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重難點2-2 抽象函數相關八類題型（解析版）
【反比例函數模型】
反比例函數：，則，
【一次函數模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則為奇函數；
模型3：若則；
模型4：若則；
【指數函數模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則；
模型3：若，則；
模型4：若，則；
【對數函數模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
模型3：若，則
模型4：若，則
模型5：若，則
【冪函數模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
代入則可化簡為冪函數；
【余弦函數模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
【正切函數模型】
模型：若，則
模型3：若，則
題型一 抽象函數的定義域問題
【例題1】（2023秋·云南曲靖高三年級校考）已知定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為定義域為，所以函數的定義域為，
所以，的定義域為需滿足，解得.
所以，的定義域為，故選：A
【變式1-1】（2023·江蘇鎮江高級中學高三期中）已知函數的定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數的定義域是，
所以，所以
所以函數的定義域為，
要使有意義，則需要，解得，
【變式1-2】（2023·江西南昌二中高三階段檢測）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題可知，，
故函數的定義域為，故選：A．
所以的定義域是.故選：D.
題型二 抽象函數的求值問題
【例題1】（2023·陜西西安·三模（理））已知函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，則，即，
令 ，則，即，
令 ，則，即，
令 ，則，即，
令 ，則，即，
故選：B
【變式2-1】（2023秋·四川綿陽高三統考）已知定義在上的函數，對于任意，當時，都有，又滿足，則______.（為自然對數的底數）
【答案】1
【解析】，而，
又，
令，由于當時，都有，
故，即當時，，
而，故.
【變式2-2】（2021·新高考Ⅱ卷T8） 已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A. B. C. D.
【解析】因為函數為偶函數，則，可得，
因為函數為奇函數，則，所以，，
所以，，即，
故函數是以為周期的周期函數，
因為函數為奇函數，則，
故，其它三個選項未知.故選：B.
【變式2-3】.（2023·江蘇·星海實驗中學高三模擬）已知函數滿足，，則的值為（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【答案】B
【解析】
因此
故選：B
【變式2-4】（2023·江蘇南通·統考模擬預測）若函數的定義域為，且，，則 ．
【答案】
【分析】推導出，可得出，再利用等差數列的求和公式可求得的值.
【詳解】因為函數的定義域為，且，
令可得，可得，
令，則，所以，，
所以，，
所以，.
故答案為：.
題型三 抽象函數的解析式問題
【例題3】（2023秋·河南洛陽高三校考）已知函數為定義在上的函數滿足以下兩個條件：
（1）對于任意的實數x，y恒有；
（2）在上單調遞減.
請寫出滿足條件的一個___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由（1）（2）可設,
由，
可得，化簡可得.
故的解析式可為.
取可得滿足條件的一個.
【變式3-1】（2023·寧夏銀川高三階段模擬）設定義在上的函數滿足，且對任意的、，都有，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得，即；
令 ，則，即；
令，則，
所以的值域是.故選：B.
【變式3-2】．（2022·陜西渭南高三模擬）對任意實數，，都有，求函數的解析式 ．
【答案】
【解析】方法一：對任意實數,都成立,
令,得,再令,得,
方法二：在已知式子中,令,得,
,,令,得
【變式3-3】．（2023屆福建省上杭第一中學高三上學期考試）定義在上的函數滿足以下兩個性質：①，②，滿足①②的一個函數是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為，即滿足性質①
又因為，
，且
所以，即滿足性質②
【變式3-4】（2023秋·陜西榆林高三統考開學考試）已知函數f（x）滿足：①對，，；②．請寫出一個符合上述條件的函數f（x）＝______．
【答案】（答案不唯一，符合條件即可）
【解析】因為對，，；
所以在上可能為對數函數，
故滿足條件①，又，
所以，
故符合上述條件的函數可能為：.
【變式3-5】（2023·重慶·統考三模）（多選題）函數是定義在上不恒為零的可導函數，對任意的x，均滿足：，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【詳解】令，得，代入，得，
當為正整數時，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又當時，也符合題意，
所以.
當不為正整數時，經驗證也滿足，
故為任意實數時，都有.
所以，故A正確；，故B正確；
所以，，故C不正確；
所以，
令，
則，
所以，
所以，所以，故D正確.
故選：ABD
題型四 抽象函數的值域問題
【例題4】（2023秋·山東青島高三檢測）已知函數對任意的，總有，若時，，且，則當時，的最大值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】令，則，得，
令，則，所以，所以為奇函數，
任取，且，則，，
所以，
所以，所以在上遞減，
所以當時，的最大值為，因為，所以，所以，故選：D
【變式4-1】（2023·江蘇徐州高三檢測）已知定義在R上的函數滿足，若函數在區間上的值域為，則在區間上的值域為__________.
