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第七章 計數原理（知識歸納+題型突破）
1.通過實例，了解分類計數原理、分步計數原理及其意義.
2.理解分類計數原理與分步計數原理.
3.進一步理解分類計數原理和分步計數原理的區別.
4.會正確應用這兩個計數原理計數.
5.通過實例，理解排列的概念.
6.能利用計數原理推導排列數公式.
7.掌握幾種有限制條件的排列.
8.能應用排列解決簡單的實際問題.
9.通過實例理解組合的概念.
10.能利用計數原理推導組合數公式，并會解決簡單的組合問題.
11.理解組合數的性質.能解決有限制條件的組合問題.
12.能解決有關排列與組合的簡單綜合問題.
13.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.
14.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.
15.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
16.理解二項式系數的性質并靈活運用.
1. 分類計數原理
如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.
（1）分類計數原理中各類方案相互獨立，各類方案中的各種方法也相互獨立，用任何一類方案中的任何一種方法都可以單獨完成一件事.
（2）分類計數原理的使用關鍵是分類，分類必須明確標準，要求每一種方法必須屬于某一類，不同類的任意兩種方法是不同的，這是分類問題中所要求的“不重復”“不遺漏”.
2. 分步計數原理
如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.
（1）分步時，要先根據問題的特點確定一個分步的標準，一般地，標準不同，分成的步驟數也會不同.
（2）分步時還要注意：完成一件事必須連續完成n個步驟后這件事才算完成，各步驟之間既不能重復也不能遺漏.
3. 分類計數原理和分步計數原理的聯系　
分類計數原理 分步計數原理
相同點 用來計算完成一件事的方法種類
不同點 分類完成，類類相加 分步完成，步步相乘
每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事 每步依次完成才算完成這件事（每步中的一種方法不能獨立完成這件事）
注意點 類類獨立，不重不漏 步步相依，步驟完整
4. 排列的定義
一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
（1）要求m≤n.
（2）按照一定順序排列，順序不同，排列不同.
5. 排列數公式
（1）一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示.
（2）排列數公式A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），其中n，m∈N*，且m≤n.
（3）n個不同元素全部取出的一個排列，叫作n個不同元素的一個全排列.在排列數公式中，當m＝n時，即有A＝n（n－1）（n－2）×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1稱為n的階乘，通常用n！表示，即A＝n！.
（4）規定0！＝1.
排列數公式還可以寫成A＝.
注意：（1）注意排列數公式的特征，m個自然數之積，其中最大的因數是n，最小的因數是n－m＋1.
（2）規定0！＝1，這是一種規定，不能按階乘的定義作解釋，但可以從更原始的概念作出說明：一個元素都不取，構成的排列的情形只有1種.
6. 排列問題的方法
（1）直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素（又稱為元素分析法）；或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置（又稱位置分析法）.
（2）間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數，再減去不合要求的排列數.
7. 組合的概念
一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
8. 排列與組合的區別與聯系
（1）共同點：兩者都是從n個不同對象中取出m（m≤n）個對象.
（2）不同點：排列與對象的順序有關，組合與對象的順序無關.
（3）兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.
9. 組合數及組合數公式
組合數定義及表示 從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示
組合數公式 乘積形式 C＝＝
階乘形式 C＝
（1）C＝1.
（2）C＝＝常用于計算.
（3）C＝常用于證明.
10.（a＋b）2的展開式
（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2ab＋b2.
二項式定理 公式（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn叫作二項式定理
二項式系數 C（r＝0，1，…，n）
通項 Tr＋1＝Can－rbr
二項式定理的特例　　 （1＋x）n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn
11.二項式系數表
二項式系數表
此表的規律如下：
（1）每一行中的二項式系數都是“對稱”的.
（2）每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.
（3）每行的二項式系數從兩端向中間逐漸增大.
（4）第1行為1＝20，第2行的兩數之和為2，第3行的三數之和為22……第7行的各數之和為26.
12.二項式系數的性質
一般地，（a＋b）n展開式的二項式系數C，C，…，C有如下性質：
（1）C＝C；
（2）C＋C＝C；
（3）當r<時，C當r>時，C（4）C＋C＋…＋C＝2n.
