資源簡介

熱點1-6 三角函數的圖象與性質（核心考點八大題型）（解析版）
【考情透析】
三角函數的圖象與性質是高考的重點和熱點內容，函數的圖象變換以及三角函數的周期性、對稱性、單調性之間邏輯關系則是重心。隨著新高考改革的推進，更加注重對以周期性為核心的三大性質之間的邏輯關系的考查，要求考生能用幾何直觀和代數運算來研究三角函數。主要從以下兩個方面進行考查：三角函數的圖像，主要涉及圖像變換問題及由圖像確定解析式，主要以選擇題、填空題的形式考查；2、利用三角函數的性質求解三角函數的值、參數、最值、值域、單調區間等，主要以客觀題或作為解答題其中一問考查；3、與三角函數有關的零點、絕對值以及的取值范圍問題。
【考題歸納】
核心考點題型一 三角函數的圖象辨析
【例1】．（貴州省遵義市2023屆高三第三次統一考試數學（理）試題）函數在上的大致圖象是（ ）
A． B． C． D． 【答案】D
【解析】先確定函數的奇偶性，排除C，代入特殊點的函數值，排除AB，得到D正確.
定義域為R，又，
故為奇函數，排除C選項，
又，排除B選項，
，
因為在上單調遞增，在上單調遞減，且關于對稱，
又，所以，故，
即，排除A選項，故D正確.
故選：D
【例2】（2023·湖南湘潭·統考二模）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． ．
【答案】A
【解析】的定義域為，關于原點對稱，
因為，所以為奇函數，故排除C,D,
又，所以排除B,故選：A
【變式1-1】（2023秋·四川·成都七中高三階段檢測）函數的圖象大致為（ ）
A． B． C． ．
【答案】A
【解析】的定義域為，，所以為偶函數，圖象關于軸對稱，排除C，D選項；，排除B選項.
所以A選項正確.故選：A
【變式1-2】（2023·四川瀘州·高三月考試題）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題得函數的定義域為，定義域關于原點對稱.
設，所以，
所以函數是偶函數，其圖象關于軸對稱，排除選項D.又，所以排除選項B.
當時，，所以此時.故選：
核心考點題型二 三角函數圖象變換
【例1】．（2024·山東青島·高三期中）把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個長度單位，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據圖象變換求解析式即可.
【詳解】向左平移得到，然后橫坐標縮短為原來的倍得到，所以.
故選：A.
【例2】．（2022·山東濰坊·三模）已知函數向右平移個單位長度后得到．若對于任意的，總存在，使得，則的最小值為______．
【答案】
【解析】函數向右平移個單位長度后得到，因為，所以，所以，因為對于任意的，總存在，使得，所以的取值范圍應包含，根據余弦函數的性質，為使取最小值，只需函數在上單調且值域為即可.
由可得，因此的最小值為.
故答案為：.
【變式2-1】（2023秋·江蘇南通·高三統考期末）已知函數的圖象向左平移個單位長度后與其導函數的圖象重合，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，而函數的圖象向左平移個單位長度后得到，
由題意得，所以,解得且，
所以，故選：D
【變式2-2】（2023·山東師范大學附中模擬）已知函數的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，把函數的圖象沿x軸向左平移個單位，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數的圖象，則下列關于函數的結論正確的是（ ）
A．函數是偶函數 B．的圖象關于點對稱
C．在上是增函數 D．當時，函數的值域是[1，2]
【答案】BD
【解析】因為，
又的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，
所以，所以，所以，
所以向左平移個單位得到，
橫坐標伸長到原來倍得到，
A，為非奇非偶函數，故錯誤；
B，，所以的圖象關于點對稱，故正確；
C，因為，所以，
又因為在上先增后減，所以在上不是增函數，故錯誤；
D，當時，，
所以，此時；，此時，
所以的值域為，故正確.
故選：BD
【變式2-3】．（2023·江蘇揚州模擬）已知函數，將的圖象上所有點橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），再將所得函數圖象向左平移個單位長度，得到圖象，若在有個不同的解，則__________.
【答案】
【解析】根據題意可知，，由得，由，可得，所以函數關于對稱，因為，所以由可得，因此．
故答案為：．
核心考點題型三 根據圖象求三角函數解析式
【例1】（2024秋·山西運城高三月考試題）函數的部分圖象如圖，軸，當時，若不等式恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為軸，所以圖象的一條對稱軸方程為，
所以，則，所以，
又，，且，所以，故，
因為當時，不等式恒成立，所以，
令，因為，則，所以
所以的最小值為，所以，即．故選：．
【例2】．（2024·廣東·華南師大附中南海實驗高中高三階段）已知函數（，，）的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．的圖像關于點對稱 B．的圖像關于直線對稱
C．將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數的圖像
D．若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是
【答案】ABD
【詳解】由題圖可得，，故，
所以，又，即，
所以（），又，所以，所以.
