資源簡介

素養(yǎng)提升點3-7 立體幾何中的取值范圍或最值問題（原卷版）
【考情透析】
縱觀近十多年的高考命題規(guī)律，立體幾何以考查位置關(guān)系為主、輔以考查數(shù)學運算如：空間角、距離，表面積、體積求解等之外，還考查立體幾何中有關(guān)量的取值范圍或最值問題，求解該類問題時，要考慮題中存在的一些不等關(guān)系，其次需要結(jié)合函數(shù)、不等式、導數(shù)進行綜合求解，屬于難度較大的題型。
【歸納題型】
核心考點題型一 幾何體的表面積或體積的最值問題
【例題1】（2023秋.山東青島高三校考開學考）如圖，某幾何體由兩個相同的圓錐組成，且這兩個圓錐有一個共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【例題2】（2023秋.湖南長沙高三模擬）正方體的棱長為2，底面內(nèi)(含邊界)的動點到直線的距離與到平面的距離相等，則三棱錐體積的取值范圍為 .
【例題3】（2023秋.四川成都高三模擬）已知等腰直角中，為直角，邊，P，Q分別為AC，AB上的動點（P與C不重合），將沿PQ折起，使點A到達點的位置，且平面平面BCPQ．若點，B，C，P，Q均在球O的球面上，則球O體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023秋·甘肅蘭州一中高三開學考試）鱉臑（biē nào）出自《九章算術(shù)·商功》，指的是四個面均為直角三角形的三棱錐，如圖所示的鱉臑中，，，，且，，則其外接球體積的最小值為 .

【變式1-2】（2023秋·陜西榆林高三模擬）設(shè)是同一個半徑為的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 (　　)
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023秋·湖南長沙高三模擬）(多選題)如圖，矩形中，為邊的中點，沿將折起，點折至處平面分別在線段和側(cè)面上運動，且，若分別為線段的中點，則在折起過程中，下列說法正確的是( )
A．面積的最大值為
B．存在某個位置，使得
C．三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為
D．三棱錐體積最大時，點到平面的距離的最小值為.
【變式1-3】（2023秋·山西太原高三模擬）在三棱錐中，，，圓柱體在三棱錐內(nèi)部(包含邊界)，且該圓柱體的底面圓在平面內(nèi)，則當該圓柱體的體積最大時，圓柱體的高為( )
A． B． C． D．
【變式1-4】（2023秋·河南洛陽高三模擬）．在中，，點分別在邊上移動，且，沿將折起來得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是( )
A． B． C． D．
核心考點題型二 距離或長度最值范圍問題
【例題1】（2024·湖北三市聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點，則點M到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2024·河南洛陽高三聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，，，現(xiàn)將其放置在平面的上面，其中點，在平面的同一側(cè)，點平面，與平面所成的角為，則點到平面的最大距離是（ ）
A． B．20 C． D．30
【例題3】（2023·河南安陽實驗中學校考二模）正四棱柱中，，為底面的中心，是棱的中點，正四棱柱的高，點到平面的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例題4】（2023·四川成都實驗中學二模）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點，點F滿足，動點M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是________．
【變式2-1】（2024·江蘇徐州高三統(tǒng)考模擬）以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成的二面角.若，，其中，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·湖北武漢高三專題檢測）在空間直角坐標系中，已知點，，點C，D分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·四川綿陽高三模擬）已知三棱錐的所有棱長均為2，點M為邊上一動點，若且垂足為N，則線段長的最小值為( )
A． B． C． D．1
【變式2-4】（2024·甘肅白銀高三聯(lián)考）已知直四棱柱的底面為矩形，，且該棱柱外接球的表面積為，為線段上一點．則當該四棱柱的體積取最大值時，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-5】（2024·山西大同高三模擬）.在棱長為的正方體中，已知點是正方形內(nèi)部（不含邊界）的一個動點，若直線與平面所成角的正弦值和異面直線與所成角的余弦值相等，則線段長度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【變式2-6】（2024·江蘇無錫高三模擬）已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點，為棱上異于的動點．有下列結(jié)論：
①線段的長度為；②點到面的距離范圍為；
③周長的最小值為；④的余弦值的取值范圍為．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A． B． C． D．
核心考點題型三 空間角的最值問題
【例題1】（2024·四川巴中高三模擬）.如圖，在長方體中，是的中點，點是上一點，，，，動點在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于，則直線與所成角的正切值的最小值為 .
