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熱點2-3 指數函數、對數函數與冪函數（核心考點八大題型）
（解析版）
【考情透析】
指數函數、對數函數與冪函數是三類常見的重要函數，在歷年的高考題中都占據著重要的地位，從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推論，能運用它們的性質解決具體的問題?？忌趶土曔^程中要熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理。
【考題總結】
核心考點題型一 指數冪與對數式的化簡求值
【例題1】（2023·四川成都·校聯考模擬預測）若， 則的值為（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【答案】D．
【分析】利用完全平方公式結合指數冪的運算性質計算即可.
【詳解】解：因為，
所以.
故選：D．
【例題2】（2022·全國·河南安陽市第二中學校聯考、）若，，則______．
【答案】0
【解析】依題意，；而，則；
因為函數在定義域內單調遞增，故，故，
則， 故．
【變式1-1】（2023·天津河西·統考一模）已知 ，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】兩邊取對數，根據對數的運算性質、法則化簡即可得解.
，，
，
，即或（舍去）
故選：C.
【變式1-2】（2023秋·河南商丘·遼寧沈陽高三校聯考）若函數（，且），則（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】由，得，
設，則.
兩式相加，得，所以.故選：B
【變式1-3】（2023秋·云南昆明高三?？迹┮阎?，，且，則的最小值為______.
【答案】
【解析】由換底公式和對數運算的性質，
原式，
∵，∴，∴原式，
∵，，∴，，∴，，
∴由基本不等式，
當且僅當，即時，等號成立，
∴原式.
∴當且僅當時，的最小值為.
核心考點題型二 指對冪函數的定義與解析式
【例題1】（2023·四川綿陽高三專題檢測）函數是以a為底數的對數函數，則等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數 為對數函數，所以函數系數為1，即即或，
因為對數函數底數大于0，
所以，，所以．
【例題2】（2023上·吉林長春·高三?？迹┖瘮凳侵笖岛瘮?，則有（ ）
A．或 B．
C． D．，且
【答案】B
【解析】根據指數函數的知識求得正確答案.
由指數函數的概念，得且，解得．
故選：B.
【例題3】（2023秋·陜西漢中高三校聯考期中）已知函數是冪函數，且在上遞減，則實數（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【解析】因為是冪函數，所以，解得或，
又因為在上單調遞減，則.故選：A
【變式2-1】（2023秋·山西運城統考一模）若對數函數且）的圖象經過點，則實數______.
【答案】2
【解析】將點代入得，解得
故答案為：2.
【變式2-2】．（2023·北京·高三檢測）已知冪函數是偶函數，在上遞增的，且滿足.請寫出一個滿足條件的的值，__________.
【答案】
【解析】因為，所以；
因為在上遞增的，所以；
因為冪函數是偶函數，所以的值可以為.
故答案為：.
【變式2-3】．（2023秋·江蘇·金陵中學模擬預測）已知是正實數，函數的圖象經過點，則的最小值為（ ）
A． B．9 C． D．2
【答案】B
【分析】將代入，得到，的關系式，再應用基本不等式“1”的代換求最小值即可．
【詳解】由函數的圖象經過，則，即．
，當且僅當時取到等號．
故選：B．
核心考點題型三 指對冪函數的定義域與值域
【例題1】．（2023秋·海南高三模擬）下面關于函數的性質，說法正確的是（ ）
A．的定義域為 B．的值域為
C．在定義域上單調遞減 D．點是圖象的對稱中心
【答案】AD
【解析】解：
由向右平移個單位，再向上平移個單位得到，
因為關于對稱，所以關于對稱，故D正確；
函數的定義域為，值域為，故A正確，B錯誤；
函數在和上單調遞減，故C錯誤；
故選：AD
【例題2】（2023·山東濟南一中校考模擬預測）若函數()的值域是，則實數 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當時，，，
若，當時，則，與函數的值域為不符，
若，當時，則，又函數的值域為，
所以，又所以，
綜上，實數 的取值范圍是.故選：A.
