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第六章 空間向量與立體幾何（知識歸納+題型突破）
1.通過向量及其運算由平面向空間推廣的過程，了解空間向量的概念.
2.掌握空間向量的線性運算（加法、減法和數乘）及其運算律.
3.掌握共線向量定理，會用共線向量定理解決相關問題.
4.了解空間向量的夾角及有關概念.掌握兩個向量的數量積的概念、性質和計算方法.
5.了解空間向量投影的概念及投影向量的意義.會用投影向量計算空間兩個向量的數量積.
6.了解共面向量的概念.理解空間共面向量定理，會證明直線與平面平行.
7.理解空間向量共面的充要條件，會證明空間四點共面.
8.掌握空間向量基本定理及其推論.會選擇適當的基底表示任何一個空間向量.
9.在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.
10.掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.掌握空間向量的平行及線性運算的坐標表示.
11.掌握空間向量的數量積的坐標表示.能利用空間兩點間的距離公式解決有關問題.
12.能用向量語言表述直線和平面.理解直線的方向向量與平面的法向量.
13.會求直線的方向向量與平面的法向量.
14.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直關系.
15.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行、垂直關系.
16.能用向量方法解決簡單夾角問題.通過空間向量解決夾角問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
17.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面及線面間的距離問題.
18.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
1.空間向量的定義及表示
定義 在空間，把既有大小又有方向的量，叫作空間向量.
長度或模 空間向量的大小叫作空間向量的長度或模
表示方法 幾何表示 與平面向量一樣，空間向量也可用有向線段表示
符號表示 表示空間向量的有向線段，若以A為起點，B為終點，則記作，其模記作||
空間向量常用一個小寫字母表示.如：向量a，b，其模分別記為|a|，|b|
注意點：
（1）平面向量是一種特殊的空間向量.
（2）兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同.
（3）向量不能比較大小.
2.幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量稱為零向量，記作0
單位向量 長度等于1個單位長度的向量，叫作單位向量
相反向量 與向量a長度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作－a
相同的向量 所有長度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a與b是相同的向量，也稱a與b相等.
3.空間向量及其線性運算
空間向量的加法和數乘運算滿足如下運算律：
①a＋b＝b＋a；
②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；
③λ（a＋b）＝λa＋λb（λ∈R）.
向量的加法、減法和數乘運算統稱為向量的線性運算.
4.共線向量及共線向量定理
（1）共線向量（平行向量）
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.
向量a與b平行，記作a∥b.
規定零向量與任意向量共線.
（2）共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實數λ，使b＝λa.
5.空間向量的夾角
定義 a，b是空間兩個非零向量，過空間任意一點O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉
范圍 0≤〈a，b〉≤π
特殊夾角 （1）如果〈a，b〉＝0，a與b同向； （2）如果〈a，b〉＝π，a與b反向； （3）如果〈a，b〉＝，a與b互相垂直，記作a⊥b.
6.空間向量的數量積
（1）定義：設a，b是空間兩個非零向量，數量|a‖b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a‖b|cos__〈a，b〉.
（2）性質：①規定：零向量與任一向量的數量積為0.
②空間兩個非零向量a，b的夾角〈a，b〉可以由cos 〈a，b〉＝求得.
③a⊥b a·b＝0（a，b是兩個非零向量），|a|2＝a·a＝a2.
（3）運算律：與平面向量一樣，空間向量的數量積也滿足下列運算律：
①a·b＝b·a；
②（λa）·b＝λ（a·b）（λ∈R）；
③（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
7.空間向量的投影向量
（1）向量a在向量b上的投影向量
①定義：對于空間任意兩個非零向量a，b，設向量＝a，＝b（如圖），過點A作AA1⊥OB，垂足為A1，上述由向量a得到向量的變換稱為向量a向向量b投影，向量稱為向量a在向量b上的投影向量.
②意義：a·b＝·b，即向量a，b的數量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數量積.
（2）向量m在平面α上的投影向量
①定義：如圖，設向量m＝，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量.上述由向量m得到向量的變換稱為向量m向平面α投影，向量稱為向量m在平面α上的投影向量.
②意義：
對于平面α內的任一向量n，有m·n＝·n，即空間向量m，n的數量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數量積.
注意點：
（1）共面向量不僅包括在同一個平面內的向量，還包括平行于同一平面的向量.
（2）空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了.
9.共面向量定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數組（x，y），使得p＝xa＋yb，即向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示.
（1）空間向量基本定理
如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使p＝xe1＋ye2＋ze3.
（2）空間向量基本定理的推論
設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在唯一的有序實數組（x，y，z），使得＝
10.基底的有關概念
基底與基向量 在空間向量基本定理中，如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示.我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫作基向量
正交基底與單位正交基底 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底.特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示
11.空間直角坐標系
如圖，在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}.以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標軸.這時我們說建立了一個空間直角坐標系O－xyz，點O叫作坐標原點，三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面.
12.空間向量的坐標表示
在空間直角坐標系O－xyz中，對于空間任意一個向量a，根據空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序實數組（a1，a2，a3）叫作向量a在空間直角坐標系O－xyz中的坐標，記作a＝（a1，a2，a3）.
13.空間中點的坐標的求法
如圖，在空間直角坐標系O－xyz中，對于空間任意一點P，我們稱向量為點P的位置向量.把與向量對應的有序實數組（x，y，z）叫作點P的坐標，記作P（x，y，z）.
（4）設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去它的起點坐標.
14.空間向量數量積的坐標運算
設a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標表示形式
a·b |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模 |a|＝
夾角余弦 cos〈a，b〉＝
15.空間兩點間的距離公式及線段的中點坐標
（1）空間兩點間的距離公式
設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則A，B兩點間的距離為AB＝.
（2）空間中點坐標公式
設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則線段AB的中點M的坐標為.
16.直線的方向向量
把直線l上的向量e（e≠0）以及與e共線的非零向量叫作直線l的方向向量.
（1）空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合.
（2）與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數個.
17.平面的法向量
由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，我們可以考慮用平面的垂線的方向向量來刻畫平面的“方向”.
如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α.此時，我們把向量n叫作平面α的法向量.
（1）平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量；
（2）一個平面的法向量有無數多個，它們互相平行；
（3）零向量不能作為直線的方向向量與平面的法向量.
18.空間向量與平行關系
設空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則有下表：
線、面間的位置關系 與向量間的等價關系 圖示
平行 線線平行l1∥l2 l1∥l2 e1∥e2，且l1與l2不重合 e1＝λe2，λ≠0，且l1與l2不重合
線面平行l1∥α1 l1∥α1 e1⊥n1，且l1 α1 e1·n1＝0，且l1 α1
面面平行α1∥α2 α1∥α2 n1∥n2，且α1與α2不重合 n1＝λn2，λ≠0，且α1與α2不重合
（1）用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合；
（2）證明線面平行時，必須說明直線不在平面內.
19.空間向量與垂直關系
線、面間的位置關系 與向量間的等價關系 圖示
垂直 線線垂直l1⊥l2 l1⊥l2 e1⊥e2 e1·e2＝0
線面垂直l1⊥α1 l1⊥α1 e1∥n1 e1＝λn1，λ≠0
面面垂直α1⊥α2 α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2＝0
20.兩條異面直線所成的角
設異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
21.直線和平面所成的角
直線的方向向量與平面的法向量所成的角是不是直線與平面所成的角？
設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，
則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
（1）線面角的范圍為.
（2）斜線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.
22.二面角
（1）由于平面的法向量垂直于平面，這樣，兩個平面所成的二面角就可以轉化為這兩個平面的法向量所成的角.因為二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°，所以二面角的平面角θ與這兩個平面的法向量的夾角相等或互補.
（2）二面角的計算：設兩個半平面α，β所在平面的法向量分別是n1，n2，二面角的平面角為θ，則|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
23.點到平面的距離
如圖，P是平面α外一點，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內任意一點，設n為平面α的法向量，則·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉.
從而||cos θ＝
因為||cos θ的絕對值即為點P到平面α的距離d，所以d＝
（1）點A為平面α內的任意一點，可視題目情況靈活選擇.
（2）點P到平面α的距離的實質就是平面α的單位法向量與從該點出發的任一條斜線段AP對應的向量的數量積的絕對值.
24.點到直線的距離
（1）如圖，P為直線l外一點，A是l上任意一點，在點P和直線l所確定的平面內，取一個與直線l垂直的向量n，則·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉，從而點P到直線l的距離為d＝.
（2）如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，O為垂足，A是l上任意一點，設e是直線l的方向向量，記φ＝〈，e〉，則cos φ＝，故點P到直線l的距離為d＝ sinφ.
25.直線（平面）到平面的距離
（1）如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解.
（2）如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解.
題型一　空間向量的概念
【例1】
1．下列命題為真命題的是（ ）
A．若空間向量滿足，則
B．在正方體中，必有
C．若空間向量滿足，，則
D．任一向量與它的相反向量不相等
思維升華
空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.
鞏固訓練
2．如圖所示，以長方體的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若，求向量的模．
題型二　空間向量的線性運算
【例2】
3．已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
思維升華　
解決空間向量線性運算問題的方法
進行向量的線性運算，實質上是在正確運用向量的數乘運算及運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和.運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中.
鞏固訓練
4．（多選）如圖，在長方體中，下列各式運算結果為的是（　　）

