資源簡介

熱點1-7 解三角形（核心考點六大題型）（解析版）
【考情透析】
1、 正弦定理與余弦定理以及解三角形是高考的必考內容，主要考查邊、角、面積、周長等計算
2、解三角形中涉及的中線、角平分線、垂線等問題也是近幾年高考的熱點問題。
3、解三角形中的最值與范圍問題是近幾年高考數學的熱點，這類試題主要考查學生數形結合、等價轉化、數學運算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相對綜合，涉及知識較多，可通過三角恒等變換、構造函數或構造基本不等式等方法加以解決。
4、正余弦定理在解三角形中的高級應用：倍角定理；隱圓問題等難點問題
【考題歸納】
核心考點題型一 正、余弦定理解決邊、角、面積、周長問題
【例題1】．（2022·湖南省臨澧縣第一中學一模）在中，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據給定條件利用正弦定理直接計算即可判斷作答.
在中，若，，，由正弦定理得：
，
所以.
故選：B
【例題2】（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學校考模擬預測）（多選）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】根據余弦定理可知，代入，可得，即，因為，所以或，故選：BD.
【例題3】（2023·四川·校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則的面積等于______．
【答案】
【解析】由，①知，，由余弦定理，得．
又，所以．由及正弦定理，得②．
聯立①②，得，所以的面積為．故答案為：．
【例題4】（2023·陜西高三模擬預測）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為
(1)求;
(2)若求△ABC的周長.
【答案】(1)(2) .
【詳解】：（1）由題設得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由題設及（1）得，即.
所以，故.
由題設得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周長為.
【變式1-1】.（2021全國新高考2卷）在中，角、、所對邊長分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【詳解】（1）因為，則，則，故，，
，所以，為銳角，則，
因此，；
（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，
由余弦定理可得，
解得，則，
由三角形三邊關系可得，可得，，故.
【變式1-2】．（2023·寧夏·石嘴山市第一中學一模）在中，角A，B，C所以對的邊分別為a，b，c，若，的面積為，，則（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】D
【解析】由，可求得，再結合面積和，即可求得邊，
再由余弦定理求得.
由，由正弦定理得，又，
得，得，得，又，得，
則，則，由余弦定理，
得，得或.
故選：D
【變式1-3】（2022·陜西·安康市教學研究室高三階段檢測）在中a，b，c分別為內角A，B，C的對邊．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面積．
【答案】(1),(2)
【解析】（1）利用正弦定理化簡求解即可.
（2）利用三角函數的和差公式，得到，進而利用正弦定理可求出，利用面積公式即可求解.
（1）
由及正弦定理得，
因為，則且，
所以，
即，則，可得，所以．
（2）
，
，所以，所以，
故．
【變式1-4】（2023·河南·校聯考模擬預測）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因為四邊形ABCD內接于半徑為的圓，
它的對角互補，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長為．
故選：A．
核心考點題型二 解三角形中的中線問題
解決方案：方案1、向量化(三角形中線問題）如圖在中，為的中點，
(此方法在解決三角形中線問題時，高效便捷）
方案2、角互補
【例題1】（2023云南曲靖一中月考試題）．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點．求的正弦值；
【答案】
【解析】：本題涉及到中線問題，主要有以下幾種解法
方法1、由余弦定理得，
即，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
與互補，則，解得，
在中，由余弦定理，得，
因為，所以．
方法2、由題意可得，，
由AM為邊BC上的中線，則，
兩邊同時平方得，，故，
因為M為BC邊中點，則的面積為面積的，
所以，
即，
化簡得，．
【例題2】（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令的內角所對邊分別為，
由正弦定理及得，即，
銳角中，，即，同理，
于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，
因此，
當時，，，所以中線的取值范圍是.故選：D
【變式2-1】．（2023·山東濰坊高三校考模擬預測）已知函數．(1)求的最小正周期和最大值：
(2)設的三邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，且，，AB邊上的中線長為，求的面積．
【答案】(1)，最大值為.(2)
【解析】(1)
，
故，當，即，時有最大值為.
(2)，即，，故.
AB邊上的中線長，，
故，
故，解得或（舍去），
.