【例題3】（2023秋·山西大同高三?？紮z測）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德 牛頓 歐拉并列為世界四大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：.已知函數，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數，
由，，，，，即，
當時，，當時，，
故的值域為，故選：B.
【變式3-1】（2023秋·四川宜賓高三?？紮z測）若函數的定義域為，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】函數的定義域為，即恒成立，
當時，符合題意；
當時，有，解得.
綜上可得的取值范圍是.
【變式3-2】（2023上·江西吉安高三?？迹┮阎瘮祫t函數值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】結合分段函數的單調性來求得的值域.
當時，單調遞增，值域為；當時，單調遞增，值域為，故函數值域為.
故選：B.
【變式3-3】（2022秋·江西宜春豐城中學?？迹┮阎菍岛瘮?，并且它的圖像過點，，其中．
（1）當時，求在上的最大值與最小值；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）最大值為3，最小值為．；（2）
【解析】（1）設（，且），∵的圖像過點，
∴，即，∴，即，∴．
∵，∴，即．
設，則，，
∴，
又，，∴．
∴當時，在上的最大值為3，最小值為．
（2）設，則，
由（1）知，對稱軸為直線．
①當時，在上是增函數．；
②當時，在上單調遞減，在上單調遞減，；
③當時，在上單調遞減，．
綜上所述，．
核心考點題型四 指對冪函數的圖像及其應用
【例題1】（2023秋·云南大理高三校聯考）函數，，的圖象如圖所示，則，，的圖象所對應的編號依次為（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【答案】C
【解析】令，解得；令，解得；
令，解得，即當時，對應的底數越大，圖象越靠近x軸
故，，的圖象所對應的編號依次為③②①.故選：C
【例題2】（2023 湖南長沙高三校級模擬）在圖中，二次函數y＝ax2+bx與指數函數y＝（）x的圖象只可為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】根據二次函數的對稱軸首先排除B、D選項，結合二次函數和指數函數的性質逐個檢驗即可得出答案
解：根據指數函數y＝（）x可知a，b同號且不相等，則二次函數y＝ax2+bx的對稱軸0可排除B，D
由圖象可知y＝（）x均為減函數，
又因為二次函數y＝ax2+bx過坐標原點，∴C正確，
故選：C．
【例題3】（2024上·江西九江高三模擬）如圖所示是函數（m、且互質）的圖象，則（ ）
A．m，n是奇數且 B．m是偶數，n是奇數，且
C．m是偶數，n是奇數，且 D．m，n是偶數，且
【答案】B
【解析】根據圖象得到函數的奇偶性及上單調遞增，結合m、且互質，從而得到答案.
由圖象可看出為偶函數，且在上單調遞增，
故且為偶數，又m、且互質，故n是奇數.
故選：B.
【變式4-1】（2021春 開封期末）函數y＝|lg（x+1）|的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】本題研究一個對數型函數的圖象特征，函數y＝|lg（x+1）|的圖象可由函數y＝lg（x+1）的圖象將X軸下方的部分翻折到X軸上部而得到，故首先要研究清楚函數y＝lg（x+1）的圖象，由圖象特征選出正確選項
【解答過程】解：由于函數y＝lg（x+1）的圖象可由函數y＝lgx的圖象左移一個單位而得到，函數y＝lgx的圖象與X軸的交點是（1，0），
故函數y＝lg（x+1）的圖象與X軸的交點是（0，0），即函數y＝|lg（x+1）|的圖象與X軸的公共點是（0，0），
考察四個選項中的圖象只有A選項符合題意
故選：A．
【變式4-2】（2023秋·遼寧盤錦高三?？迹┮阎獌绾瘮翟谏蠁握{遞減，則的圖象過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為冪函數在上單調遞減，
所以且，解得，所以，
則，
令，解得，，可得的圖象過定點.故選：C.
