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第八章 概率（知識歸納+題型突破）
1.結合古典概型，了解條件概率的定義，掌握條件概率的計算方法.
2.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．
3.結合古典概型，會利用全概率公式計算概率，了解貝葉斯公式.
4.通過具體的實例，了解離散型隨機變量的概念及其對于刻畫隨機現象的重要性.
5.理解離散型隨機變量的分布列，掌握離散型隨機變量分布列的表示方法及性質.
6.通過具體實例，理解離散型隨機變量的均值.能計算簡單離散型隨機變量的均值.
7.通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念.
8.能計算簡單離散型隨機變量的方差及標準差，并能解決一些實際問題.
9.通過具體實例了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征.
10.能用二項分布解決簡單的實際問題.
11.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.
12.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.
13.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量；通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征.
14.了解正態分布的均值、方差及其含義.
1．條件概率的概念
一般地，設A，B為兩個事件，P(A)>0，我們稱為事件A發生的條件下事件B發生的條件概率(conditional probability)，記為P(B|A)，讀作“A發生的條件下B發生的概率”．即P(B|A)＝ (P(A)>0)．
注意點：
A與B相互獨立時，即可得P(AB)＝P(A)P(B)，則P(B|A)＝P(B)．
2．概率的乘法公式
由條件概率的公式可知P(AB)＝P(B|A)P(A).
通常將此公式稱為概率的乘法公式.
注意點：
（1）如果知道事件A發生會影響事件B發生的概率，那么P(B)≠P(B|A).
（2）已知A發生，在此條件下B發生，相當于AB發生，要求P(B|A)，相當于把A看作新的樣本空間計算AB發生的概率.
3．條件概率的性質
（1）P(Ω|A)＝1；
（2）P( |A)＝0；
（3）若B1，B2互斥，則P((B1＋B2)|A)＝P(B1|A)＋P(B2|A).
注意點：
（1）A與B互斥，即A，B不同時發生，則P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；
（2）互斥事件的條件概率公式可以將復雜事件分解為簡單事件的概率和.
4．全概率公式
一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且它們的和Ai＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對于Ω中的任意事件B，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).這個公式稱為全概率公式.
注意點：
如圖所示，B發生的概率與P(BAi)(i＝1，2，…，n)有關，且B發生的概率等于所有這些概率的和，即P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai).在實際問題中，當某一事件的概率難以求得時，可轉化為一系列條件下發生的概率的和.
5．貝葉斯公式
一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有
P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，
因此P(Ai|B)＝，
再由全概率公式得P(Ai|B)＝.
這個公式稱為貝葉斯公式.
注意點：
（1）公式P(Ai|B)＝＝反映了P(AiB)，P(Ai)，P(B)，P(Ai|B)，P(B|Ai)之間的互化關系.
（2）P(Ai)稱為先驗概率，P(Ai|B)稱為后驗概率，其反映了事件Ai發生的可能在各種可能原因中的比重.
6．隨機變量的概念
一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數X(ω)與之對應，則稱X為隨機變量.通常用大寫英文字母X，Y，Z(或小寫希臘字母ξ，η，ζ)等表示隨機變量，而用小寫英文字母x，y，z(加上適當下標)等表示隨機變量的取值.
注意點：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應，隨機變量有如下特征：
①取值依賴于樣本點；②所有可能取值是明確的.
7．離散型隨機變量
隨機變量可分為以下兩類：
（1）離散型隨機變量：取值為離散的數值的隨機變量稱為離散型隨機變量；
（2）連續型隨機變量：取值為連續的實數區間，具有這種特點的隨機變量稱為連續型隨機變量.
注意點：是不是離散型隨機變量與變量的選取有關，比如：對樹木高度問題，可定義如下離散型隨機變量ξ＝
8．離散型隨機變量的概率分布
（1）定義：一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，①
稱①為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
（2）表示：分布列可以用下表來表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我們將上表稱為隨機變量X的概率分布表.它和①式都叫作隨機變量X的概率分布.
（3）性質：①pi≥0，i＝1，2，3，…n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
注意點：（1）概率分布表中x1，x2，…，xn表示離散型隨機變量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.
（2）隨機變量X取值為x1，x2，…，xn時所對應事件是互斥的.
9．0～1分布(兩點分布)
隨機變量X只取兩個可能值0和1.把這一類概率分布稱為0－1分布或兩點分布，并記為X～0－1分布或X～兩點分布.此處“～”表示“服從”.
注意點：（1）兩點分布有且只有兩個對應結果，且互為對立.
（2）其隨機變量的取值只能是0和1，故又稱0－1分布.
（3）其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.
（4）兩點分布可應用于彩票中獎、新生兒性別、投籃是否命中等.