【例題2】（2024·江蘇無錫高三模擬）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點，D為棱上的點．
(1)證明：；
(2)當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小
【變式3-1】（2023秋·云南大理高三模擬）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段上，E、F分別為、的中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（ ）
A. B． C． D．
【變式3-2】（2024·湖北武漢高三模擬）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PB＝3．
（1）證明：∠PAD＝∠PBC；
（2）當直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，
求此時二面角P—AB—C的大小．
【變式3-3】（2024·河北石家莊高三模擬）(多選)已知正方體的棱長為1，為棱(包含端點)上的動點，下列命題正確的是( )
A．
B．二面角的大小為
C．點到平面距離的取值范圍是
D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
【變式3-4】（2024·河北石家莊高三模擬）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點，D為棱上的點．
(1)證明：；
(2)當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小
【變式3-5】（2023·山西太原統(tǒng)考模擬預測）如圖，直角梯形ABCD中，，直角梯形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓臺．
(1)求圓臺的表面積和體積；
(2)若直角梯形ABCD繞BC逆時針旋轉(zhuǎn)角到，且直線與平面ABCD所成角的正弦值為，求角的最小值．
核心考點題型四 截面面積的最值問題
【例題1】（2023·山西太原統(tǒng)考模擬預測）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·四川廣元高三模擬預測）在長方體中，，過點作平面與分別交于兩點，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023·云南曲靖一中高三模擬預測）.如圖，已知正方體的棱長為，是的中點，點在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若，則面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【變式4-1】（2023·寧夏銀川一中模擬預測）正三棱錐的底面邊長是2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·江西九江高三模擬預測）如圖，在四面體中，，，，、分別是，中點.若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023上·甘肅西北師大附屬中學校考）如圖，在棱長為1的正方體中，E是棱上的一個動點，給出下列四個結(jié)論：
①三棱錐的體積為定值；②存在點使得平面：
③的最小值為；
④對每一個點E，在棱上總存在一點P，使得平面；
⑤M是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
核心考點題型五 截面面積的最值問題
【例題1】（2023秋·四川宜賓高三檢測）設(shè)，，，是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·山西太原第一中學質(zhì)量檢測）如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點M在AC上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023秋·河南開封高三模擬檢測）若球是正三棱錐的外接球，，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023秋·四川綿陽高三模擬檢測）正三棱錐，為中點， ，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023秋·河北保定高三模擬）已知正四面體的棱長為4，點在棱上，且，過作四面體外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·山東青島高三模擬檢測）如圖，三棱錐的四個頂點恰是長 寬 高分別是，2，的長方體的頂點，此三棱錐的體積
為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為__________．
【變式5-5】（2023秋·江蘇無錫高三模擬檢測）.已知正方體的棱長為，，，分別為棱，，的中點，點為內(nèi)（包括邊界）的一個動點，則三棱錐為外接球的表面積最大值為 .素養(yǎng)提升點3-7 立體幾何中的取值范圍或最值問題（解析版）
【考情透析】
縱觀近十多年的高考命題規(guī)律，立體幾何以考查位置關(guān)系為主、輔以考查數(shù)學運算如：空間角、距離，表面積、體積求解等之外，還考查立體幾何中有關(guān)量的取值范圍或最值問題，求解該類問題時，要考慮題中存在的一些不等關(guān)系，其次需要結(jié)合函數(shù)、不等式、導數(shù)進行綜合求解，屬于難度較大的題型。
【歸納題型】
核心考點題型一 幾何體的表面積或體積的最值問題
【例題1】（2023秋.山東青島高三校考開學考）如圖，某幾何體由兩個相同的圓錐組成，且這兩個圓錐有一個共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)其中一個圓錐的底面半徑為r，高為h，由表面積為可解得取值范圍，再由體積公式列出的表達式，通過換元法和求導即可求出的最大值.