【變式4-3】（2023·河北唐山統考一模）函數的大致圖像如圖，則實數a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，為增函數，且，與圖象不符，
若，為減函數，且，與圖象相符，所以，
當時，，結合圖象可知，此時，
所，則，所以，故選:C.
核心考點題型五 指對冪函數的單調性
【例題1】（2023秋·吉林四平高三統考期中）下列函數中，在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】根據函數解析式直接判斷單調性.
A選項：函數的定義域為，且在上單調遞增，A選項錯誤；
B選項：函數的定義域為，且在上單調遞減，B選項正確；
C選項：函數的定義域為，且在上單調遞增，C選項錯誤；
D選項：函數的定義域為，且在上單調遞增，D選項錯誤；
故選：B.
【例題2】（2023秋·廣西南寧高三開學考試）若（且）在R上為增函數，則的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當且，函數與在R上有相同的單調性，
即函數與函數在R上有相同的單調性，因此函數在R上單調遞增，
當，在中，，解得或，
顯然函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的單調遞增區間為.故選：B
【變式5-1】．（2023秋·陜西榆林一模）冪函數在上單調遞增，在上單調遞減，能夠使是奇函數的一組整數m，n的值依次是________．
【答案】1，（答案不唯一）
【分析】根據冪函數在上的單調性得到，再根據是奇函數可以得到冪函數和冪函數都是奇函數，從而可得的很多組值.
【詳解】因為冪函數在上單調遞增，所以，
因為冪函數在上單調遞減，所以，
又因為是奇函數，所以冪函數和冪函數都是奇函數，所以可以是，可以是.
故答案為：1，（答案不唯一）.
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）若函數(且)在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則，的對稱軸為，
則在上遞減，在上遞增，
當時，在定義域內遞減，所以在上遞增，在上遞減，
因為在上單調遞增，所以，不等式無解，
當時，在定義域內遞增，所以在上遞減，在上遞增，
因為在上單調遞增，所以，解得，
綜上，實數的取值范圍為，故選：C
【變式5-3】（2023·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知函數在上為減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知內層函數在上為增函數，且有，可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.
【詳解】令，因為外層函數為減函數，
所以內層函數在上為增函數，則，得，
且有，解得.
綜上所述，.
故選：C.
【變式5-4】．（2023·河北石家莊·模擬預測）已知函數是偶函數，則（ ）
A． B．在上是單調函數
C．的最小值為1 D．方程有兩個不相等的實數根
【答案】BD
【分析】根據偶函數定義求得，由復合函數的單調性得出的單調性，從而可判斷各選項．
【詳解】是偶函數，則， ，，恒成立，所以，A錯；
，
由勾形函數性質知在時是增函數，又在時有且為增函數，
所以在上是增函數，B正確，
為偶函數，因此在上遞減，所以，C錯；
易知時，，即的值域是，
所以有兩個不相等的實根．D正確．
故選：BD．
核心考點題型六 指對冪比較大小
【例題1】．（2023·四川瀘州高三模擬預測）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據指數函數與冪函數的單調性判斷的大小關系.
【詳解】因為函數在上是增函數，所以，即，又因為函數在上是增函數，所以，所以，故.
故選：C
【例題2】．（2023·山東煙臺高三模擬）已知，，，則，，的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，判斷.
【詳解】
因為，，
，
所以
故選：D
【例題3】．（2023·山西太原高三模擬）均為正實數，且，，，則的大小順序為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
試題分析：∵均為正實數，∴， 而，∴，∴．又且，由圖象可知，，故，故選D．
【例題4】．（2024·甘肅蘭州高三模擬）已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三個數的形式，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，最后根據單調性進行比較大小即可.
【詳解】構造函數，，當時，，
單調遞增，所以，.
故選：A
【變式6-1】．若，，，，則a，b，c，d的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由指數函數、冪函數以及對數函數的單調性比較大小即可.
由指數函數的單調性知：，
由冪函數的單調性知：，
所以，
又由對數函數的單調性可知：
綜上有：.