10．離散型隨機變量的均值
一般地，隨機變量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，將p1x1＋p2x2＋…＋pnxn稱為隨機變量X的均值或數學期望，記為E(X)或μ.
注意點：（1）均值是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均數.
（2）離散型隨機變量的均值E(X)是一個數值，是隨機變量X本身固有的一個數字特征，它不具有隨機性，反映的是隨機變量取值的平均水平.
11．離散型隨機變量均值的性質
X，Y的概率分布為
X x1 x2 … xi … xn
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋B.
12.離散型隨機變量的方差、標準差
（1）一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1， 則(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相對于均值μ的偏離程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻畫了隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機變量X的方差，記為D(X)或σ2.即D(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
（2）方差也可用公式D(X)＝xpi－μ2計算.
（3）隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算術平方根稱為X的標準差，即σ＝.
注意點：（1）離散型隨機變量的方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
（2）離散型隨機變量的方差的單位是隨機變量本身的單位的平方，標準差與隨機變量本身的單位相同.
13.離散型隨機變量方差的性質
（1）設a，b為常數，則D(aX＋b)＝a2D(X).
（2）D(c)＝0(其中c為常數).
14.兩點分布的均值與方差
若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
注意點：兩點分布的方差公式的推導：
由于X服從兩點分布，即P(X＝0)＝1－p，
P(X＝1)＝p，
∴E(X)＝p，
∴D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p－p2＝p(1－p).
15.n重伯努利試驗
我們把只包含兩個可能結果的試驗叫作伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
注意點：在相同條件下，n重伯努力試驗是有放回地抽樣試驗.
16.二項分布
若隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0X 0 1 2 … n
P Cp0qn Cpqn－1 Cp2qn－2 … Cpnq0
注意點：（1）由二項式定理可知，二項分布的所有概率和為1.
（2）兩點分布與二項分布的關系：兩點分布是只進行一次的二項分布.
17.二項分布的均值與方差
（1）當n＝1時，X服從兩點分布，其概率分布為
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
（2）二項分布的概率分布為(q＝1－p)
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
則E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
由kC＝nC，
可得E(X)＝nCp1qn－1＋nCp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p).
（3）一般地，當X～B(n，p)時，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，σ＝.
18.超幾何分布
一般地，若一個隨機變量X的分布列為P(X＝r)＝，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min{n，M}，則稱X服從超幾何分布，記為X～H(n，M，N)，并將P(X＝r)＝記為H(r；n，M，N).
注意點：（1）在超幾何分布的模型中，“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取n件”.
（2）超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質是古典概型.
19.超幾何分布的均值
一般地，當X～H(n，M，N)時，E(X)＝kPk＝，其中l＝min{n，M}.
注意點：超幾何分布和二項分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以近似看成二項分布.
20.正態密度曲線
（1）正態密度曲線
①函數P(x)＝e－ (x∈R)的圖象稱為正態密度曲線.這里有兩個參數μ和σ，其中σ>0，μ∈R.
②不同的μ和σ對應著不同的正態密度曲線.
（2）正態密度曲線的特征
①當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降；當曲線向左右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線；
②曲線關于直線x＝μ對稱；
③σ越大，曲線越扁平；σ越小，曲線越尖陡；
④在曲線下方和x軸上方范圍內的區域面積為1.
注意點：參數σ和μ對正態密度曲線的形狀的影響
（1）σ為形狀參數，參數σ的大小決定了曲線的高低和胖瘦.當參數μ取固定值，σ取不同值時，對應的正態密度曲線的形狀如圖（1）所示.
（2）μ為位置參數.當參數σ取固定值時，正態密度曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖（2）.
21.正態分布
（1）設X是一個隨機變量，若對任給區間(a，b]，P(a（2）正態分布N(0，1)稱為標準正態分布.
注意點：（1）μ＝0，σ＝1的正態分布叫作標準正態分布；
（2）參數μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(均值)；σ2是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(方差).
22.隨機變量在三個特殊區間內取值的概率
若X～N(μ，σ2)，則隨機變量X取值
（1）落在區間(μ－σ，μ＋σ)內的概率約為68.3%；
（2）落在區間(μ－2σ，μ＋2σ)內的概率約為95.4%；
（3）落在區間(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率約為99.7%.
題型一　利用定義求條件概率
【例1】
1．現有6個節目準備參加比賽，其中4個舞蹈節目，2個語言類節目，如果不放回地依次抽取2個節目，求：
(1)第1次抽到舞蹈節目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率.
思維升華　利用定義計算條件概率的步驟
（1）分別計算概率P(AB)和P(A).
（2）將它們相除得到條件概率P(B|A)＝，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發生.