【解析】設(shè)其中一個圓錐的底面半徑為r，高為h，
則，則，解得，
∴，，
令，設(shè)，
求導，令，解得，
當，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當，，函數(shù)單調(diào)遞減；
所以，所以的最大值為．故選A．
【例題2】（2023秋.湖南長沙高三模擬）正方體的棱長為2，底面內(nèi)(含邊界)的動點到直線的距離與到平面的距離相等，則三棱錐體積的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意可知，連接，在底面內(nèi)作于點，如下圖所示：

由正方體性質(zhì)可知即為到直線的距離，為到平面的距離，
所以；
在底面內(nèi)，由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線的一部分，
截取底面，分別以向量為軸的正方向建立平面直角坐標系，如下圖所示：

又正方形邊長為2，易知拋物線過點，，且對稱軸為軸，
設(shè)拋物線方程為，代入兩點坐標可得，解得
所以的軌跡拋物線方程為，
以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則，所以，
設(shè)，平面的一個法向量為，
則，令，解得，即；
，
則點到平面的距離為，
令，易得，
所以，
易知在三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，
所以，
所以三棱錐的體積；
即三棱錐體積的取值范圍為.
【例題3】（2023秋.四川成都高三模擬）已知等腰直角中，為直角，邊，P，Q分別為AC，AB上的動點（P與C不重合），將沿PQ折起，使點A到達點的位置，且平面平面BCPQ．若點，B，C，P，Q均在球O的球面上，則球O體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)共圓，進而確定，找到，四邊形外接圓圓心，由棱錐外接球、面面垂直的性質(zhì)確定球心位置，設(shè),且，求外接球半徑最小值，即可得結(jié)果．
【解析】顯然P不與A重合，由點，B，C，P，Q均在球D的球面上，得B，C，P，Q共圓，則，
又為等腰直角三角形，AB為斜邊，即有，

將翻折后，，，又平面平面，
平面平面，

平面，平面BCPQ，于是平面BCPQ，平面，
顯然，BP的中點D，E分別為，四邊形BCPQ外接圓圓心，
則平面，平面，因此，，
取PQ的中點F，連接DF，EF，則有，，
四邊形EFDO為矩形，設(shè)且，，，
設(shè)球O的半徑R，有，
當時，，所以球O體積的最小值為．
故選：C．
【變式1-1】（2023秋·甘肅蘭州一中高三開學考試）鱉臑（biē nào）出自《九章算術(shù)·商功》，指的是四個面均為直角三角形的三棱錐，如圖所示的鱉臑中，，，，且，，則其外接球體積的最小值為 .

【答案】
【解析】證明出平面，由得到外接球球心在平面的投影在的中點上，且點為的中點，由基本不等式求出，從而得到外接球半徑，從而得到外接球體積的最小值.
【解析】因為，，，平面，
所以平面，
因為，故外接球球心在平面的投影在的中點上，

因為平面，所以點為的中點，且，
由勾股定理得，當且僅當時，等號成立，
故，則，，故，
故其外接球體積的最小值為
【變式1-2】（2023秋·陜西榆林高三模擬）設(shè)是同一個半徑為的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)的邊長為，則，此時外接圓的半徑為，故球心到面的距離為，故點到面的最大距離為，此時．
【變式1-2】（2023秋·湖南長沙高三模擬）(多選題)如圖，矩形中，為邊的中點，沿將折起，點折至處平面分別在線段和側(cè)面上運動，且，若分別為線段的中點，則在折起過程中，下列說法正確的是( )
A．面積的最大值為
B．存在某個位置，使得
C．三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為
D．三棱錐體積最大時，點到平面的距離的最小值為.
【答案】ACD
【詳解】對于A，由，，則
，
所以當時，最大，且最大值為，故A正確；

對于B，取的中點，連接，顯然，且，
又，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又，且，為的中點，
則與不垂直，
所以與不垂直，故B錯；

對于C，易知三棱錐體積最大時，平面平面，交線為，
作，因為平面，則平面，
取中點，連接，，，則，
由勾股定理可得，
又，故點為三棱錐的外接球的球心，
所以其外接球的半徑為，表面積為，故C正確；
對于D，由選項C可知，，
點在以為球心，1為半徑的球面上，設(shè)點到平面的距離為，
因為，所以，
易知，，，
，，，
所以點到平面的距離的最小值為，選項D正確.
