資源簡介

重難點2-7 數列的求和（九類核心考點題型）（原卷版）
【考情透析】
高考對數列求和的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．數列的求和主要考查等差、等比數列的前項和公式及非等差、等比數列的求和方法，其綜合性較強．數列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現在選擇填空題當中，常結合函數、不等式綜合考查．
【題型歸類】
核心考點題型一 通項分析法
【例題1】．（2023·云南曲靖一中高三模擬）求和．
【例題2】．（2023·四川成都高三模擬）數列9，99，999，的前項和為　　
A． B． C． D．
【變式1-1】．（2023·陜西榆林高三模擬）數列的前n項和為 .
【變式1-2】．（2023·山西太原高三模擬）年意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列，即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數列各項被除后的余數構成一新數列，則數列的前項的和為 .
核心考點題型二 公式法求數列前n項和
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
【例1】（2023·廣東珠海統考模擬預測）已知為等比數列，且，若.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【例題2】（2023·陜西榆林高三校聯考模擬）設正項等比數列且的等差中項為.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，數列的前n項為，數列滿足，為數列的前項和，求.
【例題3】（2023·銀川一中高三模擬）已知等差數列的前四項和為10，且成等比數列 (1)求通項公式 (2)設，求數列的前項和
【變式2-1】（2023·山西·校考模擬預測）已知等差數列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設數列的前項和為，且，若，求的最小值.
【變式2-2】（2023·湖南長沙統考模擬預測）已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．
【變式2-3】（2023·四川成都·統考一模）已知首項為的等比數列的前項和為，且成等差數列.
（1）求數列的通項公式；（2）求數列的最大項.
核心考點題型三 倒序相加求和
【例題1】（2023秋·遼寧沈陽·高三統考）高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試根據以上提示探求：若，則（ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
【例題2】（2023·河北石家莊高三模擬）已知數列的前n項和為，且，設函數，則 ．
【例題3】（2023·江蘇連云港中學校考模擬預測）已知數列的項數為，且，則的前n項和為 ．
【變式3-1】（2023·湖北·統考模擬預測）“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數學理論，比如高斯函數 倒序相加法 最小二乘法 每一個階代數方程必有個復數解等.若函數，設，則__________.
【變式3-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知函數，則______；設數列滿足，則此數列的前2023項的和為______.
【變式3-3】（2023秋·河南新鄉第一中學校考）已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前16項的和為______.
【變式3-4】（2023·銀川一中校考模擬）已知為正項等比數列，且，若函數，則（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【變式3-5】（2023·山東煙臺高三專題檢測）設函數，設，．
(1)計算的值．(2)求數列的通項公式．
【變式3-6】．（2023·云南曲靖一中高三檢測）已知，則 .
核心考點題型四 裂項相消求和
（一）等差型
等差型是裂項相消法中最常見的類型，也是最容易掌握的。設等差數列的各項不為零，公差為，則，另外
常見的類型有：
（1）
特別注意
拓展：
（3）
分式的裂項：解答過程通過在分母上“減項”實現了通項的升冪，從而達到把通項裂項的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂項：解答過程可以通過“增項”實現了通項的升冪，從而達到將通項進行裂項的目的，具體可使用待定系數法求參數.
（7）
（8）
【例題1】（2023·四川南充統考一模）已知數列是首項為2的等比數列，公比，且是和的等差中項．
（1）求的通項公式；
（2）設數列滿足，求的前2023項和．
【例題2】．（2023·四川綿陽校聯考模擬預測）已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
【變式4-1】．（2023·江西贛州高三校聯考）已知等差數列的前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和，并證明：.
【變式4-2】．（2023·湖北武漢外國語學校校考模擬預測）已知數列滿足．
(1)證明為等差數列，并的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【變式4-3】．（2023·江西九江高三模擬）記為正項數列的前n項和．已知，當時，．
(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．
（二）指數型
由于，因此一般地有
常見的有：
（1）
（2）
（3）
差指綜合類型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），設，易得，于是
（10）
【例題1】（2023·福建莆田第四中學校考）已知數列前項和為，且滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求證：.
【例題2】．（2023·河南鄭州一中校考模擬預測）設數列的前n項和為，已知，，．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)記，為數列的前n項和，求．
【變式4-4】．（2023·寧夏石嘴山·統考一模）已知是數列的前項和，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【變式4-5】．（2023·河北·校聯考模擬預測）已知非零數列，點在函數的圖像上，則數列的前2023項的和為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-6】．（2023秋·江蘇南通高三聯考專題模擬）數列各項均為正數，數列的前n項和為，，
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和Tn.
【變式4-7】．（2023·云南昆明一中校考模擬預測）已知數列的前項和為，，，.
(1)求，及的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.
（三）冪型
常見的形式有：（1）（2）
（3）
【例題1】（2023·陜西榆林高三模擬預測）已知數列的前項和，且.
(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.
【例題2】．（2023·江西九江·統考三模）已知數列的前n項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和.
【變式4-8】．（2023·山東青島校聯考二模）已知數列中，
(1)證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若恒成立，試求實數的取值范圍.
