資源簡介

重難點2-4 三角形中的范圍與最值問題（七類核心考點題型）
（原卷版）
【方法歸納】在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；（4）根據三角形解的個數求范圍或最值；（5）利用二次函數求范圍或最值．
【題型總結】
題型一 邊長類最值及范圍問題
【例題1】．（2024·浙江義烏高三學校聯考期末）已知銳角內角的對邊分別為.若.
(1)求； (2)若，求的范圍.
【例題2】（2023秋·吉林長春高三質量檢測）在①；②；③.三個條件中選一個，補充在下面的橫線處，并解答問題.
在中，內角A B C的對邊分別為a b c，的面積為S，且滿足___________
(1)求A的大小；
(2)設的面積為，點D在邊上，且，求的最小值.
【例題3】．（2023·四川瀘州高三聯考）在中，內角，，所對的邊分別，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，當僅有一解時，寫出的范圍，并求的取值范圍.
【變式1-1】．（2023秋·山東青島高三第一次模擬）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C； (2)設BC的中點為D，且，求的取值范圍．
【變式1-2】（2023秋·安徽合肥市第七中學校考三模）在銳角中，角的對邊分別為，且，，依次組成等差數列.
（1）求的值； （2）若，求的取值范圍.
【變式1-3】（2023秋·山西長治高三統考模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
（1）求證：；
（2）若是銳角三角形，，求的范圍.
【變式1-4】（2023秋·遼寧實驗中學校考模擬預測）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．
(1)若，求；(2)求的取值范圍．
【變式1-5】（2023·云南大理統考一模）在中，分別為內角的對邊，.
（1）若，求的值；（2）求的最大值.
題型二 中線及高線類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·寧夏銀川一中三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大小； (2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
【例題2】．（2023遼寧鞍山市第一中學校校考一模）在銳角中，設邊所對的角分別為，且．
(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．
【變式2-1】．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】．（2023·河北保定高三模擬預測）在銳角三角形中，，．
(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．
題型三 三角形外接圓、內切圓半徑類范圍問題
【例題1】．（2023·河北保定高三模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；(2)求內切圓半徑r的取值范圍．
【例題2】．（2023·山東濟南統考二模）已知內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)求角B的大小；(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．
【變式3-1】．（2023·河南開封七校聯考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.
(1)求的外接圓半徑；(2)求內切圓半徑的取值范圍.
題型四 角度類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·陜西咸陽高三模擬預測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數列，則角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·河北唐山高三專題檢測）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；(2)求的取值范圍.
【例題3】．（2023·江蘇揚州統考模擬預測）在銳角中，內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；(2)求的取值范圍.
【變式4-1】（2023·福建福州·統考二模）記的內角，，的對邊分別為，，．已知．
（1）求的值：（2）求的最大值．
【變式4-2】（2023·陜西寶雞高級中學校考三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．
(1)證明：；(2)求的取值范圍．
【變式4-3】（2023秋·河南洛陽高三專題檢測）已知的內角、、的對邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【變式4-4】（2023秋·山西長治高三附中校考）在銳角中，角所對的邊分別是，滿足.
（1）求證：；（2）求的取值范圍.
【變式4-5】．（2023·四川綿陽統考三模）已知分別為的內角所對的邊，，且．
(1)求；(2)求的取值范圍．
題型五 周長類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·遼寧大連高三開學考試）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.
【例題2】．（2023·重慶八中高三階段檢測）已知向量，，函數．
(1)求函數在上的值域；
(2)若的內角、、所對的邊分別為、、，且，，求的周長的取值范圍．
【例題3】．（2023·江西贛州·統考模擬預測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
【變式5-1】．（2023·陜西榆林高三模擬）在①；②；③；在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．
在銳角中，內角、、，的對邊分別是、、，且______
(1)求角的大小；(2)若，求周長的范圍．
【變式5-2】．（2023·浙江省金華高三模擬預測）已知函數，其中，若實數滿足時，的最小值為．
(1)求的值及的對稱中心；
(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．
題型六 面積類最值及范圍問題
【例題1】（2023·遼寧沈陽高三重慶校考檢測）已知函數．
（1）求函數的值域； （2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值．
【例題2】．（2023·云南曲靖高三統考模擬預測）在平面四邊形中，，，，.
(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.