A． B．
C． D．
題型三　向量共線問題
【例3】
5．如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：.
思維升華　
1.要判定空間圖形中的兩向量共線或所在直線平行，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運算法則進行轉化，從而使其中一個向量表示為另一個向量的倍數關系，即可證得這兩向量共線或所在直線平行.
2.證明空間三點P，A，B共線的方法
（1）＝λ（λ∈R）.
（2）對空間任一點O，＝＋t（t∈R）.
（3）對空間任一點O，＝x＋y（x＋y＝1）.
鞏固訓練
6．若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為 .
7．如圖，正方體中，O為上一點，且，BD與AC交于點M.求證：三點共線．
題型四　空間向量數量積的運算
【例4】
8．已知正四面體的棱長為1，如圖所示.
(1)確定向量在直線上的投影向量，并求·；
(2)確定向量在平面上的投影向量，并求.
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求空間向量數量積的步驟
（1）將待求數量積的兩向量的模長及它們的夾角理清；
（2）利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角余弦值的乘積；
（3）代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解.
鞏固訓練
9．已知，是相互垂直的單位向量，則＝（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知棱長為1的正方體的上底面的中心為，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
題型五　利用空間向量的數量積求夾角
【例5】
11．如圖，在直三棱柱中， ，，則向量與的夾角是（　　）

