資源簡介

4.3.1等比數列的概念（第2課時）導學案
學習目標
1.理解復利計算方法，能解決存款利息的有關計算方法.
2.通過建立數列模型并應用數列模型解決生活中的實際問題.
3.理解等比數列的常用性質.
4.掌握等比數列的判斷及證明方法.
重點難點
1、教學重點
運用等比數列的知識解決簡單的實際問題.
2、教學難點
根據等比數列的定義和通項公式推出等比數列的常用性質，
課前預習 自主梳理
知識點一　實際應用題常見的數列模型
1.儲蓄的復利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y ＝a(1＋r)n.
2.總產值模型：基數為N，平均增長率為p，期數為n， 則總產值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知識點二　等比數列的常用性質
設數列{an}為等比數列，則：
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.
（2）若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列.
（3）在等比數列{an}中，連續取相鄰k項的和(或積)構成公比為qk(或)的等比數列.
（4）若{an}是等比數列，公比為q，則數列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比數列，且公比分別是q，，q2.
（5）若{an}，{bn}是項數相同的等比數列，公比分別是p和q，那么{anbn}與也都是等比數列，公比分別為pq和.
知識點三 等比數列性質的應用
一般來說，當三個數成等比數列時，可設這三個數分別為a，aq，aq2或，a，aq，此時公比為q；當四個數成等比數列時，可設這四個數分別為a，aq，aq2，aq3(公比為q)，當四個數均為正(負)數時，可設為，，aq，aq3(公比為q2).
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”.
（1）在等比數列{an}中，若aman＝apaq，則m＋n＝p＋q.( )
（2）若數列{an}，{bn}都是等比數列，則數列{an＋bn}也一定是等比數列.( )
（3）若數列{an}是等比數列，則{λan}也是等比數列.( )
2．已知等比數列中，，則（ ）
A．8 B．14 C．128 D．256
3．已知數列為等比數列，，則的值為（ ）
A．16 B．8 C．-8 D．-16
4．已知數列為等比數列，且，則等于（ ）
A． B．32 C．12 D．
5．根據下列通項能判斷數列為等比數列的是（ ）．
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
例4 用10000元購買某個理財產品一年.
（1）若以月利率的復利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）
（2）若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于按月結算的利息（精確到)
分析：復利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計算下一期的利息，所以若原始本金為元，每期的利率為，則從第一期開始，各期的本利和，，，…構成等比數列.
解：（1）設這筆錢存個月以后的本利和組成一個數列，則是等比數列，
首項，公比，所以
所以，12個月后的利息為(元).
（2）設季度利率為，這筆錢存個季度以后的本利和組成一個數列，則也是一個等比數列，首項，公比為，于是
.
因此，以季度復利計息，存4個季度后的利息為
元.
解不等式，得
所以，當季度利率不小于時，按季結算的利息不少于按月結算的利息.
環節二 觀察分析，感知概念
例5 已知數列的首項.
（1）若為等差數列，公差，證明數列為等比數列；
（2）若為等差數列，公比，證明數列為等差數列.
分析：根據題意，需要從等差數列、等比數列的定義出發，利用指數、對數的知識進行證明.
證明：（1）由，，得的通項公式為
設，則.
又，
所以，是以27為首項，9為公比的等比數列.
（2）由，，得
兩邊取以3為底的對數，得
所以
又
所以，是首項為1，公差為的等差數列.
環節三 抽象概括，形成概念
思考：已知且，如果數列是等差數列，那么數列是否一定是等比數列？如果數列是各項均為正的等比數列，那么數列是否一定是等差數列
環節四 辨析理解 深化概念
例6 某工廠去年12月試產1050個高新電子產品，產品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品.1月按去年12月的產量和產品合格率生產，以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%，產品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產該產品一年后，月不合格品的數量能否控制在100個以內
分析：設從今年1月起，各月的產量及不合格率分別構成數列，，則各月不合格品的數量構成數列.由題意可知，數列是等比數列，是等差數列.由于數列既非等差數列又非等比數列，所以可以先列表觀察規律，再尋求問題的解決方法.
