資源簡介

重難點2-3 嵌套函數(shù)的零點問題（七類核心考點題型）（原卷版）
【考情透析】
嵌套函數(shù)的零點數(shù)量、零點范圍、參數(shù)范圍等問題常見于高考和各類模擬試題的壓軸小題。可以說是函數(shù)中最困難的部分都不為過，如果能把該板塊內(nèi)容理解透徹，那你對函數(shù)的理解有上了一個新的臺階。我們常見有兩類嵌套函數(shù)分別是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解題的主要思路是:首先通過“換元”達到“解套”的目的，再利用數(shù)形結合的思想解決具體問題即可。
【題型歸類】
核心考點題型一 “與”型問題
解決方案 嵌套函數(shù)自身互嵌型：f（f（x））；2）嵌套函數(shù)雙函數(shù)互嵌型：f（g（x））。
主要步驟：1）換元，設t=f（x）或t=g（x），轉化為f（t）=0；
2）解方程：f（t）=0，得到根t1，t2；
3）解方程：f（x）=t1或f（x）=t2。
【例題1】（2023·上海浦東新·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，若方程有實根，則集合的元素個數(shù)可能是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【例題2】．（2023·四川成都三模）定義域和值域均為(常數(shù))的函數(shù)和的圖象如圖所示，則方程解的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-1】．（2023上·浙江溫州蒼南中學?？迹┰O函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】．（2023秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為___________．
題型2.“”型問題
【例題1】．（2023下·廣東揭陽·高三?？迹┖瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例題2】（2023秋·江蘇淮安高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且），若函數(shù)的零點有5個，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．或
C．或或 D．或
【例題3】．（2023秋·河北邢臺一中模擬）已知在定義域上為單調(diào)函數(shù)，對，恒有，則函數(shù)的零點是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【變式2-1】．（2022上·北京·高三北京四中?？计谥校┖瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2-2】（2022上·河北石家莊·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)若函數(shù)的零點個數(shù)為
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2-3】．（2023秋·河南高三模擬）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)是
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式2-3】．（2023下·安徽·高三巢湖市第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型3.互嵌套函數(shù)：“”型問題
【例題1】．（2023秋·山東青島高三模擬）已知為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023秋·河北石家莊高三檢測）已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的解，則實數(shù)m的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】．（2023秋.陜西榆林聯(lián)考模擬）已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若關于的方程恰有三個不等實根，，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】．（2023·云南高三模擬）已知，若有四個不同的解，則實數(shù)的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】．（2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯(lián)考二模）已知，函數(shù)，若關于x的方程有6個解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型4.“”或者“”型
解決方案 換元法和數(shù)形結合
【例題1】．（2023.河南開封高三模擬）設函數(shù)．若方程有解，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．，
【例題2】．（2023 山西太原高三模擬）若和都是定義在上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則下列式子中可以為的是　　
A． B． C． D．
【變式4-1】．（2024 浙江義烏二模）已知兩函數(shù)和都是定義在上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則有可能是　　
A． B． C． D．
題型5.嵌套函數(shù)：“”或“”型
解決方案 換元法和數(shù)形結合
【例題1】．（2023上·遼寧鞍山鞍山一中?？计谥校┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例題2】．（2023·江蘇無錫高三期末）已知函數(shù)，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·四川綿陽高三期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式5-2】（2023秋·河南信陽·高三信陽高中?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】．（2023秋·云南曲靖高三檢測）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
核心考點題型六 二次型因式分解
解決方案 ：換元法和數(shù)形結合，
主要步驟：（1）換元，設t=f（x），轉化y=at2+bt+c；（2）作出y=f（x）的大致圖象；
（3）設at2+bt+c=0的根為t1，t2；（t1≠t2）；（4）根據(jù)零點的個數(shù)判斷t1，t2的范圍；
（5）轉化為二次函數(shù)零點問題解決即可。
【例題1】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例題2】．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】．（2023上·河北·高三校聯(lián)考習）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點之和為（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【變式6-1】．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則實數(shù)根的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式6-2】．（2023上·陜西西安校考期末）已知函數(shù)，則關于的方程實數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【變式6-3】．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，記的導函數(shù)為，在區(qū)間上單調(diào)，且，記，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
【變式6-4】．（2023上·遼寧本溪·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)若函數(shù)有5個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-5】（2024·云南模擬預測）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
核心考點題型七 二次型根的分布
解決方案 換元法、數(shù)形結合和跟的分布.
