資源簡介

重難點2-3 ω的取值范圍及最值問題（七類核心考題）（解析版）
【方法歸納】
求ω取值范圍的常用解題思路
1、依托于三角函數的周期性：因為的最小正周期是，所以，也就是說只要確定了周期T，就可以確定的取值.
2、利用三角函數的對稱性：（1）三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，也就是說，我們可以根據三角函數的對稱性來研究其周期性，進而可以研究的取值。（2）三角函數的對稱軸比經過圖象的最高點或最低點，函數的對稱中心就是其圖象與軸的交點（零點），也就是說我們可以利用函數的最值、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定的取值.
3、結合三角函數的單調性：函數的每一“完整”單調區間的長度（即兩相鄰對稱軸的間距）恰好等于，據此可用來求的值或范圍。
【考題總結】
題型一 由三角函數的周期求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023秋·江蘇無錫高三聯考）函數的最小正周期為，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根據正切型函數最小正周期列方程，由此求得的值.
【詳解】依題意，解得.
故選：C
【變式1-1】．（2023秋·湖南長沙高三校聯考）記函數的最小正周期為，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函數的圖象關于直線對稱，可得出，再利用函數的最小正周期求出的取值范圍，即可得出的值.
【詳解】對任意的，，則為函數的最大值或最小值，
故函數的圖象關于直線對稱，故，解得，
又因為且函數的最小正周期滿足，即，
解得，故.
故選：D.
題型二 由三角函數的伸縮平移變換求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023秋·遼寧沈陽·高三校聯考開學考試）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，若為奇函數，則的取值可以為（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【答案】AC
【分析】根據圖象平移性質，三角函數奇偶性即可求解.
【詳解】由題意可知：
，因為為奇函數，
所以，
則，因為時，；
時，，所以A、C正確．
故選：AC.
【例題2】（2023秋·江西南昌高三檢測）已知函數，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意是周期的整數倍，求出的表達式，從而求出其最小值.
【詳解】,的周期為,
將的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像與原圖像重合，
是周期的整數倍，，，
，的最小值等于.故選：B
【例題3】（2023秋·甘肅蘭州一中高三檢測）已知函數，將的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，點，，是與圖象的連續相鄰的三個交點，若是鈍角三角形，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由條件可得，，作出兩個函數圖象，如圖：
，，為連續三交點，(不妨設在軸下方)，為的中點，由對稱性可得是以為頂角的等腰三角形，，由，整理得，得，則，所以，
要使為鈍角三角形，只需即可，由，所以，故選：D.
【變式2-1】（2023春·浙江杭州聯考開學考試）將函數的圖像向左平移2個單位長度后，與函數的圖象重合，則的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】平移函數圖象后得，根據與重合可求解.
【詳解】函數的圖像向左平移2個單位長度后可得，
，
與函數的圖象重合，
所以，
由，所以.故選：A.
【變式2-2】．（2023秋·四川成都七中高三檢測）（多選）定義運算：，將函數的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數為偶函數，則ω的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由定義運算結合輔助角公式，得函數解析式，再求平移后的函數解析式，由此函數為偶函數，求出ω的值，對照選項進行判斷.
【詳解】將函數的圖像向左平移個單位，
可得的圖像，再根據所得圖像對應的函數為偶函數，
可得，求得，令，可得；令，求得.
故選：BC.
【變式2-3】．（2023春·海南海口·高三海口一中校考）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若函數在區間上單調遞增，則的值可能為（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】先利用平移變換得到，再根據函數在區間上單調遞增，利用正弦函數的性質求解.
【詳解】由已知可得，.
因為，，所以.
因為函數在區間上單調遞增，
所以，所以，又，所以，
所以的值可能為，
故選：A
【變式2-4】（2023秋·貴州貴陽高三統考期末）將函數的圖像分別向左 向右各平移個單位長度后，所得的兩個函數圖象的對稱軸重合，則的最小值為______.
