資源簡介

4.3.2等比數列的前n項和公式（第1課時）導學案
學習目標
1.掌握等比數列的前n項和公式及其應用.
2.會用錯位相減法求數列的和.
3.能運用等比數列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.
重點難點
1.教學重點：
掌握等比數列的前n項和公式及其應用，等比數列前n項和公式推導方法；
等比數列前n項和公式的推導（錯位相減法）及簡單應用.
2.教學難點：
等比數列前n項和公式推導方法（錯位相減法）的理解.
會用錯位相減法求數列的和，能運用等比數列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.
課前預習 自主梳理
知識點一　等比數列的前n項和公式
已知量 首項、公比與項數 首項、公比與末項
求和公式 Sn=_______________ Sn＝______________
知識點二　等比數列前n項和的性質
1.數列{an}為公比不為－1的等比數列（或公比為－1，且n不是偶數），Sn為其前n項和，
則Sn，S2n－Sn，_______________仍構成等比數列.
2.若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sn＋_______（n，m∈N*）.
3.若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，
則：①在其前2n項中，＝q；
②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝（q≠－1）.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的填寫“正確”，錯誤的填寫“錯誤”.
(1)求等比數列{an}的前n項和時，可直接套用公式Sn＝.( )
(2)若首項為a的數列既是等比數列又是等差數列，則其前n項和等于na.( )
(3)若a∈R，則1＋a＋a2＋…＋an－1＝.( )
(4)等比數列前n項和Sn不可能為0.( )
(5)若某數列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），則此數列一定是等比數列.( )
2．等比數列中，，且前三項和為，則公比q的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．－1或
3．在等比數列中，，則其前3項的和的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正項等比數列中，為前n項和，，則（　　）
A．7 B．9 C．15 D．30
5．已知為正項等比數列的前項和，，且，，成等差數列，則（ ）
A．2 B． C． D．4
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
問題 1 ：相傳國際象棋起源于古印度，是西薩發明的.國王要獎勵西薩， 西薩說：“請在棋盤第1個格子里放1顆麥粒，在第2個格子里放2顆麥粒，在第3個格子里放4顆麥粒，在第4個格子里放8顆麥粒，依此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一格子里所放麥粒數的2倍，直到第64個格子.請給我足夠糧食來實現上述要求！”你知道西薩要多少粒小麥嗎？國王能滿足西薩的要求嗎？
國際象棋起源于古印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么.發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒……依此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質量約為40g，據查，2016-2017年度世界小麥產量約為7.5億噸，根據以上數據，判斷國王是否能實現他的諾言.
追問 1 把各格所放麥粒數看成一個數列，可以得到一個怎樣的數列？能寫出它的通項公式嗎？
讓我們一起來分析一下.如果把各格所放的麥粒數看成一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數總和就是求這個等比數列前64項的和.
追問 2 各格所放麥粒總數如何求？
一般地，如何求一個等比數列的前n項和呢？
設等比數列的首項為，公比為，則的前n項和是
.
探究1：這個和式右邊任意相鄰兩項有何特點？
根據等比數列的通項公式，上式可寫成
. ①
探究2：若在此等式兩邊同以，得到②式，比較①，②兩式，你有什么發現？
我們發現，如果用公比乘①的兩邊，可得
②
探究3：兩邊同乘的2是等比數列的什么？乘2的作用是什么？
①②兩式的右邊有很多相同的項，用①的兩邊分別減去②的兩邊，
追問 1 兩個等式相減后，還剩下哪些項，相減后符號如何？
就可以消去這些相同的項，可得，即
.
追問2 由得到正確嗎？
因此，當時，我們就得到了等比數列的前項和公式
（1）
因為，所以公式（1）還可以寫成
（2）
追問3若q=1，{an}是什么數列，前項和等于什么？
當時，等比數列的前項和等于多少？
有了上述公式，就可以解決本小節開頭提出的問題了.
由，，可得
.