【變式2-2】（2023春·廣東高三校聯考階段檢測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面積為，求AC邊上的中線長．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，
由正弦定理得，由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又∵，∴，由，，，得，
∴，；
（2）由（1）得，，，
，，，，
所以，
設AC的中點為D，則，在中，由余弦定理得，所以AC邊上的中線長為．
核心考點題型三 解三角形中的角平分線問題
解決方法：如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
方案1：內角平分線定理：
或
方案2：等面積法(使用頻率最高）
方案3：邊與面積的比值：
方案4：角互補：
在中有：;
在中有：
【例題1】（2023秋·四川高三校聯考階段檢測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，若角A的內角平分線AD的長為2，則的最小值為（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】：因為，
所以，即，
由余弦定理易得，
又
平分角A，
．
由，
得，
即，
即，
，
當且僅當時等號成立，
即的最小值為18．
故選：D．
【例題2】（2023秋·江西高三校聯考階段檢測）在如圖，已知是中的角平分線，交邊于點.
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】：（1）∵是的角平分線，∴根據正弦定理，在中，，在中，
∵∴,∴
（2）根據余弦定理，，即，解得
又，∴，解得，； 設，則在與中，
根據余弦定理得，且
解得，即的長為．
【變式3-1】（2023·湖北高三專題檢測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個作為條件，補充在下面的問題中，并解答．①；②的面積是；③．問題：已知角A為鈍角，，______．
（1）求外接圓的面積；（2）AD為角A的平分線，D在BC上，求AD的長．
【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）
【解析】（1）選①②，，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圓的面積為．
選①③，因為，．
所以由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圓的面積為．
選②③，由，，A為鈍角，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圓的面積為．
（2）由AD為角A的平分線，設，，
則有，
由的面積，
即，解得．
故AD的長為.
【變式3-2】（2023·甘肅蘭州統考二模）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，且滿足．
（1）求△ABC的外接圓半徑；
（2）若∠B的平分線BD交AC于點D，且，求△ABC的面積．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由正弦定理，得，則，即，
因為，所以，設△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理知，所以△ABC的外接圓半徑為．
（2）由BD平分∠ABC，得，
則，即．
在△ABC中，由余弦定理可得，
又，則，聯立，可得，
解得（舍去）．
故．
核心考點題型四 解三角形中的垂線問題
1、分別為邊上的高，則
2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度
高線兩個作用：（1）產生直角三角形；（2）與三角形的面積相關
【例1】（2023春·四川資陽·高三四川省樂至中學校考開學考試）在中，內角、、滿足.
（1）求；（2）若邊上的高等于，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，令的三內角所對的邊分別為， 所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，因為，所以.
（2）由三角形的面積公式可得，則，由正弦定理可得，因為，則，所以，，即，即，整理可得，
所以，，解得.
【例2】（2023秋·甘肅白銀市高三階段檢測）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線交于點，求的長.
【答案】
【解析】選①，由，可得，即，所以，
又，所以，所以，所以，則，所以，所以，
如圖，設邊上的中垂線垂足為點，因為垂直平分，所以，又，所以，
在中，，所以，即.
選②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，
則，所以，所以，
如圖，設邊上的中垂線垂足為點，因為垂直平分，所以，
又，所以，在中，，所以，即.
選③，因為，所以，
又，所以，則，所以，
所以，如圖，設邊上的中垂線垂足為點，
因為垂直平分，所以，又，所以，在中，，
所以，即.
【變式4-1】（2023秋·四川成都七中高三月考）在銳角三角形ABC中，B=60°，AB=1，則AB邊上的高的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，,
則AB邊上的高，由正弦定理得.由為銳角三角形，可知30°【變式4-2】（2022秋·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯考階段檢測）已知的內角滿足.
（1）求角；
（2）若，設是中邊上的高，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
由正弦定理得， 由余弦定理得，
（2）在中，由得，
①當角為銳角時，
當，即時，.
②當角為直角時，，
③當角為鈍角時， ，
當，即時，
綜上：當時，.
核心考點題型五 倍角關系
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；(2)若，求的面積.
【答案】（1）證明略 （2）△的面積為.
【解析】（1）證明：由及正弦定理得：，
整理得，.
因為，
所以，
所以或，
所以或（舍），
所以.
（2）由及余弦定理得:，
整理得，
又因為，可解得，
則，所以△是直角三角形，
所以△的面積為.
【例題2】．（2023秋·福建三明高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.
(1)證明：；(2)若，證明：.
【答案】（1）證明略 （2）證明略
【解析】（1）由正弦定理，得，
，由，
則.