【例題1】．（2023·山西大同模擬預測）設函數(shù)，若關于的方程恰好有六個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023下·河南信陽聯(lián)考模擬）已知函數(shù)若關于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．[﹣5，﹣4]
【變式7-1】．（2023秋·江蘇無錫高三聯(lián)考）已知函數(shù)，方程有6個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】．（2023·四川成都高三模擬）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式7-3】．（2023上·天津·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若關于x的方程恰有6個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A． B．(
C． D．重難點2-3 嵌套函數(shù)的零點問題（七類核心考點題型）（解析版）
【考情透析】
嵌套函數(shù)的零點數(shù)量、零點范圍、參數(shù)范圍等問題常見于高考和各類模擬試題的壓軸小題?？梢哉f是函數(shù)中最困難的部分都不為過，如果能把該板塊內(nèi)容理解透徹，那你對函數(shù)的理解有上了一個新的臺階。我們常見有兩類嵌套函數(shù)分別是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解題的主要思路是:首先通過“換元”達到“解套”的目的，再利用數(shù)形結合的思想解決具體問題即可。
【題型歸類】
核心考點題型一 “與”型問題
解決方案 嵌套函數(shù)自身互嵌型：f（f（x））；2）嵌套函數(shù)雙函數(shù)互嵌型：f（g（x））。
主要步驟：1）換元，設t=f（x）或t=g（x），轉化為f（t）=0；
2）解方程：f（t）=0，得到根t1，t2；
3）解方程：f（x）=t1或f（x）=t2。
【例題1】（2023·上海浦東新·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，若方程有實根，則集合的元素個數(shù)可能是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)方程有實根可求得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得；設，分別在和的情況下，討論的根的個數(shù)，并根據(jù)方程的根與的大小關系，確定的根的個數(shù)，即為所求集合的元素個數(shù).
【詳解】有實根，，解得：；
；
設，則；
①當時，，，即，解得：，
；
②當時，由得：，；
，
，，又恒成立，
，即，
共有四個不等實根，
；
綜上所述：集合的元素個數(shù)可能為或.
故選：C.
【例題2】．（2023·四川成都三模）定義域和值域均為(常數(shù))的函數(shù)和的圖象如圖所示，則方程解的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由圖象可得方程在上有三個實數(shù)解，結合函數(shù)的值域與單調(diào)性即得解.
【詳解】由圖(a)可知，方程在上有三個實數(shù)解，
由圖(b)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且值域為，
所以方程有三個實數(shù)解.故選：C.
【變式1-1】．（2023上·浙江溫州蒼南中學?？迹┰O函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用換元并結合利用一元二次函數(shù)判別式進行判斷求解.
【詳解】由題意知函數(shù)，有2個不同的零點；
令，得，有2個對應的根，根據(jù)判別式法則有與兩種情況：
當時，即，得，即，解得，即
，此時無解，所以此種情況不符題意；
當時，即，得；
設的實根為：和，不妨設，則，
則方程與一共有兩個不等實根．
進一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．
即和中一個方程有兩不等實根，另一個方程無實根．
因為，所以，即，即，
則，設，則，則，
所以，解得，
，，
即．
故選：B.
【變式1-2】．（2023秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為___________．
【答案】
【分析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)的所有零點，從而得解．
【詳解】設，則，
①當時，，得；
②當時，，得；
綜上所述：若，則或.
