資源簡介

4.1.1 數列的概念 導學案
學習目標
1.理解數列的有關概念與數列的表示方法.
2.掌握數列的分類，了解數列的單調性.
3.理解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任一項.
4.能根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式．
重點難點
1.重點：數列的有關概念與數列的表示方法、數列的通項公式.
2.難點：數列的函數特征，用數列的前n項和與通項的關系求通項公式
課前預習 自主梳理
知識點一　數列及其有關概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．
2. 數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．
思考　數列1，2，3與數列3，2，1是同一個數列嗎？
答案　 不是．順序不一樣．
知識點二　數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
知識點三　函數與數列的關系
數列{an}是從正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an＝f（n）．
知識點四　數列的單調性
遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列
常數列 各項都相等的數列
知識點五　通項公式
1．如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．
2．通項公式就是數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數．
思考　既然數列是一類特殊的函數，那么表示數列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？
答案　還可以用列表法、圖象法．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）1，1，1，1是一個數列．( )
（2）數列1，3，5，7可表示為．( )
（3）如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列．( )
（4）與表達不同的含義．( )
（5）數列中的項互換次序后還是原來的數列．( )
（6）所有的數列可分為遞增數列和遞減數列兩類．( )
（7）與的意義一樣，都表示數列．( )
2．設數列滿足，則（ ）
A．0 B．4 C．5 D．8
3．在數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．數列 的項數為（ ）
A． B． C． D．
5．已知數列、、、、，那么在此數列中的項數是（ ）
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
（一）章引言的教學
引導語：這一階段我們將學習一個新的內容——數列，請大家跟隨老師的問題來了解數列的內容與學習方法.在生活中，常有按順序記錄數據來研究事物變化規律的事例.
例如，一棵樹在某一時刻的高度為2m，如果在每年的同一時刻都記錄下這棵樹的高度，并按時間的先后順序排列起來，就得到一列數.通過對記錄下來的這列數的分析，可以研究樹的生長規律.將某個學生某一學科的歷次考試成績按考試時間順序逐個記錄，據此可研究該學生這科成績的變化情況.
問題1：你能舉出幾個類似的用按順序排成一列的數來研究變化規律的事例嗎？
【師生活動】學生舉例，教師通過學生的答案，判斷他們對數列的已有認知情況.
【設計意圖】通過事例讓學生感知，將數據按確定順序排成一列進行研究有其實際的意義和價值.
問題2：對數列的研究，既有實際需求，也有數學本身的需求.章頭圖沙灘上的圖形，顯示了古希臘畢達哥拉斯學派用小石子擺出的三角形數、正方形數和五邊形數.你能分別將表示三角形數、正方形數和五邊形數的點數按順序排成一列寫下來嗎？你能用一個式子表示這些數嗎？
【師生活動】讓學生在寫的過程中體會，數列學習的一個重要內容是求數列的通項，而歸納的方法是常用的方法.教師可以結合學生的回答提醒學生，數列的通項公式及歸納的方法是這一章的重要內容和思想方法.
【設計意圖】使學生感知數列有實際和數學自身兩方面的需求，同時引出本章的學習內容與方法.
問題3：上述樹的高度、小石子的個數問題是否能用函數關系來刻畫？為什么？
【師生活動】學生可能從表格表達的是函數的角度來解釋，如能從對應關系上解釋更好，但這里主要是讓學生體會數列是特殊的函數.
教師可進一步對章頭語作如下介紹：
通過上述問題我們可以知道，研究數列有著實際的需求，數列與函數有著一定的聯系.在函數學習中我們先學習函數的概念和性質，然后研究一些基本初等函數.與函數類似，在數列的學習中，-我們將學習數列的概念及表示法，研究通項公式（類似函數的解析式），并研究兩類典型的數列模型——等差數列和等比數列.通過對這兩類數列的研究，我們將學習數列的研究方法，還將把其他數列轉化為等差數列、等比數列，并利用這兩類數列的性質解決問題.
當然數列也有別于函數，有其特殊的研究內容，如相鄰兩項之間的關系、求和問題等，這些也是數列重
要的研究內容.在數列的學習過程中，我們常用歸納的方法得出一些結論，但并沒有給出嚴格的數學證明，因此在本章最后，我們將介紹一種證明與正整數有關的命題的方法——“數學歸納法”.