【例題3】．（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學校考）如圖所示，某住宅小區一側有一塊三角形空地，其中，，．物業管理部門擬在中間開挖一個三角形人工湖，其中，都在邊上（，均不與重合，在，之間），且．
(1)若在距離點處，求點，之間的距離；
(2)設，
①求出的面積關于的表達式；
②為節省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定的值，使得面積最小，并求出這個最小面積．
【變式6-1】．（2023·江蘇無錫高三模擬預測）已知在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．
【變式6-2】（2023·浙江嘉興·統考模擬預測）已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
（1）求角的大小；
（2）設是邊上的高，且，求面積的最小值.
【變式6-3】（2023河南洛陽一中高三階段檢測（理））已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．
(1)求角C的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．
【變式6-4】（2023·江蘇鎮江高三聯考模擬預測）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．
（1）若，求；
（2）記 與 的面積分別記為和，求的最大值．
題型七 向量類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·河北石家莊第一中學校考模擬預測）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·四川達州高三模擬預測）在中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．
(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點，求的取值范圍．
【變式7-1】．（2023·吉林長春高三校考模擬預測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為 ．
【變式7-2】．（2023秋·安徽合肥市第二中學校考二模）已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．重難點2-4 三角形中的范圍與最值問題（七類核心考點題型）
（解析版）
【方法歸納】在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；（4）根據三角形解的個數求范圍或最值；（5）利用二次函數求范圍或最值．
【題型總結】
題型一 邊長類最值及范圍問題
【例題1】．（2024·浙江義烏高三學校聯考期末）已知銳角內角的對邊分別為.若.
(1)求； (2)若，求的范圍.
【解析】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因為，
所以，
，因為三角形為銳角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.
【例題2】（2023秋·吉林長春高三質量檢測）在①；②；③.三個條件中選一個，補充在下面的橫線處，并解答問題.
在中，內角A B C的對邊分別為a b c，的面積為S，且滿足___________
(1)求A的大小；
(2)設的面積為，點D在邊上，且，求的最小值.
【解析】（1）選①，由，由正弦定理得，
中，∴，
，則，
所以，，可得，則，
因此，；
選②，，，則，
∴，得；
選③，，由正弦定理和切化弦得，中，
∴
中，，∴，得
（2）由，有，
由，有，
∴
，等號成立時即，∴的最小值為.
【例題3】．（2023·四川瀘州高三聯考）在中，內角，，所對的邊分別，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，當僅有一解時，寫出的范圍，并求的取值范圍.
【解析】（1）
，即， ，
， .
（2）根據題意，由正弦定理得，則，
僅有一解，
或，即或，或，
當時，，所以，所以；
當時，由正弦定理得，
，
，，，
，即，
綜上，.
【變式1-1】．（2023秋·山東青島高三第一次模擬）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C； (2)設BC的中點為D，且，求的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角C；
（2）設，由正弦定理，把表示成的三角函數，利用三角函數的性質求取值范圍.
【詳解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；
又，則，所以，
則有，又因為，則，即；
（2）設，則中，由可知，
由正弦定理及可得，
所以，，
所以，
由可知，，，
所以．
即的取值范圍.
【變式1-2】（2023秋·安徽合肥市第七中學校考三模）在銳角中，角的對邊分別為，且，，依次組成等差數列.
（1）求的值； （2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由條件得：，
所以，由正弦定理得：，所以.
（2）及，則，角一定為銳角，
又為銳角三角形，所以
由余弦定理得：，
所以，即，解得：，
又，所以. 又 ，
令，則，
，所以在上遞增，又，，
所以的取值范圍是.
【變式1-3】（2023秋·山西長治高三統考模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
（1）求證：；
（2）若是銳角三角形，，求的范圍.
【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知
因為是銳角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以實數的取值范圍是.
【變式1-4】（2023秋·遼寧實驗中學校考模擬預測）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．
(1)若，求；(2)求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)先利用余弦定理得到，根據邊的關系得到AB⊥DB，進而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；
(2) 設∠ADB=θ，利用余弦定理分別求出,相加后整理變形得到關于角的三角函數，利用正弦函數的圖象和性質即可求解.
【詳解】（1）在△ABD中，因為，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此時Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．
在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．
（2）設∠ADB=θ，由題意可知，
在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因為，所以，
所以，
因為，所以，，
所以的取值范圍是．
【變式1-5】（2023·云南大理統考一模）在中，分別為內角的對邊，.
