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重難點2-6 數列的通項公式求法（十四類核心考點題型）
（解析版）
【考情透析】
數列的通項公式的求解是高考熱點題型，求解方法豐富多彩，是考查學生數學素養的重要載體。
【題型歸納】
核心考點題型一 觀察法
已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項．
【例題1】．（2023秋·新疆喀什·高三統考期末）若數列的前6項為，則數列的通項公式可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】觀察每項的特點，分別確定項的符號以及分子分母的取值的規律，即可找出數列的通項公式.
【詳解】通過觀察數列的前6項，可以發現有如下規律：
且奇數項為正，偶數項為負，故用表示各項的正負；
各項的絕對值為分數，分子等于各自的序號數，
而分母是以1為首項，2為公差的等差數列，
故第n項的絕對值是，
所以數列的通項可為，
故選：D
【例題2】（2023·山東煙臺校聯考模擬預測）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題，其各項規律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數列為，則（ ）
A．650 B．1050 C．2550 D．5050
【答案】A
【解析】由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項，2為公差的等差數列.
故，
故選：A
【變式1-1】．（2023·甘肅中學校張掖聯考二模）已知無窮數列滿足，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數列的形式）
【答案】（或）（答案不唯一）
【分析】根據猜想.
【詳解】由，，，
猜想.
故答案為：.（答案不唯一）
【變式1-2】（2023·遼寧統考三模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第25項與第24項的差為（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】設該數列為，
當為奇數時，
所以為奇數；
當為偶數時，
所以為偶數數；
所以，
故選:B.
【變式1-3】．（2023·四川成都模擬預測）將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數列為“梯形數”．根據圖形的構成，則數列的第項________．
【答案】77
【分析】根據前面圖形中，編號與圖中石子的個數之間的關系，分析他們之間存在的關系，并進行歸納，用得到一般性規律，即可求得結論．
【詳解】由已知的圖形我們可以得出：圖形的編號與圖中石子的個數之間的關系為：
n=1時，，
n=2時，，
n=3時，，
…
由此我們可以推斷：.
∴，
故答案為：77.
【變式1-4】（2023·河南開封高三期末）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1，2；第二行得到數列；第三行得到數列，則第5行從左數起第6個數的值為________.用表示第行所有項的乘積，若數列滿足，則數列的通項公式為________.
【答案】 8
【解析】（1）根據題意，第5行的數列依次為：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2
從左數起第6個數的值為8；
（2）,
, , ,
故有
則
故答案為：①8；②
核心考點題型二 由an與Sn的關系求通項
若已知數列的前n項和Sn與的關系，求數列的通項可用公式 構造兩式作差求解．用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）．
【例題1】．（2023·遼寧大連校考模擬預測）記為數列的前項和，已知，．
(1)求的通項公式；(2)證明：．
【答案】(1) (2)證明見解析
【分析】（1）利用退一相減法可得數列的遞推公式，再利用累乘法可得數列的通項公式；
（2）利用裂項相消法求數列的前項和，再根據，即可得證.
【詳解】（1）由已知①，
所以當時，②，
①②得，整理可得，則，，，，，，
等式左右分別相乘得，
又，所以；
（2）由（1）得，
則，所以，
所以
，
又，所以，
所以，
即.
【例題2】．（2023·山西大同·三模）設正項數列的前n項和為，且，當時，．
(1)求數列的通項公式； (2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據結合題意可得是以為首項，1為公差的等差數列，進而可得的通項公式；
（2）根據累加法與錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）由，得，
因為，所以，
所以是以為首項，1為公差的等差數列，所以，
所以，當時，，
當時，也滿足上式，
所以數列的通項公式為．
（2）由知：
當時，，
①，
則②，
由得：，
化簡得：，
當時，也滿足上式，
所以數列的通項公式為．
【例題3】．（2023·陜西統考模擬預測）已知數列滿足，等差數列的前n項和為，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）根據給定的遞推公式求出，再求出等差數列公差、首項即可求解作答.
（2）利用（1）的結論求出，再利用錯位相減法求和作答.
【詳解】（1）當時，，
，當時，，
兩式相減，得，即，顯然滿足上式，因此，
設公差為，則，即，解得，
因此，
所以數列和的通項公式分別為，.
（2）由（1）知，，
則，
于是，
兩式相減得：，
所以.
【變式2-1】．（2023·陜西榆林校聯考模擬預測）已知數列的各項均不為0，其前n項和滿足，，且.
(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據數列與的關系，轉化為數列的遞推公式，根據等差數列的定義，即可求解；
（2）首先數列，再利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）當時，，即，
因為，所以，
兩式相減得，
因為，所以，
所以是以1為首項，4為公差的等差數列，
是以3為首項，4為公差的等差數列，
所以，，
故.
（2）因為，
所以，
因為，所以
【變式2-2】．（2023·山東青島三模）已知為數列的前項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記的前項和為，證明：．
【答案】(1) (2)證明見解析
【分析】（1）根據數列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構造數列，可求得的通項公式；
（2）由（1）的結論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.
【詳解】（1）當時，，則，
因為，
所以，
兩式相減得： ，
所以，，
，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項，公比為2的等比數列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
當時，，故.
【變式2-3】．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）設是數列的前n項和，且，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C．數列為等差數列 D．－5050
【答案】A
【分析】由可得－＝－1，即數列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數列可判斷C，由求出可判斷A，B；由等差數列的前n項和公式可判斷D.
【詳解】是數列的前n項和，且，
則， 整理得－＝－1（常數），
所以數列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數列，故C正確；
所以，故．
所以當時，－，不適合上式，
故故B正確，A錯誤；
所以， 故D正確．
故選：A.
【變式2-4】．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）數列的前項的和為，已知，，當時，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前項和
【答案】(1) (2)
【分析】（1）當時，由已知變形可得，利用累加法可求得數列的通項公式；
（2）對任意的，計算得出，然后利用等差數列的求和公式可求得.
【詳解】（1）解：當時，由可得，
即，因為，，所以時也滿足，
當時，，
所以，，
當時，，也滿足上式，所以.
（2）解：，對任意的，，
所以，.