【設計意圖】讓學生從具體問題中感知數列與函數的聯系.通過教師的介紹，讓學生對本章將要學習的內容及處理問題的方法有大致的了解，發揮章引言的“先行組織者”的作用.
對數列的研究源于現實生產、生活的需要．例如，一棵樹在某一時刻的高度是2m，如果在每年的同一時刻都記錄下這棵樹的高度，并按先后順序排列起來，就得到一列數．人們常用這樣的一列數有序地表達一類事物，或者記錄一個過程．像這樣按照確定的順序排列的一列數稱為數列．如果用正整數表示事物發展過程的先后順序，并且把這樣的正整數看作自變量的取值，把事物的對應數值看作相應的函數值，那么數列就是定義在正整數集（或正整數集的有限子集）上的一類離散函數．數列無論在理論研究還是在實際應用中都非常重要．
引導語：從前面的介紹中，我們對數列已經有了一個大致的了解，那么究竟什么是數列呢 我們將通過例子來歸納數列的共性，研究該怎樣定義、表示數列.
環節二 觀察分析，感知概念
先看教科書上的兩個例子：
在現實生活和數學學習中，我們經常需要根據問題的意義，通過對一些數據按特定順序排列的方法來刻畫研究對象．例如：
1．王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高．將這些身高數據（單位：cm）依次排成一列數：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．①
記王芳第歲時的身高為，那么，，，．
我們發現，中的反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置，即是排在第1位的數，是排在第2位的數……是排在第17位的數，它們之間不能交換位置．所以，①是具有確定順序的一列數．
2．在兩河流域發掘的一塊泥版（編號K90，約產生于公元前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數①：
①把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數的數來表示．
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．②
問題4：根據上述兩個例子回答下列問題：
（1）例（1）中的第3，8個數的實際意義是什么？
（2）例（2）中哪一天的月亮可見部分數為128
（3）按順序排列實際上確定了怎樣的一種關系？
【師生活動】學生回答，例（1）中第3，8個數表示王芳在3歲和8歲生日那天的身高分別為96cm和128cm，例（2）中的“128”對應的是第8天月亮的可見部分數.
教師歸納：這些數是有確定的順序的，每個位置上的數都有其特定的意義.
【設計意圖】通過對“章引言”的學習，及對上述所給問題的作答，使學生認識所給實例的共性.
問題5：我們能否引入一個符號，表示上述問題中的數？
記第天月亮可見部分的數為，那么，，…，．這里，中的反映了月亮可見部分的數按日期從1到15的順序排列時的確定位置，即是排在第1位的數，是排在第2位的數……是排在第位的數，它們之間不能交換位置．所以，②也是具有確定順序的一列數．
【師生活動】在學生作答的基礎上，教師歸納:既然這兩列數中的每一個數的值是由排列順序中的序號所確定的，我們可以引人一個與序號相關的符號來表示數列中的數.
例如，對于例（1），我們可以記王芳第歲生日那天的身高為，這樣.
追問1:的值分別是多少
【師生活動】學生回答:.
追問2:怎樣用符號來表示例（2）中這列數中的每一個數
【師生活動】學生回答，設第天月亮可見部分的數為，則
追問3:按這樣的表述，的實際意義是什么
【師生活動】學生回答，教師總結:因為，而滿月時為240，所以表示第5天月亮的可見部分是滿月時的.
【設計意圖】通過用數學符號表示實例中的數，使學生認識到實例中的數都是具有確定順序的一列數.
問題6:我們再來看下面一個例子:
3．的次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數：③
思考
你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數嗎？
【師生活動】學生回答:的第次冪為，那么.這里，中的反映了的次冪按指數從小到大的順序排列時的確定位置，即是排在第1位的數，是排在第2位的數，是排在第3位的數..它們之間不能交換位置.所以，（*）是具有確定順序的一列數列.
學生通過仿照前面用數學符號表示數列并進行分析的過程，進一步認識數列是具有確定順序的一列數.
