資源簡介

熱點1-2 不等式與復數（核心考點八大題型）（原卷版）
【考情透析】
有關不等式的高考試題，是歷年高考重點考查的知識點之一，其應用范圍涉及高中數學的很多章節，且?？汲Ｐ拢疾閮热輩s無外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問題，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．復數的代數運算、代數表示及其幾何意義是高考的必考內容，題型多為選擇題或填空題，分值5分，考題難度為低檔.
【考題歸納】
核心考點題型一 不等式的性質
【例題1】（2023·重慶·統考模擬預測）（多選題）已知，，則下列關系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2024·陜西寶雞高三模擬）（多選題）已知實數x，y滿足則（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
【變式1-1】．（2023·福建·福州三中高二階段檢測）已知，則的取值范圍為_________
【變式1-2】．（2023·江蘇南京·高三階段檢測）已知，則 （ ）
A． B． C． D．
核心考點題型二 一元二次不等式的解法
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）（多選題）已知關于的的解集是，則（ ）
A． B．
C．關于的不等式的解集是 D．的最小值是
【例題2】．（2023·云南曲靖高三模擬檢測）已知函數（）的最小值為0，若關于x的不等式的解集為，則實數c的值為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【變式2-1】．（2023·江西九江高三專題檢測）已知方程有兩個不相等的實數根，且兩個實數根都大于2，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】．（2023·山西太原高三專題模擬）（多選題）已知，關于一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數，則的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式2-3】．（2022·四川綿陽高三課時檢測）不等式的解集為（ ）
A．[－1，2] B．[－2，1] C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]
核心考點題型三 一元二次方程根的分布問題
【例題1】．（2022·河北石家莊高三專題檢測）已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2022·河南安陽高三課時檢測）要使關于的方程的一根比大且另一根比小，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】．（2022·四川成都高三課時檢測）關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】．（2022·山西太原一中高三專題檢測二）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．
【變式3-3】．（2022·浙江杭州高三專題檢測）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0，1)內，另一個根在(1，2)內，則實數a的取值范圍為________．
核心考點題型四 一元二次不等式的恒成立問題
【例題1】．（2023·江西省銅鼓中學高三階段檢測（文））不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】．（2022·河北石家莊滄州高三課時檢測）若不等式對一切實數均成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】．（2022·江蘇·南京市中華中學高二期中）若命題“”為假命題，則實數x的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】．（2022·遼寧撫順高三課時檢測）在R上定義運算.若不等式對任意實數x都成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型五 基本不等式
【例題1】．（2021 全國高考乙卷）下列函數中最小值為4的是　　
A． B． C． D．
【例題2】（2023·湖南·雅禮中學高三模擬）已知，且，則的最大值為（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【變式5-1】（2023·江蘇·歌風中學高三模擬）設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為（）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學?？计谥校┮阎瘮?，若對任意的正數、，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】．（2022·廣東湛江高三模擬）若正實數x,y滿足，則的最大值是
A． B． C． D．
核心考點題型六 廣義均值不等式
廣義均值不等式：即
調和平均值幾何平均值算數平均值加權平均值（當且僅當a=b時取“=”）
【例題1】．（2023·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高三模擬）已知，且，則（　　）
A．ab的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最大值為3
【例題2】．（2021·浙江省樂清中學高三模擬）已知，.若，則（ ）
A．的最小值為5 B．的最小值為9
C．的最大值為 D．的最大值為.
【變式6-1】．（2021·湖南省臨澧縣第一中學高三模擬）已知a，b為正實數，且，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為4
C．的最小值為 D．的最大值為
【變式6-2】．（2023秋·江蘇南通·高三海安高級中學?？迹┮阎獮檎龑崝?，，則（ ）
A．的最大值為1 B．的最小值3
C．的最小值為 D．的最小值為
核心考點題型七 復數的四則運算
【例題1】（2023·重慶八中高三階段檢測）復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·湖北·荊門市龍泉中學高三階段檢測）已知復數，是的共軛復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】．（2023·浙江杭州高三統考期中）設復數（i為虛數單位），則（ ）
A． B．0 C． D．2
【變式7-2】（2023·云南曲靖高三模擬預測）若復數滿足，則（ ）
A． B． C．3 D．5
核心考點題型八 復數的幾何意義
【例題1】．（2023 全國新高考Ⅱ卷）在復平面內，對應的點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例題2】（2023春·浙江·高三校聯考開學考試）復數，復數滿足，則下列關于的說法錯誤的是（ ）
A． B．
C．的虛部為 D．在復平面內對應的點在第二象限
【例題3】（2023·湖南·模擬預測）已知i是虛數單位，復數在復平面內對應的點為P，Q，若（O為坐標原點），則實數（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式8-1】（2022·山西太原高三模擬）若復數z在復平面對應的點為Z，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則Z在復平面內的軌跡為圓
C．若，滿足，則的取值范圍為
D．若，則的取值范圍為
【變式8-2】（2023·山東高三二模）已知為虛數單位，則取到最小值時，的值為___________．
【變式8-3】（2023·云南昆明高三模擬）已知復數，滿足，，（其中i是虛數單位），則的最大值為（ ）
A．3 B．5 C． D．熱點二 不等式與復數（核心考點八大題型）（解析版）
【考情透析】
有關不等式的高考試題，是歷年高考重點考查的知識點之一，其應用范圍涉及高中數學的很多章節，且?？汲Ｐ拢疾閮热輩s無外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問題，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．復數的代數運算、代數表示及其幾何意義是高考的必考內容，題型多為選擇題或填空題，分值5分，考題難度為低檔.
