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素養提升點3-1 數列的放縮問題（解析版）
【考情透析】
數列放縮是高考重點考查的內容之一，數列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩定在中等偏難程度.此類問題往往從通項公式入手，若需要放縮也是考慮對通項公式進行變形；在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向可裂項相消的數列與等比數列進行靠攏．
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
（17）指數恒等式：
次方差公式
這樣的話，可得：，就放縮出一個等比數列.
（18）利用導數產生數列放縮：由不等式可得：.
核心考點題型一 先求和后放縮
【例題1】（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；(2)證明：．
【答案】 （1）； （2）證明略
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，∴,∴,
∴當時，，∴,
整理得：,即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
【例題2】．（2023·云南大理模擬預測）己知為等比數列的前n項和，若，，成等差數列，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前n項和為，證明：.
【解析】（1）設數列的公比為q，
由，，成等差數列可得，故，解得，
由可得，
解得，故，即數列的通項公式為.
（2）由（1）可得，
故.
當時，取得最大值，當時，
， 故.
【變式1-1】．（2023·四川成都第一中學高三檢測）在各項均為正數的數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前n項和為，證明：．
【答案】（1）. （2）證明略
【解析】（1）因為各項為正數，，
所以上式兩邊同時除以，得，
令，則，即，解得（負值舍去），
所以，
又，所以是以，的等比數列，故.
（2）由（1）得，
所以，
因為，則，所以.
【變式1-2】（2023·山東威海高三模擬預測）在各項均為正數的等比數列中，為其前n項和，，，，成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前n項和為，證明：．
【答案】（1）. （2）證明略
【解析】（1）設數列的公比為q，由題意知，
即，
因為，，所以，所以，所以．
（2）證明：由（1）得，所以，
所以，
所以．
顯然單調遞增，所以，
因為，所以，所以．
【變式1-3】．（2023·陜西榆林中學高三模擬檢測）已知數列的前項和為，若，
(1)求數列的通項公式；(2)證明：.
【答案】（1）. （2）證明略
【解析】（1）當時，
相減得
當時，符合上式所以.
當時，
當時，符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
【變式1-4】（2021·全國·高考真題（文））設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【解析】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
核心考點題型二 先放縮后裂項求和
【例題1】（2023.廣東省深圳高三大聯考）已知正項數列的前n項和為，且滿足.(1)證明：數列是等差數列；
(2)設數列的前n項和為，證明：
【答案】（1）證明略 （2）證明略
【詳解】（1）當時，由
，
所以數列是等差數列；
（2），由（1）可知數列是等差數列，且公差為，
所以，又因為數列是正項數列，
所以，即，
.
【例題2】．（2023·山西太原第一中學二模）已知為等差數列，前n項和為是首項為2的等比數列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；(2)求數列的前8項和；
(3)證明：．
【答案】（1）．．（2）． （3）證明略
【解析】(1)解：設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q．
由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．
由，可得①．由，得②，聯立①②，解得，由此可得．
所以，的通項公式為的通項公式為．
(2)解：設數列的前n項和為，由，得，所以
，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數列的前n項和為
當時，．
(3)解：由（1）得，所以：
當時，，不等式成立；
當時，，所以，不等式成立；
當時，，
所以，
，
所以，得證．
【例題3】．（2023·山東青島高三第一次模擬）已知函數．
(1)證明：對恒成立；
(2)是否存在，使得成立？請說明理由．
【答案】（1）證明略 （2）證明略
【解析】（1）證明：由，得，
令，得，
令，得，
，且當且僅當，
所以在上單調遞增，故，且當且僅當，
所以在上也單調遞增，故，且當且僅當，
所以在上仍單調遞增，故；
（2）對于右側：由（1）可知，當時，，即，
故，
所以
，
所以該側不等號始終成立；
對于左側：由（1）可知當時，．
設，，則．
在上有，所以在上單調遞增，故當時，．
此時，
令，
可知，
所以當時，
，
令，注意到，所以可得到一個充分條件，
即，
所以任取，則該側不等式成立，（表示整數部分），
因此，對于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
【例題4】．（2023·陜西榆林中學高三開學考試）已知數列滿足，（其中）
(1)判斷并證明數列的單調性；
(2)記數列的前n項和為，證明：．
【答案】（1）證明略 （2）證明略
【解析】（1）單調遞減，理由如下：．
∵，∴，∴數列單調遞減；
（2）∵，，，∴，又，則.