這個數很大，超過了.如果一千顆麥粒的質量約為40g，那么以上這些麥粒的總質量超過了7000億噸，約是2016—2017年度世界小麥產量的981倍.因此，國王根本不可能實現他的諾言.
環節二 觀察分析，感知概念
例7 已知數列是等比數列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求.
對于等比數列的相關量，，，，，已知幾個量就可以確定其他量？
解：
環節三 抽象概括，形成概念
例8 已知等比數列的首項為，前項和為.若，求公比.
解：
環節四 辨析理解 深化概念
例9 已知等比數列的公比，前項和為.證明，，成等比數列，并求這個數列的公比.
證明：
環節五 概念應用，鞏固內化
想一想，不用分類討論的方式能否證明該結論？
證明：
環節六 歸納總結，反思提升
問題7 請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第37頁 練習 第1，2，3，4題
備用練習
6．已知數列的通項公式為，若前項和為9，則項數為（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
7．設是等比數列的前項和，若，則
A． B． C． D．
8．已知遞增等比數列的前項和為，，，，，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知等比數列的前項和為，且，，則（ ）
A．12 B．24 C．36 D．39
10．設是等比數列的前項和，若，則公比（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)錯誤
(2)正確
(3)錯誤
(4)錯誤
(5)正確
【分析】利用常數列可判斷（1）（2）（3）（5）（6）；通過舉例可判斷（4）；根據與的關系求出通項，然后再根據等比數列定義驗證即可判斷（7）.
【詳解】（1）當時，不能使用公式求和，錯誤；
（2）若數列是首項為a的數列既是等差數列又是等比數列，則，
所以，，正確；
（3）當時，不能使用等比求和公式計算1＋a＋a2＋…＋an－1＝，錯誤.
（4）例如：等比數列前n項和Sn可能為0，錯誤.
（5）若某數列的前n項和公式為，
則時，，
時，，
綜上，該數列的通項為，
因為，所以該數列為等比數列，正確.
2．C
【分析】由等比數列通項公式基本量運算求解．
【詳解】由題意，
解得或．
故選：C．
3．C
【分析】把用公比表示，利用函數知識得結論．
【詳解】設的公比為，則，
，時等號成立，
與時都有，所以．
故選：C．
4．C
【分析】先根據已知條件并結合等比數列的通項公式求得公比，再求出各項得出結果即可.
【詳解】由，，得，
即，由等比數列，
得，即.
由題知，所以，
所以.
故選：C.
5．C
【分析】設正項等比數列的公比為q（），由題意求出q，再結合，，成等差數列即可求得，即得答案.
【詳解】設正項等比數列的公比為q（），則由，
得，可得，
解得或（舍去），
又成等差數列，所以，
即，所以，
故選：C．
6．A
【分析】化簡，利用裂項相消求出數列的前項和，即可得到答案
【詳解】假設數列的前項和為，
因為，
則數列的前項和為，
當前項和為9，故，解得，
故選：A
7．B
【分析】利用等比數列的求和公式，化簡，再代入計算，即可得出結論．
【詳解】∵
∴
∴
∴q504＝9，
∴.
故選B．
【點睛】本題考查等比數列的求和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．對于等比等差數列的 小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳碼關系，即利用數列的基本性質.
8．C
【分析】根據條件先確定公比的范圍，然后結合條件列出關于的方程組，由此求解出的值，最后根據等比數列前項和公式求解出結果.
【詳解】設等比數列的公比為，因為且遞增，所以，
因為，，所以，所以，
所以，所以，所以，
故選：C.
9．D
【分析】先根據已知條件算出等比數列的公比和首項，然后根據等比數列的求和公式算出.
【詳解】設等比數列的公比為，
則，解得，
于是，解得，
于是.
故選：D
10．C
【分析】根據題意兩式相減可求得公比．
【詳解】因為，
兩式作差得，
即，
則該等比數列的公比
故選：C．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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