（四）無理型
該類型的特點是，分母為兩個根式之和，這兩個根式的平方差為常數，然后通過分母有理化來達到消項的目的，有時在證明不等式時，常常把分母放縮成兩個根式之和，來達到消項化簡的目的。常見的有
=
特別注意
（3）
（4）
（5）
【例題1】（2024·河南洛陽統考三模）已知等差數列的前項和為，，．(1)求的通項公式； (2)設，數列的前項和為，證明：當時，．
【例題2】．（2024·四川·統考模擬預測）已知等差數列的前項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設__________，求數列的前項和．
在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【變式4-9】（2024·甘肅統考模擬預測）已知數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；(2)，是數列的前項和，求．
【變式4-10】．（2023·山西太原模擬預測）已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【變式4-11】（2023·山東濟南校聯考模擬預測）在①；②；③，這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并解答問題．
已知數列的前n項和．
（1）證明：數列是等差數列；
（2）若，設___________，求數列的前n項和．
（五）對數型
由對數的運算法則可知：若則
【例題1】．（2023·江蘇無錫校聯考模擬預測）已知數列的首項為2，且滿足（且），．
(1)求的通項公式； (2)設，求的前n項和．
【變式4-12】．（2023·福建廈門高三模擬預測）設為公差不為0的等差數列的前項和，若成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.
（六）三角函數型
常見的形式有：（1）
（2）
（3）
（4），
則
【例題1】．（2023·陜西西安聯考模擬預測）數列滿足，，為的前n項和，若，則的范圍為_______________．
【例題2】．（2023·遼寧沈陽高三模擬預測）已知數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和
【變式4-13】．（2023·廣東珠海第一中學校考模擬預測）已知數列滿足：對于任意有，且，若，，數列的前n項和為，則________．
【變式4-14】．（2023·浙江義烏統考二模）已知2n＋2個數排列構成以為公比的等比數列，其中第1個數為1，第2n＋2個數為8，設．
(1)證明：數列是等差數列；(2)設，求數列的前100項和．
【變式4-15】（2023·安徽合肥一中學校考期末）已知正項數列的前項和為，，且當時．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，數列的前項和為，試比較與的大小，并加以證明.
核心考點題型五 錯位相減法求和
【例題1】（2023·湖北黃岡高三模擬預測）已知數列的首項為1，且.(1)求數列的通項公式；
(2)若為前項的和，求.
【例題2】（2023·河北保定高三期末）已知數列滿足，且對任意都有.
（1）設，證明：是等差數列；
（2）設，求數列的前項和.
【例題3】（2023秋·陜西榆林高三模擬）已知數列的前n項和為，在數列中，，，．
（1）求數列，的通項公式；
（2）設，為數列的前n項和，求的最值．
【變式5-1】（2023·云南曲靖高三聯考模擬）已知數列滿足，，且數列是等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.
【變式5-2】（2023·廣東深圳校考三模）已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；(2)求數列的前項和.
【變式5-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾三模）已知各項均不為零的數列滿足，且，，設.
(1)證明：為等比數列；(2)求的前項和.
【變式5-4】．（2023·寧夏銀川二中校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，的前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
核心考點題型六 分組求和
【例題1】．（2023秋·安徽合肥一中校考期末）已知數列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；(2)求數列的前項和．
【例題2】（2023·江蘇無錫·高三校聯考）已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【例題3】．（2023·四川成都高三專題模擬）設是公差不為零的等差數列，已知，為，的等比中項．
(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和；
(3)若求數列的前2n項和
【變式6-1】（2023·重慶巴南·統考一模）已知數列的首項，且滿足.
(1)求證：是等比數列；(2)求數列的前項和.
【變式6-2】（2023·山西大同統考模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求數列的前項和．
【變式6-3】．（2023秋·山西呂梁·高三統考期末）已知正項等差數列，，且，，成等比數列，數列的前n項和為，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，數列的前n項和為，求證：．
核心考點題型七 并項求和
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．
【例題1】（2023·湖南長沙統考模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列，求數列的前項和．
.
【例題2】．（2023·云南曲靖高三模擬預測）已知的前項和為，，，則 .
【例題3】．（2023·河北滄州校考模擬預測）已知正項數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.
【變式7-1】（2023·貴州貴陽高三統考）記為等差數列的前n項和，已知，.
（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前23項的和.
【變式7-2】（2023·湖南邵陽·高三校聯考）已知數列的前n項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和．
【變式7-3】．（2023·天津塘沽高三模擬預測）已知數列為等差數列，為其前n項和，若．(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前18項和．
【變式7-4】（2023·山東煙臺高三模擬）已知數列滿足，，且．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）若，求數列的前n項的和．
【變式7-5】．（2023·陜西榆林·統考二模）已知數列的前項和為，，，數列滿足，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
核心考點題型八 含絕對值數列求和
【例題1】．（2023·甘肅天水校聯考二模）記為等差數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；(2)求的值．
【例2】（2022秋·江蘇徐州高三聯考）已知數列的前項和為，滿足．
（1）求數列的通項公式及；
（2）若數列滿足，求數列的前10項的和．
【變式8-1】（2023·云南曲靖一中模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，設，求的最小值.