對于A：當時，，故A正確；
對于B：當時，，故B正確；
對于C：將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數
的圖像，故C中說法錯誤；
對于D：當時，，則當，即時，單調遞減，
當，即時，單調遞增，
因為，，，
所以方程在上有兩個不相等的實數根時，的取值范圍是.
故選：ABD
【變式3-1】（2024·福建龍巖·高三期中）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮樓神器”，由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數關系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據題意，由振幅是2易知，
故，則是的最高點，
不妨記相鄰的最低點為，連接，過作軸，過作，交點為，如圖，
則，，，故，得，
又因為，故，得，所以，
因為是的點，故，得，即，
因為，所以，
故，.
故選：A.
.
【變式3-2】（2024秋·甘肅蘭州一中高三校考試題）已知A，B，C，D，E是函數一個周期內的圖像上的五個點，如圖，A，B為y軸上的點，C為圖像上的最低點，E為該函數圖像的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則的值為（ ）
A． B．， C．， D． ，
【答案】A
【解析】因B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，
則與圖像最高點（最靠近點）連線所對應向量在x軸上的投影為，
又A，則A與圖像最高點(最靠近點)連線對應向量在x軸上的投影為，
故函數最小正周期為，又，則.又因函數圖像過點，則，得，又，則，得.
綜上，有，.故選：A
方法點撥：函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定
（1）A由最值確定，A＝最大值最小值；
（2）ω由周期確定；
（3）φ由圖象上的特殊點確定．
提醒：根據“五點法”中的零點求φ時，一般先根據圖象的升降分清零點的類型．
核心考點題型四 三角函數的性質
（1）三角函數的周期性
【例1】（2022·上海·模擬預測）函數的周期為___________；
【答案】
【詳解】,
所以的周期為：
故答案為：.
【例2】（2022·廣西桂林·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
因為，
所以的最小正周期為.
故選：D.
【變式4-1】．（2023秋·湖南長沙高三階段檢測）設函數，則的最小正周期（ ）
A．與有關，且與有關 B．與有關，但與無關
C．與無關，且與無關 D．與無關，但與有關
【答案】D
【分析】根據三角函數的周期性，結合周期成倍數關系的兩個函數之和，其周期為這兩個函數的周期的最小公倍數這一結論，解答即可.
【詳解】，
對于，其最小正周期為，對于，其最小正周期為，
所以對于任意，的最小正周期都為，
對于，其最小正周期為，
故當時，，其最小正周期為；
當時，，其最小正周期為，
所以的最小正周期與無關，但與有關.
故選：D.
（2）三角函數的奇偶性
【例1】．（2023秋·廣東深圳高三階段檢測）使為奇函數，且在上是減函數的θ的一個值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通過輔助角公式化簡函數，再通過奇偶性求參，根據單調性利用排除法和驗證法得到選項.
【詳解】
,
又為奇函數，所以，且，
可得，且，排除B,D選項,
當時，，，
則在上單調增，
當時，，，,
則在上單調減.
故選：C.
【例2】（2023秋·河南南陽·高三統考期末）已知函數是偶函數,則______．
【答案】
【解析】由題知數是上偶函數，所以,
即，
即，即，,
所以.
故答案為:
【變式4-2】（2023·廣西·模擬預測（理））若將函數的圖象向右平移個單位后，所得圖象對應的函數為奇函數，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，向右平移個單位后得到函數，由于是奇函數，因此，得，.又，則當時，的最小值是，
故選：B.
【變式4-3】（2023秋·陜西咸陽高三模擬預測）把函數的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，若為偶函數，則在上的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數圖象變換以及三角函數的奇偶性求得，根據三角恒等變換以及三角函數值域的知識求得正確答案.
【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度得到，
由于是偶函數，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，所以.
故選：A
（3）三角函數的對稱性
【例1】（2022·江西南昌·高三階段檢測）已知函數的最小值為2，且的圖象關于點對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為函數的最小值為2，
所以，解得，又的圖象關于點對稱，
所以，所以，
因為，所以，
所以的最小值為，
所以的最小值為，
故選：C
【例2】．（2023秋·廣東省廣州高三期中考試）已知，若方程在的解為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把函數化為正弦型函數，再把方程化簡為，根據求得，根據對稱性有，化簡求解即可.