鞏固訓練
2．某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
題型二　縮小樣本空間求條件概率
【例2】
3．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數的條件下，求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率．
思維升華　
將原來的基本事件全體Ω縮小為已知的條件事件A，原來的事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個基本事件，每個基本事件發生的概率相等，從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率，即P(B|A)＝，這里n(A)和n(AB)的計數是基于縮小的基本事件范圍的.
鞏固訓練
4．5個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回地取兩次，則在第一次取到新球的條件下第二次取到新球的概率是 ．
題型三　條件概率的性質及應用
【例3】
5．在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．
思維升華　
（1）利用公式P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質的使用前提是“B與C互斥”.
（2）為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率.
鞏固訓練
6．在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題，若考生至少答對其中的4道題即可通過；若至少答對其中5道題就獲得優秀.已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經通過，求他獲得優秀成績的概率.
題型四　全概率公式
【例4】
7．某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一個社區進行新冠疫情防控宣傳．參加活動的甲、乙兩班的人數之比為5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求該社區居民遇到一位進行新冠疫情防控宣傳的同學恰好是女生的概率．
思維升華　“化整為零”求多事件的全概率問題
（1）如圖，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).
（2）已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B發生的可能性，就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和.
鞏固訓練
8．甲箱的產品中有5個正品和3個次品，乙箱的產品有4個正品和3個次品.
（1）從甲箱中任取2個產品，求這2個產品都是次品的概率；
（2）若從甲箱中任取2個產品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產品，求取出的這個產品是正品的概率.
題型五　貝葉斯公式
【例5】
9．在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0，已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設發送信號0和1是等可能的.若已知接收的信號為0，求發送的信號為1的概率.
思維升華　此類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發生條件下，求各原因發生的可能性大小.
鞏固訓練
10．設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車中途停車修理的概率為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．
題型六　隨機變量的概念
【例6】
11．拋擲一枚質地均勻的硬幣一次,隨機變量為(　　)
A．擲硬幣的次數
B．出現正面向上的次數
C．出現正面向上或反面向上的次數
D．出現正面向上與反面向上的次數之和
12．（多選）下列隨機變量是離散型隨機變量的是（ ）
A．從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數
B．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數
C．某林場樹木最高達30 m，則此林場中樹木的高度
D．某加工廠加工的某種銅管的外徑與規定的外徑尺寸之差
思維升華
（1）判斷一個試驗是否為隨機試驗，依據是這個試驗是否滿足隨機試驗的三個條件，即
①試驗在相同條件下是否可重復進行；
②試驗的所有可能的結果是否是明確的，并且試驗的結果不止一個；
③每次試驗的結果恰好是一個，而且在每一次試驗前無法預知出現哪個結果.
（2）離散型隨機變量判定的關鍵是隨機變量X的所有取值是否可以一一列出.
鞏固訓練
13．指出下列哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．
(1)某人射擊一次命中的環數；
(2)擲一顆質地均勻的骰子，出現的點數；
(3)某個人的屬相隨年齡的變化．
14．下列隨機變量是離散型隨機變量的個數是（ ）
①擲一顆骰子出現的點數；
②投籃一次的結果；
③某同學在12：00至12：30到校的時間；
④從含有50件合格品、10件次品的產品中任取3件，其中合格品的件數.
A．1 B．2
C．3 D．4
題型七　離散型隨機變量的概率分布
【例7】
15．為檢測某產品的質量，現抽取5件產品，測量產品中微量元素x，y的含量（單位：毫克），測量數據如下：
編號 1 2 3 4 5
x
y
如果產品中的微量元素x，y滿足且時，該產品為優等品.現從上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數X的概率分布.
思維升華　
求離散型隨機變量的概率分布的步驟
（1）首先確定隨機變量X的取值；
（2）求出每個取值對應的概率；
（3）列表對應，即為概率分布.
鞏固訓練
16．某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.將O，A，B，AB四種血型分別編號為1，2，3，4，現從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的概率分布.
題型八　兩點分布
【例8】
17．袋內有10個白球，5個紅球，從中摸出2個球，記，求X的概率分布．
思維升華　
兩步法判斷一個分布是否為兩點分布
（1）看取值：隨機變量只取兩個值0和1.
（2）驗概率：檢驗P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.
如果一個分布滿足以上兩點，則該分布是兩點分布，否則不是兩點分布.
鞏固訓練
18．已知一批200件的待出廠產品中，有1件不合格品，現從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產品中的次品數，求X的概率分布．
題型九　概率分布的性質及其應用
【例9】
19．設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
試求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
思維升華　
離散型隨機變量的概率分布的性質的應用
（1）通過性質建立關系，求得參數的取值或范圍，進一步求出概率，得出概率分布.
（2）求對立事件的概率或判斷某概率是否成立.