【變式8-2】（2023·四川成都高三模擬預測）在數列中，，．
（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．
【變式8-3】（2023春·安徽阜陽二中校考）在數列，中，，對任意，，等差數列及正整數滿足，，且.
（1）求數列，的通項公式；
（2）令，求前項和.
核心考點題型九 放縮法求和
【例題1】．（2023·陜西寶雞一模）已知數列是等差數列，其前n項和為，，；數列的前n項和為，.
(1)求數列，的通項公式；(2)求數列的前n項和；
(3)求證：.
【例題2】．（2023·寧夏銀川第一中學二模）已知為等差數列，前n項和為是首項為2的等比數列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；(2)求數列的前8項和；(3)證明：．
【變式9-1】．（2023·浙江·效實中學模擬預測）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.
(1)求的值：(2)求數列的通項公式：(3)證明：對一切正整數，有.
【變式9-2】．（2023·云南昆明一模）已知數列的前n項和為，.
(1)證明：數列為等比數列，并求數列的前n項和為；
(2)設，證明：.重難點2-7 數列的求和（九類核心考點題型）（解析版）
【考情透析】
高考對數列求和的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．數列的求和主要考查等差、等比數列的前項和公式及非等差、等比數列的求和方法，其綜合性較強．數列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現在選擇填空題當中，常結合函數、不等式綜合考查．
【題型歸類】
核心考點題型一 通項分析法
【例題1】．（2023·云南曲靖一中高三模擬）求和．
【答案】
【解析】∵，
∴．
【例題2】．（2023·四川成都高三模擬）數列9，99，999，的前項和為　　
A． B． C． D．
【答案】故選：
【解析】數列通項，
．
故選：．
【變式1-1】．（2023·陜西榆林高三模擬）數列的前n項和為 .
【答案】
【解析】觀察數列得到，
所以前n項和
.
故答案為：.
【變式1-2】．（2023·山西太原高三模擬）年意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列，即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數列各項被除后的余數構成一新數列，則數列的前項的和為 .
【答案】
【解析】由數列，，，，，，，，，，各項除以的余數，
可得數列為，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以數列是周期為的數列，
一個周期中八項和為，
又因為，
所以數列的前項的和.
故答案為：.
核心考點題型二 公式法求數列前n項和
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
【例1】（2023·廣東珠海統考模擬預測）已知為等比數列，且，若.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設等比數列的公比為，則依題意有：
，即，解得或（舍去）
所以，
（2），
，且，
是首項為3，公差為2的等差數列，
【例題2】（2023·陜西榆林高三校聯考模擬）設正項等比數列且的等差中項為.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，數列的前n項為，數列滿足，為數列的前項和，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設等比數列的公比為，
由題意，得，解得，則，
所以數列的通項公式.
（2）由（1）得，顯然數列是等差數列，
因此，，
所以.
【例題3】（2023·銀川一中高三模擬）已知等差數列的前四項和為10，且成等比數列
(1)求通項公式 (2)設，求數列的前項和
【解析】（1）設等差數列的公差為，則，即，
又成等比數列，所以，即，
整理得，得或，
若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
【變式2-1】（2023·山西·校考模擬預測）已知等差數列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設數列的前項和為，且，若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）10
【解析】（1）設等差數列的公差為，
則解得，故.
（2）由（1）可得，則，
所以，則數列是是等差數列，故.
因為，所以，所以，所以或.
因為，所以的最小值是10.
【變式2-2】（2023·湖南長沙統考模擬預測）已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）由，則，
兩式相減得：，整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．故．
（2）由（1）可知：．
記，設數列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
【變式2-3】（2023·四川成都·統考一模）已知首項為的等比數列的前項和為，且成等差數列.
（1）求數列的通項公式；（2）求數列的最大項.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意得，
設公比為，若，此時，此時不滿足；
若，則，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），故；
（2），故，所以，
令，
由對勾函數可知在上單調遞減，
故當時，取得最大值，最大值為，
故. 數列的最大項為
核心考點題型三 倒序相加求和
【例題1】（2023秋·遼寧沈陽·高三統考）高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試根據以上提示探求：若，則（ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】根據等比數列的下標性質由，
∵函數，∴，
令，則，
∴，∴．
故選：B
【例題2】（2023·河北石家莊高三模擬）已知數列的前n項和為，且，設函數，則 ．
【答案】/
【解析】∵①，∴當時，②，
①－②得，∴；
當時，，∴，此時仍然成立，∴．
∴當n=1時，；
當時，，
當n=1時，上式也成立，故．
由于，設
則，
∴．
【例題3】（2023·江蘇連云港中學校考模擬預測）已知數列的項數為，且，則的前n項和為 ．
【答案】
【解析】因為，又，
所以
又因為，
所以，即.
故答案為：.
【變式3-1】（2023·湖北·統考模擬預測）“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數學理論，比如高斯函數 倒序相加法 最小二乘法 每一個階代數方程必有個復數解等.若函數，設，則__________.
