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熱點1-4函數的零點問題（核心考點七大題型）（解析版）
【考情透析】
有關零點問題，是歷年高考重點考查的知識點之一，其應用范圍涉及高中數學的很多章節(jié)，且常考常新，但考查內容卻無外乎零點個數的判斷、二分法以及由零點求參數取值范圍等問題，其中嵌套函數的零點問題是難點，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．考題難度為中檔.
【考題歸納】
核心考點題型一 判斷函數零點所在區(qū)間
【例題1】．（2024上·甘肅天水高三統(tǒng)考期末）在下列區(qū)間中，函數的零點所在的區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判斷函數在上單調遞增，由,利用零點存在定理可得結果.
【詳解】因為函數在上連續(xù)單調遞增，
且,所以函數的零點在區(qū)間內.
【例題2】．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知曲線與軸交于點，設經過原點的切線為，設上一點橫坐標為，若直線，則所在的區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程，進而求出直線方程，再利用零點存在性定理判斷橫坐標所在范圍.
【詳解】由，求導得，設直線與曲線相切的切點坐標為，則直線的斜率為，
直線的方程為，由直線過原點，即，解得，
依題意，直線的斜率為，而點，則直線的方程為，
由消去得，顯然是方程的不為零的根，
令，求導得，當時，，當時，，
于是函數在上單調遞減，在上單調遞增，，
顯然，即在上有唯一零點0，而，
則在上有唯一零點，即，又，
所以所在的區(qū)間為.
故選：D
【例題3】（2024上·四川成都高三統(tǒng)考期末）設函數,則函數(　).
A.在區(qū)間內均有零點 B.在區(qū)間內均無零點
C.在區(qū)間內有零點,在區(qū)間內無零點
D.在區(qū)間內無零點,在區(qū)間內有零點
【答案】D
【解析】令得.作出函數和的圖象,
如圖所示,
由與的圖象在內無交點,在內有交點,
得在內無零點,在內有零點.
【變式1-1】．（2024上·遼寧朝陽·建平縣第二高級中學校考期末）函數的零點所在區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數的單調性，結合零點存在性定理判斷選項即可.
【詳解】因為在上為增函數，且，
，因為，所以，
所以的零點所在區(qū)間為.
故選：C.
【變式1-2】．（2024上·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）方程的實數根所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，構造函數，探討當時，函數取值情況，再借助零點存在性定理判斷即得.
【詳解】令函數，
當時，，
因此函數在上不存在零點，而，
由零點存在性定理，得函數在上有零點，
當時，，函數在上遞減，
于是，則當時，，即函數在上無零點，
從而函數的零點只能在上，所以方程的實數根所在的區(qū)間是.
故選：D
【變式1-3】（2024上·甘肅蘭州·高三統(tǒng)考期末）．設,,則函數存在的零點所在的區(qū)間一定為(　　).　　　 　　　　　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的零點等價于方程的根,
即函數與圖象的交點的橫坐標.
作出與的大致圖象,如圖所示,
從圖象可知它們僅有一個交點,其橫坐標的范圍為.
【變式1-4】．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）對于定義在R上的函數，若存在非零實數，使在和上均有零點，則稱為的一個“折點”，下列四個函數存在“折點”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數存在“折點”的條件，對每一選項逐一判斷即可.
【詳解】對于A選項，，所以 沒有零點，
從而沒有“折點”，故A不符合題意；
對于B選項，當時，，
因為 單調遞增，所以在上有零點，
又因為是偶函數，所以在上有零點，
從而 存在“折點”，故B符合題意；
對于C選項， 因為，所以，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以在處取得極大值，
在處取得極小值，
而，所以在上只有一個零點，所以C不符合題意；
對于D選項，因為，令解得，只有一個零點，故D選項不符合題意；
故選：B
核心考點題型二 二分法
【例題1】（2023秋·河北石家莊高三模擬）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
那么方程的一個近似根（精確度）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據二分法求零點的步驟以及精確度可求得結果.
【詳解】因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，，所以函數在內有零點，
因為，所以滿足精確度，
所以方程的一個近似根（精確度）是區(qū)間內的任意一個值（包括端點值），根據四個選項可知選C.選：C
【例題2】（2023·河南開封高三模擬）已知函數滿足：對任意，都有，且.在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，又，則函數的零點為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據條件分析得到的單調性，然后根據二分法的過程得到滿足的方程組，由此求解出的值，則的零點可知.