問題7:上面三個例子的共同特征是什么
【師生活動】學生交流并回答.教師在前面活動的基礎上給出數列的概念:
環節三 抽象概括，形成概念
一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列（sequenceofnumber），數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用表示……第個位置上的數叫做這個數列的第項，用表示．其中第1項也叫做首項．①是按年齡從小到大的順序排列的，②是按每月的日期從小到大的順序排列的，③是按冪指數從小到大的順序排列的，它們都是從第1項開始的．
項數有限的數列叫做有窮數列，項數無限的數列叫做無窮數列．
數列的一般形式是，，…，，…，
簡記為．
【設計意圖】讓學生在具體的例證基礎上進行抽象概括，體會數列的概念及一般形式的合理性.
問題8:若將上面的次冪所得的數列記作，則的值各為多少
【師生活動】學生回答:.
【設計意圖】數列概念的簡單運用.
由于數列中的每一項與它的序號有下面的對應關系：
所以數列是從正整數集（或它的有限子集）到實數集的函數，其自變量是序號，對應的函數值是數列的第項，記為．
也就是說，當自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應的一列函數值，，…，，…，就是數列．另一方面，對于函數，如果有意義，那么，，…，，…，
構成了一個數列．
以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數．
環節四 辨析理解，深化概念
問題9:我們已經歸納出了數列的概念，從給出的具體例子中你能發現數列與函數的聯系嗎 你能從函數的角度解釋一下這三個數列的特點嗎 例如，它們是不是函數 如果是，那么它們的對應關系、定義域分別是什么
與其他函數一樣，數列也可以用表格和圖象來表示．例如，數列①可以表示為表4.1-1．
表4.1-1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168
它的圖象如圖4.1-1所示．
【師生活動】學生作答，教師引導學生認識作為函數的數列定義域的特點.
【設計意圖】通過上述三個數列，使學生進一步認識數列是一種特殊的函數，并給出定義域.
問題10:一般地，數列能否看作是一個函數 如果能，數列的定義域又有怎樣的特點
從表4.1-1和圖4.1-1中，你能發現數列①中的項隨序號的變化呈現出的特點嗎？
問題11:分別寫出一個遞減的無窮數列和一個遞增的有窮數列的通項公式.
【師生活動】學生回答，教師評價.
【設計意圖】幫助學生認識到可以從函數的角度來研究數列.
與函數類似，我們可以定義數列的單調性．從第２項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列．特別地，各項都相等的數列叫做常數列．
如果數列的第項與它的序號之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．例如，數列③的通項公式為．顯然，通項公式就是數列的函數解析式，根據通項公式可以寫出數列的各項．
【師生活動】在學生回答的基礎上，教師引導學生對照教科書中的表述，理解數列是特殊的函數.同時，教師還需指出:
（1）數列作為特殊的函數也可以有表格（如教科書中的表4.1-1）、圖象（如教科書中的圖4.1-1）和解析式這三種表示形式，表格法、圖象法可以根據數列的前若干項得到，因此需要側重研究解析式法一用來表示數列各項的公式.結合教科書中數列的通項公式的定義，使學生明確并不是所有的數列都有通項公式.
（2）與函數類似，我們可以定義遞增數列、遞減數列與常數列.教學時先讓學生閱讀單調數列的定義，并回答如何由教科書中的表4.1-1和圖4.1-1，確定數列的單調性.再讓學生計算由的次冪按升冪順序排列所成數列的前10項，并畫出其圖象（圖1），觀察各項的變化趨勢.（參考答案:該數列既不是遞增數列也不是遞減數列，當項數無限增大時，數列的項會無限趨近于0.）
（3）函數在數列研究中有著重要的作用.
【設計意圖】讓學生理解，數列是一種特殊的函數，數列也和函數一樣，有3種表示方法，數列也有單調性的概念.
環節五 概念應用，鞏固內化
例1根據下列數列的通項公式，寫出數列的前5項，并畫出它們的圖象．
（1）；（2）．
解：（1）當通項公式中的時，數列的前5項依次為
圖象如圖4.1-2（1）所示．
（2）當通項公式中的時，數列的前項依次為．
圖象如圖4.1-2（2）所示．
【師生活動】學生計算、畫圖.教師利用電子表格計算、畫圖（圖2、圖3），結合表格、圖象，請學生回答這兩個數列是否是遞增數列.