【變式1-3】（2023秋·山西太原高三模擬）在三棱錐中，，，圓柱體在三棱錐內(nèi)部(包含邊界)，且該圓柱體的底面圓在平面內(nèi)，則當該圓柱體的體積最大時，圓柱體的高為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，由軸截面中相似三角形把用表示，求出體積后利用導數(shù)求最大值及取最值時高的條件．
【詳解】
設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，圓柱體的高為h.
是圓柱上底面與三棱錐側(cè)面的切點,是連接直線與棱錐下底面的交點，
是圓柱上底面所在平面與的交點，
，，

則由與相似，可得,可得，可得.
內(nèi)接圓柱體積.
因為，
單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,
所以有最大值，此時.
【變式1-4】（2023秋·河南洛陽高三模擬）．在中，，點分別在邊上移動，且，沿將折起來得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，由余弦定理得，
則是直角三角形，為直角，對的任何位置，當面面時，此時的點到底面的距離最大，此時即為與底面所成的角，
設(shè)，
在中，，
點到底面的距離，
則，
，
令，解得，可得下表：
故當時，該棱錐的體積最大，為.
核心考點題型二 距離或長度最值范圍問題
【例題1】（2024·湖北三市聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點，則點M到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取的中點為H，的中點為N，連接，，，
球O為四棱錐的內(nèi)切球，
底面為矩形，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，
則平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，
此圓為的內(nèi)切圓，半徑為r，與，分別相切于點E，F(xiàn)，
平面平面，交線為，平面，
為正三角形，有，平面，
平面，，
，，則有，，，
則中，，解得.
所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為1，連接.
平面，平面，，
又，平面，，
平面，平面，可得，
所以內(nèi)切球表面上一點M到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，
又.
所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點M到直線的距離的最小值為.
故選：B.
【例題2】（2024·河南洛陽高三聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，，，現(xiàn)將其放置在平面的上面，其中點，在平面的同一側(cè)，點平面，與平面所成的角為，則點到平面的最大距離是（ ）
A． B．20 C． D．30
【答案】D
【解析】過點作平面于點，過點作平面于點，連接，，當平面時，點到平面的距離最大，此時與平面成角最大為．
【解析】解：過點作平面于點，過點作平面于點，連接，.由題意可知，當平面平面，即 三點共線時，點到平面的距離最大，因為，，，所以，從而.
【例題3】（2023·河南安陽實驗中學校考二模）正四棱柱中，，為底面的中心，是棱的中點，正四棱柱的高，點到平面的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)底面四邊形的中心為，連接，則，設(shè)點到平面的距離為，利用等體積法求解即可.
【解析】設(shè)底面四邊形的中心為，連接，則，設(shè)點到平面的距離為，，，則中，邊上的高為，
則，由，
得，所以，
由，得，則，則，所以，
即點到平面的距離的取值范圍是，
所以點到平面的距離的最大值為.
故選：C.
【例題4】（2023·四川成都實驗中學二模）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點，點F滿足，動點M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是________．
【答案】
【解析】建立空間直角坐標系，表示所需點的坐標，求出平面D1EF的一個法向量，結(jié)合線面平行的向量表示可得動點M的坐標滿足的條件，即可得解.
【解析】因為ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，
以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設(shè)M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），因為，所以F是CC1四等分點（靠近C），
所以F（0,2,1），所以，設(shè)平面D1EF的一個法向量為，
則，即，令c＝2，則，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以，
故，為0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，因為，所以|MD|在上單調(diào)遞減，所以當x＝時，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值為，當x＝2時，|MD|取最小值，
所以|MD|的最小值為，所以|MD|的取值范圍是．
【變式2-1】（2024·江蘇徐州高三統(tǒng)考模擬）以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成的二面角.若，，其中，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，所以是和折成的二面角的平面角，
所以，又，所以，
，所以，
因為，其中，所以點M在平面內(nèi)，
則的最小值為點D到平面的距離，設(shè)點D到平面的距離為h，
因為，，平面，平面，
所以平面，所以是點到平面的距離，
所以，
又中，，所以，
所以，則，
所以，解得，所以的最小值為，
故選：D.
