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素養提升3-4 衍生新數列 （解析版）
【考情分析】
衍生數列是指由已知數列通過插項、去項得到新數列，或由已知的兩個數列的公共項得到新數列，解決此類問題要弄清楚衍生數列與已知數列的關系，確定衍生數列的特征，以此來解決問題。
【考題歸類】
核心考點題型一 數列中的公共項問題
【例題1】（2023秋·四川成都統考三模）已知數列的前項和為，滿足，等差數列中.
(1)求和的通項公式；
(2)數列與的共同項由小到大排列組成新數列，求數列的前20的積.
【答案】(1)，；(2).
【詳解】（1），，當時，，兩式相減得：，
即，而，解得，因此數列是首項為3，公比為3的等比數列，，
在等差數列中，由，得，解得，
則公差，，
所以和的通項公式分別為，.
（2）令數列的第m項與數列的第k項相同，即，
于是，
顯然是4的正整數倍，要成立，
當且僅當為正偶數，因此數列與的共同項為，即，
所以.
【例題2】（2023陜西漢中高三期末）數列中，已知，數列{bn}滿足，點在直線上.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列中滿足：①；②存在使的項組成新數列{cn}，求數列{cn}所有項的和.
【答案】(1)， (2)341
【解析】(1) 由與的關系式可得通項公式，再由點與直線的關系可得的通項公式；
(2) 找出滿足條件的共同項再求和即可.
(1)
，，，
①，，，滿足①，
所以是以1為首項2為公比的等比數列，
所以.
因為點在直線上，
所以，，是首項為1公差為3的等差數列，所以.
(2)
且滿足的中項一定是除3余1的數，即形如的數，
同時滿足，所以，，，，
數列{cn}所有項的和為：.
【變式1-1】（2023·江蘇無錫高三模擬）已知等差數列中，，首項，其前四項中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數列的前三項.
(1)求的通項公式；
(2)設中不包含的項按從小到大的順序構成新數列，記的前n項和為，求.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）根據題意求出，從而求出通項公式；（2）先求出的前25項和，再減去前25項中含有數列中的項的和，求出答案.
(1)等差數列中，，，其前四項，，，中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數列的前三項.
根據題意，當刪去數列中第三項時，
滿足，解得；
刪去時，滿足，此方程無解，不滿足題意，同理可證，刪除與時，均不滿足題意；
故；
所以，
(2)已知等差數列中，，
數列中的項為：4，8，16，32，64，128，256，…，
所以.
故數列的前25項和為，
數列的前25項中含有數列中的項的和為，
所以.
題型二 數列的并項問題
【例題1】（2023秋·湖南長沙高三模擬）已知等差數列和等比數列滿足
（1）求和的通項公式；
（2）數列和中的所有項分別構成集合 ，將集合中的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數列，求數列的前50項和.
【答案】．（1），；（2）4081.
【分析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由等差數列和等比數列的通項公式，解方程可得公差和公比，再求出的通項公式；
（2）的前50項中含有的前7項，結合等差數列和等比數列的求和公式，再求出．
【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
因為
所以，解得，，
（2）因為，，，
所以的前50項中含有的前7項且含有的前43項
【例題2】（2023秋·云南大理高三模擬）已知數列的前n項和為，且滿足，，.
（1）求的通項公式；
（2）設數列滿足，，，按照如下規律構造新數列：，求的前2n項和.
【答案】（1），；（2）數列的前2n項和為.
【分析】（1）由可得可得答案；
（2）由得，兩式相除可得數列的偶數項構成等比數列，再由（1）可得數列的前2n項的和.
【詳解】（1）由，，
得，所以.
因為，所以，所以，.
又當時，，適合上式.
所以，.
（2）因為，，所以，
又，所以.
所以數列的偶數項構成以為首項 2為公比的等比數列.
故數列的前2n項的和，
所以數列的前2n項和為.
【變式2-1】．（2023秋·山西大同高三模擬）已知數列的前項和為，，當時，.