【答案】46
【詳解】因為函數的定義域為，
設是函數圖象上的兩點，其中，且，則有，
從而當時，有：，當時，，
，
相加得
所以，又，
所以對一切正整數，有；
故有.
故答案為：46.
【變式3-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知函數，則______；設數列滿足，則此數列的前2023項的和為______.
【答案】
【詳解】解：已知，
則，
，
所以，
則，
已知數列，
，，
數列的前2023項的和，
且，
兩式相加，得，
故答案為：；
【變式3-3】（2023秋·河南新鄉第一中學校考）已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前16項的和為______.
【答案】
【詳解】，①
，②
兩式相加，又因為，
故，所以，
所以的前16項的和為
故答案為：
【變式3-4】（2023·銀川一中校考模擬）已知為正項等比數列，且，若函數，則（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【答案】A
【解析】因為為正項等比數列，且，所以，
由可得，
所以，所以設，
則，
所以兩式相加可得：，故，故選：A.
【變式3-5】（2023·山東煙臺高三專題檢測）設函數，設，．
(1)計算的值．(2)求數列的通項公式．
【答案】(1)2 (2)
【詳解】（1）；
（2）由題知，當時，，
又，兩式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
【變式3-6】．（2023·云南曲靖一中高三檢測）已知，則 .
【答案】4042
【解析】由，令可得，，
且，
則，
所以，函數關于點對稱，即
由已知，，
又
兩式相加可得，
所以，.
故答案為：4042.
核心考點題型四 裂項相消求和
（一）等差型
等差型是裂項相消法中最常見的類型，也是最容易掌握的。設等差數列的各項不為零，公差為，則，另外
常見的類型有：
（1）
特別注意
拓展：
（3）
分式的裂項：解答過程通過在分母上“減項”實現了通項的升冪，從而達到把通項裂項的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂項：解答過程可以通過“增項”實現了通項的升冪，從而達到將通項進行裂項的目的，具體可使用待定系數法求參數.
（7）
（8）
【例題1】（2023·四川南充統考一模）已知數列是首項為2的等比數列，公比，且是和的等差中項．
（1）求的通項公式；
（2）設數列滿足，求的前2023項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）數列是首項為2的等比數列，是和的等差中項，
，即，，，
，解得或（舍），；
（2），
，
的前2023項和.
【例題2】．（2023·四川綿陽校聯考模擬預測）已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）依題意可得，再根據，作差得到數列是以為首項，為等差的等差數列，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.
【詳解】（1）由，得，
當時，，解得，
當時，，
化簡得，∴數列是以為首項，為等差的等差數列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴數列的前項和.
∵，
∴單調遞增，∴，
∵， ∴，
若使得對一切恒成立，則，解得，
∴實數的取值范圍是.
【變式4-1】．（2023·江西贛州高三校聯考）已知等差數列的前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和，并證明：.
【答案】（1）. （2）證明略
【解析】（1）設公差為，
由題意得解得∴.
（2）由（1）知，
∴，
.
∵，
∴.
【變式4-2】．（2023·湖北武漢外國語學校校考模擬預測）已知數列滿足．
(1)證明為等差數列，并的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)證明見解析， (2)
【分析】（1）根據等差差數列的定義證明即可，從而可得的通項公式；
（2）利用分式分離變形，結合分組求和與裂項求和即可得.
【詳解】（1）證明：因為，所以，即
所以是以為首項，為公差的等差數列，則，
所以；
（2）
.
【變式4-3】．（2023·江西九江高三模擬）記為正項數列的前n項和．已知，當時，．
(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由題意可得，，，兩式作差可證得是首項為，公差為的等差數列，即可求出數列的通項公式；
（2）由（1）可求得，由分組法求和和裂項相消求和求出數列的前n項和．
【詳解】（1）由于當時，，
所以，，
兩式作差得：，
，
由于，所以，
當時，，解得，
所以當時，，又，符合上式，
故是首項為，公差為的等差數列，
所以．
（2）由于，所以，
由（1）知，則，
則，
故
.
（二）指數型
由于，因此一般地有
常見的有：
（1）
（2）
（3）
差指綜合類型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），設，易得，于是
（10）
【例題1】（2023·福建莆田第四中學校考）已知數列前項和為，且滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求證：.
【答案】（1），；（2）證明見解析．
【解析】（1）由已知，
時，，
此時也適合上式，所以，；
（2）由（1），，
所以.
【例題2】．（2023·河南鄭州一中校考模擬預測）設數列的前n項和為，已知，，．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)記，為數列的前n項和，求．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】（1）由得出，再計算，將代入，即可證明；
（2）由（1）得，得出為公比為的等比數列，根據等比數列的通項公式得出，代入，再裂項得，即可求得數列的前n項和．
（1）因為，
所以，即
所以
（為常數），
所以數列是等差數列．
（2）由（1）知，即.