【答案】6
【解析】將函數的圖象分別向左、向右各平移個單位長度后，得到，，
因為兩個函數圖象的對稱軸重合，所以，，
所以，，因為，所以當時，取得最小值為6．
【變式2-5】（2023秋·山西運城高三專題檢測）已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，點、、是與圖象的連續相鄰的三個交點，若是銳角三角形，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，作出函數、的圖象如下圖所示：
設、、為連續相鄰的三個交點，（不妨設在軸下方），為的中點，由對稱性可得是以為頂角的等腰三角形，所以，由，整理得，所以，則，所以，，
則，所以，要使為銳角三角形，，所以，，，解得.故選：D.
題型三 由三角函數的單調性求ω的值和范圍
【例題1】（2023秋·江西贛州·二模）已知函數相鄰兩個對稱軸之間的距離為2π，若f（x）在（-m，m）上是增函數，則m的取值范圍是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【答案】B
【分析】根據題意可得周期，進而求出，再求出的單調區間，即可求出.
【詳解】
因為相鄰兩個對稱軸之間的距離2π，
則，即，則，則，
由，得，
所以在上是增函數，由得.
故選：B.
【例題2】（2023秋·福建高三校聯考）已知函數（其中）在上單調遞增，在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當時，，所以，解得，
當時，，因為，所以，
所以，解得，綜上所述，.故選：C.
【例題3】（2023·山西呂梁·統考三模）已知函數，滿足，，且在上單調，則的取值可能為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由，知函數的圖象關于直線對稱，結合可知是函數的零點，進而得到，，由在上單調，可得，進而，分類討論驗證單調性即可判斷.
【詳解】由，知函數的圖象關于直線對稱，
又，即是函數的零點，
則，，
即，.
由在上單調，
則，即，
所以.
當時，由，，得，，
又，所以，此時當時，，
所以在上單調遞增，故符合題意；
當時，由，，得，，
又，所以，此時當時，，
所以在上單調遞增，故符合題意；
當時，由，，得，，
又，所以，此時當時，，
所以在上不單調，故不符合題意.
綜上所述，或3.
故選：AB.
【變式3-1】．（2023秋·山東濰坊高三專題檢測）已知函數，在區間上，若為增函數，為減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式化簡兩函數，再利用整體代換法結合三角函數的性質求范圍即可.
【詳解】由題意得.
令，由，得.
因為在區間上，為增函數，為減函數，所以，
解得，所以.
故選：A
【變式3-2】．（2023秋·四川成都高三專題檢測）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若在上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據函數圖象變換關系求出的解析式，利用函數的單調性建立不等式進行求解即可．
【詳解】解：將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變，得到，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，
即，若在上單調遞減，
則的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的單調遞減區間為，，
若在上單調遞減，則，，
即，，當時，，即的取值范圍是.
故選：D．
【變式3-3】．（2023·湖南·長沙一中模擬預測）已知函數，若在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】轉化為在區間內單調遞增，根據正切函數的單調區間求出的單調遞增區間，再根據區間是的單調遞增區間的子集列式可求出結果.
【詳解】
因為在區間內單調遞減，所以，在區間內單調遞增，
由，，得，，
所以的單調遞增區間為，，
依題意得，，
所以，，所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
當時，，又，所以，
當時，.
綜上所述：.
故選：C.
【變式3-4】．（2024·天津市濱海新區塘沽第一中學三模）設，函數，，若在上單調遞增，且函數與的圖象有三個交點，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據在上單調遞增，結合正弦函數的單調性可得，從而可求得在上單調遞增這個條件的范圍，再根據函數與的圖象有三個交點，則在上函數與的圖象有兩個交點，即方程在上有兩個不同的實數根，從而可得第二個條件下的的范圍，取交集即可得出答案，注意說明時，函數與的圖象只有一個交點.