∵，，∴，則，
當，累加可得，則，
則，則，
∴
，則．
【變式2-1】．（2023江蘇無錫高三模擬預測）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.
(1)求的值：(2)求數列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數，有.
【答案】 （1）. （2）an=2n （3）證明略
【解析】(1)令，，則舍去，
所以.
(2)，
因為數列各項均為正數，舍去，
，當時，，
(3)令
，
所以
【變式2-2】．（2024·湖北宜昌·一模）已知數列的前n項和為，.
(1)證明：數列為等比數列，并求數列的前n項和為；
(2)設，證明：.
【答案】（1）證明略 （2）證明略
【解析】(1)當時，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數列為等比數列 則，所以
則
(2)
所以
【變式2-3】（2023·山西大同高三模擬預測）已知等差數列的首項為，且，數列滿足．
(1)求和；
(2)設，記，證明：當時，．
【答案】（1）． ．（2）證明略
【解析】(1)因為是等差數列，設其公差為d.
因為，所以．
因為，所以等差數列的公差，
所以．
因為，所以，所以．
當時，，
結合可知．
經檢驗：也適合上式. 所以．
(2)由（1）可知：．
所以要證明原不等式成立，只需證明：成立．
易得：，所以
當時，左邊，右邊，左邊=右邊．
當時，，此時．
所以
所以
于是，當時，成立．
綜上所述：當時，．
【變式2-4】．（2023·江西南昌高三模擬預測）設數列的前項和為，且，數列滿足，其中.
(1)證明為等差數列，求數列的通項公式；
(2)求使不等式對任意正整數都成立的最大實數的值；
(3)當時，求證：.
【答案】（1）； （2）的最大值為；（3）證明略
【解析】(1)當時，，所以，
當時，，即，則有，，
所以是以1為公差2為首項的等差數列，
是以，是以；
(2)，
則，
即為，
即為對于任意的正整數都成立，
令，
則，
故，
是以單調遞增，所以，
所以，所以的最大值為；
(3)證明：要證，
只需證，
因為，
所以
，
所以.
核心考點題型三 先放縮后等比求和
【例題1】．（2023·山西太原一中高三模擬）記為數列的前項和，已知，是公差為的等差數列.
(1)求的通項公式；(2)證明：.
【答案】（1）. （2）證明略
【解析】（1），，即；
當且時，，
即，，又，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，則.
（2）由（1）得：，
，，
.
【例題2】．（2023·云南曲靖一中高三模擬）已知數列的首項為1，為數列的前n項和，，其中．
(1)若成等差數列，求的通項公式；
(2)設數列滿足，且，數列的前n項和為，證明：．
【答案】（1）．（2）證明略
【解析】（1）由得，兩式相減得，
由可得，故對所有都成立，
所以數列是首項為1，公比為q的等比數列，從而，
由成等差數列可得，化簡得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由題意可知，
由可得，解得（舍去），
又，則，即，
則，
即．
【變式3-1】．（2024·四川成都高三模擬）已知數列的首項為1，為數列的前n項和，，其中．
(1)若成等差數列，求的通項公式；
(2)設數列滿足，且，數列的前n項和為，證明：．
【答案】（1）．（2）證明略
【解析】（1）由得，兩式相減得，
由可得，故對所有都成立，
所以數列是首項為1，公比為q的等比數列，從而，
由成等差數列可得，化簡得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由題意可知，
由可得，解得（舍去），
又，則，即，
則，
即．
【變式3-2】．（2023·河北保定高三一模）已知數列是等差數列，其前n項和為，，；數列的前n項和為，.
(1)求數列，的通項公式；(2)求數列的前n項和；
(3)求證：.
【答案】（1），（2）證明略
【解析】(1)數列是等差數列，設公差為d，
，化簡得，
解得，，∴，.
由已知，
當時，，解得，
當時，，
∴，，
即，∴數列構成首項為3，公比為3的等比數列，∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時，
，
根據“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴ ∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證， 即證，
即證，
當，顯然成立， ∴，
∴
核心考點題型四 先放縮后求積
【例題1】．（2023·江蘇無錫高三模擬預測）已知函數．
(1)求函數的最大值；
(2)若關于x的方程有實數根，求實數k的取值范圍；
(3)證明：．
【答案】（1）取最大值1．（2）證明略
【解析】（1），當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減
所以，即當時，取最大值1．
（2）依題意，，令，，
當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，
即，因此的值域是，方程有解，有，
所以實數k的取值范圍是.