所以，所以為公比為的等比數列，
又，所以，
因為，
所以，
所以數列的前項和為：
．
【變式4-4】．（2023·寧夏石嘴山·統考一模）已知是數列的前項和，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）時，，
時，
經驗證時滿足，；
（2），
.
【變式4-5】．（2023·河北·校聯考模擬預測）已知非零數列，點在函數的圖像上，則數列的前2023項的和為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由條件可得數列是以為首項，為公差的等差數列，從而得到數列的通項公式，再結合裂項相消法即可得到結果.
【詳解】由已知條件知，則．
所以．（*）
因為點在函數的圖像上，所以，將（*）代入得．
當時，由，得．所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
所以，
因為，
所以．
故選：A．
【變式4-6】．（2023秋·江蘇南通高三聯考專題模擬）數列各項均為正數，數列的前n項和為，，
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和Tn.
【答案】(1) (2)Tn
【解析】（1）由，變形為，即，得到是常數列求解；
（2）由（1）得到，進而得到，再利用裂項相消法求解.
【詳解】（1）.
，，是常數列，
，，
時，，
時，也成立，；
（2），，
.
【變式4-7】．（2023·云南昆明一中校考模擬預測）已知數列的前項和為，，，.
(1)求，及的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，， (2)
【解析】（1）根據遞推公式和的值，即可求出，及的通項公式；
（2）求出數列的通項公式，得出數列的前項和，由不等式的恒成立，還可求出的最小值.
【詳解】（1）由題意，
在數列中，，，
當時，，
當時上式也符合，
∴，，.
∴當時，；當時，上式也符合.
∴的通項公式為.
（2）由題意及（1）得，,
在數列中，，
數列中，,
∴.
∵，∴.
∵. ∴的最大值為，.
∴的最小值為.
（三）冪型
常見的形式有：（1）（2）
（3）
【例題1】（2023·陜西榆林高三模擬預測）已知數列的前項和，且.
(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）當時，，
當時，
因為對也成立.
所以，所以數列是等差數列，
則公差，
故.
（2）因為，
所以，
故.
【例題2】．（2023·江西九江·統考三模）已知數列的前n項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由與的關系證得是等差數列，求出，再求；
（2）使用裂項求和即可.
【詳解】（1）當時，，
當時，，，即，
，，，是首項為2，公差為1的等差數列，
，，，
綜上，
（2），,（）,，
記數列的前n項和為，
.
【變式4-8】．（2023·山東青島校聯考二模）已知數列中，
(1)證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若恒成立，試求實數的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析， (2)
【分析】（1）對兩邊同時除以，即可證明數列是等差數列，再由等差數列的通項公式求出數列的通項公式；
（2）由（1）求出，再由裂項相消法求和求出，則，即，求解即可.
【詳解】（1）兩邊同時除以，
數列是首項，公差為2的等差數列，
，.
（2），可得，
，即，即恒成立.
.
（四）無理型
該類型的特點是，分母為兩個根式之和，這兩個根式的平方差為常數，然后通過分母有理化來達到消項的目的，有時在證明不等式時，常常把分母放縮成兩個根式之和，來達到消項化簡的目的。常見的有
=
特別注意
（3）
（4）
（5）
【例題1】（2024·河南洛陽統考三模）已知等差數列的前項和為，，．
(1)求的通項公式； (2)設，數列的前項和為，證明：當時，．
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】（1）設公差為，利用等差數列的通項公式和求和公式列式，求出和，可得；
（2）分母有理化化簡，利用裂項求和求出，作差比較可證不等式成立.
【詳解】（1）設公差為，則，即，解得，
所以.
（2）
，
所以
，
所以，
所以，
當時，，
所以當時，.
【例題2】．（2024·四川·統考模擬預測）已知等差數列的前項和為，，．
(1)求的通項公式及；
(2)設__________，求數列的前項和．
在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)， (2)答案見解析
【分析】（1）設公差為，依題意得到關于、的方程組，解得、，即可求出通項公式與前項和；
（2）根據所選條件得到的通項公式，利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設公差為，由可得，
所以，解得，所以的通項公式為，
則.
（2）若選①；
則
，
所以；
若選②；則，
則；
若選③，則，
所以.
【變式4-9】（2024·甘肅統考模擬預測）已知數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；(2)，是數列的前項和，求．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由數列的遞推關系式可得數列是等差數列，由此求得數列的通項公式；
（2）利用（1）的結論，進一步利用裂項相消法求出．
（1）由，有，
可知數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以，所以；
（2），
．
【變式4-10】．（2023·山西太原模擬預測）已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】（1）變形，是以為首項，1為公差的等差數列，即可求解；
（2）根據題意解得，，由此證明.
【詳解】（1），又，
是以為首項，1為公差的等差數列，
.
（2）由（1），，
，
， .
