資源簡介

素養(yǎng)提升點(diǎn)3-1 平面向量極化恒等式與等和線（原卷版）
【考情透析】
在向量的命題考查中，數(shù)量積的運(yùn)算一直是熱點(diǎn)問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積，但有時(shí)會(huì)計(jì)算量繁瑣、解題時(shí)間較長。而利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式來解決，而向量三點(diǎn)共線定理與等和線可以巧妙地把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，
【拓展知識(shí)】
（一）極化恒等式
a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推導(dǎo)：
（2）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
4.三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則·＝|AD|2－|BD|2．
（1）推導(dǎo)過程：由.
（2）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．
（3）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．
（二）等和線相關(guān)性質(zhì)
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)p在直線AB上或在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；
②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0，1)；
③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；
④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；
⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù)；
⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．
核心考點(diǎn)題型一 極化恒等式求值
【例題1】．（2024.四川綿陽高三模擬）設(shè)向量滿足，，則
A．1 B．2 C．3 D．5
【例題2】．（2023.四川成都七中模擬）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則 的值是 .
【變式1-1】（2024.河北唐山第一次模擬）如圖，已知點(diǎn)為的重心，，，則的值為 ．
【變式1-2】.（2023·甘肅天水第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，已知
，點(diǎn)分別在邊上，且，若為的中點(diǎn)，則的值為________.
【變式1-3】（2023·山東日照市·高三二模）如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
【變式1-4】.（2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則·＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
【變式1-5】 (2023·江蘇徐州高三期末檢測(cè)) 如圖，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D為邊BC的中點(diǎn)，若CD⊥AD，垂足為E，則·＝________．
核心考點(diǎn)題型二 極化恒等式求范圍
【例題1】（2023·湖南長沙高三期末檢測(cè)） 已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是　　
A． B． C． D．
【例題2】（2023·云南昆明高三統(tǒng)考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2023·四川巴中高三檢測(cè)）正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，延長交圓O于點(diǎn)F，則的取值范圍為_______.
【變式2-1】（2023·重慶八中高三檢測(cè)）正方形的邊長為2，以A為圓心，1為半徑作圓與、分別交于E、F于兩點(diǎn)，若P為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____.
【變式2-2】（2023·山西太原一中高三檢測(cè)）四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為 .
【變式2-3】（2023秋·河北石家莊高三檢測(cè)）四邊形中，M是上的點(diǎn)，，,若N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，的取值范圍是_______.
【變式2-4】（2023·寧夏銀川一中高三檢測(cè)）已知線段是圓上的一條動(dòng)弦，且，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為 ；如果直線與相交于點(diǎn)，則的最小值為 .
【變式2-5】（2023秋·山東威海一中高三檢測(cè)）在中，，，，若P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值是_________.
【變式2-6】（2023·江蘇鎮(zhèn)江高三統(tǒng)考高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-7】（2023·湖北武漢高三專題檢測(cè)）半徑為2的圓O上有三點(diǎn)，A、B、C滿足，點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【變式2-8】（2023秋.湖南長沙一中月考）已知正四面體的外接球半徑為3，MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點(diǎn)，則的最小值為 ．
核心考點(diǎn)題型三 根據(jù)等和線求基底系數(shù)和的值
【例題1】（2023·河北保定高三檢測(cè)）在平行四邊形中ABCD中，E和F分別是CD和BC邊上的中點(diǎn)，且,其中，則___________.