（3）由（1）知，當且僅當時取等號，因此當時，，
即當時，，，
所以．
【例題2】（2023·河南安陽高三期末檢測）已知數列，滿足，，且，.
（1）求及；
（2）猜想，的通項公式，并證明你的結論；
（3）證明：對所有的，.
【答案】（1）；，；，；，；
【解析】（1）因為，，且，
令，得到，解得，；
令，得到，解得，；
令，得到，解得，；
（2）證明：猜測，，
用數學歸納法證明：①當時，由上可得結論成立.
②假設當時，結論成立，即，，
那么當時，，
，，
所以當時，結論也成立.
由①②，可知，對一切正整數都成立.
（3）由（2）知，，
于是所證明的不等式即為
（ⅰ）先證明：
因為，所以，從而，
即，所以
（ⅱ）再證明 ，令，
則，設函數，，
則，.
因為在區間上為增函數，
所以當時，，
從而在區間上為單調遞減函數，
因此對于一切都成立，
所以
綜上所述，對所有的，均有成立.
【變式4-1】．（2024·山東煙臺高三開學考試）已知函數．
(1)求函數的最大值；
(2)證明：
【答案】（1）取最大值1． （2）證明略
【解析】（1）因為定義域為，所以，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即當時，取最大值1．
（2）證明：由（1）知，當且僅當時取等號，因此當時，，
即當時，，
所以，
所以
．
【變式4-2】．（2023·陜西榆林高三模擬檢測）已知數列和滿足，且對任意都有，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)證明：．
【答案】（1）； （2）略
【解析】（1）對任意都有，，．，即．數列是首項為，公差為1的等差數列．，且，．．，，
（2），，．所證不等式，即．①先證右邊不等式：．令，則．當時，，所以函數在上單調遞減．當時，，即．分別取．得．即．也即．即．②再證左邊不等式：．令，則．當時，，所以函數在上單調遞增．當時，，即．分別取．得．即．也即．即．．
【變式4-3】．（2023·湖北武漢高三檢測）已知函數.
（1）判斷函數的單調性；
（2）已知數列，，求證：.
【答案】（1）在定義域上是減函數. （2）證明略
【解析】（1）的定義域為，.
設.
∵，∴當時，；當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴在處取得最大值.
又∵，∴對任意的，恒成立，即對任意的，都有
恒成立，故在定義域上是減函數.
（2）由是減函數，且可得，當時，，
∴，即，
兩邊同除以得，即，
從而，
所以. ①
下面證.
記，，
∴.
∵在上單調遞減，而，
∴當時，恒成立，
∴在上單調遞減，即，，
∴當時，.
∵，
∴當時，，即. ②
綜合①②可得，.
【變式4-4】．（2023·甘肅師大附屬中學高三模擬預測）已知數列，，為數列的前n項和，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知當時，不等式恒成立，證明：．
【答案】（1）． （2）證明略
【解析】（1），即，
當時，，
兩式相減，，
即，也即，
變形為，
所以
，經檢驗時也適合．
．
（2）證明：因為時，，
，所以，
令，則有．
，，
將兩邊同時取對數，
得到原不等式等價于證明：，
令，，
則，
所以在上單調遞減，
所以，
所以，
，
令，2，，然后累加得：
，
則，原不等式得證．
【變式4-5】．（2024·山西太原第一中學高三模擬預測）已知數列為數列的前n項和，且．
(1)求數列的通項公式； (2)求證：；
(3)證明：．
【答案】（1）. （2）證明略 （3）證明略
【解析】（1）
當時，
得：
，，即，
變形為，
，經檢驗時也適合．
.
（2）構造函數，，
在上遞減，
，
時．
∵，
∴令，則有
（3），，原不等式等價于證明：
，
令，，
則，
所以在上單調遞減，
所以，
所以，
令，然后累加得：
．原不等式得證．素養提升點3-1 數列的放縮問題（原卷版）
【考情透析】
數列放縮是高考重點考查的內容之一，數列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩定在中等偏難程度.此類問題往往從通項公式入手，若需要放縮也是考慮對通項公式進行變形；在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向可裂項相消的數列與等比數列進行靠攏．
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
（17）指數恒等式：
次方差公式
這樣的話，可得：，就放縮出一個等比數列.
