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熱點1-3 函數及其性質十一類核心考點題型（解析版）
（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）
考情分析
從近五年的高考情況來看，本節是高考的一個重點，函數的單調性、奇偶性、周期性是高考的必考內容，重點關注單調性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想
考點一 函數的單調性
單調性的運算
①增函數（↗）增函數（↗）增函數↗ ②減函數（↘）減函數（↘）減函數↘
③為↗，則為↘，為↘ ④增函數（↗）減函數（↘）增函數↗
⑤減函數（↘）增函數（↗）減函數↘ ⑥增函數（↗）減函數（↘）未知（導數）
⑦若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
⑧若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．
（2）復合函數的單調性
核心考點題型一 函數單調性的簡單應用
【例題1】．（2023·北京·統考高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調，D錯誤.
故選：C.
【例題2】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考）已知函數是上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】顯然當時，為單調減函數，
當時，，則對稱軸為，
若是上減函數，則 解得，
故選：A．
【變式1-1】．（2023春·江西·高三校聯考階段檢測）函數的單調遞增區間為______.
【答案】
【解析】函數的定義域為，則，
令，解得，故函數的單調遞增區間為.故答案為：.
【變式1-2】．（2023·江西高三模擬）函數的單調減區間為______.
【答案】
【解析】函數中，，解得或，即函數的定義域為，
在上單調遞減，在上單調遞增，而在單調遞增，
于是得在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的單調減區間為.
故答案為：
【變式1-3】．（2023年新高考全國Ⅰ卷數學真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
【變式1-4】．（2023·陜西西安高三專題檢測）已知函數在上單調遞增，記，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據指數函數、對數函數的單調性可得的大小，再利用的單調性可得答案
【詳解】因為是單調遞減函數，所以，
因為是單調遞增函數，
所以，
所以，
又函數在上單調遞增，所以，
故選：C.
核心考點題型二 利用函數單調性解決不等式
【例題3】（2024·河南安陽統考一模）已知定義在上的函數滿足，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，
則不等式轉化為，
因為是增函數，且，
所以不等式的解集為.
故選：A
【變式1-5】（2024·安徽蚌埠高三固鎮縣第二中學校考）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，顯然函數在上單調遞增，且，
因此，即，則，于是，A正確，B錯誤；
由，顯然當時，，CD錯誤.
故選：A
【變式1-6】（2024·甘肅蘭州高三模擬）設函數，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假設，
所以，所以，
所以為奇函數，
而是向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度，所以的對稱中心為，所以，
由求導得
因為，當且僅當即，取等號，
所以所以在R上單調遞增，
因為得
所以，解得，
故選：B
考點二 函數的奇偶性
（1）函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱．
（2）奇偶函數的圖象特征．
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱．
（3）若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足．
（4）偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同．
（5）若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式．記，，則．
（6）運算函數的奇偶性規律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇．
（8）常見奇偶性函數模型
奇函數：①函數或函數．
②函數．
③函數或函數
④函數或函數．
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①函數．②函數．
③函數類型的一切函數．④常數函數
核心考點題型三 函數奇偶性判斷及應用
【例題1】（2023·北京通州模擬預測）已知函數，則（ ）
A．是偶函數，且在是單調遞增 B．是奇函數，且在是單調遞增
C．是偶函數，且在是單調遞減 D．是奇函數，且在是單調遞減
【答案】B
【解析】根據奇函數的定義及指數函數的單調性判斷可得；
解：定義域為，且，
所以為奇函數，
又與在定義域上單調遞增，所以在上單調遞增；
故選：B
【例題2】．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.
【詳解】因為 為偶函數，則 ，解得，
當時，，，解得或，
則其定義域為或，關于原點對稱.
，
故此時為偶函數.
故選：B.
