資源簡介

素養提升點3-2 奔馳定理與三角形的“四心”問題（解析版）
【考情透析】
平面向量是高考的必考考點，它可以和函數、三角函數、數列、幾何等知識相結合考查。平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現，難度中等。
【知識拓展】
（一）四心的基本概念
（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
（2）內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
（4）垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直．
（二）四心的向量表示
1、常見重心向量式：設是的重心，為平面內任意一點
（1）
（2）
（3）若或，，則一定經過三角形的重心
（4）若或，，則一定經過三角形的重心
2、常見內心向量式：是的內心，
（1）（或）
其中，，分別是的三邊、、的長，
（2），，則一定經過三角形的內心。
3、常用外心向量式：是的外心，
（1）
（2）
（3）動點滿足，，
則動點的軌跡一定通過的外心.
（4）若，則是的外心.
4、常見垂心向量式：是的垂心，則有以下結論：
（1）
（2）
（3）動點滿足，，則動點的軌跡一定過的垂心
（三）奔馳定理
如圖，已知P為內一點，則有.
由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
（一）奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
（二）奔馳定理的推論及四心問題
推論是內的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）是的重心：．
（2）是的內心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
核心考點題型一 重心的向量表示及其應用
【例題1】．（2023秋·上海長寧·高三上海市延安中學校考期末）若是內一點，，則是的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法則，結合重心定義判斷作答.
【詳解】取線段的中點，連接，則，而，

因此，即三點共線，線段是的中線，且是靠近中點的三等分點，
所以是的重心.
故選：D
【例題2】（2023·湖南長沙高三檢測）已知是平面上的4個定點，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】A
【解析】根據題意，設邊的中點為，則，
因為點滿足，其中
所以，，即，
所以，點的軌跡為的中線，
所以，點的軌跡一定經過的重心.故選：A
【例題3】（2023秋·湖北武漢高三專題檢測）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內一動點，若，，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【答案】B
【解析】如圖，取的中點，連接，
則．
又，，即．
又，點在射線上．
故的軌跡過的重心．故選：B．
【例題4】．（2023·江西南昌·高三校聯考期中）銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為______．
【答案】，
【解析】由題意，，
又，則，
所以，即，
由，，，
所以,，
由為銳角三角形及上式，則，即，可得，
所以在上遞減，在上遞增，則.
故答案為：
【變式1-1】（2023·山東威海高三階段檢測）在中，設，，為的重心，則用向量和為基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，為的重心，延長交于點，
由題意可知，，
所以，
所以，故選：A.
【變式1-2】（2024·江西九江高三模擬預測）已知是圓心為O，半徑為R的圓的內接三角形，M是圓O上一點，G是的重心．若，則___________．
【答案】
【解析】∵，則
∵，則 ∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，則即
∴
【變式1-3】（2023秋·云南曲靖高三模擬）設為的重心，若，則___________．
【答案】
【解析】因為為重心，則，
又因為，
不妨設，所以，
所以，所以，
所以
【變式1-4】．（2023·江蘇南京·模擬預測）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．
【答案】
【解析】
根據為的重心，得到，再由和，利用等面積法求得，進而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.
【詳解】
解：因為為的重心，
所以，
因為，
所以，則，
因為，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因為，
，
所以，
．
方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，
則，，
由方法一可知，，
所以．
核心考點題型二 內心的向量表示及其應用
【例題1】（2023秋·甘肅白銀高三聯考）已知點是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】分別表示方向的單位向量，
令，，
則，即，
又，以為一組鄰邊作一個菱形，
則點P在該菱形的對角線上，
所以點P在，即的平分線上，
故動點P的軌跡一定通過的內心.故選：B.
【例題2】．（2023·河南鄭州高三模擬預測）在中，，，，且，若為的內心，則_________．
【答案】
【解析】因為，所以，
因為，所以，
所以，又，，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
所以為以為斜邊的直角三角形，
設的內切圓與邊相切于點，內切圓的半徑為，
由直角三角形的內切圓的性質可得，故，
因為，所以，
因為，所以，所以
所以.
故答案為：.
【例題3】．（2023秋·四川成都高三專題檢測）已知中，，，，I是的內心，P是內部（不含邊界）的動點.若（，），則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】建立如圖所示平面直角坐標系，則
，
因為是三角形的內心，設三角形內切圓半徑為，
則，解得.
所以，.
依題意點在三角形的內部（不含邊界）.
因為，
所以，
所以，
令，
則，
由圖可知，當過時，.
當，過，即為直線時，.
所以的取值范圍時.