故或，則有：
①由，可得或，解得或；
②由，可得或，解得或；
綜上所述：函數(shù)的所有零點為，，，4.
故所有零點的和為．
故答案為：.
題型2.“”型問題
【例題1】．（2023下·廣東揭陽·高三?？迹┖瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】令，結合題意得到的兩根為，，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值進而求解.
【詳解】令，則，當時，由可得或（舍去）；當時，由可得，所以的兩根為，，
則或，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，若，易知方程無解，
若，當時，由，得或（舍去），
此時方程有唯一的解；
當時，由，得，此時方程有唯一的解，
綜上所述可知函數(shù)的零點個數(shù)為個，
故選：A.
【例題2】（2023秋·江蘇淮安高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且），若函數(shù)的零點有5個，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．或
C．或或 D．或
【答案】D
【解析】依題意函數(shù)的零點即為方程的根，
①當時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有兩個根，（，），
而對應2個根，所以需要對應3個根，所以，即，解得；
②當時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有兩個根，（，），而對應2個根，
對應2個根，即共四個根，所以不滿足題意；
③當時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有三個根，，，
從而，，，所對應2、2、1個根，即共5個根，所以滿足題意；
④當時函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有三個根，，，（，，），
而，，分別對應2、2、0個根，即共四個根，所以不滿足題意；
綜上可得實數(shù)的取值范圍為或；故選：D
【例題3】．（2023秋·河北邢臺一中模擬）已知在定義域上為單調(diào)函數(shù)，對，恒有，則函數(shù)的零點是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)單調(diào)，結合已知條件求出的解析式，然后再進一步研究函數(shù)的零點．
【詳解】解：因為是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意的，
都有，
故可設存在唯一的實數(shù)，使得，
則設，所以，
所以，則，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，所以，
故，再令，，
解得：，故函數(shù)的零點是.
故選：C．
【變式2-1】．（2022上·北京·高三北京四中?？计谥校┖瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】復合方程求解時，先求得的解有，再解即可.
【詳解】下面解方程：，
當時，，得或1（舍去），
當時，，得，
所以的兩根為，
由得或，
若，則當 時，無解，當 時，無解；
若，則當 時，解得，當 時，解得
所以的零點個數(shù)共有兩個.
故選：B
【典例2-2】（2022上·河北石家莊·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)若函數(shù)的零點個數(shù)為
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【詳解】試題分析：首先畫出函數(shù)的圖像，
，設即，根據(jù)圖像得到，或是，，那么當和時，得到圖像的交點共4個，故選B．
【變式2-3】．（2023秋·河南高三模擬）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用換元法，先求得當時t的值；再帶回原函數(shù)求得x的值．
【詳解】因為的零點即為 令 ，代入上式得
當 時，，解得符合的條件，即
若，解得符合的條件 若，解得符合的條件
當 時，，解得符合的條件
若，解得不符合的條件 若，解得符合的條件
所以零點為，，，共3個零點 所以選B
【變式2-3】．（2023下·安徽·高三巢湖市第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由的性質(zhì)求出對應區(qū)間的值域及單調(diào)性，令并將問題轉化為與交點橫坐標對應值的個數(shù)，結合數(shù)形結合法求零點個數(shù)即可.
【詳解】令，
當時，且遞增，此時，
當時，且遞減，此時，
當時，且遞增，此時，
當時，且遞增，此時，
所以，的零點等價于與交點橫坐標對應的值，如下圖示：
由圖知：與有兩個交點，橫坐標、：
當，即時，在、、上各有一個解；當，即時，在有一個解.
綜上，的零點共有4個.
故選：B
題型3.互嵌套函數(shù)：“”型問題
【例題1】．（2023秋·山東青島高三模擬）已知為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出的圖像如圖所示，由的圖像可知，
的極大值為，極小值為，
有9個零點，令，結合和的圖像可知，
有3個解，分別設為，且，
且每個對應都有3個滿足，欲使有9個零點，由圖可知：，
且，，，由函數(shù)的解析式知：
，，，由圖像可知，
，則，解得，得，故選：A.