【變式2-1】．（2023·四川成都高三模擬）設是定義在R上的奇函數，且當時，，不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據題意，當時，，所以在上為增函數，
因為是定義在R上的奇函數，
所以在R上為增函數，
因為，所以，，
所以，
所以不等式可化為，
所以，解得或，
所以不等式的解集為，
故選：C
【變式2-2】（2023春·廣西·高三期末）是定義在R上的函數，為奇函數，則（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】是定義在R上的函數，為奇函數，則
．
∴．
故選：A
【變式2-3】．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）（多選）已知不恒為0的函數，滿足，都有．則（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．為偶函數
【答案】BD
【分析】令和，即可判斷選項AB；令，即可判斷選項CD.
【詳解】令，則，∴或1．
令，則，若，則，與不恒為0矛盾，∴，∴選項B正確選項A錯誤；
令，則，∴，∴為偶函數，∴選項D正確選項C錯誤.
故選：BD．
核心考點題型四 奇函數+M型函數
【例題3】．（2023·山西大同高三統考）函數的最大值為M，最小值為N，則（ ）
A．3 B．4 C．6 D．與m值有關
【答案】C
【解析】由題意可知，，
設，則的定義域為，
所以，
所以為奇函數，
所以，
所以,
故選：C.
【變式2-4】（2024·河南·西平縣高級中學模擬預測）已知函數，且，則（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】設，因為，
所以為奇函數，因為，所以，
則．
故選：D．
【變式2-5】（2024·福建省福州第一中學高三期末）若對，有，函數在區間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
由題設，且，
∴，則，
∴為奇函數，令，
∴，即是奇函數，
∴在上的最小、最大值的和為0，即，
∴．
故選：B
核心考點題型五 函數奇偶性與單調性的綜合應用
【例題4】．（2023·安徽黃山·統考二模）已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知：的定義域為或，關于原點對稱，
由得，故 為偶函數，
當時，，由于函數，均為單調遞增函數，在單調遞增，因此 為上的單調遞增函數，所以不等式等價于 ，解得,故選：C
【例題5】（2023·安徽銅陵高三統考階段檢測）已知函數，若實數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一方面由題意有，
另一方面若有成立，
結合以上兩方面有，
且注意到，
所以由復合函數單調性可得在上嚴格單調遞增，
若，則只能，
因此當且僅當；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：C.
【變式2-6】．（2023·陜西·統考一模）函數是定義在上的奇函數，且在上單調遞增，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數是奇函數，且在上單調遞增，所以函數在上也單調遞增，
又因為，所以，不等式等價于或，
即或，得到．故選：D．
【變式2-7】（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考階段檢測）若函數f（x）=，則滿足恒成立的實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以是上的奇函數，
由 ，所以是上的增函數，
所以等價于：
即，所以，
令，則問題轉化為：，
因為且定義域為，所以是上的偶函數，
所以只需求在上的最大值即可．
當時，，
，
則當時，；當時，；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
可得：，
即，
故選：A．
考點三 函數的對稱性
對稱性（和為常數有對稱軸）
軸對稱：①若，則的對稱軸為
②若，則的對稱軸為
點對稱：①若，則的對稱中心為
②若，則的對稱中心為
核心考點題型六 與對稱軸有關的函數問題
【例題1】．（2020·全國·統考高考真題）已知函數f(x)=sinx+，則（）
A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關于y軸對稱
C．f(x)的圖象關于直線對稱 D．f(x)的圖象關于直線對稱
【答案】D
【分析】根據基本不等式使用條件可判斷A;根據奇偶性可判斷B;根據對稱性判斷C,D.
【詳解】可以為負，所以A錯；
關于原點對稱；
故B錯；
關于直線對稱，故C錯，D對
故選：D
【例題2】（2024·四川成都高三模擬）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由題意，故有
故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標．
根據函數和函數互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，
故曲線和曲線的圖象交點關于直線對稱．
即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構成的線段的中點在直線y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故選：D．
【變式3-1】（2024·四川廣元高三校考階段檢測）函數滿足：對，都有，則a+b為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因為函數滿足：對，都有，
所以，即，解得，
經檢驗滿足題意，所以，
故選：C.