A．30° B．45°
C．60° D．90°
思維升華　
根據數量積a·b＝|a||b|cos θ可得cos θ＝，結合圖形計算相關量，進而求得兩向量的夾角.
鞏固訓練
12．如圖，在正方體中，求向量與的夾角的大小．
題型六　利用空間向量的數量積求模
【例6】
13．如圖，正三棱柱的各棱長都為，、分別是、的中點，求的長.
思維升華　
求解向量模（或線段長度）問題時，將待求問題的向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝求解即可.
鞏固訓練
14．如圖所示，平行六面體中，，，，，，求的長．
題型七　判斷點共面
【例7】
15．已知三點不共線，對于平面外的任意一點，判斷在下列各條件下的點與點是否共面．
(1)；
(2)．
思維升華　
向量共面的充要條件的實質是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量.對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數的值.
鞏固訓練
16．已知三點A，B，C不共線，對平面ABC外一點O，且滿足，判斷點P是否與點A，B，C共面.
題型八　判斷（證明）向量共面
【例8】
17．已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足．
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內．
思維升華　
證明三個向量共面，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示.
鞏固訓練
18．如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求證:向量共面.
題型九　基底的判斷
【例9】
19．已知{e1，e2，e3}為空間一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以,,作為空間的一個基底？
思維升華　
基底的判斷思路
（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底.
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷.
鞏固訓練
20．（多選）設，且是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（　　）
A． B．
C． D．
題型十　用基底表示空間向量
【例10】
21．如圖所示，在平行六面體中，設，分別是的中點，試用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
思維升華　
用基底表示向量時：
（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律進行；
（2）若沒給定基底，則首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.
鞏固訓練
22．如圖所示，在平行六面體中，設，，，，，分別是，，的中點，試用，，表示向量.
23．如圖所示，在平行六面體中，設，M，N分別是的中點，P在線段上，且，試用表示向量.

24．在四面體ABCD中，設＝，＝，＝，E，F分別是AB，CD的中點，試用，，表示向量.
題型十一　求點的坐標
【例11】
25．點關于軸的對稱點的坐標是 ，關于坐標平面的對稱點的坐標是 .
26．如圖所示，在四棱錐中，建立空間直角坐標系，若，是的中點，求點的坐標.

思維升華　
（1）求點關于坐標軸或坐標平面對稱的點的坐標，其規律是“關于誰對稱，誰不變”，如點（x，y，z）關于y軸的對稱點為（－x，y，－z），關于平面yOz的對稱點是（－x，y，z）.
（2）求空間一點P的坐標方法有兩種：①利用點在坐標軸上的投影求解，②利用單位正交基底表示向量，的坐標就是點P的坐標.
鞏固訓練
27．在如圖所示的空間直角坐標系中，四邊形是正方形，則PD的中點M的坐標為 .

題型十二　空間向量的坐標表示
【例12】
28．
在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 為A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求 的坐標．
題型十三　空間向量的坐標運算
【例13】
29．已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3).求點P的坐標，使.
思維升華　1.用坐標表示空間向量的步驟
2.(1)向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定，即向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標.特別地，當向量的起點為坐標原點時，向量的坐標即是終點的坐標.
(2)進行空間向量的加、減、數乘的坐標運算的關鍵是運用好其運算法則.
鞏固訓練
30．已知空間三點，，．
(1)求，；
(2)是否存在實數，，使得成立，若存在，求，的值；若不存在，請說明理由．
題型十四　空間向量平行的坐標表示及應用
【例14】
31．已知四邊形ABCD的頂點分別是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)．
求證：四邊形ABCD是一個梯形．
思維升華　
利用空間向量平行的坐標表示判斷空間向量平行的步驟
（1）向量化：將空間中的平行轉化為向量的平行.
（2）向量關系代數化：寫出向量的坐標.
（3）對于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根據x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不為0）判斷兩向量是否平行.
鞏固訓練
32．若四邊形為平行四邊形，且，，，則頂點D的坐標為（　　）
A． B．
C． D．
33．設若，則 .
題型十五　空間向量數量積的坐標運算
【例15】
34．已知，則 .
35．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+與2互相垂直，則k值是 ．
思維升華　
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量數量積坐標運算公式計算.
（2）求參數值
首先把向量坐標形式表示出來，然后通過數量積運算建立方程組，解方程組求出參數.
鞏固訓練
36．已知空間向量，若與垂直，則 .
題型十六　空間兩點間的距離
【例16】
37．如圖所示，直三棱柱中，， ，分別是棱的中點，是的中點，求的長度．

