資源簡介

熱點1-8 平面向量（核心考點九大題型）（原卷版）
【考情透析】
平面向量的數量積、模、夾角是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現．常常以平面圖形為載體，考查數量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同平面幾何、三角函數、解析幾何、不等式等知識相結合，以工具的形式出現．近幾年高考主要考查平面向量的坐標運算、模的最值、夾角等問題，與三角函數、解析幾何密切相連，難度為中等．
【考題歸納】
核心考點題型一 向量共線問題
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）已知是平面內兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【例題2】（2023春·江蘇宿遷泗陽中學校考）（多選）設，非零向量，，則（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．存在，使 D．若，則
【例題3】．（2023·銀川一中高三檢測）P是所在平面內一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】．（2022 全國高考真題）已知向量，．若，則　　
A． B． C． D．
【變式1-2】．（2023·河南安陽高三模擬）已知為數列的前n項和，，平面內三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______
【變式1-3】．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A． B． C．3 D．9
核心考點題型二 平面向量基本定理
【例題1】．（2023·江蘇徐州統考模擬預測）在中，，，則
A． B．
C． D．
【例題2】（2023·云南大理高三校考）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【變式2-1】．（2022 全國新高考Ⅰ）在中，點在邊上，．記，，則　　
A． B． C． D．
【變式2-2】．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】．（2023秋·河南洛陽高三模擬）如圖，在平面四邊形中，，，，點在線段上，且，若，則的值為_______.
核心考點題型三 平面向量的數量積
【例題1】．（2023·山西太原市第一中學校校考模擬預測）已知菱形的邊長為2，且，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例題2】．（2023·陜西榆林高三檢測）在邊長為6的正中，若點滿足，則__________.
【例題3】（2024 遼寧大連模擬）在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【變式3-1】．（2023春·海南·高三海南中學校考）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C．12 D．72
【變式3-2】．（2023·江西婺源統考二模）在△ABC中，已知，，，D是邊AB的中點，點E滿足，則（ ）
A． B．－1 C． D．
【變式3-3】．（2023秋·山東青島高三校考）在邊長為3的正方形ABCD中，點E滿足，則（ ）
A．3 B． C． D．4
核心考點題型四 向量的模長問題
【例題1】．（2023·甘肅天水統考模擬預測）已知向量的夾角為，，則（ ）
A． B． C． D．7
【例題2】．（2023秋·貴州貴陽高三校聯考）已知，，若，則______．
【例題3】．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）已知、滿足，在方向上的數量投影為，則的最小值為______．
【變式4-1】．（2023秋·湖南高三統考）已知兩個非零向量的夾角為，且，則（ ）
A． B． C． D．3
【變式4-2】．（2023·云南玉溪統考一模）已知向量，，若，則________．
【變式4-3】．（2023 全國新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則　　．
【變式4-4】．（2023秋·河北保定高三期末）若單位向量滿足，向量滿足，則（ ）.
A． B． C． D．
核心考點題型五 向量的夾角
【例題1】．（2023·陜西漢中聯考模擬預測）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2024·四川綿陽高三模擬）已知向量、滿足，且，，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】．（2023·遼寧沈陽·統考三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實數x的取值范圍是______．
【變式5-1】．（2023 全國甲卷）向量，，且，則，　　
A． B． C． D．
【變式5-2】．（2024·山西太原校聯考一模）已知向量，，定義，則______．
核心考點題型六 平面向量的的投影及投影向量
【例題1】．（2023秋·四川廣元高三質檢）已知向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影為（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
【例題2】．（2023·黑龍江齊齊哈爾市第三高級中學校考三模）如果平面向量，，則向量在上的投影向量為_____ .
【變式6-1】．（2023秋·河南安陽統考二模）若向量滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是______.
【變式6-2】．（2023·山東濟南聯考模擬預測）已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】．（2024 甘肅白銀模擬）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是 　　．
核心考點題型七 平面向量的范圍與最值問題
【例題1】．（2023·浙山西大同模擬預測）已知平面向量滿足，若，則的最小值是_____________．
【例題2】．（2023.江西南昌高考模擬）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【變式7-1】．（2023·山西太原高三模擬）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
【變式7-2】．（2023·湖南長沙高三模擬）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】．（2023·四川綿陽高三專題檢測）已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
核心考點題型八 平面向量與三角形的“四心”問題
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）已知點在所在平面內，滿，，則點依次是的（ ）
A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心
【例題2】．（2023·云南昆明高三模擬預測）已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【變式8-1】（2023秋·山東煙臺高三聯考）已知為所在的平面內一點，則下列命題正確的是（ ）
A．若為的垂心，，則
B．若為銳角的外心，且，則
C．若，則點的軌跡經過的重心
D．若，則點的軌跡經過的內心
【變式8-2】．（2023秋·陜西西安高三聯考）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【變式8-3】．（2023·湖北武漢高三模擬）已知是平面上一定點，、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
核心考點題型九 平面向量的綜合應用
【例題1】（2023·江蘇鎮江高三模擬）（多選）已知點，，點P為圓C：上的動點，則（ ）
A．面積的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【例題2】．（2023·山西運城統考三模）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標原點，則________.