【詳解】
當時，，
因為在上單調遞增，
所以，解得，
若在上函數與的圖象有兩個交點，
即方程在上有兩個不同的實數根，
即方程在上有兩個不同的實數根，
所以，解得，
當時，令，
當時，，
當時，，，
結合圖象可得時，函數與的圖象只有一個交點，
綜上所述，當時，函數與的圖象有三個交點，滿足題意，
故選：B.
題型四 由三角函數的對稱性求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023秋·四川廣元高三統考）將函數（）的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先求得的圖象平移后的解析式，再列出關于的方程，進而求得的最小值.
【詳解】的圖象向右平移1個單位長度后，
可得函數的圖象，
則，，即，.
又，故的最小值為1.
故選：B
【例題2】．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，若對于任意實數x，都有，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據給定條件，可得函數圖象的對稱中心，再利用正弦函數的性質列式求解作答.
【詳解】因為對于任意實數x，都有，則有函數圖象關于點對稱，
因此，解得，而，
所以當時，取得最小值4.
故選：C
【例題3】．（2023秋·山西太原一中高三模擬預測（理））已知函數在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【分析】求出函數的對稱軸方程為，，原題等價于有3個整數k符合，解不等式即得解.
【詳解】
解：，
令，，則，，
函數f（x）在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：C.
【變式4-1】．（2023秋·湖南長沙·高三聯考）函數的圖象關于直線對稱，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據正弦函數的對稱軸求出的表達式，然后判斷．
【詳解】由題意得，，
即，，
因為，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故選：ABC．
【變式4-2】（2023·四川綿陽統考模擬預測）若存在實數，使得函數(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函數的圖象的一個對稱中心為，
所以，所以，由于，則，
因為，所以可得：，故選：C
【變式4-3】（2023·內蒙古呼和浩特高三模擬預測）已知函數，若在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數 ，
令，由，則，
又函數在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，
即在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，
作出的圖象如下，
所以，得．
故選：D．
【變式4-4】（2023秋·內蒙烏海模擬預測）已知函數在內有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用正余弦倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，利用題中所給的自變量的范圍求得整體角的范圍，根據正弦函數的性質以及題中條件，得到，進而求得結果.
【詳解】
當時，，
函數在內有且僅有三條對稱軸，則有，
解得，
故選：B.
【變式4-5】（2023春·河南焦作·高三統考）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用輔助角化簡函數解析式為，分析可知，函數的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.
【詳解】因為，
因為函數的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，
所以，函數的最小正周期滿足，即，則，
由可得，
因為函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，
則，可得，
又因為且存在，則，解得，
因為，則，所以，，
故選：B.
題型五 由三角函數的最值求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023·云南曲靖高三專題檢測）已知函數，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
【答案】17
【解析】由，且在上有最大值，沒有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當時，，則的最大值為17，,
故答案為：17
【例題2】（2023秋·陜西安康高三專題檢測）已知，函數在上存在最值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當取最值時，．即，
由題知，故．
即．因為時，；時，；
顯然當時，，此時在上必有最值點．
綜上，所求．故選:D．
【例題3】（2023秋·湖北黃岡高三模擬）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，函數，，
因為在區間上單調遞增，由，則，
于是且，解得且，即，
當時，，因為在區間上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
【變式5-1】．（2024·重慶八中高三模擬）函數在上的值域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據求出，根據f(x)在上的值域是可知，據此即可求出ω的范圍.
【詳解】，，則，
要使f(x)在上的值域是，
則.
故選：C.
【變式5-2】．（2023·河南安陽第一高級中學模擬預測（理））已知函數在區間上的值域為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由求得的范圍，再根據函數的直接結合正弦函數的性質列出不等式，從而可得出答案.
【詳解】解：當時，，
因為函數在區間上的值域為，
所以，解得.
故選：.
【變式5-3】（2023·浙江義烏高三專題檢測）已知函數在上有最大值，無最小值，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】．
由題可知，，所以，
當時，，
因為函數在上有最大值，無最小值，
所以存在，使得
整理得，（）.