【詳解】，由得，
因為，所以，
根據對稱性有，解得，
所以.
故選：A.
【變式4-4】．（2023秋·福建福州高三期中考試）已知直線是函數圖象的一條對稱軸，則（ ）
A． B．的圖象關于點對稱
C．在上單調遞減
D．將的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度后所得的圖象關于軸對稱
【答案】CD
【分析】利用正弦型函數的對稱性求出的值，可判斷A選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷B選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷C選項；利用三角函數圖象變換結合余弦型函數的奇偶性可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為直線是函數圖象的一條對稱軸，
則，則，
因為，可得，A錯；
對于B選項，由A選項可知，，
因為，故的圖象不關于點對稱，B錯；
對于C選項，當時，，
所以，函數在上單調遞減，C對；
對于D選項，將的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），
可得到函數的圖象，
再將所得圖象向左平移個單位長度，可得到函數，
且函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，D對.
故選：CD.
【變式4-5】．（2023秋·北京·高三開學考試）已知函數，滿足，且對任意，都有，當取最小值時，則下列正確的是 ．
①圖像的對稱軸方程為
②在上的值域為
③將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
④在上單調遞減．
【答案】②④
【分析】根據題意的圖象關于點對稱，又當時，取得最小值，當取最小值時，即周期最大可得，即，函數在時取得最小值，所以；求得，再逐項分析判斷即可得出結論.
【詳解】因為，所以的圖象關于點對稱，
又對任意，都有，所以當時取得最小值；
當取最小值時，即周期最大，可得，即，可得；
函數在時取得最小值，所以，又，所以；
可得.
對于①，令，解得，所以①錯誤；
對于②，當時，，
因此當時，取得最大值為3，當時，取得最小值為2，
所以在上的值域為，即②正確；
對于③，將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，
不是的圖象，所以③錯誤；
對于④，當時，，此時單調遞減，即④正確；
故答案為：②④
（4）三角函數的單調性
【例1】．（2023秋·北京高三階段檢測）已知函數，則下列命題正確的是（ ）
A．在 內單調遞增 B．在 內單調遞減
C．在 內單調遞增 D．在內單調遞減
【答案】B
【分析】由倍角余弦公式有，根據余弦型函數的性質判斷在對應區間的單調性.
【詳解】由
當，則，易知單調遞減；
當，則，易知不單調；
所以A、C、D錯，B對.
故選：B
【例2】．（2023秋·四川成都高三階段檢測）已知，記（）．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】分段寫出函數的解析式，并確定其單調減區間，再結合集合的包含關系求解作答即可.
【詳解】由題意知，
函數的單調遞減區間為，
則或，
由，解得，
而，故需滿足，即，此時不存在；
由，解得，
則需滿足，即，即，
故，即，
故選：C
【變式4-6】．（2023秋·北京·高三開學考試）．（22·23下·南通·期中）已知，，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求的取值范圍，再結合指數函數的單調性分析判斷.
【詳解】因為，則，即，
且在定義域內單調遞減，則，
即，
又因為，所以.
故選：B.
【變式4-7】．（2023年秋·陜西西安高三階段檢測）已知函數滿足，且在上單調遞減，將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的得到函數的圖象，則函數的一個單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據對稱性及最值求得函數解析式，再根據圖象變換求得的解析式，利用換元法結合余弦函數單調性求解單調遞增區間，逐項判斷即可.
【詳解】因為函數滿足，
則當時，函數有最大值，又，且在上單調遞減，
所以，即，所以，又時，函數有最大值，
所以，所以，又，所以，
所以，
將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的得到函數的圖象，則，
令得，，
所以函數的單調遞增區間為，，
當時，遞增區間為，故選項A不合題意，
當時，遞增區間為，故選項B符合題意，
當時，遞增區間為，故選項CD不合題意.
故選：B.
（5）三角函數的最值與范圍
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三期中）已知函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式和單調遞增區間.
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域.
【答案】(1)，單調遞增區間為(2)
【分析】（1）根據二倍角的余弦以及輔助角公式化簡，即可得出.然后由已知推得，即可得出，得出解析式；整體代換，即可得出函數的單調遞增區間；
（2）先根據圖象平移得出的解析式，然后根據已知的范圍得出，結合正弦函數的性質，即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，.
又圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
所以，，
即，所以，
所以，.
由可得，
，
所以，的單調遞增區間為.
（2）由（1）知，，
將函數的圖象向右平移個單位長度，
可得的圖象.
再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象.
因為，所以.
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，，，
所以，當時，，
所以，，
所以，函數的值域為.