故選：A
【變式6-2】．（2023·云南大理高三模擬）已知，，，則，，的大小關系為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據指數對數互化公式以及換底公式求出，然后再利用中介值“1”即可比較，，的大小.
【詳解】由可得，，
因為，所以，
又因為，所以.
故選：B.
【變式6-3】（2023·河南開封第一中學?？家荒＃┮阎嵌x在上的偶函數，且在是增函數，記，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，在是增函數，
，又為偶函數，，
，即.故選：A
【變式6-4】（2023秋·江蘇揚州高三校聯考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由于，
，
取等條件應為，即，而，故，
，
取等條件為，即，而，故，所以.故選：A.
核心考點題型七 指對冪不等式
【例題1】．（2023·江蘇泰州高三檢測）若，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意分三種情況進行解答，結合冪函數的單調性即可解出答案.
【詳解】①若且時，不等式成立，此時
②若，此時不等式組的解為；
③若，不等式組無解，
綜上，實數a的取值范圍是.
故選：A.
【例題2】．（2023上·河北石家莊精英中學高三?？迹┤舨坏仁胶愠闪?，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，由指數函數的單調性化簡，轉化為一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到結果.
【詳解】不等式恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
所以，即，
解得，所以實數a的取值范圍是.
故選：B
【例題3】．（2024上·重慶九龍坡·高三檢測）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若方程只有一個解，求的取值范圍．
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）將分別代入函數解析式，得到不等式，利用對數函數的性質，解不等式即可；
（2）先分析函數的定義域，方程化簡可得，再將方程等價于方程，討論一元二次方程的解即可.
【詳解】（1）由于，
則，
需要保證，得，
若，則，
對數函數在區間上單調遞增，
所以，且，解得，
結合正弦函數的性質，且，
不等式的解集為：.
（2）的定義域為，
對于函數，
當時，的定義域為，此時；
當時，的定義域為，此時；
方程，即為
得：，即，
構造函數，其中，
當時，方程只有一個解等價于只有一個小于的正零點即可，
此時，，
開口向下的拋物線在區間可能無零點、兩個零點，或拋物線的頂點恰在區間對應的橫軸上，
若拋物線的頂點在區間對應的橫軸上時，
拋物線對稱軸滿足：，解得，
有兩個相等實根，，
解得（舍去）或，
故；
當時，方程只有一個解等價于只有一個大于的零點即可，
，函數有兩個異號零點，
且，函數正零點大于，此種情況成立；
綜上，若方程只有一個解，則或.
【變式7-1】．（2024上·四川眉山·高三統考期末）已知函數，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知構造函數，再探討函數的奇偶性、單調性，并借助函數性質求解不等式即得.
【詳解】依題意，令函數，
對，，因此函數定義域為，
且，
即函數是奇函數，
當時，都是減函數，則是減函數，
而是增函數，因此函數是減函數，
又是減函數，于是函數在上單調遞減，
由奇函數性質知，在上單調遞減，則函數在上單調遞減，
不等式，
即，從而，解得，
所以a的取值范圍為.
故選：A
【變式7-2】．（2023上·湖北宜昌·高三校聯考期中）若實數，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數，然后利用單調性可求解.
【詳解】因，
故，
故可構造函數，
根據指數函數的性質可得：在上單調遞增，而函數在上單調遞減，
故函數在上單調遞增，
又由可得，
故，
所以，
故選：C.
【變式7-3】．（2024上·廣西桂林·高三統考期末）已知函數.
(1)當時，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；
(3)已知，，當的定義域為時，的值域為，求實數的取值范圍.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根據對數和指數函數單調即可求解；
（2）設，通過二次函數的性質分析即可；
（3）通過二次函數單調性得到，再代入利用韋達定理結合二次函數根的分布得到不等式組，解出即可.
【詳解】（1）當時，，
則，解得，
故不等式的解集為.
（2）當時，，不合題意；
時，設，令.
①若開口向上沒有最大值，故無最大值，不合題意;
②當時，此時對稱軸，函數的最大值是，
所以，
解得或(舍)，
所以.