因為，所以，解得.
【變式5-4】．（2023·山東濟南高三模擬）已知函數在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則的取值范圍是________.
【答案】
【分析】考察第2、3個正最值點的位置可解.
【詳解】易知時不滿足題意，
由Z，得Z，
當時，第2個正最值點，解得，
第3個正最值點，解得，故；
當時，第2個正最值點，解得，
第3個正最值點，解得，故.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
題型六 由三角函數的極值求ω的值或取值范圍
【例題1】（2023·江蘇無錫高三專題檢測）記函數的最小正周期為T．若為的極小值點，則的最小值為__________．
【答案】14
【解析】 因為所以最小正周期，
又所以，即；
又為的極小值點，所以，解得，因為，所以當時；
故答案為：14
【例題2】（2023秋·河北保定校聯考三模）已知函數，.若函數只有一個極大值和一個極小值，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，因為，所以則問題轉化為在上只有一個極大值和一個極小值，
因為函數只有一個極大值和一個極小值，則，即，又，所以，所以
則解得故
故選：C
【例題3】（2023·四川成都高三專題檢測）已知函數在區間內有且僅有一個極大值，且方程在區間內有4個不同的實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，函數，
因為，所以，
若在區間內有且僅有一個極大值，則，解得；若方程在區間內有4個不同的實數根，
則，解得．
綜上可得，實數的取值范圍是．
【變式6-1】（2023·寧夏銀川高三專題檢測）若函數（）在上單調，且在上存在極值點，則ω的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依據函數在上單調，可知，計算出函數的對稱軸，然后根據函數在所給區間存在極值點可知，最后計算可知結果.
【詳解】
因為在上單調，所以，則，由此可得.
因為當，即時，函數取得極值，
欲滿足在上存在極值點，因為周期，故在上有且只有一個極值，
故第一個極值點，得，又第二個極值點，
要使在上單調，必須，得.
綜上可得，的取值范圍是.
故選：C
【變式6-2】（2024·陜西寶雞統考一模）已知，函數在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因為在上恰有3個極大值點，由，得，
又函數的極大值點滿足，
所以，解得.故選：C.
【變式6-3】（2024·上海黃浦·統考一模）已知，且函數恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，
又∵在恰有2個極大值點，
∴由正弦函數圖象可知，，解得：.故選：B.
【變式6-4】（2023·江西九江高三模擬）已知函數在區間上無極值，則的取值范圍是（ ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0，） D．（0，]
【答案】A
【分析】利用導數求解，將問題轉化為
或在區間上恒成立，然后利用正弦函數的圖象求解即可.
【詳解】由已知條件得，
∵函數在區間上無極值，
∴函數在區間上單調，
∴或在區間上恒成立，
當時，，
∵，∴，在此范圍內不成立；
當時，，
∵，∴，即，解得，
則的取值范圍是，
故選：.
【變式6-5】（2023秋·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）已知函數，若，在內有極小值，無極大值，則可能的取值個數（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據余弦函數的零點求得，又極值情況列不等式可得，分情況得的取值進行取舍，即可得答案.
【詳解】已知函數，若，
所以，則①，
又在內有極小值，無極大值，則，所以，
又，則當得，，所以，不符合①式，故舍；
當得，，所以，由①式可得；
當得，，所以，由①式可得；
當得，，所以，不符合①式，故舍；
當得，，無解，故舍；
易知，當時，都無解，故不討論；
綜上，或，則可能的取值個數為.
故選：C.
題型七 由三角函數零點求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023·江蘇無錫高三專題檢測）記函數的最小正周期為.若，為的零點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因為的最小正周期為，且，
所以，
因為，所以，
所以，
因為為的零點，
所以，
所以，解得，
因為，所以的最小值為4，
故選：C
【例題2】．（2023·寧夏銀川一中模擬預測）函數在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因為在上沒有零點，所以，解出的范圍，再結合題意得出或，代入即可求出答案.