【考題歸納】
核心考點題型一 不等式的性質
【例題1】（2023·重慶·統考模擬預測）（多選題）已知，，則下列關系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因為，所以或，
當時，，A不成立，，，
由，故，當且僅當，即時，等號成立，
因為，故等號不成立，故；
當時，，，
不妨設，則，故此時C不成立，
由，故，當且僅當，即時，等號成立，
因為，故等號不成立，故；
綜上：BD一定成立.
故選：BD
【例題2】（2024·陜西寶雞高三模擬）（多選題）已知實數x，y滿足則（ ）
A．的取值范圍為 B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；
因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；
因為，所以，則，故C錯誤；
因為，所以，則，故D正確.
【變式1-1】．（2023·福建·福州三中高二階段檢測）已知，則的取值范圍為_________
【答案】
【分析】根據不等式的性質計算可得；
【詳解】：因為，所以，
因為，所以，
所以，
則的取值范圍為
故答案為：
【變式1-2】．（2023·江蘇南京·高三階段檢測）已知，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】對A，，A正確；
對B，，∵，∴，不等式不一定成立，B錯誤；
對C，，∵，∴，不等式成立，C正確；
對D，，所以，不等式不成立，D錯誤；
故選：AC．
核心考點題型二 一元二次不等式的解法
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）（多選題）已知關于的的解集是，則（ ）
A．
B．
C．關于的不等式的解集是
D．的最小值是
【答案】AB
【解析】對于A，的解集為，，且和是方程的兩根，A正確；
對于B，由A得：，，，
，B正確；
對于C，由得：，
即，解得：，
即不等式的解集為，C錯誤；
對于D，，
，
在上單調遞增，，D錯誤.
故選：AB.
【例題2】．（2023·云南曲靖高三模擬檢測）已知函數（）的最小值為0，若關于x的不等式的解集為，則實數c的值為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵函數（）的最小值為0，
∴，∴，
∴函數，其圖像的對稱軸為．
∵不等式的解集為，
∴方程的根為m，，
∴，解得，，
又∵，∴．故A，B，C錯誤.
故選：D．
【變式2-1】．（2023·江西九江高三專題檢測）已知方程有兩個不相等的實數根，且兩個實數根都大于2，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，根據二次方程根的分布可得式子，計算即可.
【詳解】令
由題可知：
則，即
故選：C
【變式2-2】．（2023·山西太原高三專題模擬）（多選題）已知，關于一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數，則的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】由開口向上且對稱軸為，
∴要使題設不等式解集有且僅有3個整數，則，解得，
∴的可能值A、B、C.符合.
故選：ABC.
【變式2-3】．（2022·四川綿陽高三課時檢測）不等式的解集為（ ）
A．[－1，2] B．[－2，1] C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]
【答案】D
【分析】由題可得，即得.
【詳解】由可得，，
∴，解得且，
故原不等式的解集為.
故選：D.
核心考點題型三 一元二次方程根的分布問題
【例題1】．（2022·河北石家莊高三專題檢測）已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得判別式，再借助韋達定理及兩根都大于1的條件列出不等式，求解即得.
【詳解】設方程的兩根為，依題意有：，
因都大于1，則，且，顯然成立，
由得，則有，解得，
由解得：，于是得，
所以的取值范圍是.
故選：A
【例題2】．（2022·河南安陽高三課時檢測）要使關于的方程的一根比大且另一根比小，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次方程根的分布可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.
【詳解】由題意可得，解得.
故選：B.
【變式3-1】．（2022·四川成都高三課時檢測）關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把方程的根轉化為二次函數的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.
【詳解】方程對應的二次函數設為：
因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：
①，，解得：；
②函數剛好經過點或者，另一個零點屬于，
把點代入，解得：，
此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去
把點代入，解得：，
此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；
③函數與x軸只有一個交點，橫坐標屬于，
，解得，
當時，方程的根為，不合題意；
若，方程的根為，符合題意
綜上：實數m的取值范圍為
故選：D
【變式3-2】．（2022·山西太原一中高三專題檢測二）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．
【答案】
【分析】令，即可得到，依題意可得，解得即可；
【詳解】解：令，圖象恒過點，
方程0在區間內有兩個不同的根，
，解得.