核心考點三 累加法求通項
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；
② 若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；
③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；
④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．
【例題1】．（2024·陜西安康中學校考模擬預測）在數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，故可得，，…，，及累加可得，
則，所以，
則．
故選：B．
【例題2】.（2024·福建泉州高三校聯考模擬）已知數列滿足，且，若，則正整數為（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【解析】，故，，故，
.
故，，即，故，解得.故選：B
【例題3】（2024·河南安陽聯考模擬）南宋數學家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，高階等差數中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.現有高階等差數列，其前7項分別為1，2，5，10，17，26，37，則該數列的第19項為（ ）
A．290 B．325 C．362 D．399
【答案】B
【解析】先由條件判斷該高階等差數列為逐項差數之差成等差數列，進而得到，再利用累加法求得，進而可求得.
設該數列為，則由，，，，…
可知該數列逐項差數之差成等差數列，首項為1，公差為2，故，
故，
則，，，…，，
上式相加，得，
即，故.
故選：B.
【變式3-1】．（2024·四川綿陽高三模擬）已知數列滿足，，則的通項為( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，則當時，，
將個式子相加可得，
因為，則，當時，符合題意，
所以.
故選：D.
【變式3-2】（2023·上海普陀統考一模）若數列滿足，（，），則的最小值是 .
【答案】6
【解析】由已知，，…，，，
所以，，
又也滿足上式，所以，
設，由對勾函數性質知在上單調遞減，在遞增，
因此在時遞減，在時遞增，
又，，所以的最小值是6.
【變式3-3】（2024·云南曲靖統考一模）已知數列滿足，，且，若表示不超過的最大整數（例如，），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知等式可推導證得數列為等差數列，由等差數列通項公式可求得，采用累加法可求得，由此可得，分別討論和時的取值，加和即可得到結果.
【詳解】由得：，又，
則數列是以為首項，為公差的等差數列，
，
，
；
又，當時，；當時，，
.
故選：C.
【變式3-4】．（2023·山東煙臺模擬預測）已知數列滿足：，．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前n項和．
【答案】(1) (2)且
【分析】（1）由，利用累加法求數列通項公式，注意驗證；
（2）由題設得，討論的奇偶性分別求出對應前n項和即可.
【詳解】（1），
當時
，檢驗知：當時上式也成立，
故．
（2）．
當為偶數時，；
當為奇數時，且，
又時滿足上式，此時；
且.
【變式3-5】．（2023·內蒙古赤峰·校聯考三模）設各項都為正數的數列的前n項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設函數，且，求數列的前n項和．
【答案】(1)，； (2).
【分析】（1）由遞推關系，根據累加法求數列的通項公式；
（2）由條件可得，利用錯位相減法求數列的前n項和.
【詳解】（1）由，可得，
當時，，
以上各式分別相加得，又，
所以當時，，
經檢驗符合，
所以，；
（2），
，
，
兩式相減得：
，
所以，
故，
所以.
核心考點題型四 累乘法求通項
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
【例題1】（2023·山西太原模擬預測）已知數列滿足，，則（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】，
，
即，
可得，
.
故選：C.
【例題2】．（2023·陜西榆林一中校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，，且（且），若，則（ ）
A．46 B．49 C．52 D．55
【答案】B
【解析】根據遞推關系利用累乘法求數列的通項，然后代入計算即可.
因為當時，，即，
所以．
因為．
又，所以．
因為，所以，解得或（舍去）．
故選：B．
【例題3】．（2024·江蘇鎮江大港中學考二模）已知數列滿足：.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）運用累乘法計算；（2）運用裂項相消法求和.
（1）由題意： ，
，
，
，將代入上式也成立， ；
（2） ，
.
【變式4-1】（2023·四川模擬預測）已知數列滿足，，則（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】，，即，可得.故選：C.
【變式4-2】（2023·甘肅天水一中模擬預測）若數列滿足，，則滿足不等式的最大正整數為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】依題意，數列滿足，，
，所以，
也符合，所以，是單調遞增數列，
由，解得，
所以的最大值為.故選：B
【變式4-3】（2023·重慶八中高三模擬預測）已知正項數列的前n項積為，且，則使得的最小正整數n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由題，，又，，，兩式相除可得，
上式兩邊取對數，可得，即，，
，化簡得，解得，
又，即，所以的通項公式為，
，
要使，即，解得，
且，所以滿足題意的最小正整數的值為6.故選：C.
【變式4-4】（2024·山西運城高三模擬預測）設數列的前項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)對于任意的正整數，，求數列的前項和．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）當時，由可得，兩式作差變形可得，利用累乘法可求得數列的通項公式；
（2）求出數列的通項公式，利用奇偶分組求和法、裂項相消法、等比數列的求和公式可求得.
【詳解】（1）解：當時，由可得，
上述兩個等式作差可得，所以，，則，
所以，，
也滿足，故對任意的，.
（2）解：對于任意的正整數，，
所以，
.
核心考點題型五 構造法求通項
（一）型
設，展開移項整理得，與題設比較系數（待定系數法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數列．
【例題1】．（2023·江西南昌高三模擬）若數列滿足，則數列的通項公式為________．
【答案】
【詳解】
，，，．
是首項為，公比為2的等比數列．
所以．
故答案為 ．
【例題2】（2023·江蘇徐州高三模擬）（多選題）已知數列滿足，，則下列結論中錯誤的有（ ）
A．為等比數列 B．的通項公式為
C．為遞增數列 D．的前項和為
【答案】AD
【解析】取倒數后由構造法得為等比數列，得通項公式后對選項逐一判定
由題意得，則，而，
故是首項為，公比為的等比數列，
，得，為遞減數列，故A正確，B，C錯誤，
對于D，，的前項和為，故D正確，
故選：AD
【例題3】．（2023·河南洛陽高三模擬）設數列滿足，.
（1）設，求證：是等比數列；
（2）設的前n項和為，求滿足的n的最大值.
【答案】（1）證明見解析；（2）10.
【分析】（1）代入遞推公式證明為常數即可；
（2）根據（1）可得，再求和根據的單調性判斷即可
【詳解】（1）證明：因為，，所以，
從而，.
所以，
又，
所以是首項為1，公比為2的等比數列.
（2）由（1），得.
由，得，解得.
所以
.