（2）由，則為銳角，，
則，去分母得，
則，由則.
由（1）有，得.
解方程組，消元，
則，可得，
要證，即證，
只需證，
即證，
即證，由，此不等式成立，得證.
另令，，又，
求導得，則在遞增，
則，得證.
【變式5-1】．（2024·河南洛陽模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；（2）若，求.
【答案】（1）證明略 （2）
【解析】（1）證明：因為，由正弦定理，得，
所以，所以.
又因為，，所以或.
若，又，所以，與a，b，c互不相等矛盾，
所以.
（2）由（1）知，所以.
因為，所以，則，
可得.
又因為
所以.
因為，所以，所以，
所以，解得，
又，得.
【變式5-2】（2023·云南曲靖考模擬預測）已知分別是的角的對邊，.
(1)求證：； (2)求的取值范圍.
【答案】（1）證明略 （2）
【解析】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得，，
或.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
設，則，則，
設，
則在上單調遞增，則，
即.
的取值范圍為.
核心考點題型六 解三角形中周長、面積的最值問題
【例題1】（2023·黑龍江·哈師大附中高三期中）在銳角中，內角的對邊分別為，向量，，滿足.
(1)求角的值；(2)若，求的面積的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)，，，
由正弦定理得，
可得，即，
由，可得，由，可得．
(2)因為，，，
由正弦定理得，
，，
，
銳角，，
，
，
.
【例題2】（2023秋·河北保定高三校聯考）在三角形ABC中，若.
（1）求角A的大小；（2）如圖所示，若，，求長度的最大值.
【答案】（1）；（2）6
【解析】（1）由已知及正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
即：，整理可得：，
可知左邊，當且僅當時等號成立，右邊，
當且僅當時等號成立，所以左右相等只有兩邊都等于2時，即同時取得等號，
所以.
（2）由（1）可知：，所以三角形ABC是正三角形.
設，，那么由余弦定理可得：
，即：，所以.
在三角形BDC中，由正弦定理可得：，
整理得：，
因為，所以為銳角，那么，
則，
在中，由余弦定理可得：，
即，
當且僅當時取得等號，所以最大值為6.
【例題3】（2023秋·陜西榆林高三校考階段檢測）在中，.
（1）求；（2）若，求周長的最小值.
【答案】（1）；（2）9
【解析】（1）因為，所以由正弦定理得，
又因為，，所以，即有，
又因為，所以.
（2）因為，，
所以由余弦定理可得
，
當時，等號成立，所以，
故周長的最小值9.
【變式6-1】（2023秋·河南開封第二中學校考）在四邊形中，四點共圓，，，．
（1）若，求的長；
（2）求四邊形周長的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為四點共圓，所以，
因為，所以，
因為，故，
在中，由余弦定理得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
即，解得：；
（2）由（1）知：，，
在中，由余弦定理得：，
整理得：，故，
其中，故，
解得：，當且僅當時，等號成立，
故四邊形周長的最大值為.
【變式6-2】（2023·河南開封高三檢測）已知函數．
（1）求函數的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
∴的值域為．
（2），
即，由 ,得
∴，即，
又，即，
∴，
∴，當且僅當時取得．
【變式6-3】（2023秋·江蘇無錫高三校聯考）已知的內角、、所對的邊分別為、、，.
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，且外接圓的半徑為，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，
可得，則，
所以，
即，由正弦定理得，
顯然，，所以，
所以，因為，所以.
（2）因為，即，所以，，
所以，
因為為銳角三角形且，
所以，所以，即，
令，，
由對勾函數性質知函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，，，所以，即，所以，
即的取值范圍為.熱點1-7 解三角形（核心考點六大題型）（原卷版）
【考情透析】
1、 正弦定理與余弦定理以及解三角形是高考的必考內容，主要考查邊、角、面積、周長等計算
2、解三角形中涉及的中線、角平分線、垂線等問題也是近幾年高考的熱點問題。
3、解三角形中的最值與范圍問題是近幾年高考數學的熱點，這類試題主要考查學生數形結合、等價轉化、數學運算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相對綜合，涉及知識較多，可通過三角恒等變換、構造函數或構造基本不等式等方法加以解決。
4、正余弦定理在解三角形中的高級應用：倍角定理；隱圓問題等難點問題
【考題歸納】
核心考點題型一 正、余弦定理解決邊、角、面積、周長問題
【例題1】．（2022·湖南省臨澧縣第一中學一模）在中，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學校考模擬預測）（多選）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023·四川·校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則的面積等于______．
【例題4】（2023·陜西高三模擬預測）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為
(1)求;(2)若求△ABC的周長.