思維升華　
利用空間兩點間的距離公式求空間兩點間距離的步驟
（1）建立適當的坐標系，并寫出相關點的坐標.
（2）代入空間兩點間的距離公式求值.
鞏固訓練
38．已知點,，求：
(1)線段MN的長度；
(2)到M，N兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件．
題型十七　利用數量積公式求夾角及模
【例17】
39．在棱長為1的正方體中，分別是，的中點.
(1)求證：；
(2)求；
(3)求的長.
思維升華　
1.通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點落在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷.
2.對于正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和模問題.
鞏固訓練
40．如圖，在直三棱柱中，，棱，N為的中點.
(1)求的長；
(2)求.
題型十八　求直線的方向向量
【例18】
41．已知直線l的一個方向向量，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則等于（ ）
A．0 B．1 C． D．3
42．如圖，在三棱臺中，，，，設，以為空間的一個基底，求直線的一個方向向量.
思維升華　
求直線的方向向量關鍵是找到直線上兩點，用所給的基向量表示以這兩點為起點和終點的向量，其難點是向量的運算.
鞏固訓練
43．(多選)若點M(1， 0， －1)， N(2， 1， 2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是（ ）
A．(2， 2， 6) B．(1， 1， 3)
C．(3， 1， 1) D．(－3， 0， 1)
44．在如圖所示的空間直角坐標系中，正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為 ，直線BC1的一個方向向量為 .
題型十九　求平面的法向量
【例19】
45．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量.
思維升華　
利用待定系數法求平面法向量的步驟
（1）設向量：設平面的一個法向量為n＝（x，y，z）.
（2）選向量：在平面內選取兩個不共線向量，.
（3）列方程組：由列出方程組.
（4）解方程組：
（5）賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值（常取±1）.
（6）得結論：得到平面的一個法向量.
鞏固訓練
46．在棱長為2的正方體中，E，F分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)平面的一個法向量；
(2)平面的一個法向量.
題型二十　利用空間向量證明平行問題
【例20】
47．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，
求證：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
思維升華　
用空間向量證明平行的方法
（1）線線平行：證明兩直線的方向向量共線.
（2）線面平行：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行.
在證明線面平行時，需注意說明直線不在平面內.
（3）面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題.
鞏固訓練
48．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.
證明：PQ∥RS.
題型二十一　利用空間向量證明垂直問題
【例21】
49．如圖，在正方體中，，分別是，的中點，求證：平面.
思維升華　
用空間向量證明垂直的方法
（1）線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數量積為零.
（2）線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示.
（3）面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.
鞏固訓練
50．如圖底面是正方形，平面，且，是的中點．求證：平面平面．
題型二十二　求異面直線所成的角
【例22】
51．在三棱錐中，和均為等邊三角形，且二面角的大小為，則異面直線和所成角的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
思維升華　
（1）利用向量法求異面直線所成角θ的一般步驟是：①選好基底或建立空間直角坐標系；②求出兩直線的方向向量u，v；③代入公式cos θ＝求解.
（2）兩異面直線所成角θ的范圍是，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線所成的角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角.
鞏固訓練
52．如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.
題型二十三　求直線和平面所成的角
【例23】
53．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，為的中點，求與平面所成角的正弦值.
思維升華　
利用平面的法向量求直線與平面所成角的基本步驟
（1）建立空間直角坐標系；（2）求直線的方向向量u；（3）求平面的法向量n；（4）設線面角為θ，則sin θ＝.
鞏固訓練
54．如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
題型二十四　求二面角
【例24】
55．如圖，四棱柱的所有棱長都相等， ，四邊形和四邊形 為矩形．
（1）證明：底面 ；
（2）若，求二面角 的余弦值．
思維升華　
利用向量法求二面角的大小的步驟
第一步：建立適當的空間直角坐標系；
第二步：分別求出二面角的兩個半平面所在平面α，β的法向量u，v的坐標；
第三步：利用公式cos〈u，v〉＝，求出法向量u，v的夾角φ；
第四步：判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；
第五步：確定二面角的平面角的大小.
鞏固訓練
56．如圖，四棱柱的所有棱長都相等，，，四邊形和四邊形均為矩形，，求二面角的平面角的余弦值.

57．如圖，在正方體ABEF-DCE'F'中，M，N分別為AC，BF的中點，求平面MNA與平面MNB所成銳二面角的余弦值.
題型二十五　點到直線的距離
【例25】
58．如圖，在空間直角坐標系中有長方體求點B到直線的距離.
思維升華　
用向量法求點到直線的距離的一般步驟
（1）建立空間直角坐標系.
（2）求直線的方向向量e.
（3）計算所求點與直線上某一點所構成的向量a.
（4）求a與e夾角的余弦值cos φ，進而求正弦值sin φ.
（5）計算距離d＝|a|sin φ.
鞏固訓練
59．如圖，為矩形所在平面外一點，平面，若已知 ，求點到的距離.
題型二十六　點到平面的距離
【例26】
60．已知在正三棱柱中，D是BC的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
思維升華　
利用向量法求點到平面的距離的一般步驟
（1）建立空間直角坐標系.
（2）求出該平面的一個法向量.
（3）找出該點與平面內一點連線形成的斜線段對應的向量.
（4）法向量與斜線段對應向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即為點到平面的距離.
鞏固訓練
61．如圖所示，已知四棱柱是底面邊長為1的正四棱柱.若點到平面的距離為，求正四棱柱的高.
題型二十七　線線距、線面距和面面距
【例27】
62．在直四棱柱，底面為直角梯形，且，，是的中點．求直線與平面的距離．
思維升華　
點面距的求解步驟：
（1）求出該平面的一個法向量；
（2）找出過該點與平面上的任一點的直線的方向向量；
（3）求出法向量與方向向量的數量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.
鞏固訓練
63．已知正方體 的棱長為1，求平面 與平面 間的距離．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BC
【分析】根據向量相等的定義可判斷A，B；根據向量的相等具有傳遞性，判斷C；根據相反向量的含義結合零向量判斷D.
【詳解】A為假命題，根據向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，
而A中向量的方向不一定相同；
B為真命題，與的方向相同，模也相等，故；
C為真命題，由于空間向量滿足，，且向量的相等滿足傳遞性，
故；
D為假命題，零向量的相反向量仍是零向量.
故選：BC
2．(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）（2）利用長方體的結構特征，結合相等向量、相反向量的意義求解作答.
（3）由長方體的體對角線長求法，結合向量模的意義求解作答.
【詳解】（1）在長方體中，與相等的所有向量（除本身外）有，共3個.
（2）的相反向量是.
（3）在長方體中，連接，如圖，
，
所以向量的模.
3．(1)，作圖見解析
(2)，作圖見解析
(3)，作圖見解析
【分析】根據空間向量的線性運算依次求解即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3），
設是線段的中點，
則.
向量如圖所示，