【詳解】
因為函數，在上沒有零點，所以
，所以，
即，
因為，所以，
又因為，所以，所以，
所以，因為，所以或，
當時，；
當時，，
又因為，所以的取值范圍是：.
故選：C.
【例題3】（2023·湖北武漢高三模擬預測）若()在上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，∴，
函數在區間上有且只有兩個零點，
則﹒解得.故選：A
【變式7-1】（2023·遼寧大連高三模擬）設函數，若對于任意實數，函數在區間上至少有3個零點，至多有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為為任意實數，故函數的圖象可以任意平移，從而研究函數在區間上的零點問題，即研究函數在任意一個長度為的區間上的零點問題，
令，得，則它在軸右側靠近坐標原點處的零點分別為，，，，，，
則它們相鄰兩個零點之間的距離分別為，，，，，
故相鄰四個零點之間的最大距離為，相鄰五個零點之間的距離為，
所以要使函數在區間上至少有3個零點，至多有4個零點，則需相鄰四個零點之間的最大距離不大于，相鄰五個零點之間的距離大于，
即，解得.
故選：C
【變式7-2】（2023秋·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））已知函數在區間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的范圍，求出的范圍，結合正弦函數的性質即可得結果.
【詳解】根據題意，函數，
若，即，必有，
令，則，
設，
則函數和在區間內有4個交點，
又由于，必有，
即的取值范圍是，
故選：B.
【變式7-3】（2023秋·遼寧遼陽·高三統考期末）已知函數在上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以
，
因為，所以，
因為在上恰有3個零點，
所以，解得．故選：B．
【變式7-4】．（2023·廣西·貴港市高級中學三模（理））已知在有且僅有6個實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化簡為，再根據題意得出，求解即可.
【詳解】由，
得，即.
設，
即在有且僅有6個實數根，
因為，
故只需，
解得，
故選：D．
【變式7-5】（2023·河北·高二統考學業考試）設函數，若對于任意實數，在區間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，則
令，則
則問題轉化為在區間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍.
作出和的圖像，觀察交點個數，
可知使得的最短區間長度為2π，最長長度為，
由題意列不等式的：
解得：.
故選：B重難點2-3 ω的取值范圍及最值問題（七類核心考題）（原卷版）
【方法歸納】
求ω取值范圍的常用解題思路
1、依托于三角函數的周期性：因為的最小正周期是，所以，也就是說只要確定了周期T，就可以確定的取值.
2、利用三角函數的對稱性：（1）三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，也就是說，我們可以根據三角函數的對稱性來研究其周期性，進而可以研究的取值。（2）三角函數的對稱軸比經過圖象的最高點或最低點，函數的對稱中心就是其圖象與軸的交點（零點），也就是說我們可以利用函數的最值、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定的取值.
3、結合三角函數的單調性：函數的每一“完整”單調區間的長度（即兩相鄰對稱軸的間距）恰好等于，據此可用來求的值或范圍。
【考題總結】
題型一 由三角函數的周期求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023秋·江蘇無錫高三聯考）函數的最小正周期為，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【變式1-1】．（2023秋·湖南長沙高三校聯考）記函數的最小正周期為，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
題型二 由三角函數的伸縮平移變換求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023秋·遼寧沈陽·高三校聯考開學考試）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，若為奇函數，則的取值可以為（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【例題2】（2023秋·江西南昌高三檢測）已知函數，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023秋·甘肅蘭州一中高三檢測）已知函數，將的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，點，，是與圖象的連續相鄰的三個交點，若是鈍角三角形，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023春·浙江杭州聯考開學考試）將函數的圖像向左平移2個單位長度后，與函數的圖象重合，則的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式2-2】．（2023秋·四川成都七中高三檢測）（多選）定義運算：，將函數的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數為偶函數，則ω的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】．（2023春·海南海口·高三海口一中校考）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若函數在區間上單調遞增，則的值可能為（ ）
A． B． C．3 D．4
【變式2-4】（2023秋·貴州貴陽高三統考期末）將函數的圖像分別向左 向右各平移個單位長度后，所得的兩個函數圖象的對稱軸重合，則的最小值為.