注意　（1）在求二項式系數的最大值時，要注意討論n的奇偶性.
（2）各二項式系數和：C＋C＋C＋…＋C＝2n源于（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn中，令a＝1，b＝1，即得到C＋C＋C＋…＋C＝2n.
（3）在（a＋b）n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，都為2n－1.
題型一　分類計數原理的應用
【例1】
1．在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有 ．
思維升華　利用分類計數原理計數時的解題流程
鞏固訓練
2．在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字且為偶數，那么這樣的兩位數有多少個？
3．設集合，則方程表示焦點位于x軸上的橢圓有 ．
題型二　分步計數原理
【例2】
4．一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，若各位上的數字允許重復，那么這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼？
思維升華　利用分步計數原理解題的一般思路
（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步.
（2）計數：求出每一步中的方法數；
（3）結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果.
鞏固訓練
5．一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，若各位上的數字允許重復，那么這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼？
6．在平面直角坐標系內，若點的橫、縱坐標均在內取值，則可以組成多少個不同的點P
題型三　兩個計數原理的簡單應用
【例3】
7．現有高二四個班學生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外小組．
（1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法
（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法
（3）推選二人作中心發言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法
思維升華　使用兩個計數原理的原則
使用兩個計數原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是把較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類計數原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟，然后逐步解決，這時可用分步計數原理.
鞏固訓練
8．某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區支教,有多少種不同的選法
題型四　組數問題
【例4】
9．用0,1,2,3,4五個數字．
（1）可以排成多少個三位數字的電話號碼？
（2）可以排成多少個三位數？
（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
遷移 由本例中的五個數字可組成多少個無重復數字的四位奇數？
【解析】完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，從1，2，3，4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步計數原理知共有2×3×3×2＝36（個）.
思維升華　對于組數問題，應掌握以下原則
（1）明確特殊位置或特殊數字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊位置（特殊元素）優先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.
（2）要注意數字“0”不能排在兩位數或兩位數以上的數的最高位.
鞏固訓練
10．從0，2中選一個數字．從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數．其中奇數的個數為
A．24 B．18 C．12 D．6
題型五　選（抽）取與分配問題
【例5】
11．高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠中的一個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）
A．360種 B．420種
C．369種 D．396種
思維升華　選（抽）取與分配問題的常見類型及其解法
（1）當涉及對象數目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.
（2）當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：
①直接使用分類計數原理或分步計數原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行.
②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可.
鞏固訓練
12．如圖所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有A，B，C，D，E五個水閘，若上游有充足水源但下游沒有水，則這五個水閘打開或關閉的情況有（ ）
A．7種 B．15種 C．23種 D．26種
13．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有．
A．280種 B．240種 C．180種 D．96種
題型六　涂色與種植問題
【例6】
14．用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？
思維升華　求解涂色（種植）問題一般是直接利用兩個計數原理求解，常用方法有：
（1）按區域的不同以區域為主分步計數，用分步計數原理分析；
（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區域、點、線段”問題，用分類計數原理分析.
鞏固訓練
15．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有 種
題型七　對排列概念的理解
【例7】
16．判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互打電話．
思維升華　判斷一個具體問題是否為排列問題的方法
鞏固訓練
17．判斷下列問題是不是排列問題，并說明理由.
(1)從1，2，3，，10這10個正整數中任取兩個數組成平面直角坐標系內點的坐標，可以得到多少個不同的點的坐標？
(2)從1，2，3，，10這10個正整數中任取兩個數組成一個集合，可以得到多少個不同的集合？
題型八　用列舉法解決排列問題
【例8】
18．寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數？
(2)由1，2，3，4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.
思維升華　在排列個數不多的情況下，樹狀圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹狀圖寫出排列.
鞏固訓練
19．同室人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則張賀年卡不同的分配方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
題型九　排列數公式的應用
【例3】
20．計算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
2.排列數公式的階乘的形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意提取公因式，可以簡化計算.
鞏固訓練
21．等于( )
A． B．
C． D．
22．（1）計算：；（2）計算：.
23．解不等式：
題型十　對組合概念的理解
【例10】
24．給出下列問題：
（1）a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環比賽，共需比賽多少場？
（2）a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？
（3）從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？
（4）從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？
在上述問題中， 是組合問題， 是排列問題.