故答案為：
【變式2-1】（2023秋·云南曲靖高三專題檢測）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經過的（ ）.
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因為，且D為中點，，
則，
又因為，則可得四邊形為菱形，
即為菱形的對角線，
所以平分，即直線經過的內心，故選:A
【變式2-2】（2023·河北石家莊高三專題檢測）在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖：圓O在邊上的切點分別為，
連接，延長交于點
設，則，則
設
∵三點共線，則，即
即故選：D．
【變式2-3】．（2023秋·陜西西安聯考）已知是所在平面內一點，且點滿足 則點一定的（ ）
A．外心 B．重心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【解析】表示與的角平分線垂直的向量，因為與垂直，所以平行于的角平分線，即點位于的角平分線上，同理可得，點位于的角平分線上以及的角平分線上，即點是的角平分線的交點，因此點是的內心.
【詳解】因為，所以，
即，
即可得，即是的角平分線；
同理可得是的角平分線，是的角平分線,
所以點為三條角平分線的交點，即點是的內心.
故選：C
【變式2-4】（2023·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學校考）設為的內心，，，，則為________．
【答案】
【解析】因為，所以取BC中點為O，連接AO，
則，且的內心在AO上，IO即為的內切圓半徑，
又，所以AO，
因為，即，
所以，，
以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標系，則，，，則，，，
因為，即，
所以解得，所以，
故答案為：.
【變式2-5】．（2023秋·內蒙古呼和浩特高三校考）校考期末）已知為的內心，且滿足，若內切圓半徑為2，則其外接圓半徑的大小為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】取邊的中點，根據給定條件可得，求出，進而求出及，再利用正弦定理求解作答.
【詳解】在中，取邊的中點，連接，

則，而，有，因此點共線，
由為的內心，得平分，即有，
因此，，有，，令內切圓與邊切于點，連接，
則，，，
，，
在中，，
令外接圓半徑為，由正弦定理得.
核心考點題型三 外心的向量表示及其應用
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬預測）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【解析】由，利用數量積的定義得到，從而得到點O在邊AB的中垂線上，同理得到點O在邊AC的中垂線上判斷.
【詳解】解：根據題意，，即，
所以，則向量在向量上的投影為的一半，
所以點O在邊AB的中垂線上，同理，點O在邊AC的中垂線上，
所以點O為該三角形的外心．
故選：B．
【例題2】．（2023·河北·模擬預測）已知為的外心，，，則___________．
【答案】/-3.5
【解析】如圖：分別為的中點，則
故答案為：.
【變式3-1】（2023·云南曲靖高三專題檢測）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的________(填序號）．①內心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【答案】④
【解析】設BC的中點為D，
∵，
∴，
即，兩端同時點乘，
∵= ===0，
所以，
所以點P在BC的垂直平分線上，即P經過△ABC的外心
【變式3-2】．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考）已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，，且，則的值為________．
【答案】.
【解析】如圖，
分別取，的中點，，連接，，
則；，
因為，
設的外接圓半徑為，由正弦定理可得，
所以兩邊同時點乘可得,
即,
所以，
所以,
所以，
所以，即，
所以.
故答案為：.
【變式3-3】（2023秋·浙江金華高三統考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】設，，以為原點，、方向為、軸正方向如圖建立空間直角坐標系，，，，
則，，，，則，
設，則，
，，即，
即點的軌跡方程為，
而直線平分線段，即點的軌跡為線段的垂直平分線，
根據三角形外心的性質可得點的軌跡一定過的外心，故選：A.
核心考點題型四 垂心的向量表示及其應用
【例題1】（2023·江西九江高三專題檢測）已知點O為△ABC所在平面內一點，且，則O一定為△ABC的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【解析】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故選：C.
【例題2】．（2023秋·重慶八中高三專題檢測）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【答案】/
【分析】由題可得，，利用，得，，可得， 再利用平方關系結合條件即得.
【詳解】因為，
所以，同理，
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案為：.
【變式4-1】（2023·陜西榆林高三模擬）已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【答案】C
【解析】由題意知，中，，
則，即，
所以，即，
同理，，；所以是的垂心.故選：C
【變式4-2】．（2023·四川綿陽高三模擬）已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【答案】 30 25
【分析】利用向量的運算表示出，利用數量積運算可得答案；先利用面積及第一空結果求出，對平方可求模長.
【詳解】如圖，

是的邊上的高，則；設，
因為，面積為15，所以，即；
.
由第一空可知，所以；
所以，由可得，即；
因為，
所以；
故答案為：30 25.