顯然為遞增數列，
又當時，；
當時，，
所以滿足的n的最大值是10.
【變式5-1】．（20244·河北石家莊高三模擬）已知數列滿足，，則滿足不等式的（為正整數）的值為（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】先求得的通項公式，然后解不等式求得的值.
依題意， ，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，所以，
由得，
即，
即，
，
而在上遞減，
所以由可知.
故選：D
【變式5-2】（2024·云南昆明高三模擬預測）若數列和滿足，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意可得是以為首項，為公比的等比數列，即可求出的通項公式，再根據，得到，即可得到的通項公式，最后代入即可；
【詳解】解：因為， ，
所以，即，
又，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故選：C
【變式5-3】．（2024·甘肅蘭州高三模擬預測）在數列中，，．
(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由題知數列是首項為，公比為的等比數列，進而得；
（2）由題知為單調遞減數列，再根據，，分和兩種情況討論求解即可；
【詳解】（1）解：因為在數列中，，，
所以，，
所以，等式兩邊同加上得，
因為，
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，．
（2）解：因為，即
所以，為單調遞減數列，
因為，，
所以，時，，時，，
記的前項和為，則，
所以，當時，，；
當時，，，①
，②
所以，①②得：，即，
綜上，
（二）型
【例題1】．（2024·山西大同高三模擬）已知數列滿足，則數列的通項公式為_____________.
【答案】
【分析】解法一：利用待定系數法可得，結合等比數列分析運算；解法二：整理得，結合等比數列分析運算；解法三：整理得，根據累加法結合等比數列求和分析運算.
【詳解】解法一：設，整理得，可得，
即，且，
則數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時除以得：，
整理得，且，
則數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，
當時，則
，
故，
顯然當時，符合上式，故.
故答案為：.
【例題2】（2024·銀川一中高三專題模擬）若是數列的前n項和，已知，,且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得當時，，設，得，又因為，，所以也滿足上式，
所以數列是以首項為，公比為的等比數列，
所以，即，
所以
故.故選：A.
【變式5-4】（2023·山西太原高三統考期中）（多選）已知數列中，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是遞增數列 C． D．
【答案】BD
【解析】由，可得，則，
又由，可得，所以數列表示首項為，公比為的等比數列，
所以，所以，由，所以A不正確；
由，即，所以是遞增數列，所以B正確；
由，所以C錯誤；
由，，所以，所以D正確.故選：BD.
【變式5-5】．（2023·陜西寶雞高三模擬）已知在數列中，，，則______．
【答案】
【分析】由構造法可得，所以數列是以為首項，
為公比的等比數列，即可求出數列的通項公式.
【詳解】因為，，所以，
整理得，所以數列是以為首項，
為公比的等比數列，所以，解得．
故答案為：.
【變式5-6】（2023·湖北模擬預測）已知數列的前項和為
（1）試求數列的通項公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意，兩邊同時除以，將其變形為，即，由等差數列的定義可知是以首項為、公差為的等差數列，
所以，即.
（2）由（1）可知，顯然當時，有，
當時，有，
所以，兩式相減得
.
而當時，也有，綜上所述：，.
（三）型
【例題1】（2023·山西模擬預測）（多選）已知數列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由，可得：
所以數列是首項為，公比為2的等比數列，則，
故.
所以，，，.
則，所以選項A錯誤，選項B、D正確.
因為所以正確．故選：BCD．
【例題2】．（2023·云南曲靖一中高三專題模擬）已知數列是首項為.
(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.
【解析】（1），設，
即，即，解得，
，故是首項為，公比為的等比數列.
，故.
（2），則
.
【變式5-7】．（2023·江西婺源高三專題模擬）已知：，時，，求的通項公式．
【解析】設，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3為首項， 為公比的等比數列，
∴ ，∴ ．
【變式5-8】．（2024·江蘇鎮江高三專題檢測）已知數列滿足，
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前項和
【解析】（1），
由此可得數列構成以為首項，公比的等比數列，
利用等比數列通項公式得： ，
所以數列的通項公式為：.
（2）由（1）得
，
（四）型
【例題1】．（2023·山西太原高三模擬）已知數列滿足，，，求
【答案】=．+．
【分析】法1：構造為等比數列，求出其通項，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到，根據，列方程組求出和即可.
【詳解】法1：已知，所以，
則是首項為，公比為3的等比數列，
故，則，
得，
當n為奇數時，，，，，，
累加可得，，
所以，
當n為偶數時，，
綜上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
【例題2】（2023·湖北高三模擬預測）已知數列滿足：，設，．則__________．
【答案】
【解析】依題意，
，
所以數列是首項，公比為的等比數列，
所以，.
，也滿足，
所以，
，
所以.
故答案為：
【例題3】．（2023·云南昆明高三模擬）已知數列滿足，求數列的通項公式．
【答案】.
【解析】用待定系數法構造數列，再利用迭代法求通項公式；也可用數列的特征根求解.
解法一：（待定系數——迭加法）
由，得，且．
則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是,
把代入，得，,,，．
把以上各式相加，得.
所以．
解法二：（特征根法）：
數列：，
的特征方程是：．
所以
又由，于是，
故.
【變式5-9】（2023·湖南長沙高三模擬）數列滿足，且，求通項.
【答案】
【解析】因為，所以，又，所以，由等比數列定義知，數列是以為首項，3為公比的等比數列，
所以，
累加法可得：，
所以，又符合該式，故.
【變式5-10】（2023·江蘇·統考三模）已知數列滿足，，．
(1)證明：是等比數列；
(2)證明：存在兩個等比數列，，使得成立．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】（1）由構造出，用等比數列定義證明即可；
（2）通過兩次構造等比數列，求出的通項公式，根據通項公式得出結論即可.
（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴，
∴數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）∵，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴∴，
∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，①，
又∵由第（1）問，，②，
∴②①得，，
∴存在，，兩個等比數列，， 使得成立．
（五）型
【例題1】（2023·廣東茂名高三校考模擬）已知，，（，），為其前項和，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由（，）可得，已知，，所以，
即是一個以3為首項，2為公比的等比數列，
所以，即，
，，，，，
，故選B.