思維升華　區分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區分的標志是有無順序，而區分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否產生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.
鞏固訓練
25．下列問題是組合問題的有（　　）
A．設集合，則集合A的含有3個元素的子集有多少個
B．某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種票價
C．3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法
D．把3本相同的書分給5個學生，每人最多分得1本，有幾種分配方法
題型十一　組合數公式的應用
【例11】
26．（1）求值：；
（2）解方程：.
思維升華　（1）組合數公式
C＝一般用于計算，而組合數公式C＝一般用于含字母的式子的化簡與證明.
（2）要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數C的隱含條件為m≤n，且n∈N*，m∈N.
鞏固訓練
27．計算：
28．證明：.
題型十二　簡單的組合問題
【例12】
29．現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．
（1）現要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？
（2）選出2名男教師或2名女教師去外地學習的選法有多少種？
（3）現要從中選出男、女老師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？
思維升華　（1）解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關.
（2）要注意兩個計數原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏.
鞏固訓練
30．現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.從中選2名教師參加會議，至少有1名男教師的選法是多少？最多有1名男教師的選法又是多少？
31．一個口袋內裝有大小相同的4個白球和1個黑球.
(1)從口袋內取出3個小球，共有多少種取法？
(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？
(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？
題型十三　二項式定理的正用、逆用
【例13】
32．（1）求的展開式.
（2）化簡：.
思維升華　（1）（a＋b）n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n.
（2）逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想.注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.
鞏固訓練
33．化簡：.
題型十四　二項展開式通項的應用
【例14】
34．（1）求二項式的展開式中第6項的二項式系數和第6項的系數；
（2）求的展開式中的系數.
思維升華　（1）（a＋b）n的展開式的通項Tr＋1＝Can－rbr（r＝0，1，2，…n）是指的第r＋1項；
（2）二項式系數指的是C，而項的系數指項中除去字母及其指數外剩余的部分，包含符號在內.
鞏固訓練
35．已知．求：
（1）展開式中第項的二項式系數；
（2）展開式中第項的系數；
（3）展開式的第項．
題型十五　與展開式中的特定項有關的問題
【例15】
36．已知在的展開式中，第項為常數項．
(1)求；
(2)求含項的系數；
(3)求展開式中所有的有理項．
思維升華　（1）求二項展開式的特定項的常見題型
①求第r項，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的項（或xpyq的項）；③求常數項；④求有理項.
（2）求二項展開式的特定項的常用方法
首先寫出通項公式.
①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0（即0次項）；
②對于有理項，是指其所有字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解；
③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致.
鞏固訓練
37．若的展開式中的系數是，則 ．
38．已知n為等差數列－4，－2，0，…的第六項，則的二項展開式的常數項是 .
題型十六　二項式系數表
【例16】
39．如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，記其前n項和為，求的值.

思維升華　解決與楊輝三角有關問題的一般思路
（1）觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察.
（2）找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規律.
（3）將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解.
鞏固訓練
40．楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多規律，如圖是一個11階楊輝三角.
11階楊輝三角
（1）第20行中從左到右的第4個數為 ；
（2）若第行中從左到右第7個數與第9個數的比為，則的值為 .
題型十七　二項展開式的系數和問題
【例17】
41．已知，求
思維升華　（1）賦值法是求二項展開式系數和及有關問題的常用方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項.
（2）一般地，對于多項式f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各項系數和為f（1），奇次項系數和為[f（1）－f（－1）]，偶次項系數和為[f（1）＋f（－1）]，a0＝f（0）.
鞏固訓練
42．已知，求.
43．已知，求的值.
44．已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
題型十八　二項式系數性質的應用
【例18】
45．已知f(x)＝(＋3x2)n的展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.
（1）求展開式中二項式系數最大的項；
（2）求展開式中系數最大的項．
思維升華　（1）二項式系數的最大項的求法
求二項式系數的最大項，根據二項式系數的性質對（a＋b）n中的n進行討論.
①當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大.
②當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.
（2）展開式中系數最大的項的求法
求展開式中系數最大的項與求二項式系數最大的項是不同的.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展開式中系數最大的項，一般采用待定系數法，設展開式中各項系數分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項的系數最大，應用解出k，即得出系數最大的項.