（1）若，求的值；（2）求的最大值.
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由得,
即，即
即,因為,
所以,即,由得，故.
（2）由結合余弦定理得,
則,于是,即.
解得,故當時，有最大值.
題型二 中線及高線類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·寧夏銀川一中三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大小； (2)若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結果；
（2）由余弦定理結合數量積運算得，由正弦定理可得，，所以，結合角的范圍，利用三角函數性質可求得的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因為，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長的取值范圍為．
【例題2】．（2023遼寧鞍山市第一中學校校考一模）在銳角中，設邊所對的角分別為，且．
(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據正余弦定理及三角恒等變換結合條件可得，然后根據三角形為銳角三角形進而即得；
（2）根據三角形面積公式及正弦定理可得，然后根據三角恒等變換及正切函數的性質結合條件即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，，又，
所以，整理可得，
所以或(舍去)，
所以，又為銳角三角形，
所以，所以；
（2）由題可知，即，
又，所以，
所以，
由，可得，所以，
所以，
即中邊上的高的取值范圍是.
【變式2-1】．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理邊化角，結合已知求出邊b長的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長，求出函數值域作答.
【詳解】令的內角所對邊分別為，由正弦定理及得，即，
銳角中，，即，同理，
于是，解得，又線段為邊上的中線，
則，又，于是，
因此，當時，，，
所以中線的取值范圍是.
故選：D
【變式2-2】．（2023·河北保定高三模擬預測）在銳角三角形中，，．
(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據三角形的內角和定理結合正弦定理化角為邊，再根據余弦定理即可得解；
（2）設邊上的高為，則，再利用正弦定理及三角函數求出的范圍，即可得解，注意三角形為銳角三角形.
【詳解】（1）設的內角，，的對邊分別為，，，
因為，，
所以，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）設邊上的高為，則，
由正弦定理，得，
由為銳角三角形，
得，得，則，
所以，從而，
故邊上的高的取值范圍是．
題型三 三角形外接圓、內切圓半徑類范圍問題
【例題1】．（2023·河北保定高三模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；(2)求內切圓半徑r的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦邊角關系可得，應用余弦定理即可求，進而確定其大小；
（2）由正弦定理有，，根據余弦定理有，結合（1）及，應用三角恒等變換有，由三角形內角性質、正弦函數性質求范圍即可.
【詳解】（1）因為，由正弦邊角關系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，則.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面積法可得，
則
，
∵，∴，故，則，
所以，故.
【例題2】．（2023·山東濟南統考二模）已知內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)求角B的大小；(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理結合條件，進行邊角轉化即可得出結果；
（2）利用正弦定理，將邊轉角，再結合條件得到，再利用角的范圍即可得出結果.
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因為為鈍角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的圖像與性質知，所以
【變式3-1】．（2023·河南開封七校聯考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.
(1)求的外接圓半徑；(2)求內切圓半徑的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.
【詳解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因為，所以.
（2）由（1）可知：，則.
則.
在中，由正弦定理，
，所以，
則
，
又，所以，
所以，
，所以.
題型四 角度類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·陜西咸陽高三模擬預測）在中，角、、所對的邊長分別為，若成等比數列，則角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由成等比數列，可得，然后利用余弦定理表示出，進行化簡后利用基本不等式求出的最小值，根據的范圍以及余弦函數的單調性，即可求解.
【詳解】因為成等比數列，可得，
則，（當且僅當時取等號），
由于在三角形中，且在上為減函數，
所以角的取值范圍是：.
故選：B.
【例題2】．（2023·河北唐山高三專題檢測）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；(2)求的取值范圍.
【解析】（1）因為，
所以，即.
因為，所以.
因為，所以.
（2）由（1）知
.
因為，所以，
因為，所以，
所以，
即的取值范圍是.
【例題3】．（2023·江蘇揚州統考模擬預測）在銳角中，內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】（1）由和差角公式化簡得，由正弦定理邊角化即可求解，
（2）由銳角三角形滿足，根據基本不等式即可求解.
【詳解】（1），
，
，由正弦定理得：.
（2）銳角，
，
當且僅當時等號成立，
當時，，當時，，
所以.