鞏固訓練
20．已知隨機變量服從的分布列為
1 2 3 n
P
則的值為（　?。?br/>A．1 B．2 C． D．3
題型十　利用定義求離散型隨機變量的均值
【例10】
21．袋中有4只紅球，3只黑球，現從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.
思維升華　求隨機變量的均值關鍵是寫出概率分布，一般分為四步：（1）確定X的可能取值；（2）計算出P(X＝k)；（3）寫出概率分布；（4）利用E(X)的計算公式計算E(X).
鞏固訓練
22．某綜藝節目中有一個環節叫“超級猜猜猜”，規則如下：在這一環節中嘉賓需要猜三道題目，若猜對一道題目可得1分，若猜對兩道題目可得3分，若三道題目全部猜對可得6分，若三道題目全部猜錯，則扣掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為，，，且三道題目之間相互獨立.求嘉賓在該“猜題”環節中所得分數的分布列與均值.
題型十一　離散型隨機變量均值的性質
【例11】
23．已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P m
若，則 .
思維升華　
求線性關系的隨機變量Y＝aX＋b的均值方法
（1）定義法：先列出Y的概率分布，再求均值.
（2）性質法：直接套用公式E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解即可.
鞏固訓練
24．已知隨機變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
題型十二　求離散型隨機變量的方差
【例12】
25．已知隨機變量的分布列為（ ）
則的值為（ ）
A． B． C． D．
思維升華　求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法
（1）已知分布列型(非兩點分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差.
（2）已知分布列是兩點分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解.
（3）未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉化成（1）中的情況.
鞏固訓練
26．袋中有大小相同的四個球，編號分別為1,2,3,4，每次從袋中任取一個球，記下其編號.若所取球的編號為偶數，則把該球編號改為3后放回袋中繼續取球；若所取球的編號為奇數，則停止取球.
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶數，記第二次和第一次取球的編號之和為X，求X的分布列和方差.
題型十三　方差性質的應用
【例13】
27．設隨機變量的概率分布為：
若，則等于（ ）
A． B．
C． D．
鞏固訓練
28．已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
題型十四　n重伯努利試驗的判斷
【例14】
29．判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中；
(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．
思維升華　n重伯努利試驗的判斷依據
（1）要看該試驗是不是在相同的條件下可以重復進行.
（2）每次試驗的結果相互獨立，互不影響.
鞏固訓練
30．下列試驗是否為n重伯努利試驗：
(1)袋中有質地、大小完全相同的6個紅球和4個白球，每次從中任取1個球，記下顏色后放回，連續取球2次；
(2)袋中有質地、大小完全相同的6個紅球和4個白球，每次從中任取1個球，不放回，連續取球2次.
題型十五　n重伯努利試驗概率的求法
【例15】
31．某氣象站天氣預報的準確率為，計算(結果保留到小數點后面第2位)：
（1）“5次預報中恰有2次準確”的概率；
（2）“5次預報中至少有2次準確”的概率．
思維升華　n重伯努利試驗概率求解的關注點
（1）解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.
（2）運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結果只有兩種(即要么發生，要么不發生)，在任何一次試驗中某一事件發生的概率都相等，然后用相關公式求概率.
鞏固訓練
32．某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且每次射擊的結果互不影響，已知射手射擊了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次擊中目標的概率；
(2)其中恰有3次擊中目標的概率；
(3)其中恰有3次連續擊中目標，而其他兩次沒有擊中目標的概率.
題型十六　二項分布的均值與方差
【例16】
33．為防止風沙危害,某地決定建設防護綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物，某人一次種植了n株沙柳,各株沙成活與否是相互獨立的,成活率為p,設為成活沙柳的株數，數學期望,標準差
(1)求n.p的值并寫出的分布列
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補種,求需補種沙柳的概率
思維升華　解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入相應的公式求解.若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
鞏固訓練
34．某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨機變量,其概率分布如下表，數學期望.
（1）求a和b的值；
（2）某同學連續玩三次該智力游戲，記積分X大于0的次數為Y，求Y的概率分布與數學期望.
X 0 3 6
P a b
題型十七　超幾何分布的判斷
【例17】
35．一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現從中隨機取出3個球，以表示取出球的最大號碼，則是否服從超幾何分布？
思維升華　判斷所給問題是否屬于超幾何分布，關鍵是緊扣超幾何分布的定義.超幾何分布，實質上就是有總數為N件的兩類物品，其中一類有M(M≤N)件，從所有物品中任取n件，這n件中所含這類物品的件數X是一個離散型隨機變量，它取值為r時的概率為P(X＝r)＝(r≤l，l是n和M中較小的一個).