【例題2】（2023秋·甘肅蘭州交大附中模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝__________．
【例題3】 （2023秋·山東青島模擬預(yù)測(cè)）(1)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，則m＋n＝________．
【變式3-1】（2023·云南玉溪·高三月考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)＝a，＝b，向量＝λa＋μb，則λ＋μ的值為_______．
【變式3-2】（2023·湖北武漢高三檢測(cè)）．如圖，在中，，，與交于點(diǎn)．設(shè)，，，則為（ ）
A． B． C． D．
核心考點(diǎn)題型四 根據(jù)等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）
【例題1】（2023秋·四川達(dá)州模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ，且滿足，若，則3x＋y的最小值是( )．
A． B． C．1 D．
【例題2】（2023秋·陜西榆林高三檢測(cè)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
【例題3】（2023秋·云南昆明高三專題檢測(cè)）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)
A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
【例題4】（2023·江蘇省蘇州中學(xué)高三月考）如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________．
【變式4-1】（2023秋·河南洛陽模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．
【變式4-2】（2023秋·湖北武漢高三模擬）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的取值范圍是________．
【變式4-3】（2023秋·陜西榆林高三專題檢測(cè)）如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】（2023·江蘇徐州高三模擬）如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則2x+y的最小值為( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【變式4-5】（2023·山東濟(jì)南高三模擬）如圖，在直角梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng)，設(shè)，則取值范圍是 ．

【變式4-6】（2023·河南開封高三模擬）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【變式4-7】．（2023秋.河北衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（ ）素養(yǎng)提升點(diǎn)3-1 平面向量極化恒等式與等和線（解析版）
【考情透析】
在向量的命題考查中，數(shù)量積的運(yùn)算一直是熱點(diǎn)問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積，但有時(shí)會(huì)計(jì)算量繁瑣、解題時(shí)間較長。而利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式來解決，而向量三點(diǎn)共線定理與等和線可以巧妙地把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，
【拓展知識(shí)】
（一）極化恒等式
a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推導(dǎo)：
（2）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
4.三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則·＝|AD|2－|BD|2．
（1）推導(dǎo)過程：由.
（2）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．
（3）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．
（二）等和線相關(guān)性質(zhì)
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)p在直線AB上或在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；
②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0，1)；
③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；
④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；
⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù)；
⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．
核心考點(diǎn)題型一 極化恒等式求值
【例題1】．（2024.四川綿陽高三模擬）設(shè)向量滿足，，則
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法
【詳解】試題分析：因?yàn)椋浴伲?br/>又，所以…………②，
②得，所以
考點(diǎn)：1．向量模的定義及運(yùn)算；2．向量的數(shù)量積．
方法二：極化恒等式
由極化恒等式可得：
故選A．
【例題2】．（2023.四川成都七中模擬）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則 的值是 .
【答案】
方法一：【詳解】因?yàn)椋?br/>，
因此，
方法二：極化恒等式
因?yàn)槭巧系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn),所以
聯(lián)立解得:
所以
【變式1-1】（2024.河北唐山第一次模擬）如圖，已知點(diǎn)為的重心，，，則的值為 ．
【解析】方法1：連結(jié)CO并延長交AB于點(diǎn)M(如圖1)，
則
， 因?yàn)椋裕?br/>方法2： 以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2)，
則，， 設(shè)，則易得， 因?yàn)镺AOB，所以， 從而， 化簡得，，所以．
方法3：極化恒等式
.
【變式1-2】.（2023·甘肅天水第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，已知
，點(diǎn)分別在邊上，且，若為的中點(diǎn)，則的值為________.
【答案】
【解析】取的中點(diǎn)，連接，，
則，
在中，，
【變式1-3】（2023·山東日照市·高三二模）如圖所示，AB是圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
【答案】C　
【解析】連接AP，BP，則＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
【變式1-4】.（2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則·＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
【答案】B　
【解析】取AO中點(diǎn)Q，連接PQ，·＝·＝PQ2－AQ2＝－＝．
【變式1-5】 (2023·江蘇徐州高三期末檢測(cè)) 如圖，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D為邊BC的中點(diǎn)，若CD⊥AD，垂足為E，則·＝________．
【答案】－　
【解析】由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2 AB·AC·cos120°＝19，即BC＝，因?yàn)椤?AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝，因?yàn)镾△ABC＝2S△ADC，則|AB|·|AC|·sin120°＝2·|AD||CE|，解得|CE|＝，在Rt△DEC中，|DE|＝＝，所以·＝|ED|2－|CD|2＝－．
核心考點(diǎn)題型二 極化恒等式求范圍
【例題1】（2023·湖南長沙高三期末檢測(cè)） 已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
法一：極化恒等式
取BC中點(diǎn)D，則
則
再去AO中點(diǎn)M，
當(dāng)時(shí)取到最小值，故
法二：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
則，，，
設(shè)，則，，，
則
當(dāng)，時(shí)，取得最小值，
故選：．
【例題2】（2023·云南昆明高三統(tǒng)考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
方法一：坐標(biāo)法
【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因?yàn)椋裕矗?br/>方法二：極化恒等式
記AB的中點(diǎn)為M，連接CM，則
由極化恒等式可得：
即
故選：D
【例3】（2023·四川巴中高三檢測(cè)）正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，延長交圓O于點(diǎn)F，則的取值范圍為_______.