【變式4-3】．（2023·廣東深圳高三模擬檢測）設H是的垂心，且，則_____．
【答案】
【解析】∵H是的垂心， ∴，，
∴，同理可得，，
故，
∵，∴，
∴，同理可求得，
∴，，
∴，即.
故答案為：．
【變式4-4】．（2023·銀川一中高三第二次模擬）在中，點O、點H分別為的外心和垂心，，則________.
【答案】8
【解析】，
，
因為H為垂心，所以，，
設，外接圓的半徑為，
由余弦定理得，
，，
同理，
所以，
，
所以8，
故答案為：8
【變式4-5】．（2023秋·河南濮陽·高三統考期末）點為所在平面內的點，且有，，，則點分別為的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】A
【分析】由題中向量的關系，根據數量積轉化為位置上的關系，進而可判斷.
【詳解】由，得，
即，
則，
得
所以，則，同理可得，，
即是三邊上高的交點，則為的垂心；
由，得，
設的中點為，則，即，，三點共線，
所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，
即是三邊中線的交點，故為的重心；
由，得，即，
又是的中點，所以在的垂直平分線上，
同理可得，在，的垂直平分線上，
即是三邊垂直平分線的交點，故是的外心，
故選：A
核心考點題型五 奔馳定理及其應用
【例題1】（2023·河北保定高三模擬）已知是內一點，且滿足，記的面積依次為，則等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下圖，延長至，使得，延長至，使得，
延長至，使得，因為，
所以，故是的重心，
設，則，
又，所
，
，
所以，
，
所以，
所以，則等于.故選：C.
【例題2】．（2023·廣西桂林高三專題檢測）已知是內的一點，若的面積分別記為，則.這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，利用同底的兩個三角形面積比推得即可求解作答.
【詳解】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，如圖，
則，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔馳定理”有，
則，而與不共線，有，，即，
所以.
故選：A
【變式5-1】（2023·湖北武漢高三專題檢測）已知是內部的一點，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因為,所以.
設可得則是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以與的面積之比為即為.
故選：A.
【變式5-2】．（2023·山東煙臺高三模擬）奔馳定理：已知點O是內的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長交于點P，則利用垂心的性質結合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設，利用可求出的值，從而可求出的值.
【詳解】延長交于點P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨設，其中．
，
，解得．
當時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．
故，則，故C為銳角，
∴，解得，
故選：B．
【變式5-3】（2023·云南大理高三專題檢測）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內的一點，的面積分別為，則有．設O是銳角內的一點，分別是的三個內角，以下命題不正確的有（ ）
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若，，則
D．若O為的垂心，則
【答案】C
【解析】對于A，假設為的中點，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，根據奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計算出，可得C錯誤；選項D，由垂心的性質、向量數量積的運算律，得到，結合三角形面積公式及角的互補關系得結論.
【詳解】對于A：如下圖所示，
假設為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：
由奔馳定理O是內的一點，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：
由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C錯誤；
對于D：由四邊形內角和可知，，則，
同理，，
因為O為的垂心，則，
所以，同理得，，
則，
令，
由，則，
同理：，，
綜上，，
根據奔馳定理得，即D正確.
故選：C
【變式5-4】．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考）（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若為的內心，則
C．若，，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
【答案】ABD
【分析】對A，取BC的中點D，連接MD，AM，結合奔馳定理可得到，進而即可判斷A；
對B，設內切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結合奔馳定理即可判斷B；
對C，設的外接圓半徑為，根據圓的性質結合題意可得，，，從而可用表示出，，，進而即可判斷C；
對D，延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E，根據題意結合奔馳定理可得到，，從而可設，，則，，代入即可求解，進而即可判斷D．
【詳解】對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，
由，則，
所以，
所以A，M，D三點共線，且，
設E，F分別為AB，AC的中點，同理可得，，
所以為的重心，故A正確；
對于B，由為的內心，則可設內切圓半徑為，
則有，，，
所以，
即，故B正確；
對于C，由為的外心，則可設的外接圓半徑為，
又，，
則有，，，
所以，
，
，
所以，故C錯誤；
對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，
由為的垂心，，則，
又，則，，
設，，則，，
所以，即，
所以，所以，故D正確；
故選：ABD．素養提升點3-2 奔馳定理與三角形的“四心”問題（原卷版）
【考情透析】
平面向量是高考的必考考點，它可以和函數、三角函數、數列、幾何等知識相結合考查。平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現，難度中等。
【知識拓展】
（一）四心的基本概念
（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
（2）內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
（4）垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直．
（二）四心的向量表示
1、常見重心向量式：設是的重心，為平面內任意一點
（1）
（2）
（3）若或，，則一定經過三角形的重心
（4）若或，，則一定經過三角形的重心
2、常見內心向量式：是的內心，
（1）（或）
其中，，分別是的三邊、、的長，
（2），，則一定經過三角形的內心。
3、常用外心向量式：是的外心，
（1）
（2）
（3）動點滿足，，
則動點的軌跡一定通過的外心.