（18）利用導數產生數列放縮：由不等式可得：.
核心考點題型一 先求和后放縮
【例題1】（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；(2)證明：．
【例題2】．（2023·云南大理模擬預測）己知為等比數列的前n項和，若，，成等差數列，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前n項和為，證明：.
【變式1-1】．（2023·四川成都第一中學高三檢測）在各項均為正數的數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前n項和為，證明：．
【變式1-2】（2023·山東威海高三模擬預測）在各項均為正數的等比數列中，為其前n項和，，，，成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前n項和為，證明：．
【變式1-3】．（2023·陜西榆林中學高三模擬檢測）已知數列的前項和為，若，
(1)求數列的通項公式；(2)證明：.
【變式1-4】（2021·全國·高考真題（文））設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
核心考點題型二 先放縮后裂項求和
【例題1】（2023.廣東省深圳高三大聯考）已知正項數列的前n項和為，且滿足.(1)證明：數列是等差數列；
(2)設數列的前n項和為，證明：
【例題2】．（2023·山西太原第一中學二模）已知為等差數列，前n項和為是首項為2的等比數列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；(2)求數列的前8項和；
(3)證明：．
【例題3】．（2023·山東青島高三第一次模擬）已知函數．
(1)證明：對恒成立；
(2)是否存在，使得成立？請說明理由．
【例題4】．（2023·陜西榆林中學高三開學考試）已知數列滿足，（其中）
(1)判斷并證明數列的單調性；
(2)記數列的前n項和為，證明：．
【變式2-1】．（2023江蘇無錫高三模擬預測）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.
(1)求的值：(2)求數列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數，有.
【變式2-2】．（2024·湖北宜昌·一模）已知數列的前n項和為，.
(1)證明：數列為等比數列，并求數列的前n項和為；
(2)設，證明：.
【變式2-3】（2023·山西大同高三模擬預測）已知等差數列的首項為，且，數列滿足．
(1)求和；
(2)設，記，證明：當時，．
【變式2-4】．（2023·江西南昌高三模擬預測）設數列的前項和為，且，數列滿足，其中.
(1)證明為等差數列，求數列的通項公式；
(2)求使不等式對任意正整數都成立的最大實數的值；
(3)當時，求證：.
核心考點題型三 先放縮后等比求和
【例題1】．（2023·山西太原一中高三模擬）記為數列的前項和，已知，是公差為的等差數列.
(1)求的通項公式；(2)證明：.
【例題2】．（2023·云南曲靖一中高三模擬）已知數列的首項為1，為數列的前n項和，，其中．
(1)若成等差數列，求的通項公式；
(2)設數列滿足，且，數列的前n項和為，證明：．
【變式3-1】．（2024·四川成都高三模擬）已知數列的首項為1，為數列的前n項和，，其中．
(1)若成等差數列，求的通項公式；
(2)設數列滿足，且，數列的前n項和為，證明：．
【變式3-2】．（2023·河北保定高三一模）已知數列是等差數列，其前n項和為，，；數列的前n項和為，.
(1)求數列，的通項公式；(2)求數列的前n項和；
(3)求證：.
核心考點題型四 先放縮后求積
【例題1】．（2023·江蘇無錫高三模擬預測）已知函數．
(1)求函數的最大值；
(2)若關于x的方程有實數根，求實數k的取值范圍；
(3)證明：．
【例題2】（2023·河南安陽高三期末檢測）已知數列，滿足，，且，.
（1）求及；
（2）猜想，的通項公式，并證明你的結論；
（3）證明：對所有的，.
【變式4-1】．（2024·山東煙臺高三開學考試）已知函數．
(1)求函數的最大值；
(2)證明：
【變式4-2】．（2023·陜西榆林高三模擬檢測）已知數列和滿足，且對任意都有，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)證明：．
【變式4-3】．（2023·湖北武漢高三檢測）已知函數.
（1）判斷函數的單調性；
（2）已知數列，，求證：.
【變式4-4】．（2023·甘肅師大附屬中學高三模擬預測）已知數列，，為數列的前n項和，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知當時，不等式恒成立，證明：．
【變式4-5】．（2024·山西太原第一中學高三模擬預測）已知數列為數列的前n項和，且．
(1)求數列的通項公式； (2)求證：；
(3)證明：．

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