資源簡介

重難點2-1 指對冪比較大小十一類題型（原卷版）
題型一 利用單調性比較大小
單調性法：當兩個數都是指數冪或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或冪函數的函數值，然后利用該函數的單調性比較
【例題1】（2024.福建寧德高三統考）設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·北京順義高三校考階段檢測）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023秋·遼寧大連·高三校聯考期中）已知，，，，則a，b，c的大小關系正確的為（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【變式1-2】（2023·河南商丘高中高三開學考試）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·陜西寶雞統考一模）已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
題型二 作差作商法比較大小
作差法、作商法：
（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；
（2）作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法；
【例題1】（2023·遼寧·大連高三開學考試）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2024·河北保定高三專題檢測）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·河南·安陽高中高三模擬）設，，，則a，b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023秋·陜西咸陽高三校考）若，，，，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·云南昆明高三專題檢測）已知，，，則正數，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
題型三 中間值法
因為冪、指、對函數的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1（或者某個固定常數）比較大小。
【例題1】（2023·天津河東一模）已知，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·江蘇鎮江高三統考開學考試）設，，，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·河北石家莊高三專題檢測）已知，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·四川綿陽高三專題檢測）若，，，則、、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023秋·天津南開中學校考）已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
題型四 含變量問題特殊值或構造函數
【例題1】（2023秋·河南鄭州第一高級中學檢測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·云南大理一模）已知，記，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·湖北武漢高三專題檢測）已知且，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·江西九江高三專題檢測）已知實數a，b，c滿足，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】．（2023·山西晉中·統考一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
題型五 構造函數比較大小
【例題1】．（2023·遼寧大連二十四中校聯考模擬預測）已知，試比較的大小關系（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·甘肅蘭州高三模擬預測）設，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·廣西桂林統考一模）已知、、，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·廣西·校聯考模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·河南商丘高三統考）設，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
題型六 數形結合法
【例題1】．（2024·廣東廣州一模）已知均為大于0的實數，且，則大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·陜西寶雞高三統考期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·云南曲靖·高三校考模擬）已知正數，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
題型七 零點法
【例題1】（2023·四川成都高三模擬）已知函數，，的零點分別為，，，則，，的大小為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023秋·山東青島高三期末）已知函數在區間內的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】．（2023秋·湖北武漢外國語學校校考期末）已知函數的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
題型八 應用函數三大性質大小
【例題1】（2024·廣西南寧高三模擬） 已知函數的圖象關于點(-1，0)對稱，且當x∈(-∞，0)時，成立，(其中f′(x)是f(x)的導數）；若, ，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【例題2】（2023·江西南昌高三模擬）定義在上的函數的圖像關于對稱，且當時，（其中是的導函數），若，則的大小關系是
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·廣西南寧高三模擬）.設，若，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．以上均不對
題型九 估算法
【例題1】（2023·安徽高三校聯考模擬）若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【例題2】．（2024春·天津和平耀華中學高三模擬）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】（2024·云南曲靖高三模擬）. 已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（2024·河北保定高三模擬）三個數，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2023·陜西榆林高三專題檢測）若，，，，則，，這三個數的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
題型十 放縮法
①利用平方法等尋找接近已知數的數進行放縮；
②利用基本不等式進行放縮;
③利用泰勒公式進行放縮。常用的泰勒公式如下：
;；；
【例題1】（2023·云南大理高三模擬）若，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·廣東華僑中學高三校考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考），，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
題型十一 帕德逼近型比大小
帕德逼近：
【例題1】. （2021·全國·高考真題（理））設，，．則（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2024·廣東華南師大附中校考）設a＝，b＝ln1.01，c＝，則（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【變式11-1】（2024·廣東華南師大附中校考）已知
則
A． B． C． D．重難點2-1 指對冪比較大小十一類題型（解析版）
題型一 利用單調性比較大小
單調性法：當兩個數都是指數冪或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或冪函數的函數值，然后利用該函數的單調性比較
【例題1】（2024.福建寧德高三統考）設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為以及是上的單調減函數，
故可得，，即，；
又因為，
而是上的單調增函數，則，即.
故.故選：D.