故答案為：
【變式3-3】．（2022·浙江杭州高三專題檢測）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0，1)內，另一個根在(1，2)內，則實數a的取值范圍為________．
【答案】
【分析】根據一元二次方程根的分布得出結論．
【詳解】設f (x)＝x2＋ax＋1，由題意知，解得－故答案為：.
核心考點題型四 一元二次不等式的恒成立問題
【例題1】．（2023·江西省銅鼓中學高三階段檢測（文））不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題首先可將不等式恒成立轉化為函數恒成立，然后分為、兩種情況進行討論，結合二次函數性質即可得出結果.
【詳解】因為不等式對于任意的恒成立，
所以函數對于任意的恒成立，
當時，函數，滿足題意；
當時，結合二次函數性質易知，，解得，
綜上所述，實數的取值范圍是，
故選：C.
【例題2】．（2022·浙江寧波高三課時檢測）已知對任意，恒成立，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】面對含參不等式，利用分離變量法，由于是已知取值范圍的，則單獨分離出來，整理成函數，再根據不等式恒成立，求函數的最小值，可得答案.
【詳解】對任意，不等式恒成立，
即對任意，恒成立，
所以對任意，恒成立，
所以對任意，，
所以，解得，故實數x的取值范圍是．
故選：D．
【變式4-1】．（2022·河北石家莊滄州高三課時檢測）若不等式對一切實數均成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因為恒成立，則恒成立可轉化為恒成立，則，即可解得的取值范圍
【詳解】因為恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故
解之得： 故選：A
【變式4-2】．（2022·江蘇·南京市中華中學高二期中）若命題“”為假命題，則實數x的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】等價于“”為真命題．令，解不等式即得解.
【詳解】解：命題“”為假命題，其否定為真命題，
即“”為真命題．
令，
則，即，
解得，所以實數x的取值范圍為.
故選：C
【變式4-3】．（2022·遼寧撫順高三課時檢測）在R上定義運算.若不等式對任意實數x都成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用新定義得，令，轉化為，利用配方法求最值可得，再解一元二次不等式可得答案.
【詳解】由，得，即，
令，此時只需，
又，
所以，即，解得.
故選：A.
核心考點題型五 基本不等式
【例題1】．（2021 全國高考乙卷）下列函數中最小值為4的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】對于，，
所以函數的最小值為3，故選項錯誤；
對于，因為，所以，
當且僅當，即時取等號，
因為，所以等號取不到，
所以，故選項錯誤；
對于，因為，所以，
當且僅當，即時取等號，
所以函數的最小值為4，故選項正確；
對于，因為當時，，
所以函數的最小值不是4，故選項錯誤．
故選：．
【例題2】（2023·湖南·雅禮中學高三模擬）已知，且，則的最大值為（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】B
【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】解：由，得，
則，
當且僅當，即時，取等號，
所以的最大值為.
故選：B.
【變式5-1】（2023·江蘇·歌風中學高三模擬）設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將代入后剩下關于的二元不等式，經齊次化處理后使用基本不等式在時最大值時，將代入所求關系式，得到二次函數利用配方法即可求得其最大值.
【詳解】，
，又均為正實數，
（當且僅當時取"=")，
，此時.
，
，當且僅當時取得"="，滿足題意.
的最大值為1.
故選：B.
【變式5-2】（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學校考期中）已知函數，若對任意的正數、，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對任意的，，所以，函數的定義域為，
因為，即函數為奇函數，
又因為，且函數在上為增函數，
所以，函數在上為增函數，
對任意的正數、，滿足，則，
所以，，即，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為．
故選：B．
【變式5-3】．（2022·廣東湛江高三模擬）若正實數x,y滿足，則的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將變形為，展開后利用均值不等式求得的最小值，即可求得的最大值，即得答案.
【詳解】由題意可得正實數x,y滿足，
所以，
當且僅當即時取等號，
所以，
故選：B．
考點六 廣義均值不等式
廣義均值不等式：即
調和平均值幾何平均值算數平均值加權平均值（當且僅當a=b時取“=”）
【例題1】．（2023·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高三模擬）已知，且，則（　　）
A．ab的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最大值為3
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求解判斷
【詳解】因為，且，
A. ，當且僅當時，等號成立，故正確；
B. ，
當且僅當，即時，等號成立，故正確；
C. ，當且僅當時，等號成立，故正確；
D. ，
當且僅當，即時，等號成立，故錯誤；
故選：ABC
【例題2】．（2021·浙江省樂清中學高三模擬）已知，.若，則（ ）
A．的最小值為5 B．的最小值為9
C．的最大值為 D．的最大值為.