【變式4-11】（2023·山東濟南校聯考模擬預測）在①；②；③，這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并解答問題．
已知數列的前n項和．
（1）證明：數列是等差數列；
（2）若，設___________，求數列的前n項和．
【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析
【解析】（1）因為①，所以②，
②①得，整理得，
由等差數列的定義可知是等差數列．
（2）由（1）得的公差，又因為，所以．
若選①：
所以
．
若選②：，
所以．
若選③：
，
則，
兩式作差得
．
所以．
（五）對數型
由對數的運算法則可知：若則
【例題1】．（2023·江蘇無錫校聯考模擬預測）已知數列的首項為2，且滿足（且），．
(1)求的通項公式； (2)設，求的前n項和．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因式分解可知為等比數列，然后可解；（2）利用對數運算裂項可解.
【詳解】（1）由得，
因為，所以，所以，即，
又，所以是以2為首項和公比的等比數列，所以．
（2）由得，
【變式4-12】．（2023·福建廈門高三模擬預測）設為公差不為0的等差數列的前項和，若成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由等差數列、等比數列的性質計算即可；
（2）利用等比數列求和公式及分組求和法計算即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為
由成等比數列可得，
所以，所以，
因為，所以.①
又，所以，②
所以，
聯立①②得，
所以數列的通項公式.
（2）由（1）知，
所以
.
（六）三角函數型
常見的形式有：（1）
（2）
（3）
（4），
則
【例題1】．（2023·陜西西安聯考模擬預測）數列滿足，，為的前n項和，若，則的范圍為_______________．
【答案】
【解析】將化為，構造數列滿足，結合兩角差的正切公式，使用裂項相消法求，再由的取值范圍求解即可.
【詳解】由已知，，
令，，則，
∵，，∴，
∴的前n項和，
又∵，，∴，
∵，∴，
又∵，
∴的范圍為.故答案為：.
【例題2】．（2023·遼寧沈陽高三模擬預測）已知數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）由得，，
所以時，，
故，又，則，當時，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因為，
于是，
所以，．故數列的前項和為．
【變式4-13】．（2023·廣東珠海第一中學校考模擬預測）已知數列滿足：對于任意有，且，若，，數列的前n項和為，則________．
【答案】
【分析】對求導，可證得是以為首項，1為公差的等差數列，可求出，再由并項求和法求出.
【詳解】因為，則，
由，，可得，，
所以是以為首項，1為公差的等差數列，
所以，，，
所以，
所以
．
故答案為:.
【變式4-14】．（2023·浙江義烏統考二模）已知2n＋2個數排列構成以為公比的等比數列，其中第1個數為1，第2n＋2個數為8，設．
(1)證明：數列是等差數列；(2)設，求數列的前100項和．
【答案】(1)證明見詳解 (2)
【分析】（1）根據等比數列的性質分析可得，再結合等差數列的定義分析證明；
（2）根據兩角差的正切公式整理得，結合裂項相消法運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，且，可得，
所以，可得，
則，
所以數列是以公差為的等差數列.
（2）由（1）可得，
則，
整理得，
則
，
所以數列的前100項和.
【變式4-15】（2023·安徽合肥一中學校考期末）已知正項數列的前項和為，，且當時．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，數列的前項和為，試比較與的大小，并加以證明.
【答案】（1）；（2），證明見解析
【解析】（1）因為時，
數列為正項數列，所以．
由累加法得，
又，所以，即，
故當時，，因此．
（2）．證明如下：由題意及（1）可得，
故，
．
兩式相減，得，得．
由于，故，所以．
核心考點題型五 錯位相減法求和
【例題1】（2023·湖北黃岡高三模擬預測）已知數列的首項為1，且.(1)求數列的通項公式；
(2)若為前項的和，求.
【答案】）（1）. （2）Sn
【解析】（1）因為，
所以.
兩式作差得，
整理得.
令，得，故對任意都成立.
所以的首項為1，故，所以是公比為2的等比數列.
所以的通項公式是.
（2）由（1）得，
所以.
所以.
又，
作差得，
，
.
【例題2】（2023·河北保定高三期末）已知數列滿足，且對任意都有.
（1）設，證明：是等差數列；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）因為對任意都有，
所以以替換得，，
則，
由，，所以是公差為的等差數列；
（2）令得，，即，則，
所以由（1）得，是以為首項，公差為的等差數列，
所以，即.由，
令可得，，則，
由得，.
當時，；
當時，①，
則②，
得，，
所以，綜上，.
【例題3】（2023秋·陜西榆林高三模擬）已知數列的前n項和為，在數列中，，，．
（1）求數列，的通項公式；
（2）設，為數列的前n項和，求的最值．
【答案】（1），；（2）最小值為，最大值為1
【解析】（1）由已知得，當時
. ∴
當時，，也滿足上式．所以
當時，，∴
當時，，符合上式
當時，，所以，也符合上式，綜上，
∴，.
（2）由（1）可得：
∴
兩式相減：
∴
當n為奇數時，不妨設，
則
∴單調遞減，
當n為偶數時，不妨設，則
∴單調遞增，
∴的最小值為，最大值為1.
【變式5-1】（2023·云南曲靖高三聯考模擬）已知數列滿足，，且數列是等差數列.
（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是等差數列，記其公差為，
則有，，；
（2），
則，
則，
.
【變式5-2】（2023·廣東深圳校考三模）已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；(2)求數列的前項和.