4．ABC
【分析】根據空間向量的線性運算，結合圖形即可求解.
【詳解】A：，故A符合題意；

B：，故B符合題意；

C：，故C符合題意；

D：，故D不符合題意；

故選：ABC.
5．證明見解析.
【分析】根據給定條件，利用空間向量的線性運算，計算判斷與共線即可推理作答.
【詳解】（方法1）因為M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
則有，又，
兩式相加得：，因此與共線，而直線與不重合，
所以.
（方法2）因為M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
，
因此與共線，而直線與不重合，
所以.
6．－##
【分析】
根據空間共線向量可得，建立方程組，解之即可求解.
【詳解】
由題意知，存在實數λ使得，
即，解得.
故答案為：
7．證明見解析.
【分析】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求的關系，即可推理作答.
【詳解】在正方體中，令，
，BD與AC交于點M，即點M是的中點，
于是
，
，
因此，即，而直線與直線有公共點，
所以三點共線.
8．(1)投影向量見解析，
(2)投影向量見解析，
【分析】（1）（2）利用投影向量的定義及空間垂直關系確定投影向量，再求數量積.
【詳解】（1）在正四面體OABC中，取OB的中點P，連接，則有，
因此即為在直線上的投影向量.
所以·
（2）在正四面體中，設O在底面內的投影為Q，易知Q為底面中心，則平面,
連接并延長交于M，則M為中點，，
且即為平面內的投影向量.
∴
9．A
【分析】
根據空間向量數量積公式計算出答案.
【詳解】
是相互垂直的單位向量，故，
故.
故選：A
10．C
【分析】根據空間向量的線性運算，將和用、、表示，再根據空間向量的數量積運算可得解.
【詳解】，，
則
.
故選：C．
【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，考查了空間向量的數量積，屬于基礎題.
11．C
【分析】由線面垂直推導出線線垂直，再利用向量運算及夾角公式運算求解.
【詳解】∵平面，平面，平面，
∴.
∵，，∴，
又，∴E為的中點，
∴.
∵，∴.
∵
∴＝,
又，∴.
故選：C.
12．
【分析】方法1：結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；
方法2：先求，再利用公式求，最后確定即可．
【詳解】解：方法1：因為，所以的大小就等于
因為△為等邊三角形，所以，所以與的夾角的大小為．
方法2．設正方體的棱長為1，
又因為，所以，
因為，所以與的夾角的大小為．
13．
【分析】設，，，利用空間向量的基本定理得出，計算出的值，從而求得的長.
【詳解】依題意，設，，，則，
由題意可得，，
又、分別為、的中點，
所以，
所以
，
因此.
14．.
【分析】設，，，則構成空間的一個基底，把用基底表示出來取其模長即可.
【詳解】設，，，這三個向量不共面，構成空間的一個基底，則.
又，，，，.
.
故答案為：
15．(1)共面
(2)不共面
【分析】（1）根據空間向量的共面定理及推論，即可求解；
（2）根據空間向量的共面定理及推論，即可求解；
【詳解】（1）解：因為三點不共線，可得三點共面，
對于平面外的任意一點，若，
即，
又因為，根據空間向量的共面定理，可得點與共面.
（2）解：因為三點不共線，可得三點共面，
對于平面外的任意一點，若，此時，
根據空間向量的共面定理，可得點與不共面．
16．共面
【分析】若點與點共面，則存在唯一實數對使得.根據空間向量的線性運算可得，結合題意建立方程組，求出x、y即可下結論.
【詳解】點與點共面，理由如下：
若點與點共面，則存在唯一實數對，使得，
那么對空間任意一點，有，
即，又，
所以，解得，
所以，即向量共面，
又有公共起點，故點與點共面.
17．(1)，，共面
(2)點M在平面ABC內
【分析】（1）根據空間向量的線性運算，結合平面向量基本定理證明即可；
（2）根據（1）結合平面向量的基本定理判斷即可．
【詳解】（1）由題知，
則，
即，
所以，，共面．
（2）由（1）知，，共面且基線過同一點M，
所以M，A，B，C四點共面，即點M在平面ABC內．
18．證明見解析
【解析】根據題意，求得，，再結合向量的共面定理，即可求解.
【詳解】因為在上，且，
所以.
同理.
所以
=++=.
又與不共線，根據向量共面的充要條件可知共面.
【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，以及平面向量的基本定理的應用，其中解答中熟記平面向量的共面定理，準確化簡、運算是解答的關鍵，著重考查推理與論證能力.
19．詳見解析
【分析】假設共面，根據向量共面的充要條件有，進而得e1＋2e2－e3＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，通過系數相等解方程組知方程組無解，從而證得.
【詳解】假設共面，根據向量共面的充要條件有，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程組無解．∴不共面．
∴{}可作為空間的一個基底．
【點睛】解答本題的關鍵是正確理解空間基底的定義，考查對概念的理解，解題時注意只有不共面的三個向量才能作為空間的一個基底，這也是判定三個向量能否作為空間基底的方法．
20．BCD
【分析】如圖，根據空間向量的線性運算可得，，結合基底的概念依次判斷選項即可.
【詳解】如圖所示，