【詳解】因為對任意，都有，且，
所以在上單調遞增，且；
因為恒成立，所以，解得，
所以的零點為，故選：B.
【例題3】（2023秋·湖南長沙高三校聯(lián)考）已知函數的一個零點，用二分法求精確度為0.01的的近似值時，判斷各區(qū)間中點的函數值的符號最多需要的次數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】假設對區(qū)間二等分次，則第次二等分后區(qū)間長度為，由精確度可構造不等式求得結果.
【詳解】設對區(qū)間二等分次，開始時區(qū)間長為
第次二等分后區(qū)間長為 ，即
，解得：
當時， 最多需要次故選：
【變式2-1】．（2022上·四川遂寧·高三校考期末）函數，用二分法求方程在內近似解的過程中得，，，，，則方程的根落在區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據零點存在性定理求得正確答案.
【詳解】，函數在上單調遞增，
由，所以零點在區(qū)間內，
由，所以零點在區(qū)間內.
故選：C
【變式2-2】（2023·江蘇南通·高三海安高級中學校考）函數 的零點與的零點之差的絕對值不超過，則的解析式可能是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據二分法，估算的零點，結合選項函數的零點進行判斷.
【詳解】因為，是單調增函數，又，
故的零點所在區(qū)間為，若使得的零點與的零點之差的絕對值不超過，
只需的零點在區(qū)間即可.顯然A選項中，的零點為滿足題意，
而選項B中的零點1，C選項中的零點0，D選項中零點均不滿足題意.故選：A.
【變式2-3】（2023秋·湖南邵陽第一中學校考）已知圖像連續(xù)不斷的函數在區(qū)間上有唯一零點，如果用“二分法”求這個零點（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數至少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】D
【分析】根據計算精確度與區(qū)間長度和計算次數的關系滿足精確度確定．
【詳解】設需計算次，則滿足，即．
由于，故計算10次就可滿足要求，
所以將區(qū)間等分的次數至少是10次．故選：D．
核心考點題型三 函數零點個數的判斷
【例題1】．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知函數，則的所有零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令求解即可.
【詳解】時，由得，
時，由得或，
所以四個零點和為．
故選：D．
【例題2】．（2024上·陜西榆林高三專題檢測）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，則在區(qū)間內至少存在一個點，使得稱為函數在閉區(qū)間上的中值點，若關于函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為m，函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為n，則有（ ）（參考數據：.）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】B
【分析】利用給定的定義分別求出的值，即可得解.
【詳解】設函數在區(qū)間上的“中值點”為，由，得，
則由拉格朗日中值定理得，，即，而，
則，即函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為1，因此，
設函數在區(qū)間上的“中值點”為，由，求導得，
由拉格朗日中值定理得，，即，
令函數，函數在上單調遞增，，
則函數在上有唯一零點，即方程在區(qū)間上有1個解，
因此函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為1，即，
所以.
故選：B
【例題3】．（2024·四川成都·模擬預測）設是定義在上的奇函數，且當時，，則的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出當時函數與的圖象，數形結合確定此時函數的零點，再根據奇函數的性質確定以及時的零點，即可得答案.
【詳解】依題意，作出函數與的圖象，如圖，
可知兩個函數的圖象有兩個不同交點，即此時有兩個零點；
又函數是定義域為的奇函數，故當時，也有兩個零點，
函數是定義域為的奇函數，所以，即也是函數的1個零點，
綜上所述，共有5個零點．
故選：D．
【變式3-1】．（2024上·湖北荊州·高一統(tǒng)考期末）若函數()滿足，且時，，函數則函數在區(qū)間內零點的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】將問題轉化為與在內交點的個數，利用函數的周期性以及分段函數的解析式，判斷，，，，，，上的最值及單調性，確定各區(qū)間是否有交點，進而可知在區(qū)間內零點的個數.
【詳解】由題意，，即為周期為2的函數，要求在區(qū)間內零點的個數，即為求與在內交點的個數，
∴根據的區(qū)間解析式及其周期性，分段函數的解析式，
，而，故，，上各有一個交點，
同理，而，故，，，上各有一個交點，
∴共有7個交點，即在區(qū)間內零點的個數為7個，在函數圖象如下，
故選：B.