【變式9-1】．（2023·山東煙臺高三檢測）已知橢圓的左右焦點分別為，，P為橢圓上異于長軸端點的動點，分別為的重心和內心，則（ ）
A． B． C． D．2熱點1-8 平面向量（核心考點九大題型）（解析版）
【考情透析】
平面向量的數量積、模、夾角是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現．常常以平面圖形為載體，考查數量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同平面幾何、三角函數、解析幾何、不等式等知識相結合，以工具的形式出現．近幾年高考主要考查平面向量的坐標運算、模的最值、夾角等問題，與三角函數、解析幾何密切相連，難度為中等．
【考題歸納】
核心考點題型一 向量共線問題
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）已知是平面內兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據向量的模長關系以及共線，即可結合必要不充分條件進行判斷.
【詳解】若，則存在唯一的實數，使得，故 ，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，
若且，則與方向相同，故此時，所以“”是“存在，使得”的必要條件，
故“”是“存在，使得”的充分必要條件，
故選：C
【例題2】（2023春·江蘇宿遷泗陽中學校考）（多選）設，非零向量，，則（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．存在，使 D．若，則
【答案】ABD
【分析】A選項，驗證即可；
B選項，驗證；
C選項，由題可得，，據此可判斷選項正誤；
D選項，由題可得，據此可判斷選項
【詳解】A選項，，
則，故A正確；
B選項，，則，
故，故B正確；
C選項，假設存在，使，則，，則可得
，故可得
，則假設不成立，故C錯誤；
D選項，因，則，又由題可得，則
，故D正確.
故選：ABD
【例題3】．（2023·銀川一中高三檢測）P是所在平面內一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題設可得，可得共線且，即可確定答案.
【詳解】由題設，，故共線且，如下圖示：
所以.
故選：A
【變式1-1】．（2022 全國高考真題）已知向量，．若，則　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
，
，．
故選：．
【變式1-2】．（2023·河南安陽高三模擬）已知為數列的前n項和，，平面內三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______
【答案】/8.5
【分析】根據向量共線的充要條件得，再推出，確定其周期性計算即可.
【詳解】由A，B，C三點在同一直線上可知，即，
則，又，則，，，，
故數列是周期為3的周期數列，．
故答案為：
【變式1-3】．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的線性運算得到，再利用三點共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結果.
【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，
又，，所以，
又三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即時取等號.
故選：B.
核心考點題型二 平面向量基本定理
【例題1】．（2023·江蘇徐州統考模擬預測）在中，，，則
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】選用基底，利用向量的線性運算表示向量.
【詳解】中，，，如圖所示，
.
故選：C
【例題2】（2023·云南大理高三校考）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題設
，
所以，即，
又，故.
故選：A
【變式2-1】．（2022 全國新高考Ⅰ）在中，點在邊上，．記，，則　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，
，
，即．
故選：．
【變式2-2】．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據平面向量基本定理用表示，又因為三點共線，利用系數和為1求解結果.
【詳解】由，得出，
由得
，
因為三點共線，所以，解得.
故選：D.
【變式2-3】．（2023秋·河南洛陽高三模擬）如圖，在平面四邊形中，，，，點在線段上，且，若，則的值為_______.
【答案】
【分析】根據題意要求的值，則要求出中的值，故考慮以點為原點，建立直角坐標系，然后按照兩向量相等，則對應坐標相等，進而可求解.
【詳解】解:如圖建立直角坐標系：
設，則，，
點在線段上，且，所以，
因為在中，，，所以，
由題知，是等腰三角形.所以，所以，
，，，，
若，則，
，解得，，所以.
故答案為：.
核心考點題型三 平面向量的數量積
【例題1】．（2023·山西太原市第一中學校校考模擬預測）已知菱形的邊長為2，且，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根據向量的數量積公式及運算律，結合菱形圖形特征，計算求解可得.
【詳解】由條件可知，所以，
在中，由余弦定理，可得，
，菱形的對角線互相垂直，則向量與向量的夾角為，
則.
故選：D.
【例題2】．（2023·陜西榆林高三檢測）在邊長為6的正中，若點滿足，則__________.
【答案】
【分析】以、作為一組基底表示出、，再根據數量積的運算律計算可得.
【詳解】因為，所以，
，
所以
.