【例題2】．（2023·山西太原高三模擬）(1)已知數列，其中，，且當時，，求通項公式；
(2)數列中，，，，求．
【解析】(1)由得：，
令，則上式為．
因此是一個等差數列，，公差為1，故．
由于，
又，，即．
(2)由遞推關系式，得，
令，則，且．
符合該式，
，
令，則，即，
即，且，
故是以為首項，為公比的等比數列．
，即，
.
【變式5-11】．（2023·福建福州·統考模擬預測）已知數列滿足，.
(1)若，求數列的通項公式；
(2)求使取得最小值時的值.
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）根據可得，即，再利用累加法求解即可；
（2）根據數列的通項公式判斷出數列的單調性，結合數列的單調性即可得解.
【詳解】（1），
由，
得，即，
當時，
，
所以，
當時，上式也成立，所以；
（2）由（1）可知，，
當時，，即，當時，，即，
當或時，，即，
則數列在且上遞減，在且上遞增，，
所以取得最小值時或.
【變式5-12】．（2023·甘肅白銀統考模擬預測）已知是數列的前項和，，，，求數列的通項公式___________.
【答案】
【分析】
根據已知條件構造，可得是公比為的等比數列，即，再由累加法以及分組求和即可求解.
【詳解】
因為，
所以，
因此，
因為，，所以，
故數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即，
所以當時，
，，，，，
以上各式累加可得：
，
因為，
所以；
又符合上式，所以.
故答案為：.
核心考點題型六 取倒數法
對于，取倒數得．
當時，數列是等差數列；當時，令，則，可用待定系數法求解．
【例題1】（2023·四川巴中高三模擬預測）已知數列的首項，且各項滿足公式，則數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為數列的首項，且各項滿足公式，則，，，以此類推，對任意的，，
由可得，所以，，
所以，數列是等差數列，且首項為，公差為，
，因此，.故選：B.
【例題2】（2023秋·四川綿陽高三質檢）已知數列中，，，則數列的前10項和（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵，∴，∴．
∴數列是首項為，公差為的等差數列，∴，∴．
∴，
∴數列的前10項和．故選:C
【例題3】．（2023春·新疆烏魯木齊高三校考）已知數列中，，．則數列的通項
【答案】
【分析】首先證得是等差數列，然后求出的通項公式，進而求出的通項公式；
【詳解】解：因為，
所以令，則，解得，
對兩邊同時除以，得，
又因為，
所以是首項為1，公差為2的等差數列，
所以，
所以；
【變式6-1】（2023·河南鄭州統考模擬預測）已知數列各項均為正數，，且有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
顯然若，則，則，，與題意矛盾，
所以，，兩邊同時取倒數，得：，
設，，，，
因為，故，故，所以為等比數列，
所以，故，所以，
故，故選：D.
【變式6-2】．（2023·浙江金華統考模擬預測）已知數列中，，.
(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列的前n項和.
【解析】（1）因為，，故，
所以，整理得．
又，，，所以為定值，
故數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，得.
（2）因為，
所以．
【變式6-2】（2023·江蘇鎮江市第二高級中學校考模擬預測）已知數列滿足，則下列結論正確的有（　　）
A．為等比數列 B．的通項公式為
C．為遞增數列 D．的前n項和
【答案】ABD
【分析】根據已知證明為定值即可判斷A；由A選項結合等比數列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.
【詳解】因為，
所以+3，所以，
又因為，
所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；
，即，故B正確；
因為，
因為，所以，
所以，所以為遞減數列，故C錯誤；
，
則，故D正確.
故選：ABD.
【變式6-3】．（2023·山東濟南·模擬預測）已知數列滿足．若，則______；若，則______．
【答案】 2604 【解析】由取倒數得，即，
則當時，，
當時，上式也成立，于是得，
當時，，有，于是得；
當時，，即，所以.
故答案為：2604；
【變式6-4】．（2023·山東濟南·模擬預測）已知數列滿足，，則數列的通項公式為______.
【答案】
【解析】將已知遞推關系式變形為，令，采用倒數法可證得數列為等差數列，利用等差數列通項公式求得后，整理可得所求通項公式.
由得：，
設，則有，即，又，
數列是以，為公差的等差數列，，
，即，.
故答案為：.
核心考點題型七 取對數法
形如的遞推公式，則常常兩邊取對數轉化為等比數列求解．
【例題1】．（2023 安徽蚌埠三模）已知數列滿足，若，則的最大值為　　．
【解析】解：數列滿足，
．
，，變形為：，
．
數列是等比數列，首項為，公比為．
．
則．
，只考慮為偶數時，
時，．時，．
因此（4）取得最大值．最大值為．
故答案為：．
【例題2】．（2023 江蘇南京二模）已知數列，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，進而可求得的值.
【詳解】
由可得，
，根據遞推公式可得出，，，
進而可知，對任意的，，
在等式兩邊取對數可得，
令，則，可得，則，
所以，數列是等比數列，且首項為，公比為，
，
即.
故選：B.
【變式7-1】．（2023·陜西榆林聯考模擬預測）已知正項數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設為數列的前n項和，且．求數列的通項公式．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）利用換底公式和累乘法求出數列的通項公式；
（2）由作差法求出數列的通項公式．
【詳解】（1）已知（且），
設，則，
所以，
當時，．
即，所以，
當時，符合上式，
所以；
（2），
當時，，
當時，，
則．
【變式7-2】．（2023·山西運城高三模擬檢測）已知數列滿足，則________
【答案】
【解析】
等價變形，換元設，得
，兩邊取對數，得是首項，公比的等比數列，求出可解 .
【詳解】
，，
，設，則，，兩邊取對數，
， ，所以是首項，公比的等比數列， ， ，
故答案為：
【變式7-3】．（2023·四川成都高三模擬）已知為正項數列的前n項的乘積，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求證：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由，兩式相除結合對數運算得，代入數值可得數列是常數列，即可得通項公式；
（2）不等式由裂項相消法求和放縮即可證.
【詳解】（1），
所以，所以，
所以，即，
所以，
當時，，解得，
所以，所以數列是常數列，
所以，所以，
所以．
（2）證明：因為，
所以
【變式7-4】．（2023·河南洛陽高三模擬）已知數列滿足，.
(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)若，數列的前項和，求證：.