【變式3-2】（2024春·云南曲靖高三校考階段檢測）已知函數，則的大小關系（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，所以是偶函數；
當時，，在上是增函數，
將圖像向右平移一個單位得到圖像，
所以關于直線對稱，且在單調遞增．
∵，，，
∴，
∴，
又∵關于直線對稱，∴，
∴．
故選：A
核心考點題型七 與對稱中心相關的函數問題
【例題1】．（2023·江蘇徐州聯考三模）（多選）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱
【答案】AD
【分析】根據抽象函數的奇偶性與對稱性即可判斷得答案.
【詳解】因為為奇函數，所以，所以函數關于點對稱，
又為偶函數，所以，所以函數關于直線對稱.
故選：AD.
【例題2】（2024春·四川宜賓高三聯考）已知函數，函數滿足，若函數恰有個零點，則所有這些零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數滿足，
則函數的圖象關于點對稱，且（1），
函數，
則，
所以函數為奇函數，其圖象關于點對稱，
又函數是由函數向右平移一個單位得到的函數，
故函數的圖象關于點對稱，
令，
則，
因為函數與的圖象都關于點對稱，
所以兩個函數圖象的交點也關于點對稱，
因為函數恰有2021個零點，
所以2021個零點除之外的2020個零點關于對稱，
則所有這些零點之和為．
故選：D．
【例題3】（2024·天津三中二模）設函數的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數具有對稱性，其中點為函數的對稱中心，研究函數的對稱中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】令函數，得出函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，進而求得函數的圖象關于點中心對稱，得到當時，再結合倒序相加法，即可求解.
令函數，則，
所以函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，
可得的圖象關于點中心對稱，
即當，可得，
設
，
所以
所以.
故選：C.
【變式3-3】（2024春·吉林長春一中校考模擬）已知函數是奇函數，若函數與圖象的交點分別為，，…，，則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可得關于點對稱，的圖象也關于點對稱，
即若點為交點，則點也為交點，同理若為交點，則點也為交點，……
則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為，
故選：D．
【變式3-4】（2024春·甘肅天水高三聯考）已知函數，函數為奇函數，若函數與圖象共有個交點為、、、，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
函數的定義域為，
，所以，，
故函數的圖象關于點對稱，
因為函數為奇函數，則，即，
故函數的圖象也關于點對稱，
函數與圖象共有個交點為、、、，且這六個點也關于點對稱，
所以，．
故選：B．
【變式3-5】．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以故選：D
考點四 周期性
1.與周期有關的幾個結論：①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴倍問題
周期性對稱性綜合問題
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對稱性綜合問題
①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：
②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：
核心考點題型八 直接利用周期性解決函數問題
【例題1】．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區第一中學校考三模）函數，滿足，當，，則______.
【答案】1
【分析】根據可得周期為2，由可得答案.
【詳解】因為滿足，所以的周期為，
.
故答案為：1.
【例題2】（2024·四川廣元高三專題檢測）已知定義在上的函數滿足，且當時，，若函數圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數滿足，所以函數是周期為2的周期函數，
又函數的圖象可由函數的圖象向左平移一個單位可得，
所以函數的圖象的對稱軸為，
當時，，所以函數的圖象也關于對稱，
在平面直角坐標系中作出函數與在右側的圖象，
數形結合可得，若函數圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，
則由函數圖象的對稱性可得兩圖象在右側有5個交點，
則，解得．
故選：D．
【變式4-1】（2024·廣東茂名·模擬預測）已知函數是上的奇函數，且，且當時，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可求得函數的周期為3，結合函數為奇函數可得即可求解.
因為，所以，因此函數的周期為，
所以，
又函數是上的奇函數，所以，
所以，即，
所以原式，
又當時，，可得，因此原式.
核心考點題型九 利用周期性和對稱性解決函數問題
【例題3】．（2024·浙江模擬預測）已知定義在上的函數滿足，當時，則=（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根據所給的等式可得為奇函數且周期為2，再根據對數的運算求解即可.
【詳解】由可得為奇函數，又，則，故，故周期為2.
故
.