【變式2-2】（2024·湖北武漢高三專題檢測）在空間直角坐標系中，已知點，，點C，D分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，且，，
∴，，又，
∴，即．
∵，
∴，
當且僅當時等號成立.
故選：B
【變式2-3】（2024·四川綿陽高三模擬）已知三棱錐的所有棱長均為2，點M為邊上一動點，若且垂足為N，則線段長的最小值為( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】解：取中點，，點在以為球心，半徑為1的球面上，
又點在平面上，故的軌跡為一段圓弧，
設(shè)點在平面的投影點為，
且點為中點)，
則點在以為圓心的圓弧上，
，設(shè)到的距離為，則，
即，得，，
由在上時，求得，求解△，得，
則當點在上時，取最小值，
故選：．
【變式2-4】（2024·甘肅白銀高三聯(lián)考）已知直四棱柱的底面為矩形，，且該棱柱外接球的表面積為，為線段上一點．則當該四棱柱的體積取最大值時，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)外接球O的半徑為R，則球O的表面積，所以，
設(shè)矩形的長和寬分別為x和y， 則，所以，
，當且僅當時取等號，
即底面為邊長為2的正方形時，四棱柱的體積最大.
則有，
將平面沿展開，與處于同一平面，
則，
即平面圖形中三點共線時，有最小值.
故選：D
【變式2-5】（2024·山西大同高三模擬）.在棱長為的正方體中，已知點是正方形內(nèi)部（不含邊界）的一個動點，若直線與平面所成角的正弦值和異面直線與所成角的余弦值相等，則線段長度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】：C
【解析】以為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，設(shè)直線與平面所成角為和異面直線與所成角為，運用向量的數(shù)量積的夾角公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求最小值.
【詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，可設(shè)，，，由，，，，，，設(shè)直線與平面所成角為和異面直線與所成角為，可得，，，，由，可得，則，當時，線段長度的最小值為.
【變式2-6】（2024·江蘇無錫高三模擬）已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點，為棱上異于的動點．有下列結(jié)論：
①線段的長度為；②點到面的距離范圍為；
③周長的最小值為；④的余弦值的取值范圍為．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】四面體所有棱長均為，四面體為正四面體；
對于①，作平面，垂足為，
四面體為正四面體，為的中心，且；
取中點，連接，則，且平面；
，，；
平面，平面，，，①正確；
對于②，在上取點，使得，則，，
則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，，，，
設(shè)，，
，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，
，
點到平面的距離，
令，則，，
，，即點到平面的距離的取值范圍為，②正確；
對于③，將等邊三角形與沿展開，可得展開圖如下圖所示，
則(當且僅當為中點時取等號)，
四邊形為菱形，分別為中點，，
，
則在四面體中，周長的最小值為，③正確；
對于④，設(shè)為中點，若點在線段上，設(shè)，則，其中，
在中，；
在中，同理可得：，
；
當時，；
當時，，，
，；
的取值范圍為；
同理可得：當在線段上時，的取值范圍為；
綜上所述：的余弦值的取值范圍為，④正確．
故選：D．
核心考點題型三 空間角的最值問題
【例題1】（2024·四川巴中高三模擬）.如圖，在長方體中，是的中點，點是上一點，，，，動點在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于，則直線與所成角的正切值的最小值為 .
【答案】
【解析】建立空間直角坐標系，設(shè)，通過向量法算出點到平面的距離，結(jié)合三棱錐的體積等于可得到，再通過向量法計算直線與所成角的余弦值的范圍，繼而算出答案.
【詳解】以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
，則，，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以平面的一個法向量，
因為，所以點到平面BFE的距離，
因為，
所以在等腰中，到的高為，所以，
因為，所以，所以或（舍去），設(shè)直線與所成的角為，則，所以
，所以的最大值為，
此時最小，此時最小，因為，且，所以，
所以，即直線CP與所成角的正切值的最小值為.