（1）求證：當，為定值；
（2）把數列和數列中的所有項從小到大排列，組成新數列，求數列的前項和.
【答案】（1）證明見解析；（2）4594.
【分析】（1）由可求得的值，令由可得出，兩式作差可得出，可得出數列是以為首項，以為公比的等比數列，進而可求得數列的通項公式；
（2）確定數列所包含數列中的項，利用分組求和可求得的值.
【詳解】解：（1）當時，，
即，得，
當時，因為，所以，
兩式相減得，所以，
，所以，當時，.
所以；
（2）數列前項為、、、、、、，
數列為、、、、、，
所以數列前項含有數列的項為、、、、、，共六項，
所以
.
【變式2-2】．（2023秋·遼寧大連高三模擬）在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，補充在下列問題中的橫線上，并解答．
已知等差數列的前n項和為，______，數列是公比為2的等比數列，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列，的所有項按照“當n為奇數時，放在前面；當n為偶數時，放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數列；，，，，，，，，…，求數列的前項和．
【答案】．(1)， (2)
【解析】（1）根據條件，得出有關數列的方程組通過解方程得到數列的通項，進而得出的通項；
（2）通過“分組求和”即可求得．
(1)設等差數列的公差為d，
選擇①，，可知，所以．
又，
所以數列的公差，所以；
選擇②，，可知，
，
則
所以；
選擇③，，可知，
則
所以．
又因為，所以數列的通項公式為．
(2)由題意
.
核心考點題型三 數列的定項問題
【例題1】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）已知數列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數列中，，且，成等差數列．
(1)求數列和的通項公式；
(2)記為區間中的整數個數，求數列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根據，，得到為等差數列，根據通項公式和求和公式基本量計算出首項和公差，得到的通項公式，再利用等比數列通項公式基本量計算出和公比，求出的通項公式；
（2）在第一問的基礎上得到，分組求和，結合等差數列和等比數列求和公式求出答案.
【詳解】（1），，，
即，，，
故為等差數列，設公差為，
故，，
解得：，，
所以，
設等比數列的公比為，，
因為，成等差數列，所以，
即，與聯立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由題意得：為中的整數個數，
故，
所以
.
【例題2】（2023秋·重慶八中一模）已知等比數列的前n項和為（b為常數）．
(1)求b的值和數列的通項公式；
(2)記為在區間中的項的個數，求數列的前n項和．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）依題意等比數列的公比不為1，再根據等比數列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；
【詳解】（1）解：由題設，顯然等比數列的公比不為1，
若的首項、公比分別為、，則，
∴且，所以，
故的通項公式為．
當時，；
（2）解：令，，解得，所以
數列在中的項的個數為，則，所以，
∵，①
∵②
兩式相減得∴．
∴
【變式3-1】（2023秋·湖北武漢一模）已知數列是等差數列，，且，，成等比數列．給定，記集合的元素個數為．
(1)求，的值；
(2)求最小自然數n的值，使得．
【答案】(1)，；；(2)11
【分析】（1）利用等比數列的性質求得公差，得通項公式，寫出時的集合可得元素個數，即；
（2）由（1）可得，然后分組求和法求得和，用估值法得時和小于2022，時和大于2022，由數列的單調性得結論．
【詳解】（1）設數列的公差為，由，，成等比數列，得，
，解得，所以，
時，集合中元素個數為，
時，集合中元素個數為；
（2）由（1）知，
，
時，=2001<2022，時，=4039>2022，
記，顯然數列是遞增數列，
所以所求的最小值是11.
核心考點題型四 數列的插項問題
（一）插入新數列構成等差
【例題1】（2023秋·江蘇南通高三校聯考）已知數列的前項和為，且滿足：
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在三項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）由①
得時②
①-②得，①中令得，
是以為首項，為公比的等比數列，，
（2）
假設存在這樣的三項成等比數列，
為遞增數列，不妨設，
則
則，
成等差數列，
，，
由，得，所以，與題設矛盾
不存在這樣的三項（其中成等差數列）成等比數列.