故選：D
【例題4】（2023春·江西九江實驗中學校考階段檢測）已知是定義在R上的奇函數，，恒有，且當時，1，則（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因為，所以的最小正周期是8，
因為，
，，，
，又是周期為8的周期函數，
所以，
，所以．
故選：B
【變式4-2】（2023·內蒙古赤峰·高三校考期中）已知函數的定義域為為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由為奇函數，得，
故①，函數的圖象關于點對稱；
由為偶函數，得②，
則函數的圖象關于直線對稱；
由①②得，
則，
故的周期為，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函數的圖象關于直線對稱，得，
又函數的圖象關于點對稱，得
所以，即，
所以④，聯立③④解得
故時，，
由關于對稱，可得.
故選：A.
【變式4-3】．（2024·貴州黔西·校考一模）已知函數是定義在上的奇函數，且的圖象關于對稱．若，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【答案】C
【解析】因為函數是定義在上的奇函數，
所以，且，
又的圖象關于對稱，則，
即①，則，，
在①中，令，得，
則，所以函數的周期為，即，
則有，
所以
，
故選：C.
【變式4-4】．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知函數與的定義域均為，為偶函數，且，，則下面判斷錯誤的是( )
A．的圖象關于點中心對稱 B．與均為周期為4的周期函數
C． D．
【答案】C
【分析】由為偶函數可得函數關于直線軸對稱，結合和可得的周期為4，繼而得到的周期也為4，接著利用對稱和周期算出對應的值即可判斷選項
【詳解】因為為偶函數，所以①，所以的圖象關于直線軸對稱，
因為等價于②，
又③，②+③得④，即，即，
所以，故的周期為4，
又，所以的周期也為4，故選項B正確，
①代入④得，故的圖象關于點中心對稱，且，故選項正確，
由，可得，且，故，
故，
因為與值不確定，故選項錯誤，
因為，所以，
所以，故，
故，所以選項D正確，
故選:.
核心考點題型十 類周期函數
【例題5】．（2024·銀川一中高三第一次模擬考）定義域為的函數滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因為當時，不等式恒成立，所以，
當時，
當時，，當時， ，因此當時，，選B．
【變式4-5】．（2023·陜西咸陽第一高級中學高三期中）定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是（　　 ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】
因為，所以，
因為時，，
所以，
因為函數滿足，
所以，
所以，，
又因為，恒成立，
故，
解不等式可得或．
核心考點題型十一 抽象函數的單調性、奇偶性、周期性
【例題1】（2024·重慶南開中學模擬預測）已知函數，則關于t的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據函數解析式判斷函數關于點成中心對稱，再由基本初等函數判斷函數單調性，轉化原不等式后求解即可.
，
圖象關于點成中心對稱，
又的定義域為，
由在上單調遞增知，
在上遞增，
，，即，
，解得，又，解得，
所以.
故選：C
【例題2】．（2024春·內蒙包頭高三統考檢測）已知函數、的定義域均為，為偶函數，且，，下列說法正確的有（ ）
A．函數的圖象關于對稱 B．函數的圖象關于對稱
C．函數是以為周期的周期函數 D．函數是以為周期的周期函數
【答案】BC
【解析】對于A選項，因為為偶函數，所以．
由，可得，可得，
所以，函數的圖象關于直線對稱，A錯；
對于B選項，因為，則，
又因為，可得，
所以，函數的圖象關于點對稱，B對；
對于C選項，因為函數為偶函數，且，
則，從而，則，
所以，函數是以為周期的周期函數，C對；
對于D選項，因為，且，，
又因為，所以，，
又因為，則，所以，，
故，因此，函數是周期為的周期函數，D錯．
故選：BC．
【變式4-6】（2024·山東聊城·二模）已知為上的奇函數，，若對，，當時，都有，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
因為，所以，即，設，
則在上單調遞減，而，
則，解得：；
因為為R上的奇函數，所以，
則為R上的偶函數，故在上單調遞增，
，則，解得：；
綜上，原不等式的解集為．
故選：B．
【變式4-7】．（2023·湖南長沙一中校考模擬預測）（多選）定義在R上的偶函數滿足，且在上是增函數，則（ ）
A．關于對稱 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據對稱中心和對稱軸定義結合得出周期判斷A,B,D選項，結合單調性得出C選項.