鞏固訓練
36．下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是（　?。?br/>A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數X
B．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，選出女生的人數為X
C．某射手的命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中目標的次數為X
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數
題型十八　超幾何分布的概率分布
【例18】
37．某校高一、高二的學生組隊參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生．推薦的學生一起參加集訓，最終從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊．
(1)求高一至少有1名學生入選代表隊的概率；
(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數，求X的分布列．
思維升華　解決超幾何分布問題的兩個關鍵點
（1）超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶.
（2）超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的概率分布.
鞏固訓練
38．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．
(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所選3人中男生人數ξ的分布列．
題型十九　正態密度曲線及特征
【例19】
39．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量.
思維升華　
利用待定系數法求平面法向量的步驟
（1）設向量：設平面的一個法向量為n＝(x，y，z).
（2）選向量：在平面內選取兩個不共線向量，.
（3）列方程組：由列出方程組.
（4）解方程組：
（5）賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值(常取±1).
（6）得結論：得到平面的一個法向量.
鞏固訓練
40．在棱長為2的正方體中，E，F分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)平面的一個法向量；
(2)平面的一個法向量.
題型二十　正態密度曲線的圖象的應用
【例20】
41．函數(其中)的圖象可能為（ ）
A． B． C． D．
42．已知三個隨機變量的正態密度函數（，）的圖象如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
思維升華　利用正態密度曲線的特點求參數μ，σ
（1）正態密度曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此特點結合圖象求出μ.
（2）正態密度曲線在x＝μ處達到峰值，由此特點結合圖象可求出σ.
鞏固訓練
43．甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布)，，其正態密度曲線，x∈R 如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
題型二十一　利用正態密度曲線的對稱性求概率
【例21】
44．設，試求：
(1)；
(2)；
(3).
思維升華　解答此類題目的關鍵在于將給定的區間轉化為用μ加上或減去幾個σ來表示；當要求服從正態分布的隨機變量的概率所在的區間不對稱時，不妨先通過分解或合成，再通過求其對稱區間概率的一半解決問題.經常用到如下轉換公式：（1）P(X≥a)＝1－P(X＜a)；（2）若b＜μ，則P(X≤b)＝.
鞏固訓練
45．設，試求：
(1)；
(2)；
(3).
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)求出從6個節目中依次抽取2個節目的試驗的基本事件總數，再求出第1次抽到舞蹈節目的事件所含基本事件數即可.
(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈節目的事件所含基本事件數，結合(1)中信息即可得解.
(3)利用(1)(2)的結論結合條件概率的定義計算作答.
【詳解】（1）設第1次抽到舞蹈節目為事件，第2次抽到舞蹈節目為事件，則第1次和第2次都抽到舞蹈節目為事件，
從6個節目中不放回地依次抽取2個的基本事件總數為，根據分步計數原理有，
所以.
（2）由(1)知，，所以.
（3）由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率為
.
2．A
【詳解】試題分析：記“一天的空氣質量為優良”，“第二天空氣質量也為優良”，由題意可知,所以，故選A.
考點：條件概率．
3．
【分析】列舉出甲抽到奇數所有的可能情況，再計算出其中乙抽到的數比甲抽到的數大的可能的情況，根據概率的計算公式即可求得答案.
【詳解】將甲抽到數字a，乙抽到數字b，記作(a，b)，甲抽到奇數的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個．
在這15個情形中，乙抽到的數比甲抽到的數大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個，
所以所求概率.
4．##0.5
【詳解】設第一次取到新球為事件，第二次取到新球為事件，
則.
故答案為：.
5．
【分析】設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，由求解.
【詳解】解：設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，
則，
,
所以．
6．
【分析】由條件根據條件概率的求法，并注意互斥事件概率計算公式的合理運用，求得他獲得優秀成績的概率．
【詳解】解：設“他能答對其中的6道題”為事件，“他能答對其中的5道題”為事件，“他能答對其中的4道題”為事件，
設“他考試通過”為事件，“他考試獲得優秀”為事件．
則由題意可得，，且、、兩兩互斥．
所以．
又，，
，
故他獲得優秀成績的概率為；
7．
【分析】
用事件分別表示“居民所遇到的一位同學是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學是女生”，根據題意利用全概率公式運算求解.
【詳解】
用事件分別表示“居民所遇到的一位同學是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學是女生”，
則，且互斥，，
由題意可知，且，
由全概率公式可知.
8．（1）；（2）．
【分析】（1）甲箱的8件產品，任取2件的取法為，而2個都是次品的取法是為3件次品中取2件，取法數為，再利用古典概型的概率公式求解；
（2）若從甲箱中任取2個產品放入乙箱中，所取2件產品對乙箱中的正品次品數有影響，因此需分三類，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用條件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可．
【詳解】（1）從甲箱中任取2個產品的事件為，這2個產品都是次品的事件數為.