【變式2-5】（2023秋·山西運城高三專題檢測）已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，點、、是與圖象的連續相鄰的三個交點，若是銳角三角形，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型三 由三角函數的單調性求ω的值和范圍
【例題1】（2023秋·江西贛州·二模）已知函數相鄰兩個對稱軸之間的距離為2π，若f（x）在（-m，m）上是增函數，則m的取值范圍是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【例題2】（2023秋·福建高三校聯考）已知函數（其中）在上單調遞增，在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023·山西呂梁·統考三模）已知函數，滿足，，且在上單調，則的取值可能為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【變式3-1】．（2023秋·山東濰坊高三專題檢測）已知函數，在區間上，若為增函數，為減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】．（2023秋·四川成都高三專題檢測）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若在上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】．（2023·湖南·長沙一中模擬預測）已知函數，若在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】．（2024·天津市濱海新區塘沽第一中學三模）設，函數，，若在上單調遞增，且函數與的圖象有三個交點，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
題型四 由三角函數的對稱性求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023秋·四川廣元高三統考）將函數（）的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【例題2】．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，若對于任意實數x，都有，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【例題3】．（2023秋·山西太原一中高三模擬預測（理））已知函數在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【變式4-1】．（2023秋·湖南長沙·高三聯考）函數的圖象關于直線對稱，則的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·四川綿陽統考模擬預測）若存在實數，使得函數(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·內蒙古呼和浩特高三模擬預測）已知函數，若在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】（2023秋·內蒙烏海模擬預測）已知函數在內有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】（2023春·河南焦作·高三統考）已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型五 由三角函數的最值求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023·云南曲靖高三專題檢測）已知函數，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
【例題2】（2023秋·陜西安康高三專題檢測）已知，函數在上存在最值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023秋·湖北黃岡高三模擬）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】．（2024·重慶八中高三模擬）函數在上的值域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】．（2023·河南安陽第一高級中學模擬預測（理））已知函數在區間上的值域為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·浙江義烏高三專題檢測）已知函數在上有最大值，無最小值，則的取值范圍是________．
【變式5-4】．（2023·山東濟南高三模擬）已知函數在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則的取值范圍是________.
題型六 由三角函數的極值求ω的值或取值范圍
【例題1】（2023·江蘇無錫高三專題檢測）記函數的最小正周期為T．若為的極小值點，則的最小值為__________．
【例題2】（2023秋·河北保定校聯考三模）已知函數，.若函數只有一個極大值和一個極小值，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023·四川成都高三專題檢測）已知函數在區間內有且僅有一個極大值，且方程在區間內有4個不同的實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·寧夏銀川高三專題檢測）若函數（）在上單調，且在上存在極值點，則ω的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·陜西寶雞統考一模）已知，函數在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·上海黃浦·統考一模）已知，且函數恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2023·江西九江高三模擬）已知函數在區間上無極值，則的取值范圍是（ ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0，） D．（0，]
【變式6-5】（2023秋·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）已知函數，若，在內有極小值，無極大值，則可能的取值個數（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
題型七 由三角函數零點求ω的值或取值范圍
【例題1】．（2023·江蘇無錫高三專題檢測）記函數的最小正周期為.若，為的零點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例題2】．（2023·寧夏銀川一中模擬預測）函數在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023·湖北武漢高三模擬預測）若()在上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·遼寧大連高三模擬）設函數，若對于任意實數，函數在區間上至少有3個零點，至多有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023秋·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））已知函數在區間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023秋·遼寧遼陽·高三統考期末）已知函數在上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】．（2023·廣西·貴港市高級中學三模（理））已知在有且僅有6個實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-5】（2023·河北·高二統考學業考試）設函數，若對于任意實數，在區間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（　　）
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