【解析】（1）因為，所以，
則，
又，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，
所以；
（2）由，得，
則，
所以，
所以，
所以
，
因為，所以，
所以.
核心考點題型八 同除以指數
形如 ，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉化為關于的等差數列；當時，兩邊人可以同除以得，轉化為．
【例題1】．（2023·寧夏銀川一中高三模擬）已知數列滿足，則數列的通項公式為 .
【答案】
【解析】解法一：設，整理得，可得，
即，且，
則數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時除以得：，
整理得，且，
則數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，
當時，則
，
故，
顯然當時，符合上式，故.
故答案為：.
【例題2】．（2023·河北保定高三模擬）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構造一個等差數列，由等差數列的通項公式可得結論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
【變式8-1】（2023·河北唐山·二模）記是公差不為0的等差數列的前項和，已知，數列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)證明數列是等比數列，并求的通項公式；
(3)求證：對任意的，.
【解析】(1)解：設等差數列的公差為，
因為，
則，
解得或（舍去），所以；
(2)證明：因為，
所以，即，
所以，
因為，所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，所以；
(3)證明：由（2）得，
故，
所以.
【變式8-2】．（2023·重慶八中高三模擬）已知數列中，，則數列的通項公式為
【解析】解：由，
得：，∴，
即數列是首項為1，公差為2的等差數列，
∴，得．
【變式8-3】（2023·四川成都模擬預測）已知數列滿足，.
(1)求證：數列是等比數列；(2)求數列的前n項和.
【解析】(1)因為，所以，
由于，
因此，
所以，即.
于是，
所以數列是首項為1，公比為2的等比數列.
(2)由（1）知，故，
所以，
，
兩式相減，得，
所以.
核心考點題型九 不動點法求通項
（1）定義：方程的根稱為函數的不動點．
利用函數的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種求數列通項的方法稱為不動點法．
（2）在數列中，已知，且時，（是常數），
①當時，數列為等差數列；
②當時，數列為常數數列；
③當時，數列為等比數列；
④當時，稱是數列的一階特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，這時數列的通項公式為：；
（3）形如，，（是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．
（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數）；
（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數）．
(其中、可利用，求得)
【例題1】（2023·四川成都高三專題檢測）若（，且）則數列的通項公式為 ．
【答案】
【解析】根據迭代數列，構造函數，易知有唯一的不動點，
根據定理3可知，，，，
則，即數列是以首項，公差為的等差數列．
則對應的通項公式為，解得，
又也滿足上式．
∴的通項公式為．
【例題2】（2023·云南昆明高三專題檢測）已知數列滿足性質：對于且求的通項公式.
【答案】
【解析】依定理作特征方程變形得其根為
故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有
，
∴
∴，即
【例題3】（2023·全國·陜西寶雞高三專題檢測）已知數列滿足，．求數列的通項公式．
【答案】
【解析】依題，記，令，求出不動點或3
所以，，∴，
又，所以，……，，，
∴．
又，令，則數列是首項為，公比為的等比數列．
∴．由，得．
∴．
【變式9-1】．（2023·山東青島高三專題檢測）已知，，求的通項公式．
【答案】．
【分析】先將條件進行變形，化簡為，進而變形為，然后通過等比數列的概念求得答案．
【詳解】由題意，
，
所以，則，而，
故是以為首項，3為公比的等比數列．
于是．
【變式9-2】（2022·四川廣元高三專題檢測）已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式．
【答案】
【解析】令．先求出數列的不動點，解得．
將不動點代入遞推公式，得，
整理得，，
∴．
令，則，．
∴數列是以為首項，以1為公差的等差數列．
∴的通項公式為．
將代入，得，∴．
【變式9-3】．（2023·江蘇連云港高三專題檢測）已知，，則的通項公式為______．
【答案】
【分析】根據遞推公式構造得到數列是等比數列，根據等比數列求通項公式.
【詳解】，①．②
由得．
又因為，所以是公比為，首項為的等比數列，從而，即．
故答案為：
核心考點題型十 周期數列
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）已知數列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由得
，
所以數列的周期為3，所以．
故選：B
【例題2】（2023·山西太原一中校考模擬預測）已知數列滿足，，記數列的前項和為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，故A錯誤；
，，
∴數列是以3為周期的周期數列，∴，故B錯誤；
∵，，
∴，故C正確；
，故D錯誤．
故選：C．
【變式10-1】．（2023·云南曲靖一中校考模擬預測）已知數列滿足：，，，，則（ ）.
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】 即
又 是以為周期的周期數列.
故選：C
【變式10-2】．（2023·天津南開中學校考模擬）已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，，，，，
數列是以為周期的周期數列．
又， ．
故選：B．
【變式10-3】．（2023秋·河南洛陽高三校考期末）已知數列滿足且，為數列的前n項和，則=________．
【答案】2026
【分析】根據遞推公式推出數列是以3為周期的數列，求出和，則，代入相應值計算即可．
【詳解】由得，則，
則，所以數列是以3為周期的數列，
在中，令，得，得，得，
在中，令，得，得，得，
所以+
.
故答案為：
核心考點題型十一 等和數列
【例題1】．（2023·河北石家莊二模）已知為數列的前項和，，，則（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解析】當時， ，
當時，由得，
兩式相減可得 ，即，
所以，可得，所以.
故選：C.
【例題2】．（2023·山東煙臺高三模擬）設數列的前n項和為，，且，若，則n的最大值為（ ）
A．50 B．51 C．52 D．53
【答案】B
【解析】已知式變形后得出是以－1為公比的等比數列，從而可求出通項公式，然后由分組求和法求得，結合函數單調性可得結論．
∵，∴，
∵是以－1為公比的等比數列，∴，
,
∴，
當n為偶數時，無解，當n為奇數時，，
∴，又，∴，即，
即，在上是增函數，又n為奇數，，，
故n的最大值為51.
故選：B.
【例題3】．（2023·陜西榆林一中校考一模）數列滿足，則___________.
【答案】
【分析】根據題意得利用的值，結合等差數列求和公式求解.
【詳解】由題可得
因為
，
又因為，
故答案為：.
【變式11-1】．（2023·山西運城高三模擬）已知數列中，，，，則（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
【解析】根據遞推關系可得數列是以3為周期的數列，即可求出.
