資源簡(jiǎn)介

熱點(diǎn)1-9　等差、等比數(shù)列（核心考點(diǎn)九大題型）（解析版）
【考情透析】
1.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)。
2.數(shù)列的通項(xiàng)和求和也是高考熱點(diǎn)，以大題形式出現(xiàn)，難度中檔。
【題型歸納】
核心考點(diǎn)題型一 判斷（證明）等差（等比）數(shù)列
【例題1】（2023秋·四川綿陽(yáng)高三期中）“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】取，則，故為等差數(shù)列，
但，，，不為等比數(shù)列，故數(shù)列不是等比數(shù)列，
故“數(shù)列為等差數(shù)列”推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”，
若數(shù)列為等比數(shù)列，故，其中，
故，
故，故數(shù)列為等差數(shù)列，
故“數(shù)列為等比數(shù)列”可推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，
故“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的必要不充分條件，
故選：B.
【例題2】（2023·河南開(kāi)封統(tǒng)考三模）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（ ）
A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列
【答案】C
【分析】分析可知數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，
故對(duì)任意的，，則，
所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，
所以，，可得，
由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，
故選：C.
【例題3】．（2023·山西太原第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（）.記
(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明即可；（2）使用錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】（1）由已知，∵，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴易知數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由第（1）問(wèn)，，∴，
∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，
①得，②，
①②得，，
∴，∴.
∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【例題4】．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)
【分析】（1）由得出，再計(jì)算，將代入，即可證明；
（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，代入，再裂項(xiàng)得，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br/>即
所以
（為常數(shù)），
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，即.所以，
所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：
．
【變式1-1】．（2023·山東德州·高三期末）（多選）定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.下列函數(shù)是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】直接利用題目中“保等比數(shù)列函數(shù)”的性質(zhì)，代入四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.
對(duì)于A，則 ，故A是“保等比數(shù)列函數(shù)”；
對(duì)于B，則常數(shù)，故B不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；
對(duì)于C，則，故C是“保等比數(shù)列函數(shù)”；
對(duì)于D，則 常數(shù)，故D不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.
故選：AC.
【變式1-2】．（2023秋·重慶市天星橋中學(xué)一模）（多選）已知等比數(shù)列滿足，公比，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
【答案】ACD
【分析】根據(jù)給定條件求出的通項(xiàng)，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)判斷作答.
【詳解】在等比數(shù)列中，，公比，則有，
對(duì)于A，，，則數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；
對(duì)于B，，顯然對(duì)成立，即數(shù)列是遞增數(shù)列，B不正確；
對(duì)于C，，則數(shù)列是等差數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，，則數(shù)列數(shù)列是等比數(shù)列，D正確.
故選：ACD
【變式1-3】（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，，則是等比數(shù)列
C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列
D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
【答案】ABC
【分析】求出通項(xiàng)公式判斷AB；利用數(shù)列前n項(xiàng)和的意義、結(jié)合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說(shuō)明判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，，時(shí)，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；
對(duì)于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；
對(duì)于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)是，
，
，
因此，則 ，成等差數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，若等比數(shù)列的公比，則 不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【變式1-4】（2023秋·江蘇揚(yáng)州高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）
【解析】（1）為常數(shù)
∴是以為公差的等差數(shù)列．
（2）∵，∴由（1）得，
∴，∴，
∴.
【變式1-5】（2023·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）若是等比數(shù)列，求；
（2）若，證明：均為等比數(shù)列.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）由題意得：由當(dāng)時(shí)，
，且，故等比數(shù)列的公比
（2）證明：當(dāng)時(shí)，由，①
由②
將①+②得：
當(dāng)時(shí)有：
且，為等比數(shù)列
同理，將①-②得：
當(dāng)時(shí)有：
，且
為等比數(shù)列.
核心考點(diǎn)題型二 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【例題1】．（2023·云南曲靖高三模擬）已知數(shù)列滿足，，則=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，即，
等式兩邊開(kāi)方可得：，即，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以.