【例題2】．（2023秋·河北石家莊高三檢測）已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的解，則實數(shù)m的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，根據(jù)的解析式，可得的單調(diào)性、奇偶性，即可作出的圖象，即可求得t的最小值，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，結合t的范圍，作出的圖象，數(shù)形結合，可得 時，的圖象與圖象有2個交點，此時與分別與有2個交點，即即有四個不同的解，滿足題意，即可得答案.
【詳解】設，則有四個不同的解，
因為，所以為偶函數(shù)，且當時，為增函數(shù)，
所以當時，為減函數(shù)，所以，即，
當時，，則，
令，解得，所以當時，，為減函數(shù)，
當時，，為增函數(shù)，
又，作出時的圖象，如圖所示：
所以當時，的圖象與圖象有2個交點，且設為，
作出圖象，如下圖所示：
此時與分別與有2個交點，即有四個不同的解，滿足題意.
綜上實數(shù)m的取值范圍為.故選：A
【變式3-1】．（2023秋.陜西榆林聯(lián)考模擬）已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若關于的方程恰有三個不等實根，，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分別畫出和的圖像，令，則，要滿足題意，則，此時y=m與y=g(t)有兩個交點，且，通過研究函數(shù)圖像，由圖可得，，用表示出，構造函數(shù)求導可求最值.
【詳解】根據(jù)題意畫出和的圖像，如圖，令,則, ,
當時，y=m與y=g(t)有兩個交點，且，
當時對應兩個x值，當時對應一個x值，則方程恰有三個不等實根，，，且,，取對數(shù)得，所以，
構造函數(shù)，，，，
h(t)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時函數(shù)h(t)取得最小值故選：B
【變式3-2】．（2023·云南高三模擬）已知，若有四個不同的解，則實數(shù)的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】據(jù)導函數(shù)分別討論兩個函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉化為討論的根的個數(shù).
【詳解】是定義在R上的偶函數(shù)，
討論當x＞0時，，
當，，
所以＞0，
即函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，
，
考慮在單調(diào)遞減，
所以必存在使得，，
則，，，
在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以
由洛必達法則：，，，
若有四個不同的解，考慮，
若，則=0僅有兩根，不合題意；所以，兩根，設
一共有四個根，當，無解，
當，，一共四個不同實根，此時，
三個實根，兩個實根，不合題意，綜上所述.故選：D
【變式3-3】．（2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯(lián)考二模）已知，函數(shù)，若關于x的方程有6個解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，則方程的解有3個，
由圖象可得，，且三個解分別為，
則，，，均有兩個不相等的實根，則，且，且，
即且，解得，
當時，，
因為，所以，所以，且，
所以，即恒成立，
故的取值范圍為.故選:B.
題型4.“”或者“”型
解決方案 換元法和數(shù)形結合
【例題1】．（2023.河南開封高三模擬）設函數(shù)．若方程有解，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．，
【答案】 A
【解析】解：設，，則方程等價為，即，，即，
在時有解，即，在時成立，
設，
當時，取得最大值，，即，故選：．
【例題2】．（2023 山西太原高三模擬）若和都是定義在上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則下列式子中可以為的是　　
A． B． C． D．
【答案】 ACD
【解析】解：因為，所以，則有解，
對于，當時，方程有解，故選項正確；
對于，當時，方程無解，故選項錯誤；
對于，當，令，因為，
由零點的存在性定理可知，在上存在零點，所以方程有解，故選項正確；
對于，當時，為方程的解，所以方程有解，故選項正確．故選：．
【變式4-1】．（2024 浙江義烏二模）已知兩函數(shù)和都是定義在上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則有可能是　　
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】解析：由，得，故，，
故有實數(shù)解．對于，，即，方程無解，不符合題意；
對于，，即，方程無解，不符合題意；
對于，，即，方程有解，符合題意；
對于，，即，方程無解，不符合題意．故選：．
題型5.嵌套函數(shù)：“”或“”型
解決方案 換元法和數(shù)形結合
【例題1】．（2023上·遼寧鞍山鞍山一中?？计谥校┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結合其單調(diào)性求其值域，利用分類討論思想，結合零點存在性定理，可得答案.