【變式4-1】（2023·福建福州·統考二模）記的內角，，的對邊分別為，，．已知．
（1）求的值：（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理可得，
代入，得到，化簡得，
即.由正弦定理可得，
即，展開得，
即，所以．
（2）由得，
故，
當且僅當，即時等號成立．
因為，所以，所以的最大值為.
【變式4-2】（2023·陜西寶雞高級中學校考三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．
(1)證明：；(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，三角恒等變換解決即可；
（2）由條件求的范圍，結合正弦函數性質求的范圍，利用三角恒等變換得，由此可求其范圍.
【詳解】（1）∵．
∴，
∴，
因為為銳角三角形內角，所以，，所以，
所以，即；
（2）由題意得，解得，所以，
由正弦定理得，
因為函數在上單調遞減，所以當時，，
所以當時，，所以，
∴的取值范圍為．
【變式4-3】（2023秋·河南洛陽高三專題檢測）已知的內角、、的對邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）為等腰三角形或直角三角形，證明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、為的內角，所以或，
因此為等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因為，故，
得，所以，
因此的取值范圍為．
【變式4-4】（2023秋·山西長治高三附中校考）在銳角中，角所對的邊分別是，滿足.
（1）求證：；（2）求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）由及余弦定理，得，
由正弦定理得：，
又，，
，，
都是銳角，，即.
（2）令，
由（1）得，
在銳角三角形中，，即，解得，，
令，，
又函數在上單調遞增，，
故的取值范圍是.
【變式4-5】．（2023·四川綿陽統考三模）已知分別為的內角所對的邊，，且．
(1)求；(2)求的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用向量的數量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；
（2）根據（1）的結論及三角形的內角和定理，利用誘導公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結合輔助角公式及三角函數的性質即可解.
【詳解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因為，所以．
（2）由（1）知，所以.
所以
，
因為,所以，所以，
所以，
故的取值范圍是.
題型五 周長類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·遼寧大連高三開學考試）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.
【解析】（1）在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得：，
則，而，令，
在銳角中，，解得，，
于是得，則，
所以周長的取值范圍是.
【例題2】．（2023·重慶八中高三階段檢測）已知向量，，函數．
(1)求函數在上的值域；
(2)若的內角、、所對的邊分別為、、，且，，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用數量積的坐標表示求出函數并化簡，再根據三角函數的性質求值域作答.
（2）由（1）求出，借助余弦定理求出的范圍，即可求解作答．
(1)（1）依題意，，
由得，，
所以在上的值域為.
(2)由得，，，則有，解得，
在中，由余弦定理得，，
當且僅當時取“=“，即有，又因為，則，
因此，
所以的周長的取值范圍為．
【例題3】．（2023·江西贛州·統考模擬預測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】將表示為角的形式，結合三角恒等變換以及三角函數的值域等知識確定正確答案.
【詳解】，
由正弦定理得，
，
由于，
所以，
所以，
由于，所以，所以，
所以，則，
函數的開口向上，對稱軸為，
所以.
故選：A
【變式5-1】．（2023·陜西榆林高三模擬）在①；②；③；在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．
在銳角中，內角、、，的對邊分別是、、，且______
(1)求角的大小；(2)若，求周長的范圍．
【解析】（1）選①，由可得，
，則，可得，；
選②，由可得，
即，即，
，則，故，；
選③，由及正弦定理可得，
、，則，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，則，，
，
因為為銳角三角形，則，可得，
所以，，則，
故.
【變式5-2】．（2023·浙江省金華高三模擬預測）已知函數，其中，若實數滿足時，的最小值為．
(1)求的值及的對稱中心；
(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．
【答案】(1)，對稱中心；(2)
【分析】（1）先由倍角公式及輔助角公式化簡得，再結合已知求得周期即可求出，由正弦函數的對稱性即可求得對稱中心；
（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等變換及三角函數的值域即可求得周長的取值范圍．
(1)
，
顯然的最大值為1，最小值為，則時，的最小值等于，則，則，；
令，解得，則的對稱中心為；
(2)
，，又，則，
由正弦定理得，則，
則周長為
，又，則，
則，故周長的取值范圍為.
題型六 面積類最值及范圍問題
【例題1】（2023·遼寧沈陽高三重慶校考檢測）已知函數．
（1）求函數的值域； （2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（2）在△ABC中中，由余弦定理、結合均值不等式求最值
【解析】（1），
∴的值域為．
（2），
即，由 ,得 ∴，即，
又，即，
∴， ∴，當且僅當時取得．
【例題2】．（2023·云南曲靖高三統考模擬預測）在平面四邊形中，，，，.