【答案】
【解析】因為，
故對任意的整數，當時，，
而且，
故，
故在區間上的值域為：
，即為.
【變式4-2】（2023·云南曲靖高三月考）是上的奇函數，是上的偶函數，若函數的值域為，則的值域為_____________．
【答案】
【解析】由是上的奇函數，是上的偶函數，得到，
因為函數的值域為，即
所以 又，得
所以的值域為：.
題型五 抽象函數的單調性問題
【例題1】.（2023·江蘇常州高三檢測）已知函數的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知令求得，再求，即有，原不等式
即為，再由單調性即可得到不等式組，解出它們即可．
【詳解】由于，
令則，即，
則，
由于，則，
即有，
由于對于，都有，
則在上遞減，
不等式即為．
則原不等式即為，即有，
即有，即解集為．
故選：D．
【例題2】（2023·安徽高三模擬預測）已知是定義在上的偶函數，函數滿足，且，在單調遞減，則（ ）
A．在單調遞減 B．在單調遞減
C．在單調遞減 D．在單調遞減
【答案】C
【解析】由題意知在單調遞增，為奇函數，在上單調遞減.
設，則，，
所以在單調遞增，故A錯誤，
設，則，，
在單調遞增，故B錯誤；
設，則，，
所以在單調遞減，故C正確；
取，則，，，
此時在不單調遞減，故D錯誤.故選:C.
【變式5-1】（2023秋·甘肅蘭州第一中學高三檢測）已知函數f(x)的定義域是(0，+)，，，當x1時， f(x)0，則滿足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】設是(0，+)上任意兩個實數，且，即，
所以，因此，于是有，
即，
所以函數f(x)在(0，+)上單調遞增，因為，
所以，
因此f(x)-f(x-2)≥2 ，
于是有：，
所以，所以有.
【變式5-2】．（2024屆江蘇省南通市海安市高三上學期期質量監測）（多選）設定義在上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為奇函數 B．的解析式唯一 C．若是周期為的函數，則
D．若時，，則是上的增函數
【答案】ACD
【解析】因為，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以為奇函數，故A正確；
令，
則，
，
滿足，故的解析式不唯一，即B錯誤；
若是周期為的函數，則，所以，又，
所以，故C正確；
因為當時，，所以當時，則，
設任意的，且，則，
所以，因為，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上單調遞增，則在上單調遞增，又，
且當時，，當時，則，
所以是上的增函數，故D正確；故選ACD
【變式5-3】（2024·浙江義烏統考模擬預測）（多選）已知定義在上的函數，滿足：，，，則（ ）
A．函數一定為非奇非偶函數
B．函數可能為奇函數又是偶函數
C．當時，，則在上單調遞增
D．當時，，則在上單調遞減
【答案】BC
【解析】對于AB：令，則，所以或，
當時，令，則，則，
所以此時既是奇函數又是偶函數；故A錯誤，B正確；
對于C：當時，，則，又，所以，則，
設，則，則，所以，
由于，
取，得，所以，
則當時，，則，
所以，則在上單調遞增，故C正確；
對于D： 設，則，則，
所以，
則在上單調遞增，故D錯誤；故選：BC
題型六 抽象函數的奇偶性問題
【例題1】.（2023秋·浙江衢州·高三統考期末）（多選）已知定義在上的非常數函數滿足，則（ ）
A． B．為奇函數 C．是增函數 D．是周期函數
【答案】AB
【詳解】對于A項，令得：，解得：，故A項正確；
對于B項，令得：，由A項知，，所以，所以為奇函數，故B項正確；
對于C項，當時，，，滿足，但是減函數.故C項錯誤；
對于D項，當時，，，滿足，但不是周期函數.故D項錯誤.
【例題2】【2023·新高考全國Ⅱ卷·11】已知函數的定義域為，，則（ ）．
A. B. C. 是偶函數 D. 為的極小值點
【答案】ABC
【解法一】
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤
【解法二】
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
【變式6-1】.（2023·河南·鄭州市第七中學高三階段檢測（理））已知定義在上的單調函數滿足對任意的，都有成立，若正實數滿足，則的最小值是_____________
【答案】
【分析】首先判定函數為奇函數，由所給的等式可得，再由單調遞增可得，從而可得，再利用基本不等式得出結論.