【例2】．（2023年秋·重慶渝中高三期中）函數的最大值為（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用二倍角的正弦公式和兩角和的余弦公式化簡，再令，利用換元法求解即可.
【詳解】，
令，則，
故，
則，
所以當時，，
所以函數的最大值為.
故選：A.
【變式4-8】．（2022·全國·高考真題）函數的最大值為________.
【答案】
【解析】=
==，因為，所以當時，y取最大值，最大時為.
核心考點題型五 三角函數的綜合性質
【例1】（2023年秋·貴州黔西高三階段檢測）已知函數的圖象與軸的兩個相鄰交點的橫坐標為，下面4個有關函數的結論：
①函數的圖象關于原點對稱；
②在區間上，的最大值為；
③是的一條對稱軸；
④將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，若為兩個函數圖象的交點，則面積的最小值為．
其中正確的有 ．
【答案】②④
【分析】根據題意得函數得最小正周期，即可求出，利用待定系數法求出，再根據正弦函數的圖象和性質逐一判斷即可.
【詳解】由題意可得，故，
則，
又，即 ，
則，所以，
又，所以，
所以，
對于①，，圖象不關于原點對稱，故①錯誤；
對于②，由，得，
所以的最大值為，即的最大值為，故②正確；
對于③，因為，所以不是的對稱軸，故③錯誤；
對于④，由題意可得，
由，得，
所以，
，
當為奇數時，，
當為偶數時，，
則面積的最小值為，故④正確.
故答案為：②④.
【例2】．（2023年秋·江蘇淮安高三階段檢測）已知函數，則（ ）
A．是方程的兩個不等實根，且最小值為，則
B．若在上有且僅有4個零點，則
C．若在上單調遞增，則在上的零點最多有3個
D．若的圖象與直線連續的三個公共點從左到右依次為，若，則
【答案】ABD
【分析】根據正弦函數性質和周期公式可判斷A；函數由小到大的第4個零點在區間內，第5個零點大于求解可判斷B；根據單調性和第3個零點在區間內分別求出范圍即可判斷C；數形結合可得，然后可得，即可求出m，可判斷D.
【詳解】A選項：由題可知，所以，A正確；
B選項：若，令得，即，
所以，函數由小到大的第4個零點為，第5個零點為，
由題知，，解得，B正確；
C選項：由得，
因為在上單調遞增，所以，解得，
若在上有3個零點，則，解得，
因為，所以C錯誤；
D選項：由圖可知，，
又，所以，即，
因為，所以，
所以，D正確.
故選：ABD.

【例3】（2023·江蘇南通·高三期中）已知函數，的定義域均為R，它們的導函數分別為，．若是奇函數，，與圖象的交點為，，…，，則（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．
【答案】BC
【解析】因為為奇函數，所以函數的圖象關于點對稱，故選項A錯誤；
因為函數的圖象關于點對稱，則，對其兩邊取導數：
則有，所以的圖象關于直線對稱，故選項正確；
令，解得：，
所以的圖象關于直線對稱，故選項C正確；
又因為，所以為常數，則的圖象關于對稱，
例如：當時，令，
則圖象有三個交點，
其中和關于對稱，且，
此時，，
故，所以此時不成立，故選項D錯誤；
故選：BC.
【變式5-1】（2023年秋·湖南長沙高三·階段檢測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列關于函數，下列說法正確的有（ ）

A．圖象關于點對稱 B．單調遞減區間為，
C．當時，
D．有5個零點
【答案】BCD
【分析】由正弦型函數圖象求解析式，再根據正弦函數性質判斷A、B、C，化函數與的圖象的交點個數，數形結合判斷零點個數判斷D.
【詳解】由圖知，，，所以，
因為，所以，所以，
由知：，
所以，即，，
由圖知，最小正周期，則，即，
取，此時，所以，
A，因為，所以不是對稱中心，錯誤；
B，令，解得，正確；
C，當時，所以，則，正確；
D，的零點個數等價于函數與的圖象的交點個數，
令，則，而，，，
所以，時與的圖象沒有交點，
作兩個函數的圖象，如下圖示，兩個函數圖象有5個交點，正確.

故選：BCD
【變式5-2】．（2023年.甘肅省高三第一次模擬預測）已知函數，則（ ）
A．為周期函數 B．的圖像關于點對稱
C．有最大值 D．在上單調遞增
【答案】ABD
【分析】先將函數解析式化簡整理，得到，計算得，可判斷A正確；計算得，可判斷B正確；由，可判斷C錯；對函數求導，可判斷D正確.