鞏固訓練
46．在的展開式中，
(1)系數的絕對值最大的項是第幾項？
(2)求二項式系數最大的項.
(3)求系數最大的項.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．36
【詳解】根據題意個位上的數字分別是2,3,4,5,6,7,8,9共8種情況，在每一類中滿足題目要求的兩位數分別有1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，由分類加法計數原理知，符合題意的兩位數共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．
2．25
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理求解即得.
【詳解】當個位數字是8時，十位數字取9，只有1個；
當個位數字是6時，十位數字可取7，8，9，共3個；
當個位數字是4時，十位數字可取5，6，7，8，9，共5個；
同理可知，當個位數字是2時，共7個，
當個位數字是0時，共9個.
由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有1＋3＋5＋7＋9＝25（個）.
3．，，，，，
【分析】由題意可得，再寫出符合題意的橢圓即可.
【詳解】因為方程表示焦點位于x軸上的橢圓，
所以，
則符合題意的橢圓有，，，，，.
故答案為：，，，，，.
4．10000
【分析】根據分步乘法即可得到所有情況.
【詳解】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：
第1步，有10種撥號方式，所以；
第2步，有10種撥號方式，所以；
第3步，有10種撥號方式，所以；
第4步，有10種撥號方式，所以.
根據分步計數原理，共可以組成（個）四位數的號碼.
5．10000
【分析】根據分步乘法即可得到所有情況.
【詳解】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：
第1步，有10種撥號方式，所以；
第2步，有10種撥號方式，所以；
第3步，有10種撥號方式，所以；
第4步，有10種撥號方式，所以.
根據分步計數原理，共可以組成（個）四位數的號碼.
6．16
【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理求解即得.
【詳解】確定點P的坐標必須分兩步，即分步確定點P的橫坐標與縱坐標.
第一步，確定橫坐標，從0，1，2，3四個數字中選一個，有4種方法；
第二步，確定縱坐標，從0，1，2，3四個數字中選一個，也有4種方法，
根據分步乘法計數原理，所有不同的點P的個數為4×4＝16，
所以可以組成16個不同的點P.
7．（1）34種；（2）5040種；（3）431種.
【分析】（1）從34人中任選1人即可，
（2）先求出從每個班選組長的方法數，然后由分步乘法原理求解，
（3）分六種情況：從一、二班學生中各選1人，從一、三班學生中各選1人，從一、四班學生中各選1人，從二、三班學生中各選1人，從二、四班學生中各選1人，從三、四班學生中各選1人，求出各種情況的方法數，然后利用分類加法原理求解
【詳解】解：（1）根據題意，四個班共34人，要求從34人中，選其中一人為負責人，
即有種選法
（2）根據題意，分析可得：從一班選一名組長，有7種情況，
從二班選一名組長，有8種情況，從三班選一名組長，有9種情況，
從四班選一名組長，有10種情況，
所以每班選一名組長，不同的選法共有：（種）．
（3）根據題意，分六種情況討論，
①從一、二班學生中各選1人，有種不同的選法；
②從一、三班學生中各選1人，有種不同的選法，
③從一、四班學生中各選1人，有種不同的選法；
④從二、三班學生中各選1人，有種不同的選法；
⑤從二、四班學生中各選1人，有種不同的選法；
⑥從三、四班學生中各選1人，有種不同的選法，
所以不同的選法共有：
（種）．
8．20種.
【分析】根據題意，可得英語和日語都會的有1人，只會英語的有6人，只會日語的有2人，進而按以只會英語的人被不被抽到，分2類討論，分別計算其情況數目，由加法原理，計算可得答案．
【詳解】由題意,知有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.
方法一:分兩類.
第一類:從只會英語的6人中選1人教英語,有6種選法,則教日語的有2+1=3種選法.此時共有6×3=18種選法.
第二類:從不只會英語的1人中選1人教英語,有1種選法,則選會日語的有2種選法,此時有1×2=2種選法.
所以由分類加法計數原理知,共有18+2=20種選法.
方法二:設既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選、不入選兩類情形,入選后又要分兩種:(1)教英語;(2)教日語.
第一類:甲入選.