【變式1-1】.（2021全國新高考2卷）在中，角、、所對邊長分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【變式1-2】．（2023·寧夏·石嘴山市第一中學一模）在中，角A，B，C所以對的邊分別為a，b，c，若，的面積為，，則（ ）
A． B． C．或 D．或3
【變式1-3】（2022·陜西·安康市教學研究室高三階段檢測）在中a，b，c分別為內角A，B，C的對邊．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面積．
【變式1-4】（2023·河南·校聯考模擬預測）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型二 解三角形中的中線問題
解決方案：方案1、向量化(三角形中線問題）如圖在中，為的中點，
(此方法在解決三角形中線問題時，高效便捷）
方案2、角互補
【例題1】（2023云南曲靖一中月考試題）．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點．求的正弦值；
【例題2】（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】．（2023·山東濰坊高三校考模擬預測）已知函數．(1)求的最小正周期和最大值：
(2)設的三邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，且，，AB邊上的中線長為，求的面積．
【變式2-2】（2023春·廣東高三校聯考階段檢測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，且．
（1）求角B的大小；（2）若的面積為，求AC邊上的中線長．
核心考點題型三 解三角形中的角平分線問題
解決方法：如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
方案1：內角平分線定理：
或
方案2：等面積法(使用頻率最高）
方案3：邊與面積的比值：
方案4：角互補：
在中有：;
在中有：
【例題1】（2023秋·四川高三校聯考階段檢測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，若角A的內角平分線AD的長為2，則的最小值為（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【例題2】（2023秋·江西高三校聯考階段檢測）在如圖，已知是中的角平分線，交邊于點.
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長.
【變式3-1】（2023·湖北高三專題檢測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個作為條件，補充在下面的問題中，并解答．①；②的面積是；③．問題：已知角A為鈍角，，______．
（1）求外接圓的面積；（2）AD為角A的平分線，D在BC上，求AD的長．
【變式3-2】（2023·甘肅蘭州統考二模）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，且滿足．
（1）求△ABC的外接圓半徑；
（2）若∠B的平分線BD交AC于點D，且，求△ABC的面積．
核心考點題型四 解三角形中的垂線問題
1、分別為邊上的高，則
2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度
高線兩個作用：（1）產生直角三角形；（2）與三角形的面積相關
【例1】（2023春·四川資陽·高三四川省樂至中學校考開學考試）在中，內角、、滿足.
（1）求；（2）若邊上的高等于，求.
【例2】（2023秋·甘肅白銀市高三階段檢測）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線交于點，求的長.
【變式4-1】（2023秋·四川成都七中高三月考）在銳角三角形ABC中，B=60°，AB=1，則AB邊上的高的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022秋·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯考階段檢測）已知的內角滿足.
（1）求角；
（2）若，設是中邊上的高，求的最大值.
核心考點題型五 倍角關系
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；(2)若，求的面積.
【例題2】．（2023秋·福建三明高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.
(1)證明：；(2)若，證明：.
【變式5-1】．（2024·河南洛陽模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；（2）若，求.
【變式5-2】（2023·云南曲靖考模擬預測）已知分別是的角的對邊，.
(1)求證：； (2)求的取值范圍.
核心考點題型六 解三角形中周長、面積的最值問題
【例題1】（2023·黑龍江·哈師大附中高三期中）在銳角中，內角的對邊分別為，向量，，滿足.
(1)求角的值；(2)若，求的面積的取值范圍．
【例題2】（2023秋·河北保定高三校聯考）在三角形ABC中，若.
（1）求角A的大小；（2）如圖所示，若，，求長度的最大值.
【例題3】（2023秋·陜西榆林高三校考階段檢測）在中，.
（1）求；（2）若，求周長的最小值.
【變式6-1】（2023秋·河南開封第二中學校考）在四邊形中，四點共圓，，，．
（1）若，求的長；
（2）求四邊形周長的最大值．
【變式6-2】（2023·河南開封高三檢測）已知函數．
（1）求函數的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值．
【變式6-3】（2023秋·江蘇無錫高三校聯考）已知的內角、、所對的邊分別為、、，.
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，且外接圓的半徑為，求的取值范圍.

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