【詳解】因為，
所以，即函數是周期函數，故A正確；
又，，，
則，所以的圖像關于點對稱；故B正確；
因為，故不是的最大值，即C錯；
又，
當時，，所以，則此時恒成立，因此在上單調遞增，即D正確；
故選：ABD.
核心考點題型六 和三角函數有關的零點問題
【例1】（2023年秋四川雅安·一模）已知函數（且），設T為函數的最小正周期，，若在區間有且只有三個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可確定為函數的最小正周期，結合求出，再根據在區間有且只有三個零點，結合余弦函數性質列出不等式，求得答案.
【詳解】由題意知為函數的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在區間有且只有三個零點，故，
且由于在上使得的x的值依次為，
故，解得，即，
故選：D
【例2】．（2023年秋·湖南長沙模擬預測）已知函數關于x的方程在上有四個不同的解，，，，且．若恒成立，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由分段函數先畫出圖象，將方程變形得，故只有時才有四個不相同的解，由余弦函數對稱性可求，令可求范圍，令可得，則等價于，結合基本不等式可求的取值范圍.
【詳解】畫出函數的圖象，如圖所示：
，由圖易知，當時，方程無解，故只有時才有四個不相同的解，且．由，解得或，從而，
由余弦函數的性質知，關于直線對稱，則，
由，即①，解得x＝1或x＝9，從而，
令得，則，
故等價于，故，恒成立，所以（當且僅當時取得最小值），所以，
故選：D．
【變式6-1】．（2023·陜西·咸陽高三模擬試題）已知向量，函數
(1)求函數的單調增區間；
(2)若函數在區間上有且僅有兩個零點，求實數k的取值范圍．
【答案】(1)(2)或
【詳解】（1）
，
令，解得.
所以函數的單調增區間為.
（2）由函數在區間上有且僅有兩個零點.
即在區間上有且僅有兩個零點，
直線與的圖像上有且僅有兩個交點，
當，，
設函數，
在區間上單調遞增，，
在區間上單調遞減，，
在區間上單調遞增，，
所以或，即或.
【變式6-2】．（2023吉林·東北師大附中模擬預測）已知．
(1)求函數的值域；
(2)若方程在上的所有實根按從小到大的順序分別記為，求的值．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）
令，
則，，
，得，
當，，單調遞減，當時，，單調遞增。
所以，
所以，
的值域是
（2）由已知得，
解得或（舍去），
由得函數圖象在區間
且確保成立的，
對稱軸為在內有11個根，
數列構成以為首項，為公差的等差數列．
所以.
【變式6-3】（2023秋·廣西桂林·高三校考階段檢測）已知定義在上的函數是偶函數，當時，，若關于的方程，有且僅有6個不同實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，函數的圖像如下圖所示：
根據函數圖像，函數在上單調遞增，在上單調遞減；
且時取最大值2，在時取最小值0，是部分圖像的漸近線.
令，則關于的方程即可寫成
此時關于的方程應該有兩個不相等的實數根（其他情況不合題意），
設為方程的兩個實數根，顯然，有以下兩種情況符合題意：
①當時，此時，則
②當時，此時，則
綜上可知，實數的取值范圍是.故選：C.
核心考點題型七 絕對值與三角函數綜合模型
關于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數，同理是最小正周期為的函數；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數.我們可以這樣來表示：
，
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三模擬）已知函數，下列說法正確的有（ ）
A．為最大值為3 B．在上單調遞增
C．為周期函數 D．方程在上有三個實根
【答案】CD
【分析】利用正弦函數和余弦函數的最值可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；利用函數周期性的定義可判斷C選項；當時，解方程，可判斷D選項的正誤．
【詳解】對于A選項，由平方關系知時，，時，，
所以，所以，A選項錯誤；
對于B選項，，，則，故函數在上不是增函數，B選項錯誤；
對于C選項，，
故函數為周期函數，C選項正確；
對于D選項，由，解得或或，
所以，方程在上有三個實根，D選項正確．
故選：CD．
【例2】．（2023年秋·河北保定高三階段檢測）已知函數，下列四個選項正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是周期函數
C．在，上為增函數
D．的最大值為
【答案】AD
【分析】根據角的范圍分段寫出函數解析式，結合奇偶性，周期性，單調性及最值判斷各個選項即可.
【詳解】對于選項A，的定義城為R，關于原點對稱，
又，
所以是偶函數，故選項A正確；
對于選項B，
先畫出函數在的圖象，再利用對稱性得到的圖象.