【變式3-2】．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知，則的零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，由二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡可得，則或，結合，即可得出答案.
【詳解】由，
則，所以，
即，
所以或，
解得：或，
因為，所以，或，
所以的零點之和為，
故選：C.
【變式3-3】．（2023上·四川南充·高三四川省南充高級中學校考）函數的零點個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】轉化為，的交點個數問題，畫出兩函數圖象，數形結合得到答案.
【詳解】，即，
令，，
故的零點個數為與的交點個數，
在同一坐標系內畫出與的圖象，如下：
顯然與的交點個數為1，故的零點個數為1.
故選：D
【變式3-4】．（2022上·新疆烏魯木齊·高三新疆農業(yè)大學附屬中學校考期末）已知函數是定義在R上的偶函數，且，當時，，設函數，則函數的零點個數為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】A
【分析】求函數的零點，即方程根的個數，轉化為函數與圖像交點個數.
【詳解】函數為偶函數，周期為2，函數的零點，即方程根的個數，
轉化為函數與圖像交點個數，作出圖像可得共有6個交點.
故選：A.
【變式3-5】．（2023下·廣東揭陽·高三校考）函數，則函數的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】令，結合題意得到的兩根為，，然后根據函數的單調性和最值進而求解.
【詳解】令，則，當時，由可得或（舍去）；當時，由可得，所以的兩根為，，
則或，因為在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，若，易知方程無解，
若，當時，由，得或（舍去），
此時方程有唯一的解；
當時，由，得，此時方程有唯一的解，
綜上所述可知函數的零點個數為個，
故選：A.
核心考點題型四 比較零點大小
【例題1】（2024上·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）已知函數的零點分別為a，b，c，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判斷各函數的單調性再根據零點的存在性定理求出函數零點的范圍，即可得出答案.
【詳解】因為函數都是增函數，
所以函數都是連續(xù)增函數，
因為，，即，
所以在在存在唯一零點，即，
因為，，即，
所以在在存在唯一零點，即，
令，即，即，解得，即，
綜上：.
故選：D.
【例題2】．（2024上·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知正數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由指數函數，對數函數，一次函數圖像數形結合可得.
【詳解】依題意得，
在同一坐標系中分別畫出函數的圖象，觀察它們與直線的交點，可得.
故選：B
【離題3】（2024上·四川巴中高三統(tǒng)考期末）．已知函數，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算出的值，利用零點存在定理求出、所在區(qū)間，由此可得出、、的大小關系.
【詳解】因為函數、均為上的增函數，故函數為上的增函數，
因為，，所以，，
因為函數、在上均為增函數，故函數在上為增函數，
因為，，所以，，
由可得，因此，.
【變式4-1】．（2023上·黑龍江綏化高三統(tǒng)考期末）已知函數，，的零點依次為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析函數單調性，根據零點存在性定理，依次判斷所在區(qū)間即可.
【詳解】由題意，對于函數，可知是增函數，也是增函數，
則為上增函數，又，
對函數，可知增函數，也是增函數，故函數為上增函數，
又，，故；
對于，又，故；
；
故選：C.
【變式4-2】（2023上·山西運城高三統(tǒng)考期末）．若，則下列不等關系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將條件轉化為，結合對應函數的性質畫出函數圖象，判斷它們與有交點時各交點橫坐標的大小情況.
【詳解】由，得．
由，得，，
作函數，，的圖象，再作直線．
變換的值發(fā)現：，，均能夠成立， D不可能成立.
【變式4-3】．（2023上·廣西南寧·高二南寧三中校考期中）已知函數的兩個零點分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用已知條件把問題轉化為與有兩個交點，畫出圖像，觀察圖像即可得出結論.
【詳解】有兩個零點，
即與有兩個交點，交點的橫坐標就是，
在同一坐標系畫出與的圖象如圖，
可知，
，
，
故選：A.
核心考點題型五 求由零點組成代數式的值或者取值范圍
【例題1】（2023下·吉林延邊·高二延邊二中校考期末）設滿足，滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用換元法求得與的關系式，從而求得正確選項.