【例題2】（2023·湖北十堰·三模）已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入個數，使這個數構成等差數列，記這個等差數列的公差為，求數列的前項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因為，①
當時，
當時，，②
①②得.
所以.
又因為當時，上式也成立，所以的通項公式為.
(2)解：由題可知，得，
則，③
，④
③④得
，
解得.
【變式4-1】（2023秋·陜西漢中高三模擬）已知正項等比數列和其前n項和滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入m個數，使得這個數依次構成一個等差數列，設此等差數列的公差為，求滿足的正整數m的最小值.
【答案】(1) (2)6
【解析】（1）依題意，設等比數列的公比為，則，，
因為，所以，解得或（舍去），
因為，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由題意可得，，
則，
故數列單調遞增，不難發現，
故滿足題意的m的最小值為6.
【變式4-2】（2023秋·山東青島高三模擬）已知等比數列的前n項和為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍；
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）設等比數列的公比為q，
當時，有，則①，
當時，，兩式相減可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比數列的通項公式為；
（2）由已知在與之間插入n個數，組成以為首項的等差數列，設公差為，
所以
則，
設，則是遞增數列，
當n為偶數時，恒成立，即，所以；
當n為奇函數時，恒成立，即，所以；
綜上所述，的取值范圍是．
【變式4-3】（2023·安徽合肥高三模擬）數列的前n項和為，且.
(1)求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)在和之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的最大項.
【答案】(1)證明見解析，（）(2)
(1)因為，所以，
即，即.
設，則.
因為，則，所以，
所以是首項和公比均為﹣1為等比數列，即數列是首項和公比均為﹣1為等比數列，
所以，所以，
即數列的通項公式為（）.
(2)依題意，因為（），
所以，.
所以當n為奇數時，，，
所以數列的所有奇數項依次構成一個遞減數列（即），
因此，數列的所有奇數項中的最大項為；
當n為偶數時，，，
所以數列的所有偶數項依次構成一個遞減數列（即），
因此，數列的所有偶數項中的最大項為；
因為，所以數列的最大項為.
（二）插入新數列構成等比
【例題1】（2023秋·四川成都高三模擬）已知數列的前項和滿足，，.
(1)求的通項公式；
(2)在與之間插入一項，使，，成等比數列，且公比為，求數列的前項和.
【答案】(1)(2)
(1)數列的前項和滿足：
則有：
可得：
又，
則有：
故是首項為1，公差為2的等差數列
則有：
即的通項公式為：
(2)因為，，成等比數列，且公比為，所以
因為，所以，即
因為，則有：
可得：
化簡可得：
所以數列的前項和：
【例題2】（2023秋·云南大理高三聯考）數列的前項和為且當時，成等差數列.
(1)計算，猜想數列的通項公式并加以證明；
(2)在和之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在3項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)，，證明見解析 (2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）由題意，，
在數列中，當時， 成等差數列，
∴，
即，即，即.
∴，
猜想.
下面我們證明.
∵，∴，
∵當時，，
∴對任意正整數，均有，
∴，
∴，
∴，
即數列的通項公式為：.
（2）由題意及（1）得，
在數列中，，
∴.
假設數列中存在3項（其中成等差數列）成等比數列，則，
即，化簡得，
∵成等差數列，∴，
∴，化簡得，
又，∴，即，
∴，∴，這與題設矛盾，所以假設不成立，
∴在數列中不存在3項（其中成等差數列）成等比數列.
【變式4-4】（2023秋·四川綿陽三模）已知數列的前項和為，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，，數列中第，，，…，…項構成新的數列，且數列為等比數列，求數列前項和.
【答案】(1)(2)
(1)∵，∴，∴.
∴，
∴當時，.
即.
又，∴，∴，∴.
(2)由（1）知數列中第，項為，，
即等比數列為首項為3，公比為3的等比數列，
∴，而，∴.
∴.