【例題2】（2023·北京順義高三校考階段檢測）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為函數在上單調遞增，所以，
又，所以；
又因為函數在上單調遞增，所以，
所以.
綜上，.
故選：C
【變式1-1】（2023秋·遼寧大連·高三校聯考期中）已知，，，，則a，b，c的大小關系正確的為（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【答案】B
【解析】由題意，故，
由指數函數的單調性，單調遞減，故，
由冪函數的單調性，在單調遞增，故，
綜上：.
故選：B
【變式1-2】（2023·河南商丘高中高三開學考試）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用對數的運算可知，再利用對數函數的單調性可比較大小，進而得解.
【詳解】
，，
，
又為定義域上的增函數，
所以.
故選：D
【變式1-3】（2024·陜西寶雞統考一模）已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
即得得，因為是上的增函數，比較的大小關系即是，的大小關系 ，同時取15次冪，
因為冪函數在上是單調遞增的，比較即可，
因為 所以
即，即得.故選:.
題型二 作差作商法比較大小
作差法、作商法：
（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；
（2）作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法；
【例題1】（2023·遼寧·大連高三開學考試）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對已知等式兩邊分別取對數求出a，b，c，然后通過換底公式并結合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關系．
【詳解】分別對，，兩邊取對數，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，即，所以．
又，所以.故選：D．
【例題2】（2024·河北保定高三專題檢測）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用對數函數的單調性結合二次函數的性質即得．
【詳解】，，，
又，
因為函數，在上單調遞減，且，又因為，
所以，所以，即，所以，
，即．
故選：C．
【變式2-1】（2023·河南·安陽高中高三模擬）設，，，則a，b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，，然后利用換底公式及作差法即得.
【詳解】∵，，，
又，
，所以，即，
，即，∴.故選：A.
【變式2-2】（2023秋·陜西咸陽高三校考）若，，，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，，，只需比較的大小，而，
綜上.故選：A
【變式2-3】（2024·云南昆明高三專題檢測）已知，，，則正數，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正數，，的大小關系為.故選：A
題型三 中間值法
因為冪、指、對函數的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1（或者某個固定常數）比較大小。
【例題1】（2023·天津河東一模）已知，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，
，
所以.
故選：C.
【例題2】（2023·江蘇鎮江高三統考開學考試）設，，，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，又，
，即.
故選：D.
【變式3-1】（2023·河北石家莊高三專題檢測）已知，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故選：D．
【變式3-2】（2024·四川綿陽高三專題檢測）若，，，則、、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根據對數函數的性質可得，，然后利用對數的運算化為同底并結合對數函數的單調性，可比較出的大小關系，分別與中間值比較，得出，分別與中間值比較，得出，綜合即可選出答案.
【詳解】
解：由題意，，，，
即，，
，
而，所以，
，而，
即，
又，，
而，則，即，
同理，，，
而，則，即，
綜上得：，
所以.
故選：D.
【變式3-3】（2023秋·天津南開中學校考）已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知，，即：，
又，所以；，
，，所以：.故選：C.
題型四 含變量問題特殊值或構造函數
【例題1】（2023秋·河南鄭州第一高級中學檢測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，，
因為當時，，且是增函數，所以.故選:D.
【例題2】．（2023·云南大理一模）已知，記，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以，
故選：A
【變式4-1】（2023·湖北武漢高三專題檢測）已知且，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】構造函數，
則，，．
因為在上恒成立，
所以函數在上單調遞減.
又因為，所以，且，
故.故選：C．
【變式4-2】（2023·江西九江高三專題檢測）已知實數a，b，c滿足，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，由，得，
設，則，
當時，單調遞增，因，
當且僅當時取等號，故，
又，所以，故，
∴，則，即有，故.
故選:C．
【變式4-3】．（2023·山西晉中·統考一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由于，所以，再利用指數函數和冪函數的性質比較大小即可
【詳解】因為，
∴，，且，
因為在上為減函數，所以，
因為在為增函數，所以，
所以，
故選：C
題型五 構造函數比較大小
【例題1】．（2023·遼寧大連二十四中校聯考模擬預測）已知，試比較的大小關系（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三個指數的底數的形式，通過構造新函數，利用導數的性質判斷其大小，再根據三個數的形式構造新函數，通過取對數法，結合導數的性質判斷其單調性，最后利用單調性判斷即可.