故選：C．
【例題2】（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則________．
【答案】
【分析】分析可知數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得出的值.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，
所以，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
因此，.
故答案為：.
【例題3】．（2023·河南洛陽(yáng)高三檢測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將化簡(jiǎn)為，再利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，從而確定數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.
所以.
故選：C
【變式2-1】．（2023·江西九江高三模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B．2n C． D．
【答案】D
【分析】首先令求出數(shù)列首項(xiàng)，再根據(jù)得，兩式相減得，然后構(gòu)造等差數(shù)列，通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.
【詳解】令，
由可得：，
兩式作差可得：，化簡(jiǎn)整理可得：，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，進(jìn)而可得：．
故選：D．
【變式2-2】．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獢?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】∵，，，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴，∴．
∴，
∴數(shù)列的前10項(xiàng)和為
．
故選：C．
【變式2-3】．（2023·甘肅白銀高三模擬）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意,可得，令，則，再結(jié)合等比數(shù)列的定義求解即可.
【詳解】∵，等式兩側(cè)同除，可得，
令，則，∴，又，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，即，
∴，即.
故答案為：.
【變式2-4】．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由遞推式證明數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>又，可得，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
故選：B.
核心考點(diǎn)題型三 等差、等比數(shù)列中項(xiàng)
【例題1】．（2023·陜西榆林高三模擬）在等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】通過(guò)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算，進(jìn)而可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以與的等比中項(xiàng)是，
故選：D.
【例題2】（2023·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，
因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故選：A
【變式3-1】．（2022·湖南長(zhǎng)沙三模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若是和的等差中項(xiàng)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，且，
解得，又因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，
所以，得，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A.
【變式3-2】（2023·四川成都高三聯(lián)考）已知，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】
【詳解】解：由題意得，即，
所以，
又，所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．
故的最小值為．
故答案為：
核心考點(diǎn)題型四 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)（下標(biāo)定理）
【例題1】．（2023·陜西寶雞高三專題檢測(cè)）已知等差數(shù)列中，，，則等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用等差中項(xiàng)的定義直接求得.
【詳解】在等差數(shù)列中，由等差中項(xiàng)的定義可得：，，
所以．
故選：C
【例題2】．（2023·安徽安慶一中校考三模）在等比數(shù)列中，，則（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由可得，又，
故，則，解得，即.
故選：D
【變式4-1】．（2023秋·江蘇徐州高三模擬）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則___________.
【答案】
【詳解】在等比數(shù)列中，，
由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得.
在等差數(shù)列中，，
由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.
.
故答案為：
【變式4-2】（2023秋·陜西·長(zhǎng)安一中檢測(cè)）設(shè)為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則___________.
【答案】13122
【詳解】由解得或
和是方程的兩根，所以
所以公比
則
故答案為：13122
【變式4-3】．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，公比，且，則（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，.
故選:B.
核心考點(diǎn)題型五 等差、等比數(shù)列的單調(diào)性
【例題1】．（2023·河北石家莊高三檢測(cè)）已知數(shù)列，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則為遞減數(shù)列
B．若，，，則為等比數(shù)列
C．若等比數(shù)列的公比，，則為遞減數(shù)列
D．若的前n項(xiàng)和為，，則為等差數(shù)列
【答案】ABD
【分析】A.計(jì)算可得答案；B.變形得可得答案；C.舉例求出可得答案；D. 求出可得答案.
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，即，A正確；
B.，，由已知得，則是以4為公比的等比數(shù)列，B正確；
C.當(dāng)時(shí)，，，則，C錯(cuò)誤；
D.由得時(shí)，，，，檢驗(yàn)得，時(shí)，滿足，所以，，則為等差數(shù)列，D正確.
故選：ABD
【例題2】．（2023·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
【答案】ABC
【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.