因為，，，所以，
則，，，…，
所以數列是以3為周期的數列，
則.
故選：D.
【變式11-2】．（2023·云南曲靖高三模擬）數列滿足，，且其前項和為.若，則正整數（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【解析】由得，
∴為等比數列，∴，
∴，，
∴，
①為奇數時，，；
②為偶數時，，，
∵，只能為奇數，∴為偶數時，無解，
綜上所述，.
故選：B.
【變式11-3】．（2023 河南開封高三模擬）若數列滿足為常數），則稱數列為等比和數列，稱為公比和，已知數列是以3為公比和的等比和數列，其中，，則　　．
【解析】解：由，，
，即，
，，，即，
，，，．
，
由此可知．
故答案為：．
【變式11-4】．（2023 云南昆明高三模擬）若數列滿足，則　　．
【解析】解：，
則
．
故答案為：．
核心考點題型十二 等積數列
【例題1】．（2023秋·福建·高三統考開學考試）已知數列滿足，,則的前項積的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【解析】先通過遞推關系推出數列的周期為，然后個數為一組，分別計算的表達式后進行研究.
由可知，，，亦可得：，兩式相除得：，即，所以數列是以為周期的周期數列，由得：.
記數列的前項積為，結合數列的周期性，當，則，記，為了讓越大，顯然需考慮為偶數，令，結合指數函數的單調性，則，即；類似的，.綜上所述，的前項積的最大值為.
故選：C.
【變式12-1】．（2023·河北保定高三模擬）已知數列滿足，若的前n項積的最大值為3，則的取值范圍為（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根據給定遞推關系，探討數列的周期性，再討論計算作答.
【詳解】數列中，，，則有，因此，，，
因數列的前n項積的最大值為3，則當，的前n項積，
當，的前n項積，
當，的前n項積，解得，
當，的前n項積，
當，的前n項積，
當，的前n項積，解得，
顯然，綜上得或，
所以的取值范圍為.
故選：A
核心考點題型十三 前n項積型
【例題1】．（2023·湖南長沙高三模擬）記為數列的前項和，為數列的前項積，已知，則的通項公式為______.
【答案】
【解析】由題意可得，利用及等差數列的定義求出的通項公式，進而可得，再利用當時求解即可.
由已知可得，且，，
當時，由得,
由于為數列的前項積，所以，，
所以，
又因為，所以，即，其中，
所以數列是以為首項，以為公差等差數列，
所以，，
當時，，
當時，，
顯然對于不成立，
所以，
故答案為：
【例題2】．（2023·江蘇無錫高三模擬）設為數列的前n項積．已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【解析】（1）依題意，是以1為首項，2為公差的等差數列，則，
即，當時，有，兩式相除得，，
顯然，即，因此當時，，即，
所以數列的通項公式.
（2）設的前項和為，由（1）得，，于是，
因此，
則，
所以數列前項和為.
【變式13-1】．（2023·吉林長春模擬預測）已知數列的前項的積
(1)求數列的通項公式；(2)數列滿足，求.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）當時，，即可求出答案；
（2），由此可求得答案.
【詳解】（1），
當時，.
當時，，滿足上式，
.
（2）
【變式13-2】．（2023·湖北武漢第一中學校考）已知數列的前n項之積為，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)求的最大值．
【解析】（1）∵①，∴②，
由①②可得，由①也滿足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
（2）由（1）可知，則，
記，
∴，
∴，
∴，即單調遞減，
∴的最大值為．
【變式13-3】．（2023·遼寧撫順高三模擬）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）求數列的通項公式；（2）求的通項公式．
【解析】解析：（1）將代入，得，
整理得．
當時，得，所以數列是以為首項，為公差等差數列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
當時，；
當時，
所以．
核心考點題型十四 雙數列問題
【例題1】．（2023·河北石家莊三模）已知數列和滿足．
(1)證明：是等比數列，是等差數列；
(2)求的通項公式以及的前項和．
【解析】(1)證明：因為，
所以，即，
所以是公比為的等比數列．
將方程左右兩邊分別相減，
得，化簡得，
所以是公差為2的等差數列．
(2)由（1）知，
，
上式兩邊相加并化簡，得，
所以．
【例題2】．（2023·江蘇徐州高三專題檢測）數列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數列; (2)求,的通項.
【解析】（1）證明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化為：，
，
為等比數列，首項為-14，公比為3.
（2）由（1）可得：，
化為：，
數列是等比數列，首項為16，公比為2.
，
可得：，
.
【變式14-1】．（2023·陜西榆林高三模擬預測）兩個數列 滿足，，，（其中），則的通項公式為___________.
【答案】
【解析】解：因為，，
所以，
所以，即，所以的特征方程為，解得特征根或，
所以可設數列的通項公式為，因為，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案為：
【變式14-2】．（2024·云南昆明高三模擬）已知數列和滿足，，，.則＝_______.
【答案】
【解析】，，且，，則，
由可得，代入可得，
，且，
所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，
在等式兩邊同時除以可得，
所以，數列為等差數列，且首項為，公差為，
所以，，，
則，
因此，.
故答案為：.
【變式14-3】．（2023·吉林長春·模擬預測）已知數列和滿足，，，，則______，______．
【答案】
【解析】由題設，，則，而，
所以是首項、公比均為2的等比數列，故，
，則，
令，則，
故，而，
所以是常數列，且，則.
故答案為：，.重難點2-6 數列的通項公式求法（十四類核心考點題型）
（原卷版）
【考情透析】
數列的通項公式的求解是高考熱點題型，求解方法豐富多彩，是考查學生數學素養的重要載體。
【題型歸納】
核心考點題型一 觀察法
已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項．
【例題1】．（2023秋·新疆喀什·高三統考期末）若數列的前6項為，則數列的通項公式可以為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·山東煙臺校聯考模擬預測）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題，其各項規律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數列為，則（ ）
A．650 B．1050 C．2550 D．5050
【變式1-1】．（2023·甘肅中學校張掖聯考二模）已知無窮數列滿足，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數列的形式）
【變式1-2】（2023·遼寧統考三模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第25項與第24項的差為（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【變式1-3】．（2023·四川成都模擬預測）將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數列為“梯形數”．根據圖形的構成，則數列的第項________．
【變式1-4】（2023·河南開封高三期末）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1，2；第二行得到數列；第三行得到數列，則第5行從左數起第6個數的值為________.用表示第行所有項的乘積，若數列滿足，則數列的通項公式為________.