【詳解】設，
當時，，單調遞減，
所以有，
因為，
所以，
設，
設，
當時，，函數單調遞減，
因為，
所以，
因為函數是正實數集上的增函數，
故，
即，所以，
故選：C
【例題2】（2023·甘肅蘭州高三模擬預測）設，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
故構造函數，則，
令，解得，
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
又因為，，
所以，．
因為，又，
所以，即，故，
故選：A．
【變式5-1】（2023·廣西桂林統考一模）已知、、，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為、、，由可得，由可得，
由可得，構造函數，其中，則，
當時，；當時，.
所以，函數的增區間為，減區間為，
因為，所以，，即，即，
因為、、，則、、，所以，，
因此，.故選：A.
【變式5-2】（2023秋·四川成都高三校考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，可得，則，
令，則，令，則，所以在上單調遞減，又，
所以當時，，所以，所以在上單調遞減，從而，所以，即，從而可知.
由，，可得，則，
令，則，
令，則，
所以在上單調遞減，又，
所以當時，，
所以，所以在上單調遞減，從而，
所以，即，從而可知.
綜上可得.故選：C
【變式5-3】（2023·廣西·校聯考模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指數冪的運算公式，可得，所以，
構造函數，其中，則，
當時，；當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故，故，當且僅當時取等號，
由于，則，則，所以，所以，所以．
故選：C．
【變式5-4】（2023·河南商丘高三統考）設，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，構造函數，
則，，，，
在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.
若有兩個解，則，
所以所以
即,
令，則，
故在上單增,所以，
即在上，.
若，則有，即.
故，所以.
當時，有，故
所以.
綜上所述：.
故選：A
題型六 數形結合法
【例題1】．（2024·廣東廣州一模）已知均為大于0的實數，且，則大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據題意，將問題轉化為函數與直線的交點的橫坐標的關系，再作出圖像，數形結合求解即可.
解：因為均為大于0的實數，
所以，
進而將問題轉化為函數與直線的交點的橫坐標的關系，
故作出函數圖像，如圖，
由圖可知
故選：C
【例題2】（2023秋·陜西寶雞高三統考期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：設函數為，而.
如圖，的圖象在的下方，而且隨著的增大，
的圖象與的圖象越來越接近，
即當時，的值越來越大，所以有，.
方法二：構造函數，
則，，，
在上恒成立，
所以，函數在上單調遞增，
所以，，即.故選：B.
【變式6-1】（2023·云南曲靖·高三校考模擬）已知正數，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，可得，
，可得，
，可得，
且考慮和的圖象相交，
在同一平面直角坐標系中畫出、、與的圖象如下：
根據圖象可知.
故選：B.
題型七 零點法
【例題1】（2023·四川成都高三模擬）已知函數，，的零點分別為，，，則，，的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數的零點直接求解即可，函數的零點利用零點存在性定理求解即可，從而可得答案
【詳解】
解：令，則，得，即，
令，則，得，即，
因為函數在上為增函數，且，所以在區間存在唯一零點，且，
綜上，，
故選：B
【例題2】．（2023秋·山東青島高三期末）已知函數在區間內的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用函數的單調性結合零點存在性定理判斷a，b，c所在區間作答.
【詳解】函數在上單調遞減，函數在上都單調遞增，
因此函數在上都單調遞減，
在上最多一個零點，，即有，
，則，而，即，
所以.
故選：A
【變式7-1】．（2023秋·湖北武漢外國語學校校考期末）已知函數的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判斷各函數的單調性再根據零點的存在性定理求出函數零點的范圍，即可得出答案.
【詳解】解：因為函數都是增函數，
所以函數都是增函數，
又，
所以函數的零點在上，即，
因為，
所以函數的零點在上，即，
因為，所以函數的零點為，即，
所以.
故選：C.