【答案】BC
【分析】利用基本不等式的變形及乘1法，基本不等式的性質可求得答案．
【詳解】對于A，，故A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，由于，，，所以，
當且僅當時取等號，故C正確；
對于D，由于，，，
所以，
當且僅當時取等號．即，，故等號取不到，故D錯誤．
故選：BC
【變式6-1】．（2021·湖南省臨澧縣第一中學高三模擬）已知a，b為正實數，且，則（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為4
C．的最小值為 D．的最大值為
【答案】AD
【分析】根據基本不等式進行和積互化，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】A：由，令，即，
∴，∴，
∴，當時，等號成立，A正確；
選項B：由，∴，則，
∴，
當，即時等號成立，的最小值為5，B不正確；
選項C：，
當，即時，等號成立，
的最小值為，C不正確；
選項D：，
當，即時等號成立，D正確.
故選：AD
【變式6-2】．（2023秋·江蘇南通·高三海安高級中學?？迹┮阎獮檎龑崝?，，則（ ）
A．的最大值為1 B．的最小值3
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】運用可判斷A項，由結合基本不等式可判斷B項，令，代入原式，結合“1”的代換及基本不等式可判斷C項，由，結合換元法轉化為求二次函數在區間上的最小值即可.
【詳解】對于A項，因為，，所以，當且僅當時取等號，故A項正確；
對于B項，因為，，所以，當且僅當時取等號，故B項正確；
對于C項，令，，則，（，），
所以
，當且僅當，，即，時取等號，故C項錯誤；
對于D項，，
令，由A項知，，
則，（），
所以當時，取得最小值為，故D項正確.
故選：ABD.
核心考點題型七 復數的四則運算
【例題1】（2023·重慶八中高三階段檢測）復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以復數的虛部為.故選：A
【例題2】（2023·湖北·荊門市龍泉中學高三階段檢測）已知復數，是的共軛復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在復數中：，故周期為4，則且，所以
則，所以的虛部為.故選：C.
【變式7-1】．（2023·浙江杭州高三統考期中）設復數（i為虛數單位），則（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】B
【解析】因為，
所以，
所以．
故選：B．
【變式7-2】（2023·云南曲靖高三模擬預測）若復數滿足，則（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】設，.所以，
所以，所以，
所以，所以，
當時，方程組無解；
當時，沒有實數解；
當時，,
所以或.所以當時，；
當時，.所以.故選：B
核心考點題型八 復數的幾何意義
【例題1】．（2023 全國新高考Ⅱ卷）在復平面內，對應的點位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【解析】，
則在復平面內，對應的點的坐標為，位于第一象限．
故選：．
【例題2】（2023春·浙江·高三校聯考開學考試）復數，復數滿足，則下列關于的說法錯誤的是（ ）
A． B．
C．的虛部為 D．在復平面內對應的點在第二象限
【答案】C
【解析】對于A，由已知可得，
，故A正確.
對于B，因為，所以，故B正確；
對于C，根據復數的概念可知的虛部為，故C錯誤；
對于D，根據復數的概念可知在復平面內對應的點為，故D正確.
故選：C.
【例題3】（2023·湖南·模擬預測）已知i是虛數單位，復數在復平面內對應的點為P，Q，若（O為坐標原點），則實數（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】復數，則，，則，，
，，解得，故選：D.
【變式8-1】（2022·山西太原高三模擬）若復數z在復平面對應的點為Z，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則Z在復平面內的軌跡為圓
C．若，滿足，則的取值范圍為
D．若，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】對于A，若，則，，，依次循環，
所以，故A正確；對于B，設，，則有，可知在復平面內的軌跡為圓，故B正確；
對于C，因為復數z滿足，故點軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，
設，即，當此直線與圓相切時有，解得，所以的取值范圍為，故C不正確；對于D，設，，若，則有，令
，則.令，可得，所以，于是得，故D正確.故選：ABD
【變式8-2】（2023·山東高三二模）已知為虛數單位，則取到最小值時，的值為___________．
【答案】
【解析】設復數，則，
得，表示以為圓心，為半徑的圓，，表示圓C上的點到定點的距離，當點、、三點共線時，到的距離最小，
即取到最小值，此時，所以.
【變式8-3】（2023·云南昆明高三模擬）已知復數，滿足，，（其中i是虛數單位），則的最大值為（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】復數在復平面的對應點的軌跡為焦點分別在，的橢圓，
方程為；復數在復平面的對應點的軌跡為圓心在，半徑為2的圓，方程為， 即為橢圓 上的點與圓 上的點的距離.
的最大值即為點到圓心 的距離的最大值加半徑.設.
所以 .，故選：B

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