【解析】解法1：建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，
圓的半徑為，故，，
所以，，
從而.
解法2：如圖2，設(shè)中點(diǎn)為D，圓的半徑為，
由極化恒等式，，由圖可知當(dāng)F與點(diǎn)B重合時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，取得最大值3，所以.
【答案】
【變式2-1】（2023·重慶八中高三檢測(cè)）正方形的邊長為2，以A為圓心，1為半徑作圓與、分別交于E、F于兩點(diǎn)，若P為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______.
【解析】解法1：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，
所以，
其中為某確定的銳角，，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
解法2：設(shè)中點(diǎn)為，由極化恒等式，，
由圖可知，
所以.
【答案】
【變式2-2】（2023·山西太原一中高三檢測(cè)）四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積定義得，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，設(shè)出向量夾角，從而，利用余弦函數(shù)求解最值即可.
【詳解】因?yàn)椋贮c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
所以，所以，
，
又，所以，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br/>即，設(shè)，，則，所以，
所以，
所以當(dāng)即時(shí)，有最大值1，即有最大值為.
【變式2-3】（2023秋·河北石家莊高三檢測(cè)）四邊形中，M是上的點(diǎn)，，,若N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，的取值范圍是_______.
【解析】M是上的點(diǎn)且C、D兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，且圓心為M，是等腰直角三角形，
由極化恒等式，，顯然上點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，所以.
【答案】
【變式2-4】（2023·寧夏銀川一中高三檢測(cè)）已知線段是圓上的一條動(dòng)弦，且，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為 ；如果直線與相交于點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】
【分析】綜合應(yīng)用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系和平面向量的數(shù)量積等知識(shí)即可解決問題.
【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，則，點(diǎn)的軌跡方程為，
，則最大值為，
由直線，，
可得且過定點(diǎn)過定點(diǎn)， 點(diǎn)的軌跡是以為直徑端點(diǎn)的圓，其方程為，
，
，，
，
的最小值為.
【變式2-5】（2023秋·山東威海一中高三檢測(cè)）在中，，，，若P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值是_________.
【解析】如圖，點(diǎn)P在以A為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)中點(diǎn)為D，由余弦定理，，
由極化恒等式，，
由斯特瓦爾特公式，，
即，
解得：（也可用其它方法求中線的長），
當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
所以
【變式2-6】（2023·江蘇鎮(zhèn)江高三統(tǒng)考高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【變式2-7】（2023·湖北武漢高三專題檢測(cè)）半徑為2的圓O上有三點(diǎn)，A、B、C滿足，點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】結(jié)合圖像＋極化恒等式
易知，且，由平行四邊形性質(zhì)可知□ABOC為菱形，且△ABO與△ACO均為等邊三角形．
取AO中點(diǎn)M，由極化恒等式得
∴，易知，
∴的范圍是
【變式2-8】（2023秋.湖南長沙一中月考）已知正四面體的外接球半徑為3，MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)正四面體外接球球心為O，把用表示并計(jì)算數(shù)量積后可得．
【詳解】設(shè)正四面體外接球球心為O，
正四面體的外接球半徑為3，
設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為，一個(gè)面的面積為，高為，則，所以，顯然，所以，即．
．
故答案為：．
核心考點(diǎn)題型三 根據(jù)等和線求基底系數(shù)和的值
【例題1】（2023·河北保定高三檢測(cè)）在平行四邊形中ABCD中，E和F分別是CD和BC邊上的中點(diǎn)，且,其中，則___________.
【答案】
【解析】連接EF，交AC于G
∵E，F(xiàn)，G共線，則，且
記，則，
【例題2】（2023秋·甘肅蘭州交大附中模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝__________．
【答案】　
【解析】如圖，EF為值是1的等和線，過C作EF的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝．由圖易知，＝，故選B．
【例題3】 （2023秋·山東青島模擬預(yù)測(cè)）(1)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，則m＋n＝________．
【答案】6
解析　(1)法一　連接AB，交OC于點(diǎn)D，則
∠DOA＝∠OAD＝30°，∠BOD＝90°，||＝||tan 30°＝，
||＝||＝，||＝，由平面向量基本定理得＝＋，||＝2＝6||，
∴＝6＝4＋2，m＋n＝6.
法二　根據(jù)等高線定理可得＝k＝m＋n，k＝＝＝6，∴m＋n＝6.