【詳解】令，則，
令，，則，所以為奇函數，
由單調奇函數滿足對任意的正實數滿足，
可得，即，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故答案為:
【變式6-2】.（2023·江蘇無錫高三單元測試）若定義在上的函數滿足：，且時，有,當 時，的最大值、最小值分別為，則的值為（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】C
【解析】由題意得，
對于任意的 ，，都有，
令，得，
再令，將代入可得 ,
即得，
不妨設，則，，
，
又，
可得，
即函數在R上遞增，
故當時，，，
又由可得：，
的值為4036，
故選：C．
【變式6-3】（2022春·四川成都·高三成都七中校考開學考試）已知是奇函數，則下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】是奇函數，則有，即，故選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；
把函數的圖像向左平移1個單位長度再向下平移1個單位長度，可以得到函數的圖像，則由函數有對稱中心，可知函數有對稱中心.
選項C：由，可得函數的周期為2.判斷錯誤；
選項D：由，可得函數有對稱軸.判斷錯誤，故選：A
題型七 抽象函數的周期性問題
【例題1】．（2024·海南·嘉積中學高三期末）的定義域為，且，，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】C
【解析】令，則，即，
所以，，
所以，
所以，
所以的周期為6，
令，則，得，
因為，
所以，
，
，
，
，
所以，
所以
故選：C
【例題2】．（2023·陜西高三校聯考檢測）（多選）已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，下列結論正確的是（ ）
A．的周期為4 B． C． D．
【答案】ABD
【解析】對A：由于為偶函數，圖象關于軸對稱，所以圖象關于對稱；
所以
所以①，
而②，將兩式相加得：，
則③，所以，
所以是的一個周期，故A正確；
對B、C、D：由A項知令，由③得，由①，
得，由②得，
則，所以，
所以，故D正確；
由①令，得，，
由，，得，
兩式相減得，
即，且關于對稱，，
所以④，所以，
所以是周期為的周期函數，所以，故B正確；
由④令，得，所以，
所以，故C錯誤；故選：ABD.
【變式7-1】（2023秋·河南·高三信陽高中校聯考期末）已知是定義在上的函數，且均不恒為為偶函數，.若對任意的，都有，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的一個周期為4 B．函數的一個周期為6
C．函數的一個周期為4 D．
【答案】D
【解析】因為，所以.
所以.
所以.
所以.故函數的一個周期為8，所以A錯誤；
因為對任意的，都有，為偶函數，
令，得，解得，，所以.
因為不恒為0，所以函數的一個周期為4，所以B錯誤；
令，因為的一個周期為8，且周期不為4，的一個周期為4，
所以.所以的一個周期為8.所以C錯誤；
，所以D正確.故選：D.
【變式7-2】（2023春·河南開封·高三統考開學考試）已知函數，的定義域為，且，，若為偶函數．，則（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】B
【分析】根據已知等式，結合偶函數的性質可以判斷出函數的周期，利用周期進行求解即可.
【詳解】由，而，
所以可得，因為為偶函數，
所以，顯然有，
所以函數的周期為8，
在中，令，得，
因為，所以，
由，
由，所以故選：B
【變式7-3】（2022上·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）已知函數及其導函數定義域均為，為奇函數，，，則正確的有（ ）
①；②；③；④.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】根據與奇偶性之間的關系，結合函數對稱性和周期性，即可判斷求解.
【詳解】因為為奇函數，則，因為，，故可得，所以，函數的圖象關于點對稱，
在等式中，令可得，則，
因為函數為奇函數，即，可設，為常數，
則，故，即，所以，函數為偶函數，
由可得，從而可得，則，即，所以，函數為周期為的周期函數，故，
在等式兩邊同時求導可得，即，
在等式中，令可得，因為函數是周期為的周期函數，則，
等式兩邊求導可得，所以，函數是周期為的周期函數，
所以，.而、的值根據已知條件無法推導其值，則②③對，①④錯.故選：C.
【變式7-4】（2023秋·浙江·高三浙江省新昌中學校聯考期中）（多選）已知定義在上的函數與滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由，得，故A正確；
由，
得，
無法得出恒成立，故B不正確；
同理
，故C正確；
，故D正確，故選：ACD.
題型八 抽象函數的對稱性問題
【例題1】．（2023屆湖南省邵陽市第二中學高三上學期月考）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為的圖像關于直線對稱，所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，
所以，因為，所以.
所以.
故選D
【例題2】．（多選題）（2023·河南·高三校聯考）已知函數及其導函數的定義域均為，且，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數為偶函數 B．的圖象關于直線對稱
C． D．
【答案】ABD
【解析】因為，所以，
所以函數為偶函數，故A正確；
因為，兩邊求導得.令，得.