令，則，，
A：由四點共面，則向量也共面，故A不符合題意；
B：由四點不共面，則向量也不共面，故B符合題意；
C：由四點不共面，則向量也不共面，故C符合題意；
D：由四點不共面，則向量也不共面，故D符合題意.
故選：BCD.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】
根據空間向量的線性運算，結合圖形依次求解即可.
【詳解】（1）
∵是的中點，
∴；
（2）
∵是的中點，
∴；
（3）
∵是的中點，
∴.
22．
【分析】根據平行六面體的性質及空間向量線性運算法則計算可得.
【詳解】因為，分別是，的中點，則，，
所以
.
23．
【分析】由題意根據向量線性運算結合將分解成的線性組合即可.
【詳解】因為，所以，
所以.
24．
【分析】畫出示意圖，根據空間向量的加法運算即可.
【詳解】如圖所示，
.
25．
【分析】根據空間直角坐標系的中對稱的性質直接求解.
【詳解】在空間直角坐標系中，
點關于軸的對稱點的橫坐標不變，
縱坐標與豎坐標都變為原來的相反數，即；
點關于坐標平面的對稱點的橫、縱坐標不變，
豎坐標變為原來的相反數，即.
故答案為：；
26．
【分析】設的單位向量分別為，利用空間的線性運算可得，即可求解.
【詳解】法一：設點在軸、軸、軸上的射影分別為，
它們在坐標軸上的坐標分別為，所以點的坐標是.

法二：設的單位向量分別為，則為空間的一個基底，
.
所以點的坐標是.
27．
【分析】根據給定的空間直角坐標系，求出的坐標即可得解.
【詳解】依題意，，則，
則點，而點，
所以PD的中點M的坐標為.
故答案為：
28．
【分析】通過空間向量的線性運先計算得＝－－－及＝－－，進而通過坐標的線性運算可得解.
【詳解】
∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝－－－
∵＝－＝－(＋)＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝－－(－4,2，－4)．
【點睛】本題考查了向量共線定理、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
29．.
【分析】設點P的坐標為(x，y，z)，根據，利用向量相等求解.
【詳解】因為A，B，C三點的坐標分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，
所以＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
所以＝(6,3，－4)，
設點P的坐標為(x，y，z)，則＝(x－2，y＋1，z－2)，
所以點P的坐標為.
故答案為：
30．(1)，；
(2)存在，，.
【分析】（1）利用空間向量線性運算的坐標表示求解作答.
（2）根據給定條件，借助空間向量運算列出方程組，求解作答.
【詳解】（1）因點，，，則，，
所以，.
（2）依題意，，x，y∈R，則
若成立，即，于是得，解得，
所以存在實數，使得成立.
31．見證明
【分析】利用向量的運算法則證明與共線即可．
【詳解】證明：因為＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，
因為＝＝，所以和共線，即AB∥CD.
又因為＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因為≠≠，所以與不平行，
所以四邊形ABCD為梯形．
【點睛】本題考查了利用向量證明梯形的方法，屬于基礎題．
32．C
【分析】設出，根據得到方程組，求出答案.
【詳解】由四邊形是平行四邊形知，
設，則，又，
所以，解得，即D點坐標為.
故選：C
33．6
【分析】由空間向量平行得比例關系求解即可.
【詳解】∵，易知，∴，
∴，∴.
故答案為：6.
34．
【分析】
根據空間向量的線性運算和數量積的坐標表示即可求解.
【詳解】
由題意得，，
則.
故答案為：
35．
【詳解】試題分析：由已知中向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），我們可以求出向量k+與2的坐標，根據k+與2互相垂直，兩個向量的數量積為0，構造關于k的方程，解方程即可求出a值．
解：∵向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=（k﹣1，k，2），2=（3，2，﹣2）
∵k+與2互相垂直，
則（k+）（2）=3（k﹣1）+2k﹣4=5k﹣7=0
解得k=
故答案為
考點：向量語言表述線線的垂直、平行關系．
36．##
【分析】根據題意，結合向量垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，可得，
因為與垂直，可得，
解得.
故答案為：.
37．
【分析】
建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用中點坐標公式與兩點間距離公式求解.
【詳解】
以點為坐標原點， 所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