【詳解】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最小；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對(duì)于C，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【變式5-1】．（2023·江蘇無(wú)錫高三專題檢測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由已知，
對(duì)任意的，都有成立，即，即，
又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，
，即，解得.
故選：B.
【變式5-2】（2023·河南洛陽(yáng)高三模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，，則使成立的最大自然數(shù)的值為（ ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【詳解】由，可得一個(gè)大于，另一個(gè)小于，由，可得大于.
又其中一個(gè)大于，則都大于，故.
若，由，可得均大于，與題意矛盾.
故，由，可得：，.
因?yàn)椋郑?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是此時(shí).
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而..
故當(dāng)時(shí)都有，而是滿足成立的最大自然數(shù).
故選：
核心考點(diǎn)題型六 等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
【例題1】．（2023·云南曲靖高三專題檢測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．33 B．66 C．22 D．44
【答案】A
【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再按照等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意知：，則，則.
故選：A.
【例題2】．（2023·河南安陽(yáng)高三檢測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，即可得出．
【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，
，
，解得．
故選：C.
【例題3】．（2022·四川綿陽(yáng)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和
【答案】AD
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>又，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
即，所以，所以，
所以為遞減數(shù)列，
的前n項(xiàng)和．
故選：AD．
【變式6-1】．（2023·山西太原高三專題檢測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則　　
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，得到關(guān)于，，的新等比數(shù)列，求解出公比后，求出的值即可．
【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知：，，，……成等比數(shù)列，設(shè)公比為
由題意得：
本題正確選項(xiàng)：
【變式6-2】（2023·湖北武漢高三檢測(cè)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)公比為.
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)有；
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，，?br/>所以，，
所以，，
所以，
當(dāng)時(shí)，有最小值為.
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
【變式6-3】（2023·河北保定高三檢測(cè)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.
【答案】
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，再設(shè)公差為及通項(xiàng)公式即可求解．
【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為
，，
，
，
，則
故答案為：
【變式6-4】．（2023·廣東珠海高三檢測(cè)）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則______.
【答案】/
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，把轉(zhuǎn)化為求解.
【詳解】因?yàn)?，為等差?shù)列，所以，
因?yàn)椋?
故答案為：.
【變式6-5】．（2023·云南曲靖高三模擬）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)這個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，公比為，利用偶數(shù)項(xiàng)之和與奇數(shù)項(xiàng)之和的比值求得的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值，由此可得出該數(shù)列的項(xiàng)數(shù).
【詳解】設(shè)這個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，公比為，
則奇數(shù)項(xiàng)之和為，
偶數(shù)項(xiàng)之和為，
，
等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則，
解得，因此，這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.
【變式6-6】（2023·陜西榆林模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
【答案】ACD
【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程，可判斷B選項(xiàng)；解不等式，可判斷C選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】由已知，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，.
對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，是遞增數(shù)列，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，令，可得，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，令可得，所以，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，則，
所以，，
故數(shù)列為等差數(shù)列，D對(duì).
故選：ACD.
【變式6-7】．（2023·云南昆明高三檢測(cè)）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得出，，即可求解.
【詳解】在等差數(shù)列{}中，由，得，
則，又，
∴，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．
故選：C
【變式6-8】（2023·山西運(yùn)城高三模擬）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的特點(diǎn)和條件可設(shè)，，然后算出、即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)，，，
所以，，
所以，
故選：A.
【變式6-9】（2023春·河北石家莊開(kāi)學(xué)考試）已知為等差數(shù)列，，則（ ）
A．的公差為2 B．的公差為3
C．的前50項(xiàng)和為900 D．的前50項(xiàng)和為1300
【答案】AD
【分析】根據(jù)求出，求出通向公式.
.
【詳解】，
，所以A對(duì)，B錯(cuò).
，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
=
，所以D對(duì)，C錯(cuò).