【解析】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設，則，
兩式相減得，
從而
∴.
【變式5-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾三模）已知各項均不為零的數列滿足，且，，設.
(1)證明：為等比數列；(2)求的前項和.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】（1）由題知，進而根據等比數列的定義證明即可；
（2）結合（1）得是常數列，進而得，，再根據錯位相減法和分組求和求解即可.
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴上述等式兩邊同除以得，即，
∴，即，
又 ∴是以為首項，為公比的等比數列，
∴.
（2）解法1：由（1）知，即，
∵，∴，
∴是常數列，∴，∴，
令，
則
①
，②
①式減②式得
，
，化簡整理得.
解法2：由（1）知，即，
∵，∴，
∴是常數列，∴，
∴，，
，
，
∴
∴，
∴為常數列.
∵，∴.
【變式5-4】．（2023·寧夏銀川二中校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，的前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根據等差數列的定義以及的關系求解；
（2）利用錯位相減法可求得，在根據題意得即可求解.
【詳解】（1）由，得，又，
所以數列是以為首項，公差為1的等差數列，
∴，即，
∴當時，
，
又不滿足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
① ②得：，
整理得，
又因為對任意的正整數，恒成立，所以，
∵，
∴在上單調遞增，，
由，可得，
所以實數的取值范圍是.
核心考點題型六 分組求和
【例題1】．（2023秋·安徽合肥一中校考期末）已知數列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；(2)求數列的前項和．
【解析】（1）證明：因為①，②，
①②可得，且，
所以，數列為常數列，且③，
①②可得，且，
所以，數列為等比數列，且該數列的首項為，公比為，
所以，④，
③④可得，則，
所以，.
（2）由（1）可知，，
則
.
【例題2】（2023·江蘇無錫·高三校聯考）已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由①
當時，，所以
當時，②
①②式相減得，即
兩邊同除以得，，
又，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
，則
（2），可知數列是以為首項，為公差的等差數列，
可知數列是以為首項，為公比的等比數列，
【例題3】．（2023·四川成都高三專題模擬）設是公差不為零的等差數列，已知，為，的等比中項．
(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和；
(3)若求數列的前2n項和
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）由等差數列定義以及等比中項的概念可解得公差，可求得通項公式；
（2）利用裂項相消求和即可得；
（3）根據數列的通項公式可采用分組求和，再利用裂項和等比數列前n項和公式即可得出結果.
【詳解】（1）設公差為且，
則，即，
解得或（舍去），
所以．
即數列的通項公式為.
（2），
所以，
即數列的前n項和
（3）由可得
．
所以，數列的前2n項和.
【變式6-1】（2023·重慶巴南·統考一模）已知數列的首項，且滿足.
(1)求證：是等比數列；(2)求數列的前項和.
【解析】（1）因為，即，
則，
又因為，可得，
所以數列表示首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，
當為偶數時，可得；
當為奇數時，可得；
綜上所述：.
【變式6-2】（2023·山西大同統考模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，時，,
兩式相減得， ，，，，
相乘得，所以，當時符合上式，所以；
（2），
當為奇數時，
.
【變式6-3】．（2023秋·山西呂梁·高三統考期末）已知正項等差數列，，且，，成等比數列，數列的前n項和為，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，數列的前n項和為，求證：．
【答案】(1)，；(2)證明見解析
【分析】（1）利用，，成等比數列，列出方程，求出公差，寫出的通項公式，再利用，得到是公比為的等比數列，求出的通項公式；
（2）利用分組求和及裂項相消法，得到，從而證明出結論.
【詳解】（1）設數列的公差為d，則．
因為，且，，成等比數列，所以，
所以d＝3，所以．
由，得，
所以是公比為的等比數列，又，所以．
（2），
所以．
因為，所以．
核心考點題型七 并項求和
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．
【例題1】（2023·湖南長沙統考模擬預測）已知數列的前項和為，且滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，
當時，，
當時，，則，
當時，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
【例題2】．（2023·云南曲靖高三模擬預測）已知的前項和為，，，則 .
【答案】
【解析】當時，則為偶數，為偶數，
可得，，
兩式相加可得：，
故
，
解得.
故答案為：.
【例題3】．（2023·河北滄州校考模擬預測）已知正項數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1），
當時，，兩式子作差可得
，
又，所以，
可得數列為公差為2 的等差數列，
當時，，
所以，數列的通項公式為.
（2），
，
所以，數列的前項和.
【變式7-1】（2023·貴州貴陽高三統考）記為等差數列的前n項和，已知，.
（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前23項的和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設等差數列公差為d，則，解得，，
所以.
（2）由（1）可得：，則，
可得
，所以.
【變式7-2】（2023·湖南邵陽·高三校聯考）已知數列的前n項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得，
則，
上述等式累加可得，
所以，，故當時，，
也滿足，故對任意的，.
（2）因為，故數列為等差數列，
則，所以，，
對任意的，則，
當為偶數時，設，則，
則；
當為奇數時，設，則，
則，
綜上所述，.