核心考點題型二 由an與Sn的關系求通項
若已知數列的前n項和Sn與的關系，求數列的通項可用公式 構造兩式作差求解．用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）．
【例題1】．（2023·遼寧大連校考模擬預測）記為數列的前項和，已知，．
(1)求的通項公式；(2)證明：．
【例題2】．（2023·山西大同·三模）設正項數列的前n項和為，且，當時，．
(1)求數列的通項公式； (2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．
【例題3】．（2023·陜西統考模擬預測）已知數列滿足，等差數列的前n項和為，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【變式2-1】．（2023·陜西榆林校聯考模擬預測）已知數列的各項均不為0，其前n項和滿足，，且.
(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.
【變式2-2】．（2023·山東青島三模）已知為數列的前項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記的前項和為，證明：．
【變式2-3】．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）設是數列的前n項和，且，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C．數列為等差數列 D．－5050
【變式2-4】．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）數列的前項的和為，已知，，當時，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前項和
核心考點三 累加法求通項
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；
② 若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；
③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；
④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．
【例題1】．（2024·陜西安康中學校考模擬預測）在數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2】.（2024·福建泉州高三校聯考模擬）已知數列滿足，且，若，則正整數為（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【例題3】（2024·河南安陽聯考模擬）南宋數學家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，高階等差數中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.現有高階等差數列，其前7項分別為1，2，5，10，17，26，37，則該數列的第19項為（ ）
A．290 B．325 C．362 D．399
【變式3-1】．（2024·四川綿陽高三模擬）已知數列滿足，，則的通項為( )
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·上海普陀統考一模）若數列滿足，（，），則的最小值是 .
【變式3-3】（2024·云南曲靖統考一模）已知數列滿足，，且，若表示不超過的最大整數（例如，），則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】．（2023·山東煙臺模擬預測）已知數列滿足：，．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前n項和．
【變式3-5】．（2023·內蒙古赤峰·校聯考三模）設各項都為正數的數列的前n項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設函數，且，求數列的前n項和．
核心考點題型四 累乘法求通項
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
【例題1】（2023·山西太原模擬預測）已知數列滿足，，則（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【例題2】．（2023·陜西榆林一中校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，，且（且），若，則（ ）
A．46 B．49 C．52 D．55
【例題3】．（2024·江蘇鎮江大港中學考二模）已知數列滿足：.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【變式4-1】（2023·四川模擬預測）已知數列滿足，，則（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【變式4-2】（2023·甘肅天水一中模擬預測）若數列滿足，，則滿足不等式的最大正整數為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【變式4-3】（2023·重慶八中高三模擬預測）已知正項數列的前n項積為，且，則使得的最小正整數n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式4-4】（2024·山西運城高三模擬預測）設數列的前項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)對于任意的正整數，，求數列的前項和．
核心考點題型五 構造法求通項
（一）型
設，展開移項整理得，與題設比較系數（待定系數法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數列．
【例題1】．（2023·江西南昌高三模擬）若數列滿足，則數列的通項公式為________．
【例題2】（2023·江蘇徐州高三模擬）（多選題）已知數列滿足，，則下列結論中錯誤的有（ ）
A．為等比數列 B．的通項公式為
C．為遞增數列 D．的前項和為
【例題3】．（2023·河南洛陽高三模擬）設數列滿足，.
（1）設，求證：是等比數列；
（2）設的前n項和為，求滿足的n的最大值.
【變式5-1】．（20244·河北石家莊高三模擬）已知數列滿足，，則滿足不等式的（為正整數）的值為（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式5-2】（2024·云南昆明高三模擬預測）若數列和滿足，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】．（2024·甘肅蘭州高三模擬預測）在數列中，，．
(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．
（二）型
【例題1】．（2024·山西大同高三模擬）已知數列滿足，則數列的通項公式為_____________.
【例題2】（2024·銀川一中高三專題模擬）若是數列的前n項和，已知，,且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·山西太原高三統考期中）（多選）已知數列中，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是遞增數列 C． D．
【變式5-5】．（2023·陜西寶雞高三模擬）已知在數列中，，，則______．
【變式5-6】（2023·湖北模擬預測）已知數列的前項和為
（1）試求數列的通項公式；（2）求.
（三）型
【例題1】（2023·山西模擬預測）（多選）已知數列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·云南曲靖一中高三專題模擬）已知數列是首項為.
(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.
【變式5-7】．（2023·江西婺源高三專題模擬）已知：，時，，求的通項公式．
【變式5-8】．（2024·江蘇鎮江高三專題檢測）已知數列滿足，
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前項和
（四）型
【例題1】．（2023·山西太原高三模擬）已知數列滿足，，，則=
【例題2】（2023·湖北高三模擬預測）已知數列滿足：，設，．則__________．
【例題3】．（2023·云南昆明高三模擬）已知數列滿足，求數列的通項公式．
【變式5-9】（2023·湖南長沙高三模擬）數列滿足，且，求通項.
【變式5-10】（2023·江蘇·統考三模）已知數列滿足，，．
(1)證明：是等比數列；
(2)證明：存在兩個等比數列，，使得成立．
（五）型
【例題1】（2023·廣東茂名高三校考模擬）已知，，（，），為其前項和，則（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·山西太原高三模擬）(1)已知數列，其中，，且當時，，求通項公式；
(2)數列中，，，，求．
【變式5-11】．（2023·福建福州·統考模擬預測）已知數列滿足，.
(1)若，求數列的通項公式；
(2)求使取得最小值時的值.
【變式5-12】．（2023·甘肅白銀統考模擬預測）已知是數列的前項和，，，，求數列的通項公式___________.