由函數的圖象可知，不存在非零實數T使得對任意實數x恒成立，故選項B不正確；
對于選項C,當，時，，
所以，，單調遞減，故選項C錯誤；
對于選項D,當，時，；
當，時，，
因為，，所以，，
所以，所以；
當，時，；
當，時，，
因為，，所以，所以，
綠上所述，當時，的最大值為，
由于為偶函數，所以當時，的最大值也為，故的最大值為，故選項D正確.
故選：AD.
【變式7-1】．（2023秋·河南開封高三階段檢測）已知函數，以下結論正確的是（ ）
A．是的一個周期 B．函數在單調遞減
C．函數的值域為 D．函數在內有6個零點
【答案】C
【解析】因為，所以A錯誤；
當，，其中，不妨令為銳角，所以，所以，因為，所以B錯誤；
因為是函數的一個周期，可取一個周期上研究值域，當，
，，所以，即；因為關于對稱，所以當時，故函數在上的值域為，故C正確；
因為函數為偶函數，所以在區間上零點個數可通過區間上零點個數，由，在圖像知由2個零點，所以在區間上零點個數為4個，所以D錯誤．
故選:C.
【變式7-2】（2022·四川雅安高三模擬試題）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的最大值為
C．在上單調遞減 D．在上有4個零點
【答案】BD
【解析】；
當時，
，
當時，
，
作出函數的圖象，
如圖所示，觀察可知，函數的最小正周期為，故A錯誤；
函數的最大值為，故B正確；函數在上先減再增再減，故C錯誤；
與x軸在上有4個交點，故D正確.
故選:BD．
【變式7-3】．（2023·廣東深圳高三專題檢測）已知函數，則
①在上的最小值是1；②的最小正周期是；
③直線是圖象的對稱軸；
④直線與的圖象恰有2個公共點.
其中說法正確的是________________.
【答案】①③④
【解析】對于①，當時，
且，則當時，函數取最小值，即，故①正確；
對于②，∵，，，則：
故函數的最小正周期不是，②錯誤；
對于③，若k為奇數，則；
若k為偶數，則.
由上可知，當時，，
所以，直線是圖象的對稱軸，③正確；
對于④，因為∵，
所以為函數的周期.
當時，；
當時，.
綜上可知，.
當時，，，即函數與在上的圖象無交點：
當時，，，所以，函數與在上的圖象也無交點.作出函數與函數在上的圖象如下圖所示：
由圖像可知，直線與的圖象恰有2個公共點，故④正確.
故答案為：①③④.
核心考點題型八 的取值與范圍問題
【規律方法】1、在區間內沒有零點
同理，在區間內沒有零點
2、在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
3、在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調區間，則.
【例1】．（2023年秋·四川成都高三模擬）已知函數在區間內沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意若要函數在區間內沒有零點，由，又因為，所以或，化簡即可得解.
【詳解】由，且，
所以，
由題意可得或，
解得或 ，
因為，
所以或者，
故選：D
【例2】（2023·湖南長沙高三專題檢測）已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因為，所以因為函數在區間上單調遞增，
所以函數在上單調遞增，且，即.
因為，所以，函數在上單調遞增
等價于或，所以，解不等式得或，
所以，的取值范圍是.故選：D
【變式8-1】（2023.河北滄州·一模）已知函數，若函數在上只有三個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先利用三角恒等變換化簡函數，并得到函數，并求函數的零點，利用函數在上只有三個零點，列不等式求參數的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
令得，
所以或，
即或，則或，
則非負根中較小的有：；
因為函數在上只有三個零點，
所以，解得.
故選:A
【變式8-2】（2023·四川成都高三專題檢測）已知，函數在上存在最值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當取最值時，．即，
由題知，故．即．
因為時，；時，；
顯然當時，，此時在上必有最值點．
綜上，所求．故選:D．
【變式8-3】（2023·河南信陽·高三統考期末）已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
在區間上是增函數，，.當時，取得最大值，而在區間上恰好取得一次最大值，
，解得，
綜上，.故選：D.
【變式8-4】．（2023·云南昆明高三階段檢測）已知函數，若是圖象的一個對稱中心，在區間上有最大值點無最小值點，且，記滿足條件的的取值集合為，則______.
【答案】
【解析】設函數的最小正周期為，由題得，則，
又由在區間上有最大值無最小值，滿足，則，
當時，則，
即，所以，
又，故，所以，
又，所以滿足條件的的取值集合.