【變式4-5】(2023秋·山西運城高三模擬）已知等差數列{An}的首項A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項之間都插入兩個數，使它們和原數列的項一起構成一個新的等差數列{an}．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若，，…，，…是從{an}中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，令，求數列{bn}的前n項和Tn．
【答案】（1）＝2n＋2；（2）
【解析】(1)設數列{an}的公差為d，
由題意可知，＝A2＝4＋6＝10，
所以，
解得d＝2，
所以＝2n＋2；
(2)設等比數列，，…，，…的公比為q，
則q＝＝＝＝3，所以＝，
又＝，
所以，
，
因為，
所以4×31，
相減得：
（三）插入插入新數混合
【例題1】（2023秋·四川廣元一模）己知等差數列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前n項和為，求的值．
【答案】（1）；（2）=142
【解析】 (1)設的公差為d，由已知，．
解得，d＝2．所以；
(2)因為與之間插入個1，
所以在中對應的項數為
，
當k＝6時，，當k＝7時，，
所以，，且．
因此
.
【例題2】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾高三模擬預測）已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和中插入個相同的數，構成一個新數列：，，，，，，，，，，…，求的前項和.
【答案】(1)；(2).
(1)當時，，解得：；
當時，由得：，
兩式作比可得：，整理可得：，
數列是以為首項，為公差的等差數列，；
(2)設和插入的個數構成一組數，則前組共有個數，
令，又，解得：；
當時，，
的前項中包含前組數和第組數的前個，
.
【變式4-6】（2023秋·廣東東莞·高三期末）設等差數列的前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，求數列的前200項的和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）設等差數列的公差為，由求解；
（2）方法一：由題意得到，的各項為，再確定數列的項求解；方法二：由在數列中，前面（包括）共有項，令，確定數列的項求解.
(1)
解：設等差數列的公差為，
由題得，即，
整理得，解得. 所以.
(2)方法一：由題意可知，的各項為
即，
因為，
且，
所以，，，，，，會出現在數列的前200項中，
所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，
所以，
方法二：在數列中，前面（包括）共有項，
令，則，
所以，，，，，，會出現在數列的前200項中，
所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，
所以，
【變式4-7】（2023秋·山西太原高三期末）（多選）在數學課堂上，教師引導學生構造新數列：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.將數列1,2進行構造，第1次得到數列1,3,2；第2次得到數列1,4,3,5,2；…；第次得到數列1，，2；…記，數列的前項為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據數列的構造方法先寫出前面幾次數列的結果，尋找規律，再進行推理運算即可.
【詳解】由題意可知，第1次得到數列1,3,2，此時
第2次得到數列1,4,3,5,2，此時
第3次得到數列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此時
第4次得到數列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時
第次得到數列1，，2 此時
所以，故A項正確；
結合A項中列出的數列可得：
用等比數列求和可得
則
又
所以 ，故B項正確；
由B項分析可知
即，故C項錯誤.
，故D項正確
【變式4-8】（2023·內蒙古呼和浩特三模）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前項和為，滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
【答案】(1)，(2)11522
【解析】(1)由
得：∵
是首項，公差為2的等差數列 ∴
又當時，得
當，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，∴， ∴，
∴數列是首項為1，公比為3的等比數列，故；
(2)依題意知：新數列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數列中含有數列的前9項：，，……，，含有數列的前41項：，，，……，；
∴．
【變式4-9】（2023秋·銀川一中三模）已知等差數列的前n項和記為（），滿足，若，在數列的第n項與第項之間插入首項為1，公比為2的等比數列的前n項，形成新數列，記數列的前n項和為，求．
【答案】
【詳解】若，則，
根據題意數列為：
第一組為：1，；
第二組為：，，；
第三組為：，，，；
……
第組為：，，，，…，；
則前組一共有項，當時，項數為.
故相當于是前組的和再加上這五項，即：
設，則可看成是數列的前項和
所以
【變式4-10】（2024·貴州·模擬預測）已知數列的前項和為，且，數列為等差數列，，.
(1)求數列，的通項公式；
(2)數列是由數列的項刪去數列的項后按從小到大的順序排列構成的新數列，求數列的前50項和.