【例題2】（2024·江蘇無錫高三模擬）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點，D為棱上的點．
(1)證明：；
(2)當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以，因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．
所以，．
由題設(shè)（）．
（1）因為，
所以，所以．
（2）設(shè)平面的法向量為，因為，
所以，即．令，則
因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當時，取最小值為，此時取最大值為．
所以，此時．
【變式3-1】（2023秋·云南大理高三模擬）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段上，E、F分別為、的中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（ ）
A. B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)已知條件，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為
，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，則：， ， ；在線段上，設(shè)， ；；
；設(shè)，；函數(shù)是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，；
在恒成立，；在上單調(diào)遞減；時，取到最大值．
【變式3-2】（2024·湖北武漢高三模擬）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PB＝3．
（1）證明：∠PAD＝∠PBC；
（2）當直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，
求此時二面角P—AB—C的大小．
【解析】：（1）分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，
因為PA＝PB，所以PE⊥AB，又因為AB∥CD，所以CD⊥PE，
又因為CD⊥EF，PE∩EF＝E，所以CD⊥平面PEF，因為PF平面PEF，所以CD⊥PF，
在△PCD中，因為PF垂直平分CD，所以PC＝PD，
又因為PA＝PB，AD＝BC，所以△PAD≌△PBC，從而可得∠PAD＝∠PBC；
（2）由（1）可知，∠PEF是二面角P—AB—C的平面角，設(shè)，則，
在△PEF中，，過點E作PF的垂線，垂足為G，則，因為CD⊥平面PEF，CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PEF， 又因為平面PCD∩平面PEF＝PF，EG⊥PF，EG平面PEF，所以EG⊥平面PCD， 因為AB∥平面PCD，所以點A到平面PCD的距離等于點E到平面PCD的距離，即為EG設(shè)直線PA與平面PCD所成角為，所以，令，
則，所以當且僅當，即時，EG有最大值2，
此時直線PA與平面PCD所成角為θ的正弦值最大
所以當直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，二面角P—AB—C的大小為．
【變式3-3】（2024·河北石家莊高三模擬）(多選)已知正方體的棱長為1，為棱(包含端點)上的動點，下列命題正確的是( )
A．
B．二面角的大小為
C．點到平面距離的取值范圍是
D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設(shè)，其中，
對于A：，故即，
故A正確.
對于B：，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
故.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
故.
故，而二面角為銳二面角，
故其余弦值為，不為，故二面角的平面角不是，故B錯誤.
對于C：，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
故.
而，
故到平面的距離為，
故C正確.
對于D：設(shè)直線與平面所成的角為.
因為平面，故為平面的法向量，
而，故，
而，故D正確
【變式3-4】（2024·河北石家莊高三模擬）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點，D為棱上的點．
(1)證明：；
(2)當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以，因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．
所以，．
由題設(shè)（）．
（1）因為，
所以，所以．
（2）設(shè)平面的法向量為，因為，
所以，即．令，則
因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當時，取最小值為，此時取最大值為．
所以，此時．
【變式3-5】（2023·山西太原統(tǒng)考模擬預測）如圖，直角梯形ABCD中，，直角梯形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓臺．
(1)求圓臺的表面積和體積；
(2)若直角梯形ABCD繞BC逆時針旋轉(zhuǎn)角到，且直線與平面ABCD所成角的正弦值為，求角的最小值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）利用圓臺的表面積、體積公式求圓臺的表面積和體積；
（2）構(gòu)建空間直角坐標系，確定、面ABCD的一個法向量，應用空間向量夾角的坐標表示列方程求，進而可求的最小值.
【解析】（1）由題意，直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)形成下底面半徑為2，上底面半徑為1，高為2的圓臺，可得該圓臺的母線長為，所以該圓臺的表面積，該圓臺的體積，
故所求圓臺的表面積和體積分別為，；
（2）作，以點B為坐標原點，射線BA，BM，BC為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，即，
又平面ABCD的一個法向量，設(shè)與平面ABCD所成的角為，
則，
兩邊平方并結(jié)合，解得或，故時所求的最小值為．
核心考點題型四 截面面積的最值問題
【例題1】（2023·山西太原統(tǒng)考模擬預測）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據(jù)梯形的面積公式求解即可.