（4）若，則是的外心.
4、常見垂心向量式：是的垂心，則有以下結論：
（1）
（2）
（3）動點滿足，，則動點的軌跡一定過的垂心
（三）奔馳定理
如圖，已知P為內一點，則有.
由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
（一）奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點
則
（二）奔馳定理的推論及四心問題
推論是內的一點,且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）是的重心：．
（2）是的內心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
核心考點題型一 重心的向量表示及其應用
【例題1】．（2023秋·上海長寧·高三上海市延安中學校考期末）若是內一點，，則是的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例題2】（2023·湖南長沙高三檢測）已知是平面上的4個定點，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【例題3】（2023秋·湖北武漢高三專題檢測）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內一動點，若，，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【例題4】．（2023·江西南昌·高三校聯考期中）銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為______．
【變式1-1】（2023·山東威海高三階段檢測）在中，設，，為的重心，則用向量和為基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·江西九江高三模擬預測）已知是圓心為O，半徑為R的圓的內接三角形，M是圓O上一點，G是的重心．若，則___________．
【變式1-3】（2023秋·云南曲靖高三模擬）設為的重心，若，則___________．
【變式1-4】．（2023·江蘇南京·模擬預測）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則______．
核心考點題型二 內心的向量表示及其應用
【例題1】（2023秋·甘肅白銀高三聯考）已知點是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【例題2】．（2023·河南鄭州高三模擬預測）在中，，，，且，若為的內心，則_________．
【例題3】．（2023秋·四川成都高三專題檢測）已知中，，，，I是的內心，P是內部（不含邊界）的動點.若（，），則的取值范圍是______.
【變式2-1】（2023秋·云南曲靖高三專題檢測）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經過的（ ）.
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【變式2-2】（2023·河北石家莊高三專題檢測）在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】．（2023秋·陜西西安聯考）已知是所在平面內一點，且點滿足 則點一定的（ ）
A．外心 B．重心 C．內心 D．垂心
【變式2-4】（2023·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學校考）設為的內心，，，，則為________．
【變式2-5】．（2023秋·內蒙古呼和浩特高三校考）校考期末）已知為的內心，且滿足，若內切圓半徑為2，則其外接圓半徑的大小為（ ）
A． B．3 C． D．4
核心考點題型三 的向量表示及其應用
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬預測）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例題2】．（2023·河北·模擬預測）已知為的外心，，，則___________．
【變式3-1】（2023·云南曲靖高三專題檢測）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的________(填序號）．①內心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【變式3-2】．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考）已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，，且，則的值為________．
【變式3-3】（2023秋·浙江金華高三統考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
核心考點題型四 的向量表示及其應用
【例題1】（2023·江西九江高三專題檢測）已知點O為△ABC所在平面內一點，且，則O一定為△ABC的（ ）
A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心
【例題2】．（2023秋·重慶八中高三專題檢測）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【變式4-1】（2023·陜西榆林高三模擬）已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【變式4-2】．（2023·四川綿陽高三模擬）已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【變式4-3】．（2023·廣東深圳高三模擬檢測）設H是的垂心，且，則_____．
【變式4-4】．（2023·銀川一中高三第二次模擬）在中，點O、點H分別為的外心和垂心，，則________.
【變式4-5】．（2023秋·河南濮陽·高三統考期末）點為所在平面內的點，且有，，，則點分別為的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
核心考點題型五 奔馳定理及其應用
【例題1】（2023·河北保定高三模擬）已知是內一點，且滿足，記的面積依次為，則等于 （ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·廣西桂林高三專題檢測）已知是內的一點，若的面積分別記為，則.這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·湖北武漢高三專題檢測）已知是內部的一點，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】．（2023·山東煙臺高三模擬）奔馳定理：已知點O是內的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·云南大理高三專題檢測）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內的一點，的面積分別為，則有．設O是銳角內的一點，分別是的三個內角，以下命題不正確的有（ ）
A．若，則O為的重心
B．若，則
C．若，，則
D．若O為的垂心，則
【變式5-4】．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考）（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若為的內心，則
C．若，，為的外心，則
D．若為的垂心，，則

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