【答案】(1)，.(2)3066.
(1)因為①，
所以②，
由②①得，即，
當時，，
所以是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，
設數列的公差為d，，，
所以，所以，.
(2)因為，，
所以數列的前50項即為數列的前56項刪去數列中的前6項，
故所求數列的前50項和.
所以.
核心考點題型五 數列的減項問題
【例題1】（2023秋·河南洛陽模擬預測）已知是首項為1的等差數列，公差是首項為2的等比數列，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數列剩余的各項按原順序組成一個新的數列，求的前20項和．
①②．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）設的公差為的公比為，
因為，所以，
聯立消得，解得或與矛盾，
故，代回計算得，
所以
（2）若選①，則有，
所以剩余的項就是原數列的奇數項，
相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數列，
所以；
若選②，則有，
因為，
所以當時，對應的為整數，滿足，
當時，對應的不為整數，不滿足，
所以剩余的項就是原數列的奇數項，
相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數列，
所以；
【例題2】（2023.陜西寶雞高三第一次模擬）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.
【答案】（1）證明見解析，；（2）11202.
【解析】（1）證明：因為n，，成等差數列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又當時，，所以，所以，
故數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，即.
（2）根據（1）求解知，，，所以，
所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.
又因為，，，，，，，，
，，，
所以
.
【變式5-1】（2023秋.云南曲靖高三第一次模擬）已知是遞增的等差數列，，，，分別為等比數列的前三項.
（1）求數列和的通項公式；
（2）刪去數列中的第項（其中 ），將剩余的項按從小到大的順序排成新數列，求數列的前n項和.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）設數列的公差為，數列的公比為q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由題意可知新數列為：，，，，…，
則當n為偶數時
，
則當n為奇數時,
，
綜上：素養提升3-4 衍生新數列 （原卷版）
【考情分析】
衍生數列是指由已知數列通過插項、去項得到新數列，或由已知的兩個數列的公共項得到新數列，解決此類問題要弄清楚衍生數列與已知數列的關系，確定衍生數列的特征，以此來解決問題。
【考題歸類】
核心考點題型一 數列中的公共項問題
【例題1】（2023秋·四川成都統考三模）已知數列的前項和為，滿足，等差數列中.
(1)求和的通項公式；
(2)數列與的共同項由小到大排列組成新數列，求數列的前20的積.
【例題2】（2023陜西漢中高三期末）數列中，已知，數列{bn}滿足，點在直線上.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列中滿足：①；②存在使的項組成新數列{cn}，求數列{cn}所有項的和.
【變式1-1】（2023·江蘇無錫高三模擬）已知等差數列中，，首項，其前四項中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數列的前三項.
(1)求的通項公式；
(2)設中不包含的項按從小到大的順序構成新數列，記的前n項和為，求.
題型二 數列的并項問題
【例題1】（2023秋·湖南長沙高三模擬）已知等差數列和等比數列滿足
（1）求和的通項公式；
（2）數列和中的所有項分別構成集合 ，將集合中的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數列，求數列的前50項和.
【例題2】（2023秋·云南大理高三模擬）已知數列的前n項和為，且滿足，，.
（1）求的通項公式；
（2）設數列滿足，，，按照如下規律構造新數列：，求的前2n項和.
【變式2-1】．（2023秋·山西大同高三模擬）已知數列的前項和為，，當時，.
（1）求證：當，為定值；
（2）把數列和數列中的所有項從小到大排列，組成新數列，求數列的前項和.