故答案為：
【例題3】（2024 遼寧大連模擬）在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】在中，，，，
以為坐標原點，，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標系，如圖：
則，，，設，
因為，所以，
又，，
所以，
設，，
所以，其中，
當時，有最小值為，當時，有最大值為6，
所以，，故選：．
【變式3-1】．（2023春·海南·高三海南中學校考）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C．12 D．72
【答案】A
【分析】運用平面向量的數量積運算可求得結果.
【詳解】因為，且與夾角的余弦值為，
所以.
故選：A.
【變式3-2】．（2023·江西婺源統考二模）在△ABC中，已知，，，D是邊AB的中點，點E滿足，則（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】運用平面向量基本定理用基底、表示、，結合向量數量積運算即可求得結果.
【詳解】∵D為AB的中點，∴，
∵，∴，即：，
∴，
∴如圖所示，
∴，
∴
.
故選：C.
【變式3-3】．（2023秋·山東青島高三校考）在邊長為3的正方形ABCD中，點E滿足，則（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】建立直角坐標系，寫出相關點的坐標，得到，，利用數量積的坐標運算計算即可.
【詳解】以B為原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標系，
由題意得，
所以，，
所以.
故選：A.
核心考點題型四 向量的模長問題
【例題1】．（2023·甘肅天水統考模擬預測）已知向量的夾角為，，則（ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】根據向量的數量積的定義及運算性質求解.
【詳解】因為向量的夾角為，，
所以，
所以．
故選：C
【例題2】．（2023秋·貴州貴陽高三校聯考）已知，，若，則______．
【答案】
【分析】根據數量積的坐標表示求出，即可求出的坐標，再利用坐標法求出模.
【詳解】因為，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案為：
【例題3】．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）已知、滿足，在方向上的數量投影為，則的最小值為______．
【答案】10
【分析】根據數量投影的定義，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】設、的夾角為，因為在方向上的數量投影為，
所以，因此，因此，所以，
，
因此有，因為，
所以當時，有最小值，最小值為，
故答案為：10
【變式4-1】．（2023秋·湖南高三統考）已知兩個非零向量的夾角為，且，則（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由化簡可得，再由向量的模長公式代入化簡即可得出答案.
【詳解】因為非零向量的夾角為，且，
所以，即，
化簡得：，
.
故選：C.
【變式4-2】．（2023·云南玉溪統考一模）已知向量，，若，則________．
【答案】
【分析】根據向量模的展開計算，得出，從而進一步利用向量的線性計算求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
故答案為：.
【變式4-3】．（2023 全國新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則　　．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
．故答案為：．
【變式4-4】．（2023秋·河北保定高三期末）若單位向量滿足，向量滿足，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設出，由得到C在以為直徑的圓上，表達出，設，利用輔助角公式得到的最值.
【詳解】令，
不妨，所以中點坐標為，
因為，所以C在以為直徑的圓上，即，
所以，
令，
則
，
因為，所以，
所以.
故選：C.
核心考點題型五 向量的夾角
【例題1】．（2023·陜西漢中聯考模擬預測）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出的表達式，再利用向量夾角公式求解作答.
【詳解】因為與垂直，則，即，化簡得，
而，則．又，有，
所以與的夾角為.
故選：B
【例題2】．（2024·四川綿陽高三模擬）已知向量、滿足，且，，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題知，進而得，，再根據夾角公式求解即可.
【詳解】解：因為向量、滿足，
所以，即
所以，，即.
所以，，
所以，
因為，
所以.
故選：A
【例題3】．（2023·遼寧沈陽·統考三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實數x的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由，求得，再設，求得，進而得到的取值范圍.
【詳解】因為向量，，
由，可得，解得，
設，可得，即，解得，此時向量與共線，
所以當與的夾角是銳角時，則滿足或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【變式5-1】．（2023 全國甲卷）向量，，且，則，　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為向量，，且，所以，
所以，
即，，
解得，，
所以，
又，，
所以，
，
所以，．
故選：．
【變式5-2】．（2024·山西太原校聯考一模）已知向量，，定義，則______．
【答案】3
【分析】根據向量數量積夾角公式，以及模的公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，，
所以，則，
那么.
故答案為：3
核心考點題型六 平面向量的的投影及投影向量
【例題1】．（2023秋·四川廣元高三質檢）已知向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影為（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
【答案】C
【分析】根據投影公式和平面向量的數量積，直接計算即可得解.
【詳解】.
故選：C.
【例題2】．（2023·黑龍江齊齊哈爾市第三高級中學校考三模）如果平面向量，，則向量在上的投影向量為_____ .
【答案】
【分析】由已知可求得，，進而得出，然后根據即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，，
所以，向量在上的投影向量為.
故答案為：.
【變式6-1】．（2023秋·河南安陽統考二模）若向量滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據，可求得，再根據向量的投影的計算公式計算即可.
【詳解】因為，
所以，即，
所以，
則在方向上的投影為，
因為，所以，
所以在方向上的投影的取值范圍是.