【詳解】依題意滿足，即是方程的根.
在上遞增，在上遞減，所以是方程唯一的根.
由得，
令，則，則，
依題意滿足，
所以.
故選：A
【例題2】．（2023上·北京·首都師范大學附屬中學校考）若是函數的零點，是函數的零點，則的值為（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【答案】B
【分析】利用指數函數與對數函數互為反函數，其圖象關于對稱，結合反比例函數的圖象也關于對稱，從而數形結合即可得解.
【詳解】因為是函數的一個零點，是函數的一個零點，
所以，，即，，
設函數與的交點為，則，，
設函數與的交點為，則，，
因為函數與函數互為反函數，
所以它們的圖象關于對稱，
而的圖象也關于對稱，
所以點關于對稱，即，
所以由得，即.
故選：B.
【例題3】．（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）函數在區(qū)間上的所有零點之和為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根據題意整理可得，將函數的零點問題轉化為與的交點問題，利用圖象結合對稱性分析運算.
【詳解】由題意可得：，
令，且，可得，
∵與均關于點對稱，
由圖可設與的交點橫坐標依次為，
根據對稱性可得，
故函數在上所有零點之和為.
故選：B.
【例題4】．（2023下·內蒙古赤峰·高三統(tǒng)考期末）已知函數，若存在實數，滿足，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函數的圖象，根據題意，得到，且關于對稱，求得，且，得到，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】作出函數的圖象，
存在，滿足，且，
可得，即，解得，
且關于對稱，可得，即，其中，
則，
因為函數在上單調遞增，所以，
即.
故選：A.
【變式5-1】．（2017·江西南昌·統(tǒng)考三模）函數所有零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化簡，轉化為與的交點橫坐標之和，數形結合即得解
【詳解】函數所有零點
函數與的交點的橫坐標．
，，可得函數，的圖象，關于點對稱．
函數，的圖象如下：
結合圖象可得在區(qū)間，函數，的圖象有4個交點，關于點對稱，所有零點之和為
故選：B
【變式5-2】（2023秋·福四川綿陽高三統(tǒng)考）設函數，有四個實數根，，，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據分段函數解析式研究的性質，并畫出函數圖象草圖，應用數形結合及題設條件可得、、，進而將目標式轉化并令，構造，則只需研究在上的范圍即可.
【詳解】由分段函數知：時且遞減；時且遞增；
時，且遞減；時，且遞增；
∴的圖象如下：有四個實數根，，，且，
由圖知：時有四個實數根，且，又，
由對數函數的性質：，可得，
∴令，且，
由在上單增，可知，所以.
【變式5-3】．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知函數 若存在實數，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據分段函數的性質，畫出圖象，即可圖象以及函數的對稱性即可求解臨界位置， 即可求解.
【詳解】畫出的圖象如下圖：
由題意可知，，由圖象可知關于直線對稱，所以，因此，
當時，，此時，
當時，，此時，
當存在，，，使得時，此時，
故選：C
核心考點題型六 根據零點個數或者區(qū)間確定參數的取值范圍
【例題1】．（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）已知函數.若函數存在零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對求導，求出的單調性和最值，函數存在零點，即與的圖象有交點，即可求出的取值范圍.
【詳解】，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，
所以的最大值為，最小值為，故，
函數存在零點，即，
即與的圖象有交點，所以
故選：C,
【例題2】．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）若函數有唯一零點，則實數（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】A
【分析】由函數解析式推導出函數的對稱性，然后結合只有唯一的零點求出參數的值.
【詳解】由
，
得，即函數的圖象關于對稱，
要使函數有唯一的零點，
則，即，得．
故選：A．
【例題3】．（2023·山東煙臺高三模擬）若關于x的方程有四個不同的實數解，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據所解方程既是高次方程又是分式方程，所以對其進行是降次，同時注意到對任意的，必是原方程的一個根，所以只考慮時有三個實數解即可.
【詳解】因為有四個實數解，顯然，是方程的一個解，
下面只考慮時有三個實數解即可.
若，原方程等價于，顯然，則.
要使該方程有解，必須，則，此時，方程有且必有一解；
所以當時必須有兩解，當時，原方程等價于，
即(且)，要使該方程有兩解，必須，所以.