【詳解】當時，易知單調(diào)遞增，則；
當時，，則，
令，解得，令，解得，
當時，，令，
令，由函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
故函數(shù)在上無零點；
當時，，
令，則，化簡可得，
，由對稱軸，
當時，，當時，，
所以方程在有兩個不相等的實數(shù)根，
故函數(shù)在上有兩個零點；
當時，，令，
整理可得，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
可得，由函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，所以，
故在上無零點.
綜上所述，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點.
故選：C.
【例題2】．（2023·江蘇無錫高三期末）已知函數(shù)，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題對取特殊值，利用數(shù)形結合，排除不合題意的選項即得.
【詳解】令，
當時，方程為，即，
作出函數(shù)及的圖象，
由圖象可知方程的根為或，即或，
作出函數(shù)的圖象，結合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯誤；
當時，方程為，即，
由圖象可知方程的根，即，
結合函數(shù)的圖象，可得方程有四個根，所有根的和為4，滿足題意，故A錯誤.
故選：C.
【變式5-1】（2023·四川綿陽高三期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】令→→作函數(shù)與圖象→兩個交點的橫坐標為→、判斷的零點個數(shù).
【解析】令，則，
作出的圖象和直線，由圖象可得有兩個交點，設橫坐標為，
∴.當時，有，即有一解；當時，有三個解
∴綜上，共有4個解，即有4個零點，故選A
【變式5-2】（2023秋·河南信陽·高三信陽高中?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】確定函數(shù)的值域，利用換元法令 ，則，則將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)的圖象的交點問題，作函數(shù)圖象，確定其交點以及其橫坐標范圍，再結合的圖象，即可確定的零點個數(shù).
【詳解】已知，當時， ，
當時，，
作出其圖象如圖示：
可知值域為，設 ，則，
則函數(shù)的零點問題即為函數(shù)的圖象的交點問題，
而，作出函數(shù)的圖象如圖示：
可知：的圖象有兩個交點，橫坐標分別在之間，
不妨設交點橫坐標為，
當時，由圖象和直線可知，二者有兩個交點，
即此時有兩個零點；
當時，由圖象和直線可知，二者有3個交點，
即此時有3個零點，
故函數(shù)的零點個數(shù)是5，故選：B.
【變式5-3】．（2023秋·云南曲靖高三檢測）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，可設，可得，判斷與交點個數(shù)，進而將的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題，數(shù)形結合，可得答案.
【詳解】設，令可得：,
對于，，故在處切線的斜率值為，
設與相切于點，
切線斜率，則切線方程為：，
即，解得：；
由于，故作出與圖象如下圖所示，
與有四個不同交點，
即與有四個不同交點，
設三個交點為，由圖象可知：，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由此可知與無交點，與有三個不同交點，與各有兩個不同交點，
的零點個數(shù)為7個，
故選：C
核心考點題型六 二次型因式分解
解決方案 ：換元法和數(shù)形結合，
主要步驟：（1）換元，設t=f（x），轉化y=at2+bt+c；（2）作出y=f（x）的大致圖象；
（3）設at2+bt+c=0的根為t1，t2；（t1≠t2）；（4）根據(jù)零點的個數(shù)判斷t1，t2的范圍；
（5）轉化為二次函數(shù)零點問題解決即可。
【例題1】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由題意畫出函數(shù)的圖象，由方程，得或，再數(shù)形結合即可求解．
【詳解】由，則可作出函數(shù)的圖象如下：
由方程，得或，
所以方程的實根個數(shù)為3． 故選：A．
【例題2】．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)零點的定義可得方程和共有5個解；結合導數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖象，觀察圖象求的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)恰有5個零點，
所以方程有個根，
所以有個根，所以方程和共有5個根；
當時，，，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
因為，所以，，當且時，，
時，，當時，，，
故函數(shù)在上的圖象為對稱軸為，頂點為的拋物線的一段，
根據(jù)以上信息，作函數(shù)的圖象如下：
觀察圖象可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2個交點，所以方程有兩個根，所以方程有3個異于方程的根，
觀察圖象可得，所以的取值范圍為..