【詳解】為偶函數，
所以，所以，
所以關于點對稱，A錯誤；
又，所以，B正確；
因為在上是增函數，
所以，故C正確；
因為，
所以，而的值不確定，故D錯誤.
故選:BC．
【變式4-8】（2024·河南許昌·高三月考）已知函數，其中是自然對數的底數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判斷函數的奇偶性和單調性，利用函數的性質解不等式.
∵
∴
又 ，
∴ 函數為奇函數，
又，且僅時，
∴ 函數在R上為增函數，
∴ 函數為R上的增函數，
不等式可化為，
∴
∴
∴ 或，
∴ 實數的取值范圍是，
故選：D.
【變式4-9】．（2023·全國·統考高考真題）（多選）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B． C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.熱點1-3 函數及其性質十一類核心考點題型（原卷版）
（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）
考情分析
從近五年的高考情況來看，本節是高考的一個重點，函數的單調性、奇偶性、周期性是高考的必考內容，重點關注單調性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想
考點一 函數的單調性
單調性的運算
①增函數（↗）增函數（↗）增函數↗ ②減函數（↘）減函數（↘）減函數↘
③為↗，則為↘，為↘ ④增函數（↗）減函數（↘）增函數↗
⑤減函數（↘）增函數（↗）減函數↘ ⑥增函數（↗）減函數（↘）未知（導數）
⑦若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
⑧若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．
（2）復合函數的單調性
核心考點題型一 函數單調性的簡單應用
【例題1】．（2023·北京·統考高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考）已知函數是上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】．（2023春·江西·高三校聯考階段檢測）函數的單調遞增區間為______.
【變式1-2】．（2023·江西高三模擬）函數的單調減區間為______.
【變式1-3】．（2023年新高考全國Ⅰ卷數學真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-4】．（2023·陜西西安高三專題檢測）已知函數在上單調遞增，記，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型二 利用函數單調性解決不等式
【例題3】（2024·河南安陽統考一模）已知定義在上的函數滿足，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-5】（2024·安徽蚌埠高三固鎮縣第二中學校考）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-6】（2024·甘肅蘭州高三模擬）設函數，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考點二 函數的奇偶性
（1）函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱．
（2）奇偶函數的圖象特征．
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱．
（3）若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足．
（4）偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同．
（5）若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式．記，，則．
（6）運算函數的奇偶性規律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇．
（8）常見奇偶性函數模型
奇函數：①函數或函數．
②函數．
③函數或函數
④函數或函數．
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①函數．②函數．
③函數類型的一切函數．④常數函數
核心考點題型三 函數奇偶性判斷及應用
【例題1】（2023·北京通州模擬預測）已知函數，則（ ）
A．是偶函數，且在是單調遞增 B．是奇函數，且在是單調遞增
C．是偶函數，且在是單調遞減 D．是奇函數，且在是單調遞減
【例題2】．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【變式2-1】．（2023·四川成都高三模擬）設是定義在R上的奇函數，且當時，，不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023春·廣西·高三期末）是定義在R上的函數，為奇函數，則（ ）
A．－1 B． C． D．1
【變式2-3】．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）（多選）已知不恒為0的函數，滿足，都有．則（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．為偶函數
核心考點題型四 奇函數+M型函數
【例題3】．（2023·山西大同高三統考）函數的最大值為M，最小值為N，則（ ）
A．3 B．4 C．6 D．與m值有關
【變式2-4】（2024·河南·西平縣高級中學模擬預測）已知函數，且，則（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【變式2-5】（2024·福建省福州第一中學高三期末）若對，有，函數在區間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
核心考點題型五 函數奇偶性與單調性的綜合應用
【例題4】．（2023·安徽黃山·統考二模）已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例題5】（2023·安徽銅陵高三統考階段檢測）已知函數，若實數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-6】．（2023·陜西·統考一模）函數是定義在上的奇函數，且在上單調遞增，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-7】（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考階段檢測）若函數f（x）=，則滿足恒成立的實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