故答案為：.熱點1-6 三角函數的圖象與性質（核心考點八大題型）（原卷版）
【考情透析】
三角函數的圖象與性質是高考的重點和熱點內容，函數的圖象變換以及三角函數的周期性、對稱性、單調性之間邏輯關系則是重心。隨著新高考改革的推進，更加注重對以周期性為核心的三大性質之間的邏輯關系的考查，要求考生能用幾何直觀和代數運算來研究三角函數。主要從以下兩個方面進行考查：三角函數的圖像，主要涉及圖像變換問題及由圖像確定解析式，主要以選擇題、填空題的形式考查；2、利用三角函數的性質求解三角函數的值、參數、最值、值域、單調區間等，主要以客觀題或作為解答題其中一問考查；3、與三角函數有關的零點、絕對值以及的取值范圍問題。
【考題歸納】
核心考點題型一 三角函數的圖象辨析
【例1】．（貴州省遵義市2023屆高三第三次統一考試數學（理）試題）函數在上的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·湖南湘潭·統考二模）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． ．
【變式1-1】（2023秋·四川·成都七中高三階段檢測）函數的圖象大致為（ ）
A． B． C． ．
【變式1-2】（2023·四川瀘州·高三月考試題）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型二 三角函數圖象變換
【例1】．（2024·山東青島·高三期中）把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個長度單位，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【例2】．（2022·山東濰坊·三模）已知函數向右平移個單位長度后得到．若對于任意的，總存在，使得，則的最小值為______．
【變式2-1】（2023秋·江蘇南通·高三統考期末）已知函數的圖象向左平移個單位長度后與其導函數的圖象重合，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【變式2-2】（2023·山東師范大學附中模擬）已知函數的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，把函數的圖象沿x軸向左平移個單位，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數的圖象，則下列關于函數的結論正確的是（ ）
A．函數是偶函數 B．的圖象關于點對稱
C．在上是增函數 D．當時，函數的值域是[1，2]
【變式2-3】．（2023·江蘇揚州模擬）已知函數，將的圖象上所有點橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），再將所得函數圖象向左平移個單位長度，得到圖象，若在有個不同的解，則__________.
核心考點題型三 根據圖象求三角函數解析式
【例1】（2024秋·山西運城高三月考試題）函數的部分圖象如圖，軸，當時，若不等式恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2024·廣東·華南師大附中南海實驗高中高三階段）已知函數（，，）的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．的圖像關于點對稱 B．的圖像關于直線對稱
C．將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數的圖像
D．若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是
【變式3-1】（2024·福建龍巖·高三期中）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮樓神器”，由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數關系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024秋·甘肅蘭州一中高三校考試題）已知A，B，C，D，E是函數一個周期內的圖像上的五個點，如圖，A，B為y軸上的點，C為圖像上的最低點，E為該函數圖像的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則的值為（ ）
A． B．， C．， D． ，
方法點撥：函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定
（1）A由最值確定，A＝最大值最小值；
（2）ω由周期確定；
（3）φ由圖象上的特殊點確定．
提醒：根據“五點法”中的零點求φ時，一般先根據圖象的升降分清零點的類型．
核心考點題型四 三角函數的性質
（1）三角函數的周期性
【例1】（2022·上海·模擬預測）函數的周期為___________；
【例2】（2022·廣西桂林·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】．（2023秋·湖南長沙高三階段檢測）設函數，則的最小正周期（ ）
A．與有關，且與有關 B．與有關，但與無關
C．與無關，且與無關 D．與無關，但與有關
（2）三角函數的奇偶性
【例1】．（2023秋·廣東深圳高三階段檢測）使為奇函數，且在上是減函數的θ的一個值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023秋·河南南陽·高三統考期末）已知函數是偶函數,則______．
【變式4-2】（2023·廣西·模擬預測（理））若將函數的圖象向右平移個單位后，所得圖象對應的函數為奇函數，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023秋·陜西咸陽高三模擬預測）把函數的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，若為偶函數，則在上的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（3）三角函數的對稱性
【例1】（2022·江西南昌·高三階段檢測）已知函數的最小值為2，且的圖象關于點對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2023秋·廣東省廣州高三期中考試）已知，若方程在的解為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】．（2023秋·福建福州高三期中考試）已知直線是函數圖象的一條對稱軸，則（ ）
A． B．的圖象關于點對稱
C．在上單調遞減
D．將的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度后所得的圖象關于軸對稱
【變式4-5】．（2023秋·北京·高三開學考試）已知函數，滿足，且對任意，都有，當取最小值時，則下列正確的是 ．
①圖像的對稱軸方程為
②在上的值域為
③將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
④在上單調遞減．
（4）三角函數的單調性
【例1】．（2023秋·北京高三階段檢測）已知函數，則下列命題正確的是（ ）
A．在 內單調遞增 B．在 內單調遞減
C．在 內單調遞增 D．在內單調遞減
【例2】．（2023秋·四川成都高三階段檢測）已知，記（）．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A．3 B． C． D．
【變式4-6】．（2023秋·北京·高三開學考試）．（22·23下·南通·期中）已知，，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-7】．（2023年秋·陜西西安高三階段檢測）已知函數滿足，且在上單調遞減，將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的得到函數的圖象，則函數的一個單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
（5）三角函數的最值與范圍
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三期中）已知函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式和單調遞增區間.