所以實數k的取值范圍為.
故選：C.
【例題4】．（2023·浙江金華高三專題檢測）已知函數，若函數恰有三個零點，則正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據時，得零點為,故將問題轉化為在有2個零點，結合余弦函數的性質即可求解.
【詳解】當時，，解得或（舍去），
由于有3個零點，故在有2個零點，
所以,解得或，
則當時，，
要使在有2個零點，則，故，
故選：C
【變式6-1】．（2023上·浙江臺州·高三統(tǒng)考期末）已知函數，若關于x的方程在區(qū)間上有兩個不同的實根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構造新函數，根據根的情況分類討論可求a的取值范圍.
【詳解】設，因為時，不合題意，故.
，即；
若，即時，在區(qū)間上單調遞減，至多有一個零點，不符合題意，舍.
若，即時，在區(qū)間上單調遞增，至多有一個零點，不符合題意，舍.
若，則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
從而只需，即，解得，即.
故選：A
【變式6-2】．（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考）已知函數若函數有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函數、導數研究的性質并畫出草圖，將問題化為與的圖象有3個交點，數形結合確定參數范圍.
【詳解】當時，，
當時，單調遞減；當時，單調遞增.
當時，.
當時，，則，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減.
當時，.
畫出函數的圖象如圖所示：
因為函數有3個零點，
所以與的圖象有3個交點，由圖知：.
所以的取值范圍為.
故選：B
【變式6-3】．（2023·陜西漢中高三模擬）設表示不超過的最大整數，如，已知函數，若方程有且僅有個實根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，則問題轉化為與在上恰有3個交點，數形結合即可得解.
【詳解】由可得，依題意與在上恰有3個交點，
如圖所示，點和點為臨界點，
所以實數的取值范圍是，
故選：C
【變式6-4】．（2023上·湖南長沙·高三統(tǒng)考）已知函數若函數恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，將函數的零點問題轉化為函數圖像交點問題，分，以及討論，結合圖像，即可得到結果.
【詳解】
令，所以要使恰有3個零點，
只需方程恰有3個實根即可，
即與的圖像有3個不同交點．
當時，此時，如圖1，與有1個不同交點，不滿足題意；
當時，如圖2，此時與恒有3個不同交點，滿足題意；
當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以．
綜上，的取值范圍為．
故選：D
核心考點題型七 與嵌套函數有關的零點問題
【例題1】．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數，則方程的實根個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由題意畫出函數的圖象，由方程，得或，再數形結合即可求解．
【詳解】由，
則可作出函數的圖象如下：
由方程，得或，
所以方程的實根個數為3．
故選：A．
【例題2】．（2023上·遼寧沈陽實驗中學校考）已知函數，若關于的不等式恰有兩個整數解，則實數的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】畫出函數的圖像，然后對于不等式，分和以及和進行分析說明得實數的最小值.
【詳解】函數的圖像如下：

不等式恰有兩個整數解，
①當時，，即，
當時，，
由于恰有兩個整數解，又，
則整數解為和，又，
因為求最小值，此時就不用考慮了，的最小值為，
②當時，對于，
則，
只考慮，
則
又時有兩個整數解，則不等式的解集中含有多于個整數解，故舍去，
綜上，實數的最小值是.
故選：A.
【例題3】．（2023上·陜西西安長安一中校考期末）已知函數，則關于的方程實數解的個數為（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由解得或2，再畫出，，的圖象數交點個數即可.
【詳解】因為，解之得或2，
當時，；
當時，，當且僅當時等號成立，
所以，，的圖象如圖：
由圖可知使得或的點有4個.
故選：A.
【例題4】．（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若關于的方程恰有4個不相等的實數根，則實數的值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】將原方程根的問題轉化為函數圖像交點問題，結合函數性質求解答案即可.
【詳解】由于函數是定義在上的奇函數，所以討論情況如下：
作圖像如下圖所示，

關于的方程，
解得或，
由于與圖像有一個公共點，
則圖像與圖像有三個公共點，如圖所示，，
同理，時，，所以實數的值是.
故選：D
【變式7-1】．（2023下·安徽·高三巢湖市第一中學校聯(lián)考期中）已知函數，則函數的零點個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由的性質求出對應區(qū)間的值域及單調性，令并將問題轉化為與交點橫坐標對應值的個數，結合數形結合法求零點個數即可.