【變式7-3】．（2023·天津塘沽高三模擬預測）已知數列為等差數列，為其前n項和，若．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前18項和．
【解析】(1)設等差數列的公差為．則
，解得.
故數列的通項公式為．
(2)由（1）知，，
所以.
因為當時，，
．
所以數列的前18項和為.
【變式7-4】（2023·山東煙臺高三模擬）已知數列滿足，，且．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）若，求數列的前n項的和．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1），且，，
，且，，
故數列是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）知，，則有，，，
各式相加得，
又，則，，
則當為奇數時，
；
當為偶數時，
；
綜上所述，.
【變式7-5】．（2023·陜西榆林·統考二模）已知數列的前項和為，，，數列滿足，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)； (2)
【解析】（1）根據等差數列通項和求和公式可求得；根據等比數列通項公式可求得；
（2）由（1）可得，進而得到；分別在為偶數和為奇數的情況下，采用分組求和的方式，結合等比數列求和公式和裂項相消法可求得結果.
【詳解】（1），數列是以為公差的等差數列，
，解得：，，
；
，，數列是以為首項，為公比的等比數列，.
（2）由（1）得：，即，
當為奇數時，；當為偶數時，；
當為偶數時，；
當為奇數時，；
綜上所述：.
核心考點題型八 含絕對值數列求和
【例題1】．（2023·甘肅天水校聯考二模）記為等差數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）設等差數列的首項和公差分別為、，依題意得到方程組，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根據等差數列求和公式計算可得.
【詳解】（1）設等差數列的首項和公差分別為、，
由題意可知，
化簡得，解得，
所以．
（2）由（1）知：當時，；當時，，
所以
．
【例2】（2022秋·江蘇徐州高三聯考）已知數列的前項和為，滿足．
（1）求數列的通項公式及；
（2）若數列滿足，求數列的前10項的和．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）由得：，即，
由得：，兩式相減得：，即，
所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，
所以，則；
（2）由（1）知：，則，
所以
.
【變式8-1】（2023·云南曲靖一中模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和為，設，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根據與的關系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根據的單調性可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以當時，，所以；
當時，，所以，
所以，又滿足上式，
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）知，
當時，；
當時，
；
所以，
當時，遞減，所以；
當時，，
設，
則，令得，此時單調遞增，
令得，此時單調遞減，
所以在時遞減，在時遞增，
而，，且，
所以；
綜上，的最小值為.
【變式8-2】（2023·四川成都高三模擬預測）在數列中，，．
（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為在數列中，，，所以，，
所以，等式兩邊同加上得，
因為，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，．
（2）因為，
即，所以，為單調遞減數列，
因為，，
所以，時，，時，，
記的前項和為，則，
所以，當時，，；
當時，，，①
，②
所以，①②得：，
即，
綜上，
【變式8-3】（2023春·安徽阜陽二中校考）在數列，中，，對任意，，等差數列及正整數滿足，，且.
（1）求數列，的通項公式；
（2）令，求前項和.
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由題意知，因為，所以.
因為，所以，所以，所以，即，
所以是以1為首項，2為公比的等比數列，所以.
設數列公差為，
，
∴，.
（2）因為，所以
所以當時，數列的前項和；
當時，數列的前項和
.
所以．
核心考點題型九 放縮法求和
【例題1】．（2023·陜西寶雞一模）已知數列是等差數列，其前n項和為，，；數列的前n項和為，.
(1)求數列，的通項公式；(2)求數列的前n項和；
(3)求證：.
【答案】（1） （2）Sn （3）證明略
【解析】(1)數列是等差數列，設公差為d，
，化簡得，
解得，，∴，.
由已知，
當時，，解得，
當時，，
∴，，
即，∴數列構成首項為3，公比為3的等比數列，∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時，
，
根據“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證，
即證，
即證，
當，顯然成立，
∴，
∴
【例題2】．（2023·寧夏銀川第一中學二模）已知為等差數列，前n項和為是首項為2的等比數列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；(2)求數列的前8項和；
(3)證明：．
【答案】（1）． （2） （3）證明略
【解析】(1)解：設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q．
由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．
由，可得①．由，得②，聯立①②，解得，由此可得．
所以，的通項公式為的通項公式為．
(2)解：設數列的前n項和為，由，得，所以
，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數列的前n項和為 當時，．
(3)解：由（1）得，所以：
當時，，不等式成立；
當時，，所以，不等式成立；
當時，，
所以，
，所以，得證．
【變式9-1】．（2023·浙江·效實中學模擬預測）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.
(1)求的值：(2)求數列的通項公式：(3)證明：對一切正整數，有.
【答案】（1）. （2）（3）證明略
【解析】(1)令，，則舍去，
所以.
(2)，
因為數列各項均為正數，舍去，
，當時，
，
(3)令
，
所以
【變式9-2】．（2023·云南昆明一模）已知數列的前n項和為，.
(1)證明：數列為等比數列，并求數列的前n項和為；
(2)設，證明：.
【答案】（1）（2）證明略
【解析】(1)當時，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數列為等比數列
則，所以
則
(2)
所以

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