故選：AD
核心考點(diǎn)題型七 含取整符號(hào)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【例題1】．（2023秋·甘肅西北師大附中校考期中）等差數(shù)列滿足 ，，記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則（ ）
A．1000 B．2445 C．1893 D．500500
【答案】B
【分析】先求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分段求出，最后分組求和可得.
【詳解】由，可得，所以，所以
所以.
故選：B.
【變式7-1】．（2023秋·黑龍江哈爾濱一中校考期中）為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)的值域中所有元素的個(gè)數(shù).若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.
【答案】
【分析】通過(guò)規(guī)律找出，再裂項(xiàng)相消求和即可.
【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，，即；
時(shí)，，，即；
時(shí)，，，即；
時(shí)，，，即；
…
以此類推，，
故，
故.
故答案為：
【變式7-2】．（2023秋·山東濟(jì)南聯(lián)考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前2000項(xiàng)的和為_(kāi)_____.
【答案】3782
【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)求出的表達(dá)式，再根據(jù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的定義即可得解.
【詳解】∵數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
∴，得到，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則、3、…、19，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則、21…、199，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則、201、…、1999，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故數(shù)列的前2000項(xiàng)的和為：
.
故答案為：.
核心考點(diǎn)題型八 等差、等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化
【例題1】（2023秋·江蘇南通高三統(tǒng)考期中）（多選）在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則（ ）
A．駑馬第七日行九十四里 B．第七日良馬先至齊
C．第八日二馬相逢 D．二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里
【答案】AD
【解析】由題意可知，兩馬日行里數(shù)都成等差數(shù)列;
記數(shù)列為良馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)公差
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
記數(shù)列為駑馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)公差
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
因此，對(duì)于A，駑馬第七日行里數(shù)為，
即駑馬第七日行九十四里；故A正確；
第七日良馬行走總里程為，而齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，
因?yàn)?，所以第七日良馬未至齊；所以B錯(cuò)誤；
設(shè)第日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數(shù)是齊去長(zhǎng)安距離的兩倍，
即，解得或（舍），
即第九日二馬相逢；故C錯(cuò)誤；
由C可知，第九日二馬相逢，此時(shí)良馬共行走了，
所以，二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里，所以D正確；故選：AD.
【例題2】（2023·山西太原第一中學(xué)統(tǒng)考一模）古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤校乃俣仁菫觚斔俣鹊?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上烏龜，原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了10米，而當(dāng)他追到烏龜爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜．“試問(wèn)在阿喀琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【解析】依題意，烏龜爬行的距離依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，，公比，
，所以當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，
烏龜共爬行的距離.故選：C
【變式8-1】（2023·新疆烏魯木齊統(tǒng)考一模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢(qián)，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問(wèn)乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢(qián)？則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【答案】A
【解析】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)
分別為，，，，，，，
則，解得，
所以乙分得（文），丁分得（文），故選：A.
【變式8-2】（2023秋·山東煙臺(tái)高三模擬）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【解析】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：，
由已知得，該等差數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)槭Ｏ聝蓪拥乃?shù)之和為8，
故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以，第十二層塔數(shù)必為；
故，①；
又由②，，且，
所以，①+②得，，得，
由知，
又因?yàn)橛^察答案，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以，；
組成等差數(shù)列的塔數(shù)為：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下兩層的塔數(shù)之和為8，只能為2，6.
所以，十二層的塔數(shù)，從上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；
其中第二層的2和第五層的6不組成等差數(shù)列，滿足題意，則第11層的塔數(shù)為17.
故答案選：A
【變式8-3】（2023秋·福建寧德高三?？计谀肚f子·天下》中講到：“三尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這其實(shí)是一個(gè)以為公比的等比數(shù)列問(wèn)題．有一個(gè)類似的問(wèn)題如下：有一根一米長(zhǎng)的木頭，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來(lái)的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題可知第一天長(zhǎng)，第二天截去，第三天截去，
第四天截去，依次可得：第n天截去：，
故第n天后共截去，
所以到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來(lái)的.故選：B.