故選：D.
【例題3】．（2023上·河北·高三校聯(lián)考習）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點之和為（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【答案】D
【分析】令，得到，令，可得，列出方程求得，得到，在結合函數(shù)的解析式，列出方程，即可得到答案.
【詳解】由函數(shù)，令，則，
令，可得，
當時，由，可得，即，解得；
當時，由，可得，即，解得或（舍去），
所以，即，
當時，令或（舍去），解得或；
當時，令，解得或，
所以函數(shù)的零點之和為.
故選：D.
【變式6-1】．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則實數(shù)根的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由解出或，根據(jù)解析式分別求出當和時的值，即可判斷實數(shù)根的個數(shù).
【詳解】做出圖像如下：
或，
①若時，
⑴當，或，符合題意；
⑵當，，符合題意；
②若,
綜上：共有3個實數(shù)根．
故選：B．
【變式6-2】．（2023上·陜西西安?？计谀┮阎瘮?shù)，則關于的方程實數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由解得或2，再畫出，，的圖象數(shù)交點個數(shù)即可.
【詳解】因為，解之得或2，
當時，；
當時，，當且僅當時等號成立，
所以，，的圖象如圖：
由圖可知使得或的點有4個.
故選：A.
【變式6-3】．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，記的導函數(shù)為，在區(qū)間上單調(diào)，且，記，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【分析】由題知，，進而得或，再結合三角函數(shù)的性質(zhì)分別討論求解即可得答案.
【詳解】解：由題知：
因為，
所以，解得，
因為在區(qū)間上單調(diào)，
所以，解得
所以，或，
令得或，
當時，由得,
此時，，
由得，
當時，，即，由于函數(shù)與在上只有一個交點，故方程在有一個解；
當時，，即，由于函數(shù)與在上只有一個交點，故方程此時方程在有一個解；
所以，時，在區(qū)間上的零點個數(shù)為個；
當時，由得，
此時，
由得，
當時，，即，由于函數(shù)在上為正數(shù)，，故方程無解；
當時，，即，由于函數(shù)在上為正數(shù)，，故方程無解；
所以，當時，在區(qū)間上的零點個數(shù)為個.
綜上，在區(qū)間上的零點個數(shù)為個或個.
故選：C
【變式6-4】．（2023上·遼寧本溪·高三校考期中）已知函數(shù)若函數(shù)有5個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)解析式畫出草圖，將問題化為的圖象與直線，共有5個交點，數(shù)形結合有的圖象與直線有1個交點，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，

函數(shù)，且有5個零點，
等價于有5個解，即或共有5個解，
等價于的圖象與直線，共有5個交點.
由圖得的圖象與直線在4個交點，
所以的圖象與直線有1個交點，則直線應位于直線下方，
所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
【變式6-5】（2024·云南模擬預測）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，先判斷在和上的單調(diào)性和最值，再作出函數(shù)的大致圖象，將函數(shù)的零點問題轉化為方程根的問題，從而數(shù)形結合得結果.
【詳解】當時，，當時，，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當時，．
當時，當時，，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．
作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，
由圖象可知，是函數(shù)的零點，要使函數(shù)有兩個不同的零點，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，等價于有1個非零實數(shù)根.
由圖可知或或，即.