因為，所以，
所以，，
所以，即，
所以的圖象關于直線對稱，故B正確；
因為，又，所以，
所以，
所以是周期為4的周期函數，所以，故C錯誤；
因為，所以，
所以，所以，
又，
所以，故D正確.
故選：ABD.
【變式8-1】（2023秋·云南昆明高三校聯考）的定義域為，為偶函數，且，則下列說法不正確的是（ ）
A．的圖象關于對稱 B．的圖象關于對稱
C．4為的周期 D．
【答案】D
【分析】由為偶函數可得函數關于對稱，由可得，故關于對稱，故可得4為的周期，然后通過計算逐項進行判斷即可
【詳解】由為偶函數可得，
可知函數關于對稱，故B正確；
，把換成可得，
兩式相加可得，
故關于對稱，故A正確；
，所以，
可知4為的周期，故C正確；
令，，，，
所以，D不正確，
【變式8-2】（2023秋·山西太原一中高三模擬）已知函數的定義域均為為偶函數，且，，下列說法正確的有（ ）
A．函數的圖象關于對稱 B．函數的圖象關于對稱
C．函數是以4為周期的周期函數 D．函數是以6為周期的周期函數
【答案】C
【解析】由得，
又 為偶函數，所以 ，進而可得；
因此可得的圖象關于對稱,
又可得，結合為偶函數，
所以，故的圖象關于對稱，
因此 ，所以是以4為周期的周期，故D錯誤，
由于，
所以且，
因此的圖象關于對稱,函數是以4為周期的周期函數,C正確，B錯誤，
根據是以4為周期的周期函數，由，
得，所以數的圖象關于對稱，故A錯誤，故選：C
【變式8-3】（2024·四川模擬預測）（多選）已知函數，的定義域均為，且，.若的圖象關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因為的圖象關于直線對稱，所以
當時，，故C正確，因為，所以，即，即，又因為，即即，又因為，即，即，又因為，聯立解得：，因為， 令，有，解得，故B錯誤，因為，所以，解得
所以，解得，，因為，所以，解得，因為，所以，解得，
所以，故D正確，因為，所以，解得，故A正確，故選：ACD.
【變式8-6】（2023·四川成都·校聯考模擬預測）己知函數滿足，若函數與圖像的交點為，則________；
【答案】2023
【解析】因為，所以函數關于對稱，
又的圖像關于對稱，
所以兩函數的交點也關于對稱，對于每一組對稱和，
都有，．
從而重難點2-2 抽象函數相關八類題型（原卷版）
【反比例函數模型】
反比例函數：，則，
【一次函數模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則為奇函數；
模型3：若則；
模型4：若則；
【指數函數模型】
模型1：若，則；
模型2：若，則；
模型3：若，則；
模型4：若，則；
【對數函數模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
模型3：若，則
模型4：若，則
模型5：若，則
【冪函數模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
代入則可化簡為冪函數；
【余弦函數模型】
模型1：若，則
模型2：若，則
【正切函數模型】
模型：若，則
模型3：若，則
題型一 抽象函數的定義域問題
【例題1】（2023秋·云南曲靖高三年級校考）已知定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·江蘇鎮江高級中學高三期中）已知函數的定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·江西南昌二中高三階段檢測）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
題型二 抽象函數的求值問題
【例題1】（2023·陜西西安·三模（理））已知函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023秋·四川綿陽高三統考）已知定義在上的函數，對于任意，當時，都有，又滿足，則______.（為自然對數的底數）
【變式2-2】（2021·新高考Ⅱ卷T8） 已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A. B. C. D.
【變式2-3】.（2023·江蘇·星海實驗中學高三模擬）已知函數滿足，，則的值為（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【變式2-4】（2023·江蘇南通·統考模擬預測）若函數的定義域為，且，，則 ．
題型三 抽象函數的解析式問題
【例題3】（2023秋·河南洛陽高三校考）已知函數為定義在上的函數滿足以下兩個條件：
（1）對于任意的實數x，y恒有；
（2）在上單調遞減.
請寫出滿足條件的一個___________.