【詳解】令，
當時，且遞增，此時，
當時，且遞減，此時，
當時，且遞增，此時，
當時，且遞增，此時，
所以，的零點等價于與交點橫坐標對應的值，如下圖示：
由圖知：與有兩個交點，橫坐標、：
當，即時，在、、上各有一個解；當，即時，在有一個解.
綜上，的零點共有4個.
故選：B
【變式7-2】．（2023上·河北·高三校聯(lián)考）已知函數則函數的所有零點之和為（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【答案】D
【分析】令，得到，令，可得，列出方程求得，得到，在結合函數的解析式，列出方程，即可得到答案.
【詳解】由函數，令，則，
令，可得，
當時，由，可得，即，解得；
當時，由，可得，即，解得或（舍去），
所以，即，
當時，令或（舍去），解得或；
當時，令，解得或，
所以函數的零點之和為.
故選：D.
【變式7-3】．（2024·河南安陽高三模擬預測）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，先判斷在和上的單調性和最值，再作出函數的大致圖象，將函數的零點問題轉化為方程根的問題，從而數形結合得結果.
【詳解】當時，，當時，，
當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，．
當時，當時，，
當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且．
作出函數的大致圖象，如圖所示，
由圖象可知，是函數的零點，要使函數有兩個不同的零點，則方程有兩個不相等的實數根，等價于有1個非零實數根.
由圖可知或或，即.
故選：C．
【變式7-4】．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數，若函數恰有5個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據零點的定義可得方程和共有5個解；結合導數分析函數的性質，作函數的圖象，觀察圖象求的取值范圍.
【詳解】因為函數恰有5個零點，
所以方程有個根，
所以有個根，
所以方程和共有5個根；
當時，，
，
當時，，函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減；
因為，所以，
，當且時，，
時，，
當時，，，
故函數在上的圖象為對稱軸為，頂點為的拋物線的一段，
根據以上信息，作函數的圖象如下：
觀察圖象可得函數的圖象與函數的圖象有2個交點，
所以方程有兩個根，
所以方程有3個異于方程的根，
觀察圖象可得，
所以的取值范圍為..
故選：D.熱點1-4函數的零點問題（核心考點七大題型）（原卷版）
【考情透析】
有關零點問題，是歷年高考重點考查的知識點之一，其應用范圍涉及高中數學的很多章節(jié)，且常考常新，但考查內容卻無外乎零點個數的判斷、二分法以及由零點求參數取值范圍等問題，其中嵌套函數的零點問題是難點，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．考題難度為中檔.
【考題歸納】
核心考點題型一 判斷函數零點所在區(qū)間
【例題1】．（2024上·甘肅天水高三統(tǒng)考期末）在下列區(qū)間中，函數的零點所在的區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知曲線與軸交于點，設經過原點的切線為，設上一點橫坐標為，若直線，則所在的區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2024上·四川成都高三統(tǒng)考期末）設函數,則函數(　).
A.在區(qū)間內均有零點 B.在區(qū)間內均無零點
C.在區(qū)間內有零點,在區(qū)間內無零點
D.在區(qū)間內無零點,在區(qū)間內有零點
【變式1-1】．（2024上·遼寧朝陽·建平縣第二高級中學校考期末）函數的零點所在區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】．（2024上·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）方程的實數根所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024上·甘肅蘭州·高三統(tǒng)考期末）．設,,則函數存在的零點所在的區(qū)間一定為(　　).　　　 　　　　　　