(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，從而求得.
（2）解法一：由（1）求得，
，從而，再利用，即可求得面積的取值范圍；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分別求出，，利用即可求得范圍.
【詳解】（1）在中，
由正弦定理可得，所以，
又，所以.
（2）解法一：由（1）可知，
，
因為為銳角，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
，
因為，且為銳角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，所以，即，
所以的面積的取值范圍為.

解法二：由（1）可知，，
因為為銳角，所以，，
如圖，作于，作于，交于，

所以，，
所以，
又，所以.
由圖可知，
僅當在線段上（不含端點）時，為銳角三角形，
所以，即.
所以面積的取值范圍為.
【例題3】．（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學校考）如圖所示，某住宅小區一側有一塊三角形空地，其中，，．物業管理部門擬在中間開挖一個三角形人工湖，其中，都在邊上（，均不與重合，在，之間），且．
(1)若在距離點處，求點，之間的距離；
(2)設，
①求出的面積關于的表達式；
②為節省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定的值，使得面積最小，并求出這個最小面積．
【解析】（1）∵，，，，∴，，
∴由余弦定理，，，
∴．
在中．
（2）①∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，
又中邊上的高為，
∴，．
②當，時，最小且．
【變式6-1】．（2023·江蘇無錫高三模擬預測）已知在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵，，，
∴
．
又，∴．又為銳角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
(2)由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面積的范圍為
【變式6-2】（2023·浙江嘉興·統考模擬預測）已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
（1）求角的大小；
（2）設是邊上的高，且，求面積的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）法一：左邊，
右邊，
由題意得
，即，
又因為，所以.
法二：左邊，
右邊，
由題意得，
又因為，所以.
（2）由，
由余弦定理得，
，
，當且僅當時取“等號”，
而，故
【變式6-3】（2023河南洛陽一中高三階段檢測（理））已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．
【解析】（1）由以及，
可得，
即，
即，
即，
即，
由于，故，又，故，
故或，
解得或（舍去），
故.
（2）由正弦定理得，即，．
所以的面積，
．
因為為銳角三角形，
所以，
所以，所以，
故面積的取值范圍是．
【變式6-4】（2023·江蘇鎮江高三聯考模擬預測）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．
（1）若，求；
（2）記 與 的面積分別記為和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，
，，
，，
∴
；
（2）設，，∴，
∴，∴，①
，
當且僅當，時取最大值 ；綜上， ， 的最大值是 .
題型七 向量類最值及范圍問題
【例題1】．（2023·河北石家莊第一中學校考模擬預測）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，利用余弦定理可求得，根據向量數量積定義可得，利用三角形三邊關系可求得的范圍，結合二次函數性質可求得結果.
【詳解】設，則，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范圍為.
故選：D.
【例題2】．（2023·四川達州高三模擬預測）在中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．
(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由三角形面積公式求得，已知等式由正弦定理邊化角，化簡得，可解得；
（2）由（1）得，則，建立平面直角坐標系，設，利用向量的坐標運算求，由三角函數的值域求取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
，
由正弦定理，，
則，
由，
得，
化簡得，由，，
解得，因此.
（2）由（1）得，若A為鈍角，則，則，如圖建立平面直角坐標系，
則，設．
則，，，
有，，，
則．
由，則，
所以的取值范圍為.
【變式7-1】．（2023·吉林長春高三校考模擬預測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的數量積公式結合余弦定理可得，再根據三角形兩邊之和大于第三邊結合基本不等式求出，然后利用二次函數的性質求解即可.
【詳解】因為周長為4的，分別是的對邊，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上遞減，
∴，
故答案為：.
【變式7-2】．（2023秋·安徽合肥市第二中學校考二模）已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設的外接圓的半徑為，根據向量線性運算和數量積運算公式化簡可得，根據正弦定理可求，再求出的范圍，結合三角函數性質可求的范圍.
【詳解】因為，
所以
所以，
設的外接圓的半徑為，則
所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，所以，
因為，所以，因為，
所以，所以，
又，所以，故，
所以，所以，
又在上都為增函數，
所以，故，
又，，，
，故，
所以，
其中當時，即點與點重合時左側等號成立，
所以的取值范圍為.
故選：B.

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