核心考點(diǎn)題型九 等差、等比數(shù)列與其他知識(shí)的交匯
【例題1】．（2023·遼寧鞍山模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則α的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)周期，從而得到，然后由正弦型函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題知.
因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列，所以，即，
所以，得.所以.
易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增.
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以，即的取值范圍為.
故選：A.
【例題2】．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．
【答案】
【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入0，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求答案.
【詳解】因?yàn)?br/>，
所以．
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，
于是．
故答案為：
【變式9-1】．（2023·吉林遼源高三模擬）已知Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，，設(shè)點(diǎn)A是直線BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可知P，B，C三點(diǎn)共線，從而有+λ=1，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.
【詳解】因?yàn)镻，B，C三點(diǎn)共線，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，
故選:B.
【變式9-2】．（2023·河南鄭州校聯(lián)考二模）英國(guó)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．若，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則滿足的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______．
【答案】10
【分析】根據(jù)題意可證得是等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>則，又，，
所以是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，則，
令，則，
又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，且，
所以，所以最大正整數(shù)n的值為10.
故答案為：10.
【變式9-3】（2023·浙江金華高三模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),點(diǎn)在拋物線上,則過(guò)點(diǎn)和的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件可得數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列,過(guò)點(diǎn)的直線的方向向量與共線,根據(jù)向量共線定理即可求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,
所以,即,
所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列,
所以,
則過(guò)點(diǎn)的直線的方向向量為,
經(jīng)檢驗(yàn)，.
故選：D.熱點(diǎn)1-9　等差、等比數(shù)列（核心考點(diǎn)九大題型）（原卷版）
【考情透析】
1.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)。
2.數(shù)列的通項(xiàng)和求和也是高考熱點(diǎn)，以大題形式出現(xiàn)，難度中檔。
【題型歸納】
核心考點(diǎn)題型一 判斷（證明）等差（等比）數(shù)列
【例題1】（2023秋·四川綿陽(yáng)高三期中）“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【例題2】（2023·河南開(kāi)封統(tǒng)考三模）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（ ）
A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列
【例題3】．（2023·山西太原第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（）.記
(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【例題4】．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【變式1-1】．（2023·山東德州·高三期末）（多選）定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.下列函數(shù)是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】．（2023秋·重慶市天星橋中學(xué)一模）（多選）已知等比數(shù)列滿足，公比，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
【變式1-3】（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，，則是等比數(shù)列
C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列
D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
【變式1-4】（2023秋·江蘇揚(yáng)州高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和．
【變式1-5】（2023·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）若是等比數(shù)列，求；
（2）若，證明：均為等比數(shù)列.
核心考點(diǎn)題型二 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【例題1】．（2023·云南曲靖高三模擬）已知數(shù)列滿足，，則=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【例題2】（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則________．
【例題3】．（2023·河南洛陽(yáng)高三檢測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】．（2023·江西九江高三模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B．2n C． D．
【變式2-2】．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獢?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】．（2023·甘肅白銀高三模擬）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.
【變式2-4】．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則（ ）
A． B． C． D．
核心考點(diǎn)題型三 等差、等比數(shù)列中項(xiàng)
【例題1】．（2023·陜西榆林高三模擬）在等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【例題2】（2023·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】．（2022·湖南長(zhǎng)沙三模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若是和的等差中項(xiàng)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·四川成都高三聯(lián)考）已知，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)_________．
核心考點(diǎn)題型四 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)（下標(biāo)定理）
【例題1】．（2023·陜西寶雞高三專題檢測(cè)）已知等差數(shù)列中，，，則等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例題2】．（2023·安徽安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【變式4-1】．（2023秋·江蘇徐州高三模擬）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則___________.
【變式4-2】（2023秋·陜西·長(zhǎng)安一中檢測(cè)）設(shè)為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則___________.