所以這2 個產品都是次品的概率為.
（2）設事件為“從乙箱中取一個正品”，事件為“從甲箱中取出2個產品都是正品”，事件為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件為“從甲箱中取2個產品都是次品”，則事件、事件、事件彼此互斥.
，
，，
所以.
9．
【分析】由條件概率和貝葉斯公式計算．
【詳解】設A表示“發送的信號為0”，B表示“接收的信號為0”，則表示“發送的信號為1”，表示“接收的信號為1”.
由題意得，，，，，.
由貝葉斯公式有.
故已知接收的信號為0，則發送的信號為1的概率為.
10．
【分析】設表示“中途停車修理”，表示“經過的是貨車”，表示“經過的是客車”，由題意及貝葉斯公式可求解.
【詳解】設表示“中途停車修理”，表示“經過的是貨車”，表示“經過的是客車”，
則，由題意得，，，，，
由貝葉斯公式得，．
11．C
【分析】根據隨機變量的定義即可判斷.
【詳解】出現正面向上或反面向上的次數為0或1，是隨機變量.
故選：C.
12．AB
【分析】根據離散型隨機變量的定義可依次判斷各個選項.
【詳解】對A，只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的卡片號數可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義，故A正確；
對B，從10個球中取3個球，所得的結果有以下幾種：3個白球、2個白球，1個黑球、1個白球和2個黑球、3個黑球，即所含白球的個數可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義，故B正確；
對C，林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0，30]內的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量，故C錯誤；
對D，實際測量值與規定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量，故D錯誤.
故選：AB.
13．(1)是隨機變量，理由見解析
(2)是隨機變量，理由見解析
(3)不是隨機變量，理由見解析
【分析】
根據隨機變量的定義對（1）（2）（3）逐一進行判斷即可.
【詳解】（1）
某人射擊一次，可能命中的所有環數是0，1，…，10，而且出現哪一個結果是隨機的，
因此命中的環數是隨機變量；
（2）
擲一顆質地均勻的骰子，出現的結果是1點，2點，3點，4點，5點，6點中的一個，且出現哪一個結果是隨機的，
因此出現的點數是隨機變量；
（3）
一個人的屬相在他出生時就確定了，不隨年齡的變化而變化，
因此屬相不是隨機變量．
14．C
【分析】
根據離散型隨機變量的定義逐個分析即可.
【詳解】①中骰子出現的點數為1，2，3，4，5，6，可以一一列舉出來.
②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，
則也可以一一列舉出來.
④中所取3件產品的合格品數可能為0，1，2，3，共4種情況，
可以一一列舉出來.
③中學生到校時間可以是12：00到12：30中的任意時刻，
不能一一列舉出來，因此③不是離散型隨機變量，
故只有①②④滿足.
故選：C.
15．答案見解析
【分析】
按表格信息可知5件抽測品中有2件優等品，抽取的2件產品中優等品數X服從超幾何分布，按超幾何分布計算分布列即可.
【詳解】
5件抽測品中有2件優等品，則X服從超幾何分布
，，.
∴優等品數X的概率分布為:
X 0 1 2
P
16．答案見解析
【詳解】
根據古典概型概率公式，寫出隨機變量對應的概率，即可求解分布列.
由題意知X的可能取值為1，2，3，4.
，，，
故其概率分布為
X 1 2 3 4
P
17．答案見解析
【分析】
由題設可知：X服從兩點分布，根據古典概型以及對立事件運算求解.
【詳解】
由題設可知：X服從兩點分布．
則，
所以X的概率分布為
X 0 1
P
18．答案見解析
【分析】由題意可得服從兩點分布，利用古典概型概率公式，結合組合數公式，即可求解.
【詳解】由題意知，X服從兩點分布，
，所以，
所以隨機變量X的概率分布為
X 0 1
P
19．(1)分布列見解析
(2)分布列見解析
【分析】（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列；
（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列；
【詳解】（1）解：由分布列的性質知，
所以.列表為
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
的分布列為
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）的分布列為
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
20．A
【分析】
利用分布列的性質即可得解.
【詳解】
由概率和等于1可得：，則.
故選：A.
21．
【分析】由題可求得分X的分布列，再利用均值的公式即求.
【詳解】取出4只球顏色及得分分布情況是4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，X的可能取值為5,6,7,8，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
故X的分布列為
X 5 6 7 8
P
∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
22．
1 3 6
均值為：
【分析】根據題意寫出的可能取值，計算概率，求解分布列即可.
【詳解】根據題意，設表示“所得分數”，則的可能取值為，1，3，6.
，
，
，
.
所以的分布列為：
1 3 6
所以.
23．
【分析】根據概率綜合為1求出m，再用分布列求出數學期望，
用公式即可求解.