，
，
由中點坐標公式可得，
，
.
38．(1)
(2)
【分析】（1）根據空間兩點間的距離公式得線段MN的長度；
（2）點到M，N兩點的距離相等,列出方程，求解坐標的關系.
【詳解】（1）已知點,，
根據空間兩點間的距離公式得線段MN的長度
.
所以線段MN的長度為.
（2）因為點到M，N兩點的距離相等．
所以有下面等式成立：
，
化簡得.
因此，到M，N兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件是.
39．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】
（1）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，根據空間位置的向量證明方法，即可證明結論；
（2）根據空間向量家教的坐標表示，即可求得答案；
（3）根據空間向量模長的坐標表示，即可求得答案.
【詳解】（1）
證明：以D為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
因為，所以，即.
（2）
由（1）得，，
，，
所以.
（3）
由（1）知，
故.
40．(1)
(2)
【分析】（1）（2）建立空間直角坐標系，利用點點距和向量夾角公式求解.
【詳解】（1）如圖，以C為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.
依題意得，
∴,
∴ 線段BN的長為.
（2）依題意得, ,
∴，
.
又，
∴.
41．A
【分析】根據方向向量的定義以及向量平行的規則求解.
【詳解】因為A，B點在直線l上，必有 ， ， ，
，解得： ；
故選：A.
42．直線AE的一個方向向量為，直線AD的一個方向向量是
【分析】利用空間向量基本定理得到，，得到答案.
【詳解】
，
所以直線AE的一個方向向量為；
所以直線AD的一個方向向量是.
43．AB
【分析】根據向量平行的規則求解.
【詳解】因為點M， N在直線l上，， 顯然向量(1， 1， 3)， (2， 2， 6)與 平行，所以都是直線l的方向向量；
故選：AB.
44． (0， 0， 1) (0， 1， 1)(答案不唯一)
【分析】利用方向向量的定義求解.
【詳解】因為DD1∥AA1，＝(0， 0， 1)， 所以直線DD1的一個方向向量為(0， 0， 1).
因為BC1∥AD1， ＝(0， 1， 1)，所以直線BC1的一個方向向量為(0， 1， 1)．
故答案為：(0， 0， 1)，(0， 1， 1)(答案不唯一).
45．（不唯一）
【分析】用垂直關系，可以以A為原點，以AB、AD、AP為坐標軸建立空間直角坐標系，再按照法向量的求法計算即可.
【詳解】因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.
如圖所示，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A－xyz，
則，， ，，，
于是，，
設平面ACE的一個法向量為，
則，即，所以，
令，則，，即
所以平面ACE的一個法向量.
46．(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空間向量的坐標運算求平面的法向量.
【詳解】（1）
由題意，可得,
連接AC，因為底面為正方形，所以,
又因為平面，平面，所以，
且，則AC⊥平面，
∴為平面的一個法向量. (答案不唯一).
（2）
設平面的一個法向量為，
則
令，得
∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).
47．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求得直線的方向向量以及平面的法向量，計算其數量積即可證明；
（2）計算兩個平面的法向量，根據法向量是否平行，即可證明.
【詳解】證明：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）設=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則⊥，⊥，
即得令z1=2，則y1=-1，
所以=(0，-1，2).因為·=-2+2=0，所以.
又因為FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
設=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，則y2=-1，所以=(0，-1，2).
因為=，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【點睛】本題考查用向量證明線面平行、以及面面平行，屬基礎題.
48．證明見試題解析．
【分析】方法一：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得，即可得到.
方法二：建立空間直角坐標系，利用向量的運算，求得-+,+-，從而得到，即可得到.
【詳解】方法一：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1),=(-3,2,1),∴,∴∥,即PQ∥RS.
方法二：+-+,
++-,∴,
∴∥,即RS∥PQ.
【點睛】本題主要考查了空間向量在線面位置關系中的應用，對于空間向量判定兩條直線平行時，通常建立適當的空間直角坐標系，利用向量的運算得到兩條直線的方向向量平行（共線），進而得到兩直線平行，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.
49．證明見解析.
【分析】設，，，作為一組基底，分別表示向量，證明，即可.
【詳解】設，，，則.
則，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
【點睛】本題主要考查空間向量法證明線面垂直問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.
50．證明見解析
【分析】已知平面，可將證明平面平面轉化為尋找平面內一條直線與平行；也可通過證明兩平面的法向量垂直來證明兩平面垂直．
【詳解】證明：方法1：設，建立如圖所示的空間直角坐標系
則，，，，．
連接，設與相交于點，連接，則點的坐標為．
因為，，
所以．所以．又因為平面，所以．
又因為平面，所以平面平面．
方法2：設平面的法向量為，
因為，，所以，即．
令，可得平面的一個法向量為．
因為平面，所以平面的一個法向量為．
因為，所以平面平面．
51．A
【分析】根據題意建立空間直角坐標系，設，先求出點的坐標并求出與的坐標，然后由向量數量積的公式計算的值即可得出異面直線和所成角的余弦值.
【詳解】如圖，取的中點，連接，，因為和均為等邊三角形，所以，，所以平面，即平面⊥平面.且就是二面角的平面角，即，
建立空間直角坐標系如圖所示.