【變式4-3】．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，公比，且，則（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
核心考點(diǎn)題型五 等差、等比數(shù)列的單調(diào)性
【例題1】．（2023·河北石家莊高三檢測(cè)）已知數(shù)列，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則為遞減數(shù)列
B．若，，，則為等比數(shù)列
C．若等比數(shù)列的公比，，則為遞減數(shù)列
D．若的前n項(xiàng)和為，，則為等差數(shù)列
【例題2】．（2023·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
【變式5-1】．（2023·江蘇無(wú)錫高三專題檢測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·河南洛陽(yáng)高三模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，，則使成立的最大自然數(shù)的值為（ ）
A．9 B．10 C．18 D．19
核心考點(diǎn)題型六 等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
【例題1】．（2023·云南曲靖高三專題檢測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．33 B．66 C．22 D．44
【例題2】．（2023·河南安陽(yáng)高三檢測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【例題3】．（2022·四川綿陽(yáng)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和
【變式6-1】．（2023·山西太原高三專題檢測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則　　
A．144 B．81 C．45 D．63
【變式6-2】（2023·湖北武漢高三檢測(cè)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的最小值為_(kāi)_____．
【變式6-3】（2023·河北保定高三檢測(cè)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.
【變式6-4】．（2023·廣東珠海高三檢測(cè)）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則______.
【變式6-5】．（2023·云南曲靖高三模擬）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-6】（2023·陜西榆林模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
【變式6-7】．（2023·云南昆明高三檢測(cè)）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【變式6-8】（2023·山西運(yùn)城高三模擬）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-9】（2023春·河北石家莊開(kāi)學(xué)考試）已知為等差數(shù)列，，則（ ）
A．的公差為2 B．的公差為3
C．的前50項(xiàng)和為900 D．的前50項(xiàng)和為1300
核心考點(diǎn)題型七 含取整符號(hào)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
【例題1】．（2023秋·甘肅西北師大附中?？计谥校┑炔顢?shù)列滿足 ，，記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則（ ）
A．1000 B．2445 C．1893 D．500500
【變式7-1】．（2023秋·黑龍江哈爾濱一中校考期中）為不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)的值域中所有元素的個(gè)數(shù).若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.
【變式7-2】．（2023秋·山東濟(jì)南聯(lián)考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前2000項(xiàng)的和為_(kāi)_____.
核心考點(diǎn)題型八 等差、等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化
【例題1】（2023秋·江蘇南通高三統(tǒng)考期中）（多選）在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則（ ）
A．駑馬第七日行九十四里 B．第七日良馬先至齊
C．第八日二馬相逢 D．二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里
.
【例題2】（2023·山西太原第一中學(xué)統(tǒng)考一模）古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤校乃俣仁菫觚斔俣鹊?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上烏龜，原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了10米，而當(dāng)他追到烏龜爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜．“試問(wèn)在阿喀琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【變式8-1】（2023·新疆烏魯木齊統(tǒng)考一模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢(qián)，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問(wèn)乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢(qián)？則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【變式8-2】（2023秋·山東煙臺(tái)高三模擬）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【變式8-3】（2023秋·福建寧德高三?？计谀肚f子·天下》中講到：“三尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這其實(shí)是一個(gè)以為公比的等比數(shù)列問(wèn)題．有一個(gè)類似的問(wèn)題如下：有一根一米長(zhǎng)的木頭，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來(lái)的（ ）
A． B． C． D．
核心考點(diǎn)題型九 等差、等比數(shù)列與其他知識(shí)的交匯
【例題1】．（2023·遼寧鞍山模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則α的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．
【變式9-1】．（2023·吉林遼源高三模擬）已知Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，，設(shè)點(diǎn)A是直線BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】．（2023·河南鄭州校聯(lián)考二模）英國(guó)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．若，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則滿足的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______．
【變式9-3】（2023·浙江金華高三模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),點(diǎn)在拋物線上,則過(guò)點(diǎn)和的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（ ）
A． B． C． D．

展開(kāi)更多......

收起↑