【詳解】由隨機變量分布列的性質，
得，解得，
∴.
由，得，即.
故答案為： .
24．A
【分析】根據隨機變量和的關系得到，概率和為1，聯立方程組解得答案.
【詳解】且，則
即
解得
故答案選A
【點睛】本題考查了隨機變量的數學期望和概率，根據隨機變量和的關系得到是解題的關鍵.
25．C
【分析】利用隨機變量的分布列計算出，再利用方差公式可求得的值.
【詳解】由隨機變量的分布列可得，
所以，.
故選：C.
【點睛】本題考查隨機變量方差的計算，考查計算能力，屬于基礎題.
26．（1）；（2）分布列見解析，。
【分析】（1）分別求出第一次取到偶數球和第二次第二次取到奇數球的概率，再根據相互獨立事件得概率公式即可的解；
（2）若第一次取到2，則第二次取球時袋中有編號為1,3,3,4的四個球；若第一次取到4，則第二次取球時袋中有編號為1,2,3,3的四個數，寫出隨機變量X的所有取值，求出對應概率，即可寫出分布列，再根據期望公式和方差公式即可的解.
【詳解】解：（1）記“第二次取球后才停止取球”為事件A.
易知第一次取到偶數球的概率為，
第二次取球時袋中有三個奇數，
所以第二次取到奇數球的概率為，
而這兩次取球相互獨立，
所以P(A)＝；
（2）若第一次取到2，則第二次取球時袋中有編號為1,3,3,4的四個球；
若第一次取到4，則第二次取球時袋中有編號為1,2,3,3的四個數，
所以X的可能取值為3,5,6,7.
所以P(X＝3)＝，
P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝，
所以X的分布列為：
X 3 5 6 7
P
均值E(X)＝，
方差D(X)＝＋＋＋.
27．D
【分析】先根據隨機變量的分布列求出隨機變量的期望和方差，再根據求出.
【詳解】
由題意知，，
故，
所以.
故選：D.
28．(1)
(2)
【分析】（1）根據分布列有關知識，概率和為1，以及均值方差計算；
（2）利用，則可得解.
【詳解】（1）由題意可得：，解得，
所以.
（2）因為，則，
所以.
29．(1)不是n重伯努利試驗
(2)是n重伯努利試驗
(3)不是n重伯努利試驗
【分析】
通過分析不同的試驗的條件即可得出結論.
【詳解】（1）由題意，
∵試驗的條件不同(質地不同)，
∴不是n重伯努利試驗
（2）由題意，
∵某人射擊且擊中的概率是穩定的，
∴是n重伯努利試驗．
（3）由題意，
∵每次抽取，試驗的結果有三種不同的顏色，且每種顏色出現的可能性不相等，
∴不是n重伯努利試驗．
30．(1)是
(2)不是
【分析】（1）（2）根據n重伯努利試驗的特點判斷；
【詳解】（1）
是n重伯努利試驗，因為每次試驗的條件相同，且每次試驗的結果互不影響，同一事件發生的概率也相同.
（2）
不是n重伯努利試驗，因為每次試驗的條件不同（每次取球后不放回，下次取球與上次取球時袋中球的數目不同），并且每次試驗中同一事件發生的概率不同.
31．（1）；（2）
【分析】（1）記“預報一次準確”為事件，得到，根據獨立重復試驗的概率計算公式，即可求解；
（2）根據“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，結合獨立重復試驗的概率計算公式和對立事件的計算方法，即可求解；
【詳解】（1）記“預報一次準確”為事件，則，
可得5次預報中恰有2次準確的概率為，
即5次預報中恰有2次準確的概率約為.
（2）“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”，
其概率為，
所以“5次預報中至少有2次準確”的概率，
即“5次預報中至少有2次準確”的概率約為.
32．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據獨立事件的乘法公式可求出結果；
（2）根據獨立重復試驗的概率公式可求出結果.
（3）根據獨立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可求出結果.
【詳解】（1）
該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標，相當于射擊了5次，在第一、三、五次擊中目標，
在第二、四次沒有擊中目標，所以只有一種情況，又因為各次射擊的結果互不影響，
故所求概率為.
（2）
因為各次射擊的結果互不影響，所以符合次獨立重復試驗的概率模型.
該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標的概率為.
（3）
該射手射擊了5次，其中恰有3次連續擊中目標，而其他兩次沒有目標，
把3次連續擊中目標看成一個整體，可得共有種情況.
故所求概率為.
33．（1）見解析（2）
【詳解】(1)由得,從而
的分布列為
0 1 2 3 4 5 6
(2)記”需要補種沙柳”為事件A, 則 得
或
34．(1) .
(2)分布列見解析，.