核心考點題型六 取倒數法
對于，取倒數得．
當時，數列是等差數列；當時，令，則，可用待定系數法求解．
【例題1】（2023·四川巴中高三模擬預測）已知數列的首項，且各項滿足公式，則數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·四川綿陽高三質檢）已知數列中，，，則數列的前10項和（ ）
A． B． C． D．2
【例題3】．（2023春·新疆烏魯木齊高三校考）已知數列中，，．則數列的通項
【變式6-1】（2023·河南鄭州統考模擬預測）已知數列各項均為正數，，且有，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】．（2023·浙江金華統考模擬預測）已知數列中，，.
(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列的前n項和.
【變式6-2】（2023·江蘇鎮江市第二高級中學校考模擬預測）已知數列滿足，則下列結論正確的有（　　）
A．為等比數列 B．的通項公式為
C．為遞增數列 D．的前n項和
【變式6-3】．（2023·山東濟南·模擬預測）已知數列滿足．若，則______；若，則______．
【變式6-4】．（2023·山東濟南·模擬預測）已知數列滿足，，則數列的通項公式為______.
核心考點題型七 取對數法
形如的遞推公式，則常常兩邊取對數轉化為等比數列求解．
【例題1】．（2023 安徽蚌埠三模）已知數列滿足，若，則的最大值為　　．
【例題2】．（2023 江蘇南京二模）已知數列，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】．（2023·陜西榆林聯考模擬預測）已知正項數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設為數列的前n項和，且．求數列的通項公式．
【變式7-2】．（2023·山西運城高三模擬檢測）已知數列滿足，則________
【變式7-3】．（2023·四川成都高三模擬）已知為正項數列的前n項的乘積，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求證：．
【變式7-4】．（2023·河南洛陽高三模擬）已知數列滿足，.
(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)若，數列的前項和，求證：.
核心考點題型八 同除以指數
形如 ，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉化為關于的等差數列；當時，兩邊人可以同除以得，轉化為．
【例題1】．（2023·寧夏銀川一中高三模擬）已知數列滿足，則數列的通項公式為 .
【例題2】．（2023·河北保定高三模擬）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.
【變式8-1】（2023·河北唐山·二模）記是公差不為0的等差數列的前項和，已知，數列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)證明數列是等比數列，并求的通項公式；
(3)求證：對任意的，.
【變式8-2】．（2023·重慶八中高三模擬）已知數列中，，則數列的通項公式為
【變式8-3】（2023·四川成都模擬預測）已知數列滿足，.
(1)求證：數列是等比數列；(2)求數列的前n項和.
核心考點題型九 不動點法求通項
（1）定義：方程的根稱為函數的不動點．
利用函數的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種求數列通項的方法稱為不動點法．
（2）在數列中，已知，且時，（是常數），
①當時，數列為等差數列；
②當時，數列為常數數列；
③當時，數列為等比數列；
④當時，稱是數列的一階特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，這時數列的通項公式為：；
（3）形如，，（是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．
（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數）；
（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數）．
(其中、可利用，求得)
【例題1】（2023·四川成都高三專題檢測）若（，且）則數列的通項公式為 ．
【例題2】（2023·云南昆明高三專題檢測）已知數列滿足性質：對于且求的通項公式.
【例題3】（2023·全國·陜西寶雞高三專題檢測）已知數列滿足，．求數列的通項公式．
【變式9-1】．（2023·山東青島高三專題檢測）已知，，求的通項公式．
【變式9-2】（2022·四川廣元高三專題檢測）已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式．
【變式9-3】．（2023·江蘇連云港高三專題檢測）已知，，則的通項公式為______．
核心考點題型十 周期數列
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）已知數列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．2
【例題2】（2023·山西太原一中校考模擬預測）已知數列滿足，，記數列的前項和為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式10-1】．（2023·云南曲靖一中校考模擬預測）已知數列滿足：，，，，則（ ）.
A． B． C．1 D．2
【變式10-2】．（2023·天津南開中學校考模擬）已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式10-3】．（2023秋·河南洛陽高三校考期末）已知數列滿足且，為數列的前n項和，則=________．
核心考點題型十一 等和數列
【例題1】．（2023·河北石家莊二模）已知為數列的前項和，，，則（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【例題2】．（2023·山東煙臺高三模擬）設數列的前n項和為，，且，若，則n的最大值為（ ）
A．50 B．51 C．52 D．53
【例題3】．（2023·陜西榆林一中校考一模）數列滿足，則___________.
【變式11-1】．（2023·山西運城高三模擬）已知數列中，，，，則（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【變式11-2】．（2023·云南曲靖高三模擬）數列滿足，，且其前項和為.若，則正整數（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【變式11-3】．（2023 河南開封高三模擬）若數列滿足為常數），則稱數列為等比和數列，稱為公比和，已知數列是以3為公比和的等比和數列，其中，，則　　．
【變式11-4】．（2023 云南昆明高三模擬）若數列滿足，則　　．
核心考點題型十二 等積數列
【例題1】．（2023秋·福建·高三統考開學考試）已知數列滿足，,則的前項積的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．4
【變式12-1】．（2023·河北保定高三模擬）已知數列滿足，若的前n項積的最大值為3，則的取值范圍為（ ）
A． B． C．D．
核心考點題型十三 前n項積型
【例題1】．（2023·湖南長沙高三模擬）記為數列的前項和，為數列的前項積，已知，則的通項公式為______.
【例題2】．（2023·江蘇無錫高三模擬）設為數列的前n項積．已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【變式13-1】．（2023·吉林長春模擬預測）已知數列的前項的積
(1)求數列的通項公式；(2)數列滿足，求.
【變式13-2】．（2023·湖北武漢第一中學校考）已知數列的前n項之積為，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)求的最大值．
【變式13-3】．（2023·遼寧撫順高三模擬）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）求數列的通項公式；（2）求的通項公式．
核心考點題型十四 雙數列問題
【例題1】．（2023·河北石家莊三模）已知數列和滿足．
(1)證明：是等比數列，是等差數列；
(2)求的通項公式以及的前項和．
【例題2】．（2023·江蘇徐州高三專題檢測）數列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數列; (2)求,的通項.
【變式14-1】．（2023·陜西榆林高三模擬預測）兩個數列 滿足，，，（其中），則的通項公式為___________.
【變式14-2】．（2024·云南昆明高三模擬）已知數列和滿足，，，.則＝_______.
【變式14-3】．（2023·吉林長春·模擬預測）已知數列和滿足，，，，則______，______．

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