【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，
其中，高為，
故面積為.故選:D．
【例題2】（2023·四川廣元高三模擬預測）在長方體中，，過點作平面與分別交于兩點，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過點A作，連接，首先證明平面平面，即可得為與平面所成的角，進而可得，，由基本不等式得，從而可求出截面面積的最小值.
【詳解】如圖，過點A作，連接
∵平面，∴，∴平面，
∴，所以平面平面，
∴為與平面所成的角，∴，
在中，∵，∴，
在中，由射影定理得，
由基本不等式得，
當且僅當，即E為MN中點時等號成立，
∴截面面積的最小值為.
故選：B
【例題3】（2023·云南曲靖一中高三模擬預測）.如圖，已知正方體的棱長為，是的中點，點在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若，則面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)（），利用向量法確定的軌跡滿足，求出的最小值，直接求出面積的最小值.
【詳解】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設(shè)（），則，，因為，所以，得，所以，所以，
當時，取最小值，易知，所以的最小值為.
【變式4-1】（2023·寧夏銀川一中模擬預測）正三棱錐的底面邊長是2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出圖形，求出，說明是矩形，結(jié)合圖形，說明點在平面時，面積最小，求出即可得到范圍
【詳解】如圖所示：
由正三棱錐的底面邊長是2，因為、、、分別是、、、的中點，所以，則，
所以是平行四邊形。因為正三棱錐，則對棱，的中點連線與
對棱，的中點連線相等，即，所以四邊形是矩形，所以，
設(shè)的中心為，則，所以的面積
所以四邊形EFGH面積的取值范圍是：故選：B．
【變式4-2】（2023·江西九江高三模擬預測）如圖，在四面體中，，，，、分別是，中點.若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)對棱相等，可將四面體嵌入長方體中，進而發(fā)現(xiàn)與長方體的一個面平行，就利用這個面截取四面體，再求這個截面的最大值。
【詳解】過作平面平行于，同理這六條棱每條棱都做平面平行于對棱.那么由對棱做的平面平行，可知這六個面圍成一個平行六面體，又已知對棱相等，則這個平行六面體任何一個面的一對對角線都等長.故每個面都是矩形，即圍成一個長方體.設(shè)長方體的長寬高分別為，那么四面體的六條棱長都是它的面對角線.
則有，解得：，
再由分別是，中點，即長方體兩個底面的中心，
而截面與直線垂直，則平行于底面，故，.根據(jù)平行截比定理得到，且，而.
故有.設(shè)之間的夾角為.
那么該多邊形截面面積.
而,，
故,
則.
故選：B
【變式4-3】（2023上·甘肅西北師大附屬中學校考）如圖，在棱長為1的正方體中，E是棱上的一個動點，給出下列四個結(jié)論：
①三棱錐的體積為定值；②存在點使得平面：
③的最小值為；
④對每一個點E，在棱上總存在一點P，使得平面；
⑤M是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】對于①，，底面積和高均為定值，可判斷；對②，若存在點，使得平面，可得，易找出矛盾；對③，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平可求解；對④，當點在點時，不存在點符合要求；對⑤，推導出，由余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求出結(jié)果.
【詳解】對于①，，顯然是定值，因為平面，所以是定值，
所以三棱錐的體積是定值，①正確；
對于②，若存在點，使得平面，又平面，可得，
所以四邊形為正方形，即，這與矛盾，②錯誤；
對于③，如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平，則的最小值，③錯誤；
對于④，當點在點時，平面即是平面，此時與平面相交，故不存在點符合要求，④錯誤；
對于⑤，如圖，在正方體中，
可得，，且，是平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，又平面，，
因為是上的動點，且過點的截面垂直，
所以截面過點，截面交與，交于，設(shè)，
則，，在中，可得，
，
則該截面的面積為，
因為，所以當時，，此時，分別是和的中點，當是中點時，，即，
所以平面，滿足題意，⑤正確.