A． B． C． D．
【變式1-4】．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）對于定義在R上的函數，若存在非零實數，使在和上均有零點，則稱為的一個“折點”，下列四個函數存在“折點”的是（ ）
A． B．
C． D．
核心考點題型二 二分法
【例題1】（2023秋·河北石家莊高三模擬）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
那么方程的一個近似根（精確度）可以是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·河南開封高三模擬）已知函數滿足：對任意，都有，且.在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為，又，則函數的零點為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023秋·湖南長沙高三校聯(lián)考）已知函數的一個零點，用二分法求精確度為0.01的的近似值時，判斷各區(qū)間中點的函數值的符號最多需要的次數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式2-1】．（2022上·四川遂寧·高三校考期末）函數，用二分法求方程在內近似解的過程中得，，，，，則方程的根落在區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·江蘇南通·高三海安高級中學校考）函數 的零點與的零點之差的絕對值不超過，則的解析式可能是
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023秋·湖南邵陽第一中學校考）已知圖像連續(xù)不斷的函數在區(qū)間上有唯一零點，如果用“二分法”求這個零點（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數至少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
核心考點題型三 函數零點個數的判斷
【例題1】．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知函數，則的所有零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2024上·陜西榆林高三專題檢測）拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，則在區(qū)間內至少存在一個點，使得稱為函數在閉區(qū)間上的中值點，若關于函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為m，函數在區(qū)間上的“中值點”的個數為n，則有（ ）（參考數據：.）
A．1 B．2 C．0 D．
【例題3】．（2024·四川成都·模擬預測）設是定義在上的奇函數，且當時，，則的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式3-1】．（2024上·湖北荊州·高一統(tǒng)考期末）若函數()滿足，且時，，函數則函數在區(qū)間內零點的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式3-2】．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知，則的零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】．（2023上·四川南充·高三四川省南充高級中學校考）函數的零點個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式3-4】．（2022上·新疆烏魯木齊·高三新疆農業(yè)大學附屬中學校考期末）已知函數是定義在R上的偶函數，且，當時，，設函數，則函數的零點個數為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【變式3-5】．（2023下·廣東揭陽·高三校考）函數，則函數的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
核心考點題型四 比較零點大小
【例題1】（2024上·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）已知函數的零點分別為a，b，c，則有（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2024上·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知正數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【離題3】（2024上·四川巴中高三統(tǒng)考期末）．已知函數，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】．（2023上·黑龍江綏化高三統(tǒng)考期末）已知函數，，的零點依次為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023上·山西運城高三統(tǒng)考期末）．若，則下列不等關系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】．（2023上·廣西南寧·高二南寧三中校考期中）已知函數的兩個零點分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
核心考點題型五 求由零點組成代數式的值或者取值范圍
【例題1】（2023下·吉林延邊·高二延邊二中校考期末）設滿足，滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
【例題2】．（2023上·北京·首都師范大學附屬中學校考）若是函數的零點，是函數的零點，則的值為（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【例題3】．（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）函數在區(qū)間上的所有零點之和為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【例題4】．（2023下·內蒙古赤峰·高三統(tǒng)考期末）已知函數，若存在實數，滿足，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】．（2017·江西南昌·統(tǒng)考三模）函數所有零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023秋·福四川綿陽高三統(tǒng)考）設函數，有四個實數根，，，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知函數 若存在實數，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型六 根據零點個數或者區(qū)間確定參數的取值范圍
【例題1】．（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）已知函數.若函數存在零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）若函數有唯一零點，則實數（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【例題3】．（2023·山東煙臺高三模擬）若關于x的方程有四個不同的實數解，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題4】．（2023·浙江金華高三專題檢測）已知函數，若函數恰有三個零點，則正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】．（2023上·浙江臺州·高三統(tǒng)考期末）已知函數，若關于x的方程在區(qū)間上有兩個不同的實根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】．（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考）已知函數若函數有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】．（2023·陜西漢中高三模擬）設表示不超過的最大整數，如，已知函數，若方程有且僅有個實根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】．（2023上·湖南長沙·高三統(tǒng)考）已知函數若函數恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
核心考點題型七 與嵌套函數有關的零點問題
【例題1】．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數，則方程的實根個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例題2】．（2023上·遼寧沈陽實驗中學校考）已知函數，若關于的不等式恰有兩個整數解，則實數的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例題3】．（2023上·陜西西安長安一中校考期末）已知函數，則關于的方程實數解的個數為（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【例題4】．（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若關于的方程恰有4個不相等的實數根，則實數的值是（ ）
A． B． C．0 D．
【變式7-1】．（2023下·安徽·高三巢湖市第一中學校聯(lián)考期中）已知函數，則函數的零點個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式7-2】．（2023上·河北·高三校聯(lián)考）已知函數則函數的所有零點之和為（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【變式7-3】．（2024·河南安陽高三模擬預測）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-4】．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數，若函數恰有5個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．

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