【變式3-1】（2023·云南玉溪·高三月考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)＝a，＝b，向量＝λa＋μb，則λ＋μ的值為_______．
【答案】　
【解析】圖，BC為值是1的等和線，過O作BC的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝．由圖易知，＝．
【變式3-2】（2023·湖北武漢高三檢測(cè)）．如圖，在中，，，與交于點(diǎn)．設(shè)，，，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量線性運(yùn)算表示出，由此求得，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).
【詳解】依題意可知是三角形的重心，
，
所以，即.故選：C
核心考點(diǎn)題型四 根據(jù)等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）
【例題1】（2023秋·四川達(dá)州模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ，且滿足，若，則3x＋y的最小值是( )．
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】若A為原點(diǎn)，則P（1，2），M在以P為圓心，半徑為2的圓上
取D（1，0），則有，AM交CD于N，記，則有
；
【例題2】（2023秋·陜西榆林高三檢測(cè)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時(shí)， 最大，此時(shí)
故選 .
【例題3】（2023秋·云南昆明高三專題檢測(cè)）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)
A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
【答案】A　
【解析】　
過動(dòng)點(diǎn)P作等和線，設(shè)x＋y＝k，則k＝．由圖易知，當(dāng)?shù)群途€與EF重合時(shí)，k取最大值，由EF∥BD，可求得＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故選A．
【例題4】（2023·江蘇省蘇州中學(xué)高三月考）如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________．
【答案】　(－1，0)　
【解析】　如圖，作，的相反向量，，則AB∥A1B1，過O作直線l∥AB，則直線l，A1B1分別為以，為基底的值為0，－1的等和線，由題意線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，所以點(diǎn)C在直線l與直線A1B1之間，所以m＋n∈(－1，0)．
【變式4-1】（2023秋·河南洛陽模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．
【答案】　[3，4]　
【解析】直線BF為k＝1的等和線，當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的等和線，過D點(diǎn)的等和線是最遠(yuǎn)的，所以α＋β∈[，]＝[3，4]．
【變式4-2】（2023秋·湖北武漢高三模擬）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的取值范圍是________．
【答案】　　
【解析】如圖，作CE⊥BD于E，由△CDE∽△DBA知＝，即＝，所以CE＝，設(shè)與BD平行且與圓C相切的直線交AD延長線于點(diǎn)F，作DH垂直該線于點(diǎn)H，顯然DH＝2CE＝，由△DFH∽△BDA得＝，即＝，所以DF＝，過點(diǎn)P作直線l∥BD，交AD的延長線于點(diǎn)M，設(shè)t＝，則x＋y＝t，由圖形知“等值線”l可從直線BD的位置平移至直線FH的位置(不包括BD和FH)，由平面幾何知識(shí)可得1＝<<＝，即1【變式4-3】（2023秋·陜西榆林高三專題檢測(cè)）如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐標(biāo)系，將由點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向?yàn)閤,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則，
，設(shè)，則，解得，
故，即，
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，取最小值2，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，取得最大值 .
故選：B
【變式4-4】（2023·江蘇徐州高三模擬）如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則2x+y的最小值為( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】取AD中點(diǎn)F，則
直線FP交AE于G， 設(shè)
∵ FPG三點(diǎn)共線 ∴
當(dāng)P在中點(diǎn)時(shí)，G與E重合，此時(shí)t取到最小值，
【變式4-5】（2023·山東濟(jì)南高三模擬）如圖，在直角梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng)，設(shè)，則取值范圍是 ．

【答案】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，先求出以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓方程，設(shè)，再根據(jù)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)在圓內(nèi)或圓上，可得關(guān)于的一個(gè)不等關(guān)系，設(shè)，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】如圖所示以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
直線的方程為，化簡得，
點(diǎn)到的距離，
可得以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓方程為，
設(shè)，則，，，
，
，
可得且，的坐標(biāo)為，
在圓內(nèi)或圓上，
，
設(shè)，得，
代入上式化簡整理得，
若要上述不等式有實(shí)數(shù)解，
則，
化簡得，解得，即，
取值范圍是．故答案為：．
【變式4-6】（2023·河南開封高三模擬）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.
【詳解】
作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，
設(shè)，則，
∵BC//EF，∴設(shè)，則
∴，
∴
∴
故選：A.
【變式4-7】．（2023秋.河北衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（ ）
【答案】.
【解析】如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；
同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.
綜上可知.

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