故選：A.
核心考點題型五 截面面積的最值問題
【例題1】（2023秋·四川宜賓高三檢測）設(shè)，，，是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，為等邊三角形，點為，，，外接球的球心，為的重心，由，得，取的中點，∴，∴，∴球心到面的距離為，∴三棱錐體積最大值.
【例題2】（2023秋·山西太原第一中學質(zhì)量檢測）如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點M在AC上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及外接球的性質(zhì)，作出外接球的球心，再根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系求出線段，最后即可得到截面圓的最小半徑.
【詳解】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示：
取BD中點為E，連接AE，CE，則，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，，
易知球心O在平面BCD的投影為的外心，過作于H，易得，，則在中，，所以外接球半徑，連接OM，因為，所以H，O，M三點共線，
所以，，當M為截面圓圓心時截面面積最小，
此時截面圓半徑，面積為.故選：A.
【變式5-1】（2023秋·河南開封高三模擬檢測）若球是正三棱錐的外接球，，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)是球心，是等邊三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得過且垂直的截面圓最小即可.
【詳解】
如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，
可得，
，
設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，
即，解得，
在三角形中，，，
由余弦定理得，
在三角形中，因為，故，
設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，，故最小的截面面積為.
故選：B
【變式5-2】（2023秋·四川綿陽高三模擬檢測）正三棱錐，為中點， ，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，得到兩兩垂直，可將正三棱錐看作正方體的一角，設(shè)正方體的體對角線的中點為，得到點是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，過球心的截面圓面積最大；再求出，根據(jù)球的結(jié)構(gòu)特征可得，當垂直于過的截面時，截面圓面積最小，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為正三棱錐，，，
所以，即，同理，，
因此正三棱錐可看作正方體的一角，如圖，
記正方體的體對角線的中點為，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得，點即是正方體的外接球球心，
所以點也是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，
則，
因為球的最大截面圓為過球心的圓，
所以過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積最大為；
又為中點，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得；
由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當垂直于過的截面時，截面圓半徑最小為，
所以.
因此，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為.
故選：D.
【變式5-3】（2023秋·河北保定高三模擬）已知正四面體的棱長為4，點在棱上，且，過作四面體外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題，正四面體的外接球即正方體的外接球，球的截面是圓，要求所作截面面積的最小值，只需確定截面圓的半徑，借助余弦定理和勾股定理即可．
【詳解】如圖，正四面體的棱長為4，則正方體的棱長為，
正四面體的外接球即正方體的外接球，其半徑為，
∴，
∵，
∴，
則截面圓的半徑，
∴截面面積的最小值為.
故選：B.
【變式5-4】（2023·山東青島高三模擬檢測）如圖，三棱錐的四個頂點恰是長 寬 高分別是，2，的長方體的頂點，此三棱錐的體積
為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為__________．
【答案】
【解析】 長方體的體對角線為 又因為三棱錐的外接球直徑是長方體的體對角線
，
，，，當且僅當時，等號成立，，三棱錐外接球體積的最小值為，故答案為：.
【變式5-5】（2023秋·江蘇無錫高三模擬檢測）.已知正方體的棱長為，，，分別為棱，，的中點，點為內(nèi)（包括邊界）的一個動點，則三棱錐為外接球的表面積最大值為 .
【答案】
【詳解】如圖所示，連接，因為，，分別為棱，，的中點，根據(jù)正方體的結(jié)
構(gòu)特征，可得平面，且平面，設(shè)與和的交點分別為，，且，為和中心，又由點為內(nèi)（包括邊界）的一個動點，可得三棱錐為外接球的球心必在直線，其中的外接圓為球的一個小圓，且為定圓，當過點，，球與所在的平面相切于的中心時，此時球的半徑最小，根據(jù)運動的思想，可得當點與或或重合時，此時外接球的半徑最大，設(shè)此時外接球的半徑為，由正方體的棱長為，可得，則，分別連接，，在等邊中，由，可得，在等邊中，由，可得，設(shè)，則，在直角，可得，在直角，可得，所以，解得，所以，所以最大外接球的表面積為.

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