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域.
【例2】．（2023年秋·重慶渝中高三期中）函數的最大值為（ ）
A．2 B． C．0 D．
【變式4-8】．（2022·全國·高考真題）函數的最大值為________.
核心考點題型五 三角函數的綜合性質
【例1】（2023年秋·貴州黔西高三階段檢測）已知函數的圖象與軸的兩個相鄰交點的橫坐標為，下面4個有關函數的結論：
①函數的圖象關于原點對稱；
②在區間上，的最大值為；
③是的一條對稱軸；
④將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，若為兩個函數圖象的交點，則面積的最小值為．
其中正確的有 ．
【例2】．（2023年秋·江蘇淮安高三階段檢測）已知函數，則（ ）
A．是方程的兩個不等實根，且最小值為，則
B．若在上有且僅有4個零點，則
C．若在上單調遞增，則在上的零點最多有3個
D．若的圖象與直線連續的三個公共點從左到右依次為，若，則
【例3】（2023·江蘇南通·高三期中）已知函數，的定義域均為R，它們的導函數分別為，．若是奇函數，，與圖象的交點為，，…，，則（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．
【變式5-1】（2023年秋·湖南長沙高三·階段檢測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列關于函數，下列說法正確的有（ ）

A．圖象關于點對稱 B．單調遞減區間為，
C．當時，
D．有5個零點
【變式5-2】．（2023年.甘肅省高三第一次模擬預測）已知函數，則（ ）
A．為周期函數 B．的圖像關于點對稱
C．有最大值 D．在上單調遞增
核心考點題型六 和三角函數有關的零點問題
【例1】（2023年秋四川雅安·一模）已知函數（且），設T為函數的最小正周期，，若在區間有且只有三個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2023年秋·湖南長沙模擬預測）已知函數關于x的方程在上有四個不同的解，，，，且．若恒成立，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】．（2023·陜西·咸陽高三模擬試題）已知向量，函數
(1)求函數的單調增區間；
(2)若函數在區間上有且僅有兩個零點，求實數k的取值范圍．
【變式6-2】．（2023吉林·東北師大附中模擬預測）已知．
(1)求函數的值域；
(2)若方程在上的所有實根按從小到大的順序分別記為，求的值．
【變式6-3】（2023秋·廣西桂林·高三校考階段檢測）已知定義在上的函數是偶函數，當時，，若關于的方程，有且僅有6個不同實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型七 絕對值與三角函數綜合模型
關于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數，同理是最小正周期為的函數；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數.我們可以這樣來表示：
，
【例1】．（2023年秋·浙江杭州高三模擬）已知函數，下列說法正確的有（ ）
A．為最大值為3 B．在上單調遞增
C．為周期函數 D．方程在上有三個實根
【例2】．（2023年秋·河北保定高三階段檢測）已知函數，下列四個選項正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是周期函數
C．在，上為增函數
D．的最大值為
【變式7-1】．（2023秋·河南開封高三階段檢測）已知函數，以下結論正確的是（ ）
A．是的一個周期 B．函數在單調遞減
C．函數的值域為 D．函數在內有6個零點
【變式7-2】（2022·四川雅安高三模擬試題）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的最大值為
C．在上單調遞減 D．在上有4個零點
【變式7-3】．（2023·廣東深圳高三專題檢測）已知函數，則
①在上的最小值是1；②的最小正周期是；
③直線是圖象的對稱軸；
④直線與的圖象恰有2個公共點.
其中說法正確的是________________.
核心考點題型八 的取值與范圍問題
【規律方法】1、在區間內沒有零點
同理，在區間內沒有零點
2、在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
3、在區間內有個零點
同理在區間內有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調區間，則.
【例1】．（2023年秋·四川成都高三模擬）已知函數在區間內沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·湖南長沙高三專題檢測）已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2023.河北滄州·一模）已知函數，若函數在上只有三個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·四川成都高三專題檢測）已知，函數在上存在最值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023·河南信陽·高三統考期末）已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-4】．（2023·云南昆明高三階段檢測）已知函數，若是圖象的一個對稱中心，在區間上有最大值點無最小值點，且，記滿足條件的的取值集合為，則______.

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