(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數原理,有1×2=2種選法;
(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數原理,有1×6=6種選法.
故甲入選的不同選法共有2+6=8種.
第二類:甲不入選,可分兩步.
第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數原理,有6×2=12種不同的選法.
綜上,共有8+12=20種不同選法.
【點睛】本題考查加法原理和乘法原理，關鍵是分清是用加法還是乘法，屬于基礎題．
9．（1）125個；（2）100個；（3）30個.
【分析】（1）由分步乘法計數原理計算；
（2）由分步乘法計數原理計算，只要首位不為0．
（3）確定末位為奇數，然后首位不為0，中間兩位任意排可得．
【詳解】（1）三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個)．
（2）三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)．
（3）被2整除的數即偶數，末位數字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有4×3＝12(種)排法；
一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，
所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．
因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數．
10．B
【詳解】由于題目要求的是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．
11．C
【分析】根據直接法討論甲工廠分配班級情況進行分類求解或者利用間接法求解即可；
【詳解】解：方法1：直接法
以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：
第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；
第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有 (種)；
第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有(種)；
第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有 (種).
綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).
方法2：間接法先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再去除甲工廠無人去的情況，
即： (種)方案.
故選：C
12．C
【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理及排除法計算作答.
【詳解】每個水閘有打開或關閉兩種情況，五個水閘的打開或關閉不同結果有種，
水閘A打開，水閘B，C至少打開一個，水閘D，E至少打開一個，下游有水，
水閘B，C至少打開一個有()種，水閘D，E至少打開一個()種，
由分步乘法計數原理得下游有水的不同結果有種，
所以所求五個水閘打開或關閉的情況有種.
故選：C
13．B
【詳解】根據題意，由排列可得，從6名志愿者中選出4人分別從事四項不同工作，
有種不同的情況，其中包含甲從事翻譯工作有種，
乙從事翻譯工作的有種，若其中甲、乙兩名支援者都不能從事翻譯工作，
則選派方案共有360-60-60=240種．
故選：B.
14．600
【分析】根據分步計數原理將問題分成四步，分別求得每一步的選法進行相乘可得結果.
【詳解】完成這件事可分四步：
第一步，“英語角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；
第二步，“語文學苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有5種不同的選法；
第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學苑”用的粉筆顏色都不相同，有4種不同的選法；
第四步，“數學天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有5種不同的選法.
由分步計數原理知，該板報共有6×5×4×5＝600（種）不同的書寫方案.
15．18
【詳解】試題分析：．
考點：組合的應用．
16．(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)不是
(5)是
(6)是
【分析】根據排列定義分別判斷即可.
【詳解】(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．
17．(1)是排列問題，理由見解析
(2)不是排列問題，理由見解析
【分析】（1）由排列的定義判斷結論；
（2）由組合的定義判斷結論.
【詳解】（1）取出的兩個數組成平面直角坐標系內點的坐標，
這與以哪一個數為橫坐標，哪一個數為縱坐標的順序有關，所以這是排列問題.
（2）取出的兩個數組成一個集合，由于集合中的元素具有無序性，
即集合不受所選兩個數的排列順序的影響，所以這不是排列問題.
18．(1)12；
(2)24個，答案見解析.
【分析】
（1）利用列舉法列出所有兩位數即可作答.
（2）利用樹狀圖列出符合要求的四位數，再寫出所有四位數作答.
【詳解】（1）
所有兩位數是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個不同的兩位數.
（2）
畫出樹狀圖，如圖：
由樹狀圖知，所有的四位數為：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，
3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個沒有重復數字的四位數.
19．B
【分析】
設四人分別為,寫的卡片分別為,從開始分析,易得有三種拿法,假設拿了,再分析的取法數目,剩余兩人只有種取法,由分步計數原理,計算可得答案.
【詳解】
設四人分別為,寫的卡片分別為,由于每個人都要拿別人寫的卡片,即不能拿自己寫的卡片,
故有種拿法,不妨設拿了,則可以拿剩下張中的任一張,也有3種拿法,和只能有一種拿法,
所以共有種分配方式.
故選：B.
20．(1)720
(2)1
(3)x＝5
【分析】
（1）（2）（3）利用排列數公式化簡求值或列方程求解即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）由題設，則，
所以，則，
又，故.