【變式2-2】．（2023秋·遼寧大連高三模擬）在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，補充在下列問題中的橫線上，并解答．
已知等差數列的前n項和為，______，數列是公比為2的等比數列，且．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列，的所有項按照“當n為奇數時，放在前面；當n為偶數時，放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數列；，，，，，，，，…，求數列的前項和．
核心考點題型三 數列的定項問題
【例題1】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）已知數列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數列中，，且，成等差數列．
(1)求數列和的通項公式；
(2)記為區間中的整數個數，求數列的前n項和．
【例題2】（2023秋·重慶八中一模）已知等比數列的前n項和為（b為常數）．
(1)求b的值和數列的通項公式；
(2)記為在區間中的項的個數，求數列的前n項和．
【變式3-1】（2023秋·湖北武漢一模）已知數列是等差數列，，且，，成等比數列．給定，記集合的元素個數為．
(1)求，的值；
(2)求最小自然數n的值，使得．
核心考點題型四 數列的插項問題
（一）插入新數列構成等差
【例題1】（2023秋·江蘇南通高三校聯考）已知數列的前項和為，且滿足：
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在三項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.
【例題2】（2023·湖北十堰·三模）已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入個數，使這個數構成等差數列，記這個等差數列的公差為，求數列的前項和.
【變式4-1】（2023秋·陜西漢中高三模擬）已知正項等比數列和其前n項和滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入m個數，使得這個數依次構成一個等差數列，設此等差數列的公差為，求滿足的正整數m的最小值.
【變式4-2】（2023秋·山東青島高三模擬）已知等比數列的前n項和為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍；
【變式4-3】（2023·安徽合肥高三模擬）數列的前n項和為，且.
(1)求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)在和之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的最大項.
（二）插入新數列構成等比
【例題1】（2023秋·四川成都高三模擬）已知數列的前項和滿足，，.
(1)求的通項公式；
(2)在與之間插入一項，使，，成等比數列，且公比為，求數列的前項和.
【例題2】（2023秋·云南大理高三聯考）數列的前項和為且當時，成等差數列.
(1)計算，猜想數列的通項公式并加以證明；
(2)在和之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在3項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.
【變式4-4】（2023秋·四川綿陽三模）已知數列的前項和為，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，，數列中第，，，…，…項構成新的數列，且數列為等比數列，求數列前項和.
【變式4-5】(2023秋·山西運城高三模擬）已知等差數列{An}的首項A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項之間都插入兩個數，使它們和原數列的項一起構成一個新的等差數列{an}．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若，，…，，…是從{an}中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，令，求數列{bn}的前n項和Tn．
（三）插入插入新數混合
【例題1】（2023秋·四川廣元一模）己知等差數列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前n項和為，求的值．
【例題2】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾高三模擬預測）已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)在和中插入個相同的數，構成一個新數列：，，，，，，，，，，…，求的前項和.
【變式4-6】（2023秋·廣東東莞·高三期末）設等差數列的前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，求數列的前200項的和.
【變式4-7】（2023秋·山西太原高三期末）（多選）在數學課堂上，教師引導學生構造新數列：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列.將數列1,2進行構造，第1次得到數列1,3,2；第2次得到數列1,4,3,5,2；…；第次得到數列1，，2；…記，數列的前項為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-8】（2023·內蒙古呼和浩特三模）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前項和為，滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
【變式4-9】（2023秋·銀川一中三模）已知等差數列的前n項和記為（），滿足，若，在數列的第n項與第項之間插入首項為1，公比為2的等比數列的前n項，形成新數列，記數列的前n項和為，求．
【變式4-10】（2024·貴州·模擬預測）已知數列的前項和為，且，數列為等差數列，，.
(1)求數列，的通項公式；
(2)數列是由數列的項刪去數列的項后按從小到大的順序排列構成的新數列，求數列的前50項和.
核心考點題型五 數列的減項問題
【例題1】（2023秋·河南洛陽模擬預測）已知是首項為1的等差數列，公差是首項為2的等比數列，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數列剩余的各項按原順序組成一個新的數列，求的前20項和．
①②．
【例題2】（2023.陜西寶雞高三第一次模擬）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.
【變式5-1】（2023秋.云南曲靖高三第一次模擬）已知是遞增的等差數列，，，，分別為等比數列的前三項.
（1）求數列和的通項公式；
（2）刪去數列中的第項（其中 ），將剩余的項按從小到大的順序排成新數列，求數列的前n項和.

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