（3）當時，設，
而的對稱軸，
所以當時，為增函數，故為增函數.
因為函數的定義域為時，的值域為，
，
；，
所以為方程的兩根.
故有兩個大于1的不同實根.
所以，
解得，
所以實數的取值范圍是.
核心考點題型八 指對冪的綜合問題
【例題1】．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高二統考期末）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數值域為 B．函數是增函數
C．不等式的解集為
D．
【答案】ACD
【分析】對于A，令，利用換元法和對數函數的性質即可求得；對于B，令由復合函數的單調性進行判斷即可；對于C，利用函數的奇偶性和單調性進行解不等式；對于D，由即可求解.
【詳解】對于A，令，又因為在上遞增，所以，由對數函數的性質可得，的值域為R，故A正確；
對于B，因為在上遞增，在上遞減，由復合函數的單調性可知，為減函數，故B錯誤；
對于C，因為的定義域為，且,
，所以為奇函數，且在上為減函數，
不等式等價于即，
等價于，解得，故C正確；
對于D，因為且，所以
，故D正確.
故選：ACD.
【例題2】．（2024上·江蘇徐州·高三統考期末）已知函數，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判斷函數的奇偶性和在上的單調性，再根據誘導公式結合正切函數的單調性即可得解.
【詳解】，定義域為，
因為，所以函數為偶函數，
令，其在上單調遞增，
又在上單調遞減，
所以函數在上單調遞減，
令在上單調遞增，
當時，，
當且僅當，即時，取等號，
所以
由對勾函數的性質可得函數在上單調遞增，
所以函數在上單調遞增，
所以函數在上單調遞減，
，
，
，
因為，
所以.
故選：A.
【例題3】．（2023上·新疆烏魯木齊市第二十三中學?？迹┮阎瘮担絷P于的函數有8個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】畫出的圖象，設，得到根的情況，從而得到有兩個不等實根，設為，且，不妨設，由韋達定理得到，，故，由對勾函數性質得到答案.
【詳解】畫出的圖象，如下：
設，
當時，無根，
當時，有1個根，
當時，有2個根，
當或時，有3個根，
當時，有4個根，
由于至多有2個根，
要想有8個不同的零點，
需要滿足，
即有兩個不等實根，設為，且，
，不妨設，故，，
故，
由對勾函數性質可知，在上單調遞減，
故.
故選：D
【變式8-1】．（2024上·北京石景山·高三統考期末）設函數，則是（ ）
A．偶函數，且在區間單調遞增 B．奇函數，且在區間單調遞減
C．偶函數，且在區間單調遞增 D．奇函數，且在區間單調遞減
【答案】D
【分析】根據函數的奇偶性和單調性求得正確答案.
【詳解】的定義域為，
，
所以是奇函數，AC選項錯誤.
當時，
，
在上單調遞增，在上單調遞增，
根據復合函數單調性同增異減可知在區間單調遞增，B選項錯誤.
當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
根據復合函數單調性同增異減可知在區間單調遞減，D選項正確.
故選：D
【變式8-2】．（2024上·北京通州·高三統考期末）已知函數，實數滿足.若對任意的，總有不等式成立，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】由分段函數的定義域對進行分類討論可得的范圍，即可得的最大值.
【詳解】當時，有，
由隨增大而增大，且，故，
當時，有，即，
即，
整理得，即，
故，又，故，
綜上所述，，
則，當且僅當、時等號成立，
故的最大值為.
故選：D.
【變式8-3】．（2024上·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學校?？计谀┮阎瘮担艉瘮涤?個零點，且其4個零點，，，成等差數列，則（ ）
A．函數是偶函數 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據題意得，當時，，當時，，作出的圖象，利用偶函數的判斷方法可得出選項A正確，結合圖象得，，再根據條件可得，從而可判斷出選項B和C的正誤，再利用，即可判斷出選項D的正誤，從而得出結果.