21．D
【分析】結合已知條件，根據排列數公式求解即可.
【詳解】因為從4，5，，，共個數，
所以根據排列數公式知，.
故選：D.
22．（1）6（2）1
【分析】（1）（2）都可以由排列數公式直接代入即可求解.
【詳解】①.
②原式＝.
23．6
【分析】
根據排列數公式及不等式可得，進而求解集即可.
【詳解】
由原不等式得且，
所以，即，解得且，
所以.
24． （1）（4） （2）（3）
【分析】區分排列問題和組合問題的關鍵是看有沒有順序因素影響，由此即可逐一判斷求解.
【詳解】（1）單循環比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.
（2）冠、亞軍是有順序的，是排列問題.
（3）3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題.
（4）3人參加某項相同活動，沒有順序，是組合問題.
故答案為：（1）（4），（2）（3）.
25．ABD
【分析】
利用排列與組合的定義判斷各選項中的問題.
【詳解】
A選項，取出的元素與順序無關，故是組合問題.
B選項，甲站到乙站的車票與乙站到甲站的車票是不同的，但票價與順序無關，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題.
C選項，從5種不同的工作中選出3種，并按一定順序分給3個人去干，故是排列問題.
D選項，因為3本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需要考慮它們的順序，故是組合問題.
故選：ABD
26．（1）148（2）
【分析】（1）和（2）都可以直接代入組合數公式計算或者解方程即可.
【詳解】（1）；
（2）原方程可化為，
即，解得或.
又且，
所以.
27．5150.
【分析】利用組合數公式計算即得.
【詳解】.
28．證明見解析
【分析】根據組合數的運算公式和運算性質，準確化簡，即可求解.
【詳解】根據組合數的運算性質得：右邊，
又因為左邊，
所以.
29．（1）45；（2）21；（3）90.
【分析】直接利用組合數公式，結合分類加法和分步乘法計數原理計算，即可求解.
【詳解】（1）從10名教師中選2名去參加會議的選法種數，
就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數，
即（種），
所以要從中選2名去參加會議，有45種選法.
（2）可把問題分成兩類情況：
第1類：選出的2名是男教師，有種方法，
第2類：選出的2名是女教師，有種方法，
所以選出2名男教師或2名女教師去外地學習的選法有種方法.
（3）從6名男教師中選2名的選法有種，
從4名女教師中選2名的選法有種，
所以選出男、女老師各2名去參加會議，共有選法種.
【點睛】本題考查組合、分類加法和分步乘法計數原理的應用，注意區分分類和分步，屬于基礎題.
30．至少有1名男教師的選法39種；最多有1名男教師的選法30種.
【分析】從10名教師中選2名教師，至少有1名是男教師的選法，包括有1名男教師和2名男教師的情況，由此可以看做一個分類完成的組合問題，最多有1名是男教師的選法，包括有1名男教師和沒有男教師的情況，也可以看做一個分類完成的組合問題，
【詳解】從10名教師中選2名教師，至少有1名是男教師的選法，
包括有1名男教師和2名男教師的情況，
由分類計數原理知抽出的兩位教師中至少有1名男教師的選法有
(種).
從10名教師中選2名教師，最多有1名是男教師的選法，
包括有1名男教師和沒有男教師的情況，
由分類計數原理知抽出的兩位教師中最多有1名男教師的選法有
（種）
31．(1)10
(2)6
(3)4
【分析】（1）由組合數公式即可求解；
（2）由組合數公式即可求解；
（3）由組合數公式即可求解；
【詳解】（1）從口袋內的5個球中取出3個球，取法種數是.
（2）從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是需要從4個白球中取出2個，取法種數是.
（3）由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從4個白球中取出3個球，取法種數是.
32．（1）；（2）.
【分析】利用二項式定理化簡求值.
【詳解】（1）法一:
.
法二:
（2）
.
33．
【分析】逆用二項式定理進行合并即可.
【詳解】原式
.
34．（1）第6項的二項式系數為6，第6項的系數為；（2）
【分析】（1）寫出二項展開式的通項，根據二項式系數與項的系數的定義計算可得結果；
（2）由二項展開式的通項可知第4項含，其系數為.