考點三 函數的對稱性
對稱性（和為常數有對稱軸）
軸對稱：①若，則的對稱軸為
②若，則的對稱軸為
點對稱：①若，則的對稱中心為
②若，則的對稱中心為
核心考點題型六 與對稱軸有關的函數問題
【例題1】．（2020·全國·統考高考真題）已知函數f(x)=sinx+，則（）
A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關于y軸對稱
C．f(x)的圖象關于直線對稱 D．f(x)的圖象關于直線對稱
【例題2】（2024·四川成都高三模擬）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式3-1】（2024·四川廣元高三校考階段檢測）函數滿足：對，都有，則a+b為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式3-2】（2024春·云南曲靖高三校考階段檢測）已知函數，則的大小關系（ ）
A．B．
C． D．
核心考點題型七 與對稱中心相關的函數問題
【例題1】．（2023·江蘇徐州聯考三模）（多選）已知函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱
【例題2】（2024春·四川宜賓高三聯考）已知函數，函數滿足，若函數恰有個零點，則所有這些零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2024·天津三中二模）設函數的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數具有對稱性，其中點為函數的對稱中心，研究函數的對稱中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【變式3-3】（2024春·吉林長春一中校考模擬）已知函數是奇函數，若函數與圖象的交點分別為，，…，，則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】（2024春·甘肅天水高三聯考）已知函數，函數為奇函數，若函數與圖象共有個交點為、、、，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-5】．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
考點四 周期性
1.與周期有關的幾個結論：①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴倍問題）
④若，則的周期為：（周期擴倍問題
周期性對稱性綜合問題
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對稱性綜合問題
①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：
②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：
核心考點題型八 直接利用周期性解決函數問題
【例題1】．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區第一中學校考三模）函數，滿足，當，，則______.
【例題2】（2024·四川廣元高三專題檢測）已知定義在上的函數滿足，且當時，，若函數圖象與的圖象恰有10個不同的公共點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·廣東茂名·模擬預測）已知函數是上的奇函數，且，且當時，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型九 利用周期性和對稱性解決函數問題
【例題3】．（2024·浙江模擬預測）已知定義在上的函數滿足，當時，則=（ ）
A． B． C．1 D．
【例題4】（2023春·江西九江實驗中學校考階段檢測）已知是定義在R上的奇函數，，恒有，且當時，1，則（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【變式4-2】（2023·內蒙古赤峰·高三校考期中）已知函數的定義域為為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】．（2024·貴州黔西·校考一模）已知函數是定義在上的奇函數，且的圖象關于對稱．若，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【變式4-4】．（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知函數與的定義域均為，為偶函數，且，，則下面判斷錯誤的是( )
A．的圖象關于點中心對稱 B．與均為周期為4的周期函數
C． D．
核心考點題型十 類周期函數
【例題5】．（2024·銀川一中高三第一次模擬考）定義域為的函數滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】．（2023·陜西咸陽第一高級中學高三期中）定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是（　　 ）
A． B． C．D．
核心考點題型十一 抽象函數的單調性、奇偶性、周期性
【例題1】（2024·重慶南開中學模擬預測）已知函數，則關于t的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2024春·內蒙包頭高三統考檢測）已知函數、的定義域均為，為偶函數，且，，下列說法正確的有（ ）
A．函數的圖象關于對稱 B．函數的圖象關于對稱
C．函數是以為周期的周期函數 D．函數是以為周期的周期函數
【變式4-6】（2024·山東聊城·二模）已知為上的奇函數，，若對，，當時，都有，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-7】．（2023·湖南長沙一中校考模擬預測）（多選）定義在R上的偶函數滿足，且在上是增函數，則（ ）
A．關于對稱 B．
C． D．
【變式4-8】（2024·河南許昌·高三月考）已知函數，其中是自然對數的底數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-9】．（2023·全國·統考高考真題）（多選）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B． C．是偶函數 D．為的極小值點

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