【詳解】因為，所以當時，，
當時，，其圖象如圖所示，
對于選項A，因為的定義域為關于原點對稱，
又，所以選項A正確，
由圖知，且，，
又，，，成等差數列，所以，又，得到，所以選項B錯誤，
對于選項C，因，得到，所以，故選項C正確；
對于選項D，又，所以，得到，
所以，故選項D正確，
故選：ABD.
【變式8-4】．（2024上·重慶南開中學高二校考期末）已知定義在上的函數．
(1)當時，解關于的不等式：；
(2)若函數的圖象與函數的圖象恰有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令 ，根據二次不等式以及指數函數單調性解不等式；
（2）根據題意可知方方程在內有2個不同的根，換元，結合函數單調性分析可知在內有2個不同的根，分類參數結合對勾函數分析求解.
【詳解】（1）當時，不等式即為，
令，可得，解得或（舍去），
即，解得，
所以關于的不等式的解集為.
（2）對于函數，
令，解得，
可知函數的定義域為.
令，
可得，即，
即方程在內有2個不同的根，
令，可得，
因為在內單調遞增，
可知在內單調遞增，且，
可知方程有且僅有一個根1，
由題意可知：在內有2個不同的根，
即在內有兩個根，
令，可知在內有兩個根，
即與在內有兩個不同的交點，
由對勾函數可知在內單調遞減，在內單調遞增，
當時，取到最小值2，
則，可得，
所以實數的取值范圍.熱點2-3 指數函數、對數函數與冪函數（核心考點八大題型）
（原卷版）
【考情透析】
指數函數、對數函數與冪函數是三類常見的重要函數，在歷年的高考題中都占據著重要的地位，從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推論，能運用它們的性質解決具體的問題。考生在復習過程中要熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理。
【考題總結】
核心考點題型一 指數冪與對數式的化簡求值
【例題1】（2023·四川成都·校聯考模擬預測）若， 則的值為（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【例題2】（2022·全國·河南安陽市第二中學校聯考、）若，，則______．
【變式1-1】（2023·天津河西·統考一模）已知 ，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023秋·河南商丘·遼寧沈陽高三校聯考）若函數（，且），則（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【變式1-3】（2023秋·云南昆明高三?？迹┮阎?，，且，則的最小值為______.
核心考點題型二 指對冪函數的定義與解析式
【例題1】（2023·四川綿陽高三專題檢測）函數是以a為底數的對數函數，則等于
A．3 B． C． D．
【例題2】（2023上·吉林長春·高三?？迹┖瘮凳侵笖岛瘮担瑒t有（ ）
A．或 B．
C． D．，且
【例題3】（2023秋·陜西漢中高三校聯考期中）已知函數是冪函數，且在上遞減，則實數（ ）
A． B．或 C． D．
【變式2-1】（2023秋·山西運城統考一模）若對數函數且）的圖象經過點，則實數______.
【變式2-2】．（2023·北京·高三檢測）已知冪函數是偶函數，在上遞增的，且滿足.請寫出一個滿足條件的的值，__________.