【詳解】（1）由已知得二項展開式的通項為
可得，
可得第6項的二項式系數為，第6項的系數為.
（2）展開式的通項為，
令，得，
則展開式中第4項含，其系數為.
35．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用二項式定理可得出展開式第項的二項式系數為；
（2）利用二項式定理可得出展開式第項的系數為；
（3）利用二項式定理可得出展開式的第項.
【詳解】的展開式通項為，
其中且.
（1）展開式中第項的二項式系數為；
（2）展開式中第項的系數為；
（3）展開式的第項為.
36．(1)；
(2)；
(3)，，.
【分析】利用二項展開式的通項公式求出通項，令時的指數為，即可得出結果；
將的值代入通項，令的指數為，即可求出結果；
令通項中的指數為整數，求出結果即可.
【詳解】（1）解：通項公式為.
因為第項為常數項，所以時，有，解得.
（2）解：由可知，令，解得.
所以含項的系數為.
（3）解：由題意可知，，
則可能的取值為，，.
所以第項，第項，第項為有理項，分別為，，.
37．1
【分析】先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數等于，求出的值，即可求得展開式中的項的系數，再根據的系數是列方程求解即可.
【詳解】展開式的的通項為，
令，
的展開式中的系數為，
故答案為1.
【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.
38．160
【分析】根據等差數列確定，再利用二項式定理計算得到答案.
【詳解】等差數列－4，－2，0，…的第六項為，故，
的二項展開式的通項為：
令，得，常數項為.
故答案為：
39．164
【分析】
根據給定條件，結合“楊輝三角”的特征列式計算即得.
【詳解】
由“楊輝三角”知，
.
40． 1140 15
【分析】（1）根據楊輝三角數字規律可得第20行中從左到右的第4個數為，
（2）列出等式可得，解得.
【詳解】（1）易知第行的數從左到右分別為，
所以第20行中從左到右的第4個數為，
（2）由，得，解得或（舍去），
即的值為15.
故答案為：（1）1140；（2）15
41．1
【分析】利用賦值法將代入計算即可求得結果.
【詳解】令，得，
∴.
故答案為：1
42．243
【分析】根據題意將絕對值去掉后，利用賦值法代入計算可得結果.
【詳解】易知的展開式中偶數項的系數為負值，
可得，
令，得，
即，
可得.
43．-121
【分析】直接由賦值法解方程組即可.
【詳解】在題述展開式中分別令，得，
兩式相減得.
44．(1)256
(2)32896
(3)65536
【分析】
（1）令即可得結果；
（2）令，結合（1）中結果運算求解；
（3）根據二項展開式分析可知：當為偶數時，；當為奇數時，；結合（2）中結果分析求解.
【詳解】（1）令，可得.
（2）令，可得，
則，所以.
（3）因為的展開式的通項公式為，
即，
可知：當為偶數時，；當為奇數時，；
所以.
45．（1），；（2）.
【分析】（1）求出展開式中各項的系數和，二項式系數和，再建立方程求出n，最后根據二項式系數的性質即可得解；
（2）求出二項展開式的通項，根據系數最大列出不等式組即可作答.
【詳解】（1）令，則展開式中各項系數和為，展開式中的二項式系數和為，
依題意，，即，整理得，
于是得，解得，而5為奇數，
所以展開式中二項式系數最大項為中間兩項，它們是，；
（2）由(1)知展開式通項為，
令Tr＋1項的系數最大，則有，即，
整理得，解得，而，從而得，
所以展開式中系數最大項為.
46．(1)第6項和第7項；
(2)；
(3).
【分析】（1）求出二項式展開式的通項公式，結合已知列出不等式并求解即得.
（2）利用二項式系數的性質求解即得.
（3）利用（1）的結論，按正負比較即得.
【詳解】（1）的展開式的通項為，
設第項系數的絕對值最大，顯然，則，
整理得，即，解得，而，則或，
所以系數的絕對值最大的項是第6項和第7項.
（2）二項式系數最大的項為中間項，即第5項，.
（3）由（1）知，展開式中的第6項和第7項系數的絕對值最大，而第6項的系數為負，第7項的系數為正，
所以系數最大的項為第7項.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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