題型八 應用函數三大性質大小
【例題1】（2024·廣西南寧高三模擬） 已知函數的圖象關于點(-1，0)對稱，且當x∈(-∞，0)時，成立，(其中f′(x)是f(x)的導數）；若, ，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【答案】B
【詳解】
分析：令，則，可得在(∞，0)上單調遞增．由函數的圖象關于點(1，0)對稱，可得函數的圖象關于點(，0)對稱，故函數為奇函數，所以函數為偶函數，且在(∞，0)上單調遞增，在(0,+∞)上單調遞減．由于，可得．
詳解：令，則，
∴當x∈(∞，0)時，函數單調遞增．∵函數的圖象關于點(1，0)對稱，∴函數的圖象關于點(，0)對稱，∴函數為奇函數，∴函數為偶函數，且在(∞，0)上單調遞增，在(0,+∞)上單調遞減．又，，
∴．故選B．
【例題2】（2023·江西南昌高三模擬）定義在上的函數的圖像關于對稱，且當時，（其中是的導函數），若，則的大小關系是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
本試題主要是考查了抽象函數的奇偶性和單調性的判定和運用 ．
因為已知函數y=f(x-1)關于（1,0）對稱，故f(x)關于原點對稱，同時當x<0，f(x)單調遞減，那么y=xf(x)在小于零的區間上遞減，并且利用f(x)是奇函數，得到y=xf(x)是偶函數，由于，那么根據圖像的對稱性和單調性可知結論為選c>a>b，選C.
【變式8-1】（2024·廣西南寧高三模擬）.設，若，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．以上均不對
【答案】D
【分析】
設，，由題意，利用誘導公式可得，而，，可得，或，分類討論即可求解．
【詳解】
解：設，，
因為，，所以，，，
又因為，所以，而，，
因此，或，
所以（1）當時，，
，因此，
（2）當時，，，
因此：①當時，，則，
②當時，，則，
③當時，，則
題型九 估算法
【例題1】（2023·安徽高三校聯考模擬）若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【解析】令，則，∴在上單調遞增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故選：A．
【例題2】．（2024春·天津和平耀華中學高三模擬）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比較，，中的大小，
等價于比較，，中的大小，
∵，由定義域可知，故，
∵在定義域上單調遞減，，，
∵，∴，∵，∴，
故，則，，
，由定義域可知：，
又∵，∴，則，，故，
∵，，∴，，.
故選：A.
【變式9-1】（2024·云南曲靖高三模擬）. 已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先計算出，然后分別計算三個函數值的大概范圍,即可比較大小.
因為，所以 ，，，
所以，故選：D
【變式9-2】（2024·河北保定高三模擬）三個數，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】結合對數恒等式進行變換，利用對數函數的單調性即可證明，由此得出三者的大小關系.
【詳解】
，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.
故選：D
【變式9-3】（2023·陜西榆林高三專題檢測）若，，，，則，，這三個數的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為， 所以取，則
，
，
，所以.
故選：C.
題型十 放縮法
①利用平方法等尋找接近已知數的數進行放縮；
②利用基本不等式進行放縮;
③利用泰勒公式進行放縮。常用的泰勒公式如下：
;；；
【例題1】（2023·云南大理高三模擬）若，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和對數的運算法則得到，再利用指數函數單調性結合放縮法得到即可求解．
【詳解】，，，
，，，
，，
，
故選：．
【例題2】（2023秋·廣東華僑中學高三校考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡得，構造函數，通過導數可證得，可得，而，從而可得答案．
【詳解】.
設，則有，單調遞減，
從而，所以，故，即，
而，故有．
故選：A．
【變式10-1】（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考），，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，，
因為，所以，
由泰勒展開得
，
，
所以
，
故，綜上所述a，b，c的大小關系是.
故選：C
題型十一 帕德逼近型比大小
帕德逼近：
【例題1】. （2021·全國·高考真題（理））設，，．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用帕德逼近可計算
【詳解】
【例題2】（2024·廣東華南師大附中校考）設a＝，b＝ln1.01，c＝，則（ ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【答案】B
【分析】帕德逼近近似計算.
【詳解】設，所以，
【變式11-1】（2024·廣東華南師大附中校考）已知
則
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用帕德逼近來近似計算.
【詳解】

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