【詳解】分析：（1）根據分布列的性可知所有的概率之和為1然后再根據期望的公式得到第二個方程聯立求解即可；（2）根據二項分布求解即可.
詳解：(1)因為，所以，
即．①
又，得．②
聯立①，②解得，．
(2)，依題意知，
故，，
，．
故的概率分布為
的數學期望為．
點睛：考查分布列的性質，二項分布，認真審題，仔細計算是解題關鍵，屬于基礎題.
35．不服從
【分析】根據超幾何分布的概念即可判斷.
【詳解】不服從超幾何分布.
因為隨機變量是否服從超幾何分布，關鍵是看隨機變量的分布列是否由確定，根據題意可確定對應的N，M，n是多少.
本題隨機變量的可能取值為3，4，5，6.
不妨探討“”與“”兩種情況：
“”對應事件“取出的3個球中恰好取到4號球和1，2，3號球中的2個”，其概率；
“X＝5”對應事件“取出的3個球中恰好取到5號球和1，2，3，4號球中的2個”，其概率；
顯然僅從“”與“”兩種情況就可看出隨機變量X的分布不是由確定的，所以隨機變量不服從超幾何分布.
36．ACD
【分析】
根據超幾何分布、二項分布的概念，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，將一枚硬幣連拋3次，每次正面向上的概率均為，所以正面向上的次數服從二項分布；
對于B中，從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，選出女生的人數為服從超幾何分布；
對于C中，某射手的命中率為0.8，現對目標射擊1次，可得命中目標的次數服從二項分布；
對于D中，盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，首次摸出黑球時的總次數的取值為，
而超幾何分布定義為，即從N個物件（包含M個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出指定種類的物件的次數（不放回），故不服從超幾何分布.
故選：ACD.
37．(1)
(2)分布列見解析
【分析】（1）利用對立事件求得高一至少有1名學生入選代表隊的概率.
（2）根據超幾何分布的分布列的計算公式，計算出的分布列.
【詳解】（1）高一高二共推薦名男生和名女生，
高一沒有學生入選代表隊的概率為，
所以高一至少有1名學生入選代表隊的概率為.
（2）根據題意得知，X的所有可能取值為1、2、3．
，，，
所以X的分布列為
38．(1)；(2)
0 1 2 3
【分析】(1)用古典概型概率計算公式直接求解；
(2) 的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應取值時的概率，最后列出分布列.
【詳解】(1)所選3人中恰有一名男生的概率；
(2) 的可能取值為0,1,2,3.
∴ξ的分布列為:
0 1 2 3
【點睛】本題考查了古典概型概率計算公式、以及離散型隨機變量分布列，考查了數學運算能力.
39．（不唯一）
【分析】用垂直關系，可以以A為原點，以AB、AD、AP為坐標軸建立空間直角坐標系，再按照法向量的求法計算即可.
【詳解】因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.
如圖所示，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A－xyz，
則，， ，，，
于是，，
設平面ACE的一個法向量為，
則，即，所以，
令，則，，即
所以平面ACE的一個法向量.
40．(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空間向量的坐標運算求平面的法向量.
【詳解】（1）
由題意，可得,
連接AC，因為底面為正方形，所以,
又因為平面，平面，所以，
且，則AC⊥平面，
∴為平面的一個法向量. (答案不唯一).
（2）
設平面的一個法向量為，
則
令，得
∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).
41．A
【分析】
函數圖象的對稱軸為直線，由判斷各選項..
【詳解】
函數圖象的對稱軸為直線，因為，所以排除B，D；
又正態曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.
故選：A.
42．D
【分析】直接根據圖像的對稱軸，以及圖像的胖瘦進行判斷即可.
【詳解】由題意知：正態曲線關于直線對稱，且越大，對稱軸越靠右，故，
又越小，數據越集中，圖像越瘦高，故.
故選：D.
43．ABC
【分析】根據正態分布的特征可得兩者的均值、方差的大小關系，結合正態分布密度曲線可判斷D的正誤，從而可得正確的選項.
【詳解】
由圖象可知甲圖象關于直線x＝0.4對稱，乙圖象關于直線x＝0.8對稱，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，
故A，C正確；
因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故B正確；
因為乙圖象的最大值為1.99，即，所以，故D錯誤.
故選：ABC.
44．(1)
(2)
(3)
【分析】
根據原則和正態分布曲線的對稱性依次求解即可.
【詳解】（1），，，
.
（2）
.
（3）.
45．(1)0.683
(2)0.1355
(3)0.023
【分析】
根據題意，結合正態分布曲線的對稱性，這個計算，即可求解.
【詳解】（1）解：因為隨機變量，可得，
則.
（2）解：由，
所以.
（3）解：因為,
所以.
答案第1頁，共2頁
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