故選：C．
核心考點題型七 二次型根的分布
解決方案 換元法、數(shù)形結合和跟的分布.
【例題1】．（2023·山西大同模擬預測）設函數(shù)，若關于的方程恰好有六個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出的圖象，由圖象求得與有個交點時，的取值范圍.結合一元二次方程零點分布的知識列不等式組，由此求得的取值范圍.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，
令，則方程可化為.
由圖可知：當時，與有個交點，
要使關于的方程恰好有六個不同的實數(shù)解，
則方程在內(nèi)有兩個不同實數(shù)根，
∴，解得，∴實數(shù)的取值范圍為.故選：B
【例題2】（2023下·河南信陽聯(lián)考模擬）已知函數(shù)若關于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．[﹣5，﹣4]
【答案】B
【分析】作出函數(shù)f（x）的圖象，設t＝f（x），方程f2（x）+bf（x）+4＝0等價為t2+bt+4＝0，根據(jù)數(shù)形結合思想和二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式組，求解即可.
【詳解】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：設t＝f（x），
由圖象知當t＞3時，t＝f（x）有3個根；
當1＜t≤3時，t＝f（x）有4個根；
當t＝1時，t＝f（x）有5個根；
當0＜t＜1時，t＝f（x）有6個根；
當t＝0時，t＝f（x）有3個根，
當t＜0時，t＝f（x）有0個根，
方程f2（x）+bf（x）+4＝0等價為t2+bt+4＝0，
∵當t＝0時，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8個不同的實數(shù)根，則
①等價為t2+bt+4＝0有兩個根，滿足1＜t1≤3，1＜t2≤3，
②或者t2+bt+4＝0有兩個根，滿足t1＝1，t2＞3，
由①等價為t2+bt+4＝0有兩個根，滿足1＜t1≤3，1＜t2≤3，
設h（x）＝t2+bt+4，
則滿足，即，得﹣≤b＜﹣4，
由②t2+bt+4＝0有兩個根，滿足t1＝1，t2＞3，則1+b+4＝0，則b＝﹣5，
此時由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，滿足t2＞3，綜上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5，
故選：B．
【變式7-1】．（2023秋·江蘇無錫高三聯(lián)考）已知函數(shù)，方程有6個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出草圖，根據(jù)已知，令，數(shù)形結合判斷的零點分布區(qū)間，再由二次函數(shù)性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設，圖象如下圖示，

令，要使原方程有6個不同的實數(shù)解，則有兩個不同實根且，
若，則，則，此時，，顯然此時不合題意，
故由圖知：，即的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi)，
而開口向上，故.
【變式7-2】．（2023·四川成都高三模擬）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，換元，問題轉化為解得個數(shù)，分類討論，結合二次方程根個數(shù)的判斷及數(shù)形結合求解.
【詳解】函數(shù)的圖象如圖，
令，則函數(shù)的零點即方程組的解．
設，則．
若，則，有兩個零點，且由
知，此時方程組有2個解；
若，則，有一個零點，此時方程組有1個解；
若，則，沒有零點，此時方程組無解；
若，則，有一個零點，此時方程組有2個解；
若，則，有兩個零點，且由
知，此時方程組有4個解，
故選：C
【變式7-3】．（2023上·天津·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若關于x的方程恰有6個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A． B．(
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得當取不同值時，的交點個數(shù)，即可結合二次函數(shù)零點的分布求解.
【詳解】根據(jù)，作出的大致圖象如下：
由圖可知：當時，此時由兩個根，分別為，
當時，此時有4個交點，
當時，此時有3個交點，
當時，此時有2個交點，
故要使得由6個不同的零點，則令，有6個不同的實數(shù)根，
顯然不是的根，
設的兩個零點分別為，且，
故當時，此時有4個交點，有2個交點，滿足題意，
故需要滿足，解得，
當時，此時有3個交點，有3個交點，滿足題意，
故需要滿足，解得，
綜上可得或
故選：A

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