【變式3-1】（2023·寧夏銀川高三階段模擬）設定義在上的函數滿足，且對任意的、，都有，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】．（2022·陜西渭南高三模擬）對任意實數，，都有，求函數的解析式 ．
【變式3-3】．（2023屆福建省上杭第一中學高三上學期考試）定義在上的函數滿足以下兩個性質：①，②，滿足①②的一個函數是______．
【變式3-4】（2023秋·陜西榆林高三統考開學考試）已知函數f（x）滿足：①對，，；②．請寫出一個符合上述條件的函數f（x）＝______．
【變式3-5】（2023·重慶·統考三模）（多選題）函數是定義在上不恒為零的可導函數，對任意的x，均滿足：，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型四 抽象函數的值域問題
【例題4】（2023秋·山東青島高三檢測）已知函數對任意的，總有，若時，，且，則當時，的最大值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【變式4-1】（2023·江蘇徐州高三檢測）已知定義在R上的函數滿足，若函數在區間上的值域為，則在區間上的值域為__________.
【變式4-2】（2023·云南曲靖高三月考）是上的奇函數，是上的偶函數，若函數的值域為，則的值域為_____________．
題型五 抽象函數的單調性問題
【例題1】.（2023·江蘇常州高三檢測）已知函數的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為 （ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·安徽高三模擬預測）已知是定義在上的偶函數，函數滿足，且，在單調遞減，則（ ）
A．在單調遞減 B．在單調遞減
C．在單調遞減 D．在單調遞減
【變式5-1】（2023秋·甘肅蘭州第一中學高三檢測）已知函數f(x)的定義域是(0，+)，，，當x1時， f(x)0，則滿足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范圍為__________.
【變式5-2】．（2024屆江蘇省南通市海安市高三上學期期質量監測）（多選）設定義在上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為奇函數 B．的解析式唯一 C．若是周期為的函數，則
D．若時，，則是上的增函數
【變式5-3】（2024·浙江義烏統考模擬預測）（多選）已知定義在上的函數，滿足：，，，則（ ）
A．函數一定為非奇非偶函數
B．函數可能為奇函數又是偶函數
C．當時，，則在上單調遞增
D．當時，，則在上單調遞減
題型六 抽象函數的奇偶性問題
【例題1】.（2023秋·浙江衢州·高三統考期末）（多選）已知定義在上的非常數函數滿足，則（ ）
A． B．為奇函數 C．是增函數 D．是周期函數
【例題2】【2023·新高考全國Ⅱ卷·11】已知函數的定義域為，，則（ ）．
A. B. C. 是偶函數 D. 為的極小值點
【變式6-1】.（2023·河南·鄭州市第七中學高三階段檢測（理））已知定義在上的單調函數滿足對任意的，都有成立，若正實數滿足，則的最小值是_____________
【變式6-2】.（2023·江蘇無錫高三單元測試）若定義在上的函數滿足：，且時，有,當 時，的最大值、最小值分別為，則的值為（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【變式6-3】（2022春·四川成都·高三成都七中校考開學考試）已知是奇函數，則下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
題型七 抽象函數的周期性問題
【例題1】．（2024·海南·嘉積中學高三期末）的定義域為，且，，則（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【例題2】．（2023·陜西高三校聯考檢測）（多選）已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，下列結論正確的是（ ）
A．的周期為4 B． C． D．
【變式7-1】（2023秋·河南·高三信陽高中校聯考期末）已知是定義在上的函數，且均不恒為為偶函數，.若對任意的，都有，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的一個周期為4 B．函數的一個周期為6
C．函數的一個周期為4 D．
【變式7-2】（2023春·河南開封·高三統考開學考試）已知函數，的定義域為，且，，若為偶函數．，則（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【變式7-3】（2022上·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）已知函數及其導函數定義域均為，為奇函數，，，則正確的有（ ）
①；②；③；④.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④.
【變式7-4】（2023秋·浙江·高三浙江省新昌中學校聯考期中）（多選）已知定義在上的函數與滿足，則（ ）
A． B． C． D．
題型八 抽象函數的對稱性問題
【例題1】．（2023屆湖南省邵陽市第二中學高三上學期月考）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（多選題）（2023·河南·高三校聯考）已知函數及其導函數的定義域均為，且，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數為偶函數 B．的圖象關于直線對稱
C． D．
【變式8-1】（2023秋·云南昆明高三校聯考）的定義域為，為偶函數，且，則下列說法不正確的是（ ）
A．的圖象關于對稱 B．的圖象關于對稱
C．4為的周期 D．
【變式8-2】（2023秋·山西太原一中高三模擬）已知函數的定義域均為為偶函數，且，，下列說法正確的有（ ）
A．函數的圖象關于對稱 B．函數的圖象關于對稱
C．函數是以4為周期的周期函數 D．函數是以6為周期的周期函數
【變式8-3】（2024·四川模擬預測）（多選）已知函數，的定義域均為，且，.若的圖象關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-6】（2023·四川成都·校聯考模擬預測）己知函數滿足，若函數與圖像的交點為，則________；

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