【設計意圖】本例是對通項公式的直接運用，并要求學生描點作圖，使學生從通項公式、表格和圖象三個角度認識數列.
例2根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式：
（1）；
（2）．
解：（1）這個數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為①
①或常常用來表示正負相間的變化規律．
（2）這個數列前4項的奇數項是2，偶數項是0，所以它的一個通項公式為．
【師生活動】學生回答，教師進行引導:解答第（1）題時，可以先思考第（1）題與下列兩個數列（1），（2）的關系;對于第（2）題，可以考慮在的每一項上加1，也可以對例1（2）中數列的每一項取絕對值后乘以2.教師同時強調，通過數列的前幾項歸納得到的數列的通項公式，可能是不唯一的.
練習:教科書第5頁練習第4題.
【設計意圖】讓學生體會從數列的具體項歸納通項公式的基本方法，認識到得到的通項公式不是唯一的.
環節六歸納總結，反思提升
問題12:回顧章引言，概述本章的主要內容.
【師生活動】教師引導學生再次閱讀章引言，共同畫一個思維導圖，其中包括本章的主要內容和主要的思想方法.
問題13:回顧數列的概念及其表示方法的學習過程，說說其中運用了怎樣的思想方法.
【師生活動】學生交流后回答，教師總結:
（1）通過具體的例子，歸納、概括數列的共同特征，給出數列的概念;
（2）用數學語言描述數列，給出數列的一般形式;
（3）用函數的觀點看數列，明確數列是一種特殊的函數;
（4）運用函數的方法研究數列，介紹數列的三種表示方法.
【設計意圖】總結本節課的主要內容及思想方法.
1．知識清單：
（1）數列及其有關概念．（2）數列的分類．（3）函數與數列的關系．（4）數列的單調性．（5）數列的通項公式．
2．方法歸納：觀察、歸納、猜想．
3．常見誤區：歸納法求數列的通項公式時歸納不全面；不注意用（－1）n進行調節，不注意分子、分母間的聯系．
數列的概念與表示
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教科書習題4.1第題.
備用練習
6．已知數列的通項公式為，則（ ）
A．1 B． C．0 D．
7．數列1，，，，，…的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
8．已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C．2 D．1
9．已知一列數如此排列：1，，4，，16，，則它的一個通項公式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．在數列中，，（），則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 錯誤 錯誤 正確 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】根據數列的定義和單調性一一分析即可.
【詳解】（1）根據數列定義得該組數為常數列，故（1）正確；
（2）數列不能表示為集合，故（2）錯誤；
（3）常數列不具有單調性，故（3）錯誤；
（4）根據數列定義知與表達不同的含義，故（4）正確；
（5）數列中的項互換次序后可以不是原來的數列，如數列1,2,3，故（5）錯誤；
（6）常數列不具有單調性，故（6）錯誤；
（7）與的意義不一樣，前者表示數列，后者表示數列中具體一項，故（7）錯誤.
故答案為：正確；錯誤；錯誤；正確；錯誤；錯誤；錯誤.
2．B
【分析】由遞推關系式直接求即可.
【詳解】由題意得：.
故選：B.
3．C
【分析】利用數列的遞推公式逐項計算可得的值.
【詳解】由已知可得，，.
故選：C.
4．B
【分析】根據數列所給的項，歸納項與項數的規律即可得解.
【詳解】；；……，.
故共有項，
故選：B.
5．C
【分析】解方程，可得出結論.
【詳解】由可得，因此，在此數列中的項數是.
故選：C.
6．A
【分析】由數列通項公式直接計算即可.
【詳解】因為．
故選：A
7．A
【分析】根據規律寫出數列的通項公式
【詳解】奇數項為正，偶數項為負，可用來實現，
而各項分母可看作
各項分子均為1，
∴該數列的通項公式為．
故選：A
8．B
【分析】由遞推關系，求出.
【詳解】由，，則，.
故選：B
9．D
【分析】令，代入選項，即可選出答案.
【詳解】令，，，
，，選項D正確.
故選：D
10．B
【分析】根據，（），求出，從而可知是周期為3的周期數列，可得
【詳解】因為，（），所以，，，…所以數列是周期為3的周期數列，又，所以，
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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