解：設從今年1月起，各月的產量及不合格率分別構成數列，.由題意，知
，
，其中，
則從今年1月起，各月不合格產品的數量是
.
由計算工具計算（精確到0.1），并列表（表4.3-1).
表4.3-1
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
環節五 概念應用，鞏固內化
觀察發現，數列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設法證明當時，遞減，
且即可.由，
得.
所以，當時，遞減.又，
所以，當時，.
所以，生產該產品一年后，月不合格品的數量能控制在100個以內.
為什么？
環節六 歸納總結，反思提升
問題：請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1.本節課學習的概念有哪些？
2.在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1.知識清單：
（1）等比數列的實際應用.
（2）等比數列的常用性質.
（3）等比數列的判定和證明.
2.方法歸納：方程和函數思想.
3.常見誤區：不注重運用性質，使解題過程煩瑣或者性質運用不正確而出錯.
等差數列 等比數列
不同點 （1）強調每一項與前一項的差； （2）a1和d可以為零； （3）等差中項唯一. （1）強調每一項與前一項的比； （2）a1與q均不為零； （3）等比中項有兩個值.
相同點 （1）都強調每一項與前一項的關系； （2）結果都必須是常數； （3）數列都可以由a1、d或a1、q確定.
聯系 （1）若{an}為正項等比數列，則{logaan}為等差數列； （2）{an}為等差數列{bn}為等比數列，則{ban}為等比數列.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第34頁 練習 第1，2，3，4題
備用練習
6．在等比數列中，若，則（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知正項等比數列中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
8．在等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比數列前項和為，則下列一定成立的是
A．若，則； B．若，則；
C．若，則； D．若，則．
10．已知等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A． B． C．10 D．15
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】通過舉反例，依次分析即可判斷結果.
【詳解】（1）若等比數列是非零常數列，則結論不一定成立.
（2）例如：為 為
則為0，0，0，0，…，顯然不是等比數列.
（3）若，可知不是等比數列.
故答案為：（1）錯誤；（2）錯誤;（3）錯誤.
2．C
【分析】根據等比數列的性質計算出答案.
【詳解】由等比數列的性質可知：，
故,
故選：C
3．C
【分析】根據等比數列下標和性質計算可得；
【詳解】解：因為，
所以，又，所以，
所以，
故選：C
4．B
【分析】首先根據等比數列的性質計算，再根據所有的奇數項同號可求得的值，再由即可求解.
【詳解】由等比數列的性質可得，
所以，
因為，所以或，
因為
所以
所以，
故選: B.
5．C
【分析】根據可判斷A和B，根據可判斷C，根據可判斷D.
【詳解】對于A，，，則有,故數列不為等比數列；
對于B，則有，，則有，故數列不為等比數列；
對于C，，故數列是首項為，公比為的等比數列；
對于D，，故數列不為等比數列．
故選：C．
6．D
【分析】利用等比數列的性質可知，再結合條件即求.
【詳解】因為數列是等比數列，
所以，
又因為，
所以.
故選：D.
7．B
【分析】首先由等比數列的性質得到，再根據等比數列的性質可知，再計算求值.
【詳解】由等比數列的性質可知，并且，
， ，
.
故選：B
8．A
【分析】根據等比數列的通項公式及題干條件，可得q值，根據，代入計算，即可得答案.
【詳解】由題意得，
又，
所以．
故選：A
9．C
【詳解】設等比數列的公比為，且
若，則，所以，故正確，不正確；
若，則，因此不正確，正負不定，D不正確.
故選C
10．C
【分析】根據等比數列的性質得，由對數運算化簡即可．
【詳解】解：因為等比數列的各項均為正數，且
所以
.
故選：C．
【點睛】對數運算的一般思路：
（1）拆：首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后利用對數運算性質化簡合并；
（2）合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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