說，當時上式也成立．
因此，首項為，公比為的等比數列的通項公式為
．
【師生活動】方法有兩種，分別是不完全歸納法和疊加法，類比等差數列的通項公式的推導方法，等比數列的通項公式也有兩中推導方法。教師和學生共同完成等比數列的兩種推導方法：
設等比數列，首項為，公比為
不完全歸納法：
疊乘法 ，共有（n-1）個等式
將這（n-1）個等式左右兩邊相乘得到
【師生活動】讓學生先獨立思考，教師展示學生推導并規范解答．
【設計意圖】內容難度不大，引導學生類比等差數列通項公式的推導過程進行推導，并得到等比數學的通項公式．這是一個提升學生數學抽象的時機．
問題:7：在等差數列中，公差的等差數列可以與相應的一次函數建立聯系，通過類比，等比數列可以與那個函數建立聯系？單調性如何？這里讓學生“類比指數函數的性質，說明公比的等比數列的單調性”．
類似于等差數列與一次函數的關系，由可知，當且時，等比數列的第項是函數當時的函數值，即（如圖4.3-1所示）．
類比指數函數的性質，說說公比的等比數列的單調性．
公比且的等比數列的圖象有什么特點
反之，任給函數（為常數，，且），則，，…，，…構成一個等比數列，其首項為，公比為．
下面，我們利用通項公式解決等比數列的一些問題．
【師生活動】學生獨立思考、討論交流．
教師提示，類比指數函數的性質，說明公比的等比數列的單調性．
【設計意圖】讓學生充分經歷從觀察、分析的過程，其中包括獨立思考和交流討論．
環節五 概念應用，鞏固內化
例1若等比數列的第4項和第6項分別為8和12，求的第5項．
分析：等比數列由，唯一確定，可利用條件列出關于，的方程（組），進行求解．
解法1：由，，得
②的兩邊分別除以①的兩邊，得
．
解得
或．
把代入①，得
此時
．
把代入①，得
此時
．
因此，的第5項是24或．
解法2：因為是與的等比中項，所以
．
所以
．
因此，的第5項是24或．
【師生活動】學生分析解題思路，給出解答并討論交流，教師進行展示總結．
【設計意圖】例1與4．2節的例7類似，也給出了兩個獨立的條件．根據兩個給定條件得到的關于首項和公比的方程組的解法往往不唯一，有時會得到兩個的值，也就是得到兩個不同的等比數列．此例題可以讓學生掌握分類討論的方法．例1也可以直接利用等比中項的定義進行解決，鼓勵學生從多角度思考問題．
例2已知等比數列的公比為，試用的第項表示．
解：由題意，得
， ①
． ②
②的兩邊分別除以①的兩邊，得
．
所以
等比數列的任意一項都可以由該數列的某一項和公比表示．
【師生活動】學生獨立思考，教師給出解答示范．
【設計意圖】等比數列通項公式的應用，給你兩個條件與可以表示數列的每一項，同時等比數列的任意一項都可以由數列的某一項和公比表示．
例3數列共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132．求這個數列．
分析：先利用已知條件表示出數列的各項，再進一步根據條件列方程組求解．
解：設前三項的公比為，后三項的公差為，則數列的各項依次為，，80，，．于是得
解方程組，得
或
所以這個數列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．
【師生活動】學生獨立思考，教師給出解答示范．
【設計意圖】例3安排了一道綜合應用等差數列和等比數列的通項公式解決問題的題目．根據條件包含的等量關系，列出關于數列相關量的方程組是解決這類問題的常用策略．本題利用中間量去表示其他各項，可以減少所設未知數的個數．通過此題提高學生分析問題、解決問題的能力．
環節六 歸納總結,反思提升
問題8 回顧本節課的研究過程，我們是怎樣來開展對等比數列進行研究的？
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．等比數列的通項公式
（1）已知首項a1和公比q，可以確定一個等比數列．
（2）在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四個量，已知其中任意三個量，可以求得第四個量．
2．判定一個數列是等比數列的常用方法
（1）定義法；
（2）等比中項法；
（3）通項公式法．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：解決生活中的實際問題
教材31頁 練習 1,2,3.
備用練習
6．已知實數是2、8的等比中項，則（ ）
A． B． C．4 D．5
7．已知數列滿足，若，，則（ ）
A．2 B． C．2 D．8
8．在等差數列中，，，依次成公比為3的等比數列，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．若數列對任意正整數n都有，則（ ）
A．17 B．18 C．34 D．84
10．設是等比數列，且，則（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 錯誤 正確 正確 錯誤 正確 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】根據等比數列的定義一一分析即可.
【詳解】（1）根據等比數列性質知等比數列中不存在數值為0的項，故（1）正確；
（2）當時，此時不是等比數列，故（2）錯誤；
（3），則一定是等比數列，故（3）正確.
（4）若數列為其既是等差數列，又是等比數列，故（4）正確；
（5）如果兩個實數分別為0,1，則其沒有等比中項；故（5）錯誤；
（6）數列的公比為，則其為等比數列；
（7）該常數應為同一個非零常數，故（7）錯誤；
（8）等比數列的公比不可以為零，故（8）錯誤；
（9）常數列不一定為等比數列，如每一項均為0，故（9）錯誤.
故答案為：正確；錯誤；正確；正確；錯誤；正確；錯誤；錯誤；錯誤
2．D
【詳解】.
3．A
【分析】根據已知條件求得的值，由此確定正確答案.
【詳解】∵數列-1，，，-16成等差數列，∴，
∵-1，，，，-16成等比數列，∴，且，
則，
∴．
故選：A．
4．C
【解析】設公比為，由等比數列的通項公式和等差數列中項性質列方程，解方程可得q，即可得到所求值
【詳解】成等差數列，得，即：，
所以＝16，
故選：C.
【點睛】本題考查等比數列的通項公式和等差數列中項性質，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.
5．B
【分析】等比數列中，可得，即，所以在等差數列中，，，代入即可得出答案.
【詳解】在等比數列中，，所以，所以，
在等差數列中，，所以.
故選：B.
6．A
【分析】
由等比中項的定義列方程求解即可.
【詳解】因為實數是2、8的等比中項，
所以，得，
故選：A
7．C
【分析】由數列滿足，得到是等比數列，推導出，即可得解．
【詳解】解：數列滿足，
是等比數列，
，，同號，
，，
，
故選：．
8．B
【分析】直接利用等差數列和等比數列的公式計算得到答案.
【詳解】，故，，
即，，解得.
故選：B
9．B
【分析】根據遞推公式，可求出數列的通項公式，從而可求出的值.
【詳解】因為，
所以時，，
兩式相減，得，即，
又時，得也適合，
所以時，，
所以．
故選：B．
10．B
【分析】根據題意結合等比數列的通項公式列式求解，代入即可求得結果.
【詳解】由題意可得：，解得，
故.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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