設，則，，，,
所以，，
，所以異面直線和所成角的余弦值為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查利用空間向量的數量積求異面直線所成角的問題，關鍵是建立適當的空間直角坐標系并求出有關點和向量的坐標，屬常規考題.
52．
【分析】以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
利用向量法求異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
所以.
設所求的角為,
則,
即異面直線與所成角的余弦值為.
【點睛】(1)本題主要考查求兩異面直線所成的角，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 異面直線所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.
53．
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
故，，，
設平面的一個法向量為，
則,
∴，
令，則.
∴，
∴.
設與平面所成的角為，
則，
即與平面所成角的正弦值為.
54．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件建立空間直角坐標系,得兩直線方向向量,利用向量數量積運算證明即可；
（2）建立方程組得平面法向量,再根據線面角的向量求法,結合空間向量數量積運算可得結果.
【詳解】（1）因為在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因為，所以，即兩兩垂直，
故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
則，
，
，.
（2）因為，，
設平面的法向量為，則由得，
令，則，故，
設直線與平面所成角為，
因為，所以，
故直線與平面所成角的正弦值為.
55．（1）證明見解析；（2） .
【分析】（1）要證明線面垂直，只需要在面內找到兩條相交的線段與之垂直即可，即證明與垂直，首先利用四棱柱所有棱相等，得到上下底面為菱形，進而得到均為中點，得到三者相互平行，四邊形 均為矩形與平行相結合即可得到與 垂直，進而證明線面垂直．
（2）要求二面角，此問可以以以為坐標原點， 所在直線分別為軸， 軸，軸建立三維直角坐標系，利用空間向量的方法得到二面角的余弦值，在此說明第一種方法，做出二面角的平面角， 過作 的垂線交于點，連接．利用（1）得到，在利用四邊形 為菱形，對角線相互垂直，兩個垂直關系即可得到垂直于平面，進而得到 ，結合得到線面垂直，說明角即為所求二面角的平面角，設四棱柱各邊長為 ，利用勾股定理求出相應邊長即可得到角的余弦值，進而得到二面角的余弦值．
【詳解】（1）四棱柱 的所有棱長都相等
四邊形 和四邊形均為菱形
分別為中點
四邊形 和四邊形為矩形
且
又且底面
底面．
（2）法1：過作 的垂線交于點 ，連接．
不妨設四棱柱的邊長為 ．
底面且底面 面
面
又面
四邊形 為菱形
又且 ，面
面
又面
又且， 面
面
為二面角的平面角，則
且四邊形為菱形
，，
則
再由的勾股定理可得，
則，
所以二面角的余弦值為．
法2：因為四棱柱的所有棱長都相等，
所以四邊形 是菱形，
因此，
又 面 ，
從而兩兩垂直，
如圖以為坐標原點， 所在直線分別為軸，軸，軸建立三維直角坐標系，
不妨設，
因為，
所以， ，
于是各點的坐標為：，已知 是平面的一個法向量，
設是平面 的一個法向量，
則，，取，則，
所以， ，
故二面角的余弦值為．
考點：線面垂直 二面角 勾股定理 菱形
56．
【分析】
根據給定條件，證明兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，利用空間向量求出面面角的余弦.
【詳解】
四棱柱的所有棱長都相等，，，
由四邊形是矩形，得，而，則，同理，
又平面，則平面，
依題意，四邊形是菱形，于是直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

令，由，得,
則，
設平面的法向量，則，令，得，
設平面的法向量，則，令，得，
因此，顯然二面角的平面角是鈍角，
所以二面角的平面角的余弦值是.
57．.
【分析】建立空間直角坐標系，直接求出兩個面的法向量，通過法向量的夾角求得二面角的大小.
【詳解】設正方體棱長為1.以B為坐標原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸，
z軸建立空間直角坐標系B-xyz，
則M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0).
設平面AMN的法向量=(x，y，z).
由于，
則，即,令x=1，解得y=1，z=1，
于是=(1，1，1).
設平面BMN的一個法向量，
即,令x=1，解得
所以
所以cos<，>==，
故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為.
【點睛】本題考查利用向量的方法求解二面角，將幾何問題代數化便于計算，屬基礎題.
58．
【分析】利用空間向量的坐標運算求點到直線的距離.
【詳解】
設則，
∴
∴點B到直線的距離
59．
【分析】過作于，連接，面，得出OP到直線BD的高，然后計算即可.
【詳解】
過作于，連接，
直線PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，則面
，為所求的距離，
在中， ,
在中，,
60．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以D為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸，過點D且與平行的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出、平面的一個法向量，再由，可得答案；
（2）由（1）知平面的一個法向量為，求出，再由點到平面的距離的向量求法可得答案.
【詳解】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸，過點D且與平行的直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，
∴，，,
設平面的一個法向量為，
則，即，令，則，
∴，
∵，∴，
∵平面，平面AB1D；
（2）由（1）知平面的一個法向量為，
且，
∴點到平面的距離.
61．2
【分析】設正四棱柱的高為，建立空間直角坐標系，利用點到平面距離的向量求法可得答案.
【詳解】設正四棱柱的高為，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則，，
設平面A1BD的一個法向量為，
則，即，取，得，
所以點到平面的距離為，解得.
故正四棱柱的高為2.
62．
【分析】由題意可知直線平面，直線與平面的距離可轉化為點到平面的距離，故建立空間直角坐標系，用坐標法計算距離即可.
【詳解】解：在直四棱柱中，底面為直角梯形，，如圖所示，建立空間直角坐標系，
，且，是的中點，
則
∴，，，
設是平面的一個法向量，
則，
令，則，∴是平面的一個法向量，
則點到平面的距離，
又，平面ABE，平面，
∴平面，
到平面的距離為．
63．
【分析】先證明平面平面 ，再建立空間直角坐標系，求出以及平面 的法向量，利用空間點到平面的距離公式即可求得答案.
【詳解】正方體中，,故四邊形,
所以 ，同理 ，
所以平面 平面 ，
以D為原點，分別以 所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則 ，
所以，，，
設平面 的法向量為，
則 ，所以 ，
令 ，則 ，
則為平面的一個法向量，
所以點 到平面的距離d，
則平面 與平面 的距離等于點到平面 的距離，
所以平面與平面間的距離為．
答案第1頁，共2頁
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