【變式2-3】．（2023秋·江蘇·金陵中學模擬預測）已知是正實數，函數的圖象經過點，則的最小值為（ ）
A． B．9 C． D．2
核心考點題型三 指對冪函數的定義域與值域
【例題1】．（2023秋·海南高三模擬）下面關于函數的性質，說法正確的是（ ）
A．的定義域為 B．的值域為
C．在定義域上單調遞減 D．點是圖象的對稱中心
【例題2】（2023·山東濟南一中?？寄M預測）若函數()的值域是，則實數 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023秋·山西大同高三?？紮z測）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德 牛頓 歐拉并列為世界四大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：.已知函數，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·四川宜賓高三?？紮z測）若函數的定義域為，則的取值范圍是______．
【變式3-2】（2023上·江西吉安高三?？迹┮阎瘮祫t函數值域是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022秋·江西宜春豐城中學?？迹┮阎菍岛瘮?，并且它的圖像過點，，其中．
（1）當時，求在上的最大值與最小值；
（2）求在上的最小值．
核心考點題型四 指對冪函數的圖像及其應用
【例題1】（2023秋·云南大理高三校聯考）函數，，的圖象如圖所示，則，，的圖象所對應的編號依次為（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【例題2】（2023 湖南長沙高三校級模擬）在圖中，二次函數y＝ax2+bx與指數函數y＝（）x的圖象只可為（　　）
A． B． C． D．
【例題3】（2024上·江西九江高三模擬）如圖所示是函數（m、且互質）的圖象，則（ ）
A．m，n是奇數且 B．m是偶數，n是奇數，且
C．m是偶數，n是奇數，且 D．m，n是偶數，且
【變式4-1】（2021春 開封期末）函數y＝|lg（x+1）|的圖象是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023秋·遼寧盤錦高三?？迹┮阎獌绾瘮翟谏蠁握{遞減，則的圖象過定點（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·河北唐山統考一模）函數的大致圖像如圖，則實數a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型五 指對冪函數的單調性
【例題1】（2023秋·吉林四平高三統考期中）下列函數中，在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·廣西南寧高三開學考試）若（且）在R上為增函數，則的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】．（2023秋·陜西榆林一模）冪函數在上單調遞增，在上單調遞減，能夠使是奇函數的一組整數m，n的值依次是________．
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）若函數(且)在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知函數在上為減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】．（2023·河北石家莊·模擬預測）已知函數是偶函數，則（ ）
A． B．在上是單調函數
C．的最小值為1 D．方程有兩個不相等的實數根
核心考點題型六 指對冪比較大小
【例題1】．（2023·四川瀘州高三模擬預測）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·山東煙臺高三模擬）已知，，，則，，的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】．（2023·山西太原高三模擬）均為正實數，且，，，則的大小順序為
A． B． C． D．
【例題4】．（2024·甘肅蘭州高三模擬）已知，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】．若，，，，則a，b，c，d的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】．（2023·云南大理高三模擬）已知，，，則，，的大小關系為( )
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·河南開封第一中學?？家荒＃┮阎嵌x在上的偶函數，且在是增函數，記，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2023秋·江蘇揚州高三校聯考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型七 指對冪不等式
【例題1】．（2023·江蘇泰州高三檢測）若，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023上·河北石家莊精英中學高三?？迹┤舨坏仁胶愠闪?，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】．（2024上·重慶九龍坡·高三檢測）已知函數．
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若方程只有一個解，求的取值范圍．
【變式7-1】．（2024上·四川眉山·高三統考期末）已知函數，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】．（2023上·湖北宜昌·高三校聯考期中）若實數，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】．（2024上·廣西桂林·高三統考期末）已知函數.
(1)當時，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；
(3)已知，，當的定義域為時，的值域為，求實數的取值范圍.
核心考點題型八 指對冪的綜合問題
【例題1】．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高二統考期末）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數值域為 B．函數是增函數
C．不等式的解集為
D．
【例題2】．（2024上·江蘇徐州·高三統考期末）已知函數，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【例題3】．（2023上·新疆烏魯木齊市第二十三中學校考）已知函數，若關于的函數有8個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】．（2024上·北京石景山·高三統考期末）設函數，則是（ ）
A．偶函數，且在區間單調遞增 B．奇函數，且在區間單調遞減
C．偶函數，且在區間單調遞增 D．奇函數，且在區間單調遞減
【變式8-2】．（2024上·北京通州·高三統考期末）已知函數，實數滿足.若對任意的，總有不等式成立，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．6
【變式8-3】．（2024上·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學校校考期末）已知函數，若函數有4個零點，且其4個零點，，，成等差數列，則（ ）
A．函數是偶函數 B．
C． D．
【變式8-4】．（2024上·重慶南開中學高二校考期末）已知定義在上的函數．
(1)當時，解關于的不等式：；
(2)若函數的圖象與函數的圖象恰有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．

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