故答案為：.
【變式6-2】．（2023·山東濟南聯考模擬預測）已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的線性運算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.
【詳解】∵，，且，
∵，
∴，，
∴在方向上的投影向量為，
故選：D．
【變式6-3】．（2024 甘肅白銀模擬）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是 　　．
【解析】令，
因為，故，，，，令，
平面向量在，方向上的投影分別為，，設，
則：，
從而：，故，
則表示空間中坐標原點到平面 上的點的距離的平方，
由平面直角坐標系中點到直線距離公式推廣得到的空間直角坐標系中點到平面距離公式可得：
．
故答案為：．
核心考點題型七 平面向量的范圍與最值問題
【例題1】．（2023·浙山西大同模擬預測）已知平面向量滿足，若，則的最小值是_____________．
【答案】
【分析】
利用絕對值三角不等式，及三角函數的有界性可進行化簡分析.
【詳解】
設，由，根據三角不等式，有
，
得，
故
.
故答案為：.
【例題2】．（2023.江西南昌高考模擬）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設，，，則，
，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．
【變式7-1】．（2023·山西太原高三模擬）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
【答案】
【解析】先求得、，進而平方，計算即得結論．
設向量的夾角為，
，，
則，
令，則，
據此可得：，
即的最大值是
故答案為：.
【變式7-2】．（2023·湖南長沙高三模擬）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設與夾角為，與所成夾角為，利用平面向量的數量積可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范圍，即可得解.
【詳解】設與夾角為，與所成夾角為，
，
所以，，①
，②
又，③
②與③聯立可得，④
①④聯立可得，
當且僅當時，取等號，，，則，
故與所成夾角的最大值是，
故選：A.
【變式7-3】．（2023·四川綿陽高三專題檢測）已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
【答案】
【解析】先設，且，再根據向量模化簡，最后化簡整理結合柯西不等式即可求出結果.
【詳解】
設，且，而，
所以
，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，
故答案為：.
核心考點題型八 平面向量與三角形的“四心”問題
【例題1】．（2023·四川成都高三模擬）已知點在所在平面內，滿，，則點依次是的（ ）
A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心
【答案】A
【分析】設中點為，進而結合向量加法法則與共線定理得三點共線，在的中線，進而得為的重心，根據題意得點為的外接圓圓心，進而可得答案.
【詳解】解：設中點為，因為，
所以，即，
因為有公共點，
所以，三點共線，即在的中線，
同理可得在的三條中線上，即為的重心；
因為，
所以，點為的外接圓圓心，即為的外心
綜上，點依次是的重心，外心.
故選：A
【例題2】．（2023·云南昆明高三模擬預測）已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【答案】C
【分析】結合向量數量積的運算求得正確答案.
【詳解】由題意知，中，，
則，
即，
所以，
即，
同理，，；
所以是的垂心.
故選：C
【變式8-1】（2023秋·山東煙臺高三聯考）已知為所在的平面內一點，則下列命題正確的是（ ）
A．若為的垂心，，則
B．若為銳角的外心，且，則
C．若，則點的軌跡經過的重心
D．若，則點的軌跡經過的內心
【答案】ABC
【分析】根據，計算可判斷A；設為中點，則根據題意得三點共線，且，進而得判斷B；設中點為，進而結合正弦定理得可判斷C；設中點為，根據題意計算得，進而得可判斷D.
【詳解】解：對于A選項，因為，，又因為為的垂心，
所以，所以，故正確；
對于B選項，因為且，
所以，整理得：，即，
設為中點，則，所以三點共線，
又因為，所以垂直平分，故，正確；
對于C選項，由正弦定理得，
所以，
設中點為，則，所以，
所以三點共線，即點在邊的中線上，故點的軌跡經過的重心，正確；
對于D選項，因為，
設中點為，則，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂線上，故點的軌跡經過的外心，錯誤.
故選：ABC
【變式8-2】．（2023秋·陜西西安高三聯考）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】由，利用數量積的定義得到，從而得到點O在邊AB的中垂線上，同理得到點O在邊AC的中垂線上判斷.
【詳解】解：根據題意，，即，
所以，則向量在向量上的投影為的一半，
所以點O在邊AB的中垂線上，同理，點O在邊AC的中垂線上，
所以點O為該三角形的外心．
故選：B．
【變式8-3】．（2023·湖北武漢高三模擬）已知是平面上一定點，、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】D
【分析】計算的值，可得出結論.
【詳解】因為，
，
，因此，點的軌跡經過的垂心，
故選：D.
核心考點題型九 平面向量的綜合應用
【例題1】（2023·江蘇鎮江高三模擬）（多選）已知點，，點P為圓C：上的動點，則（ ）
A．面積的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】BCD
【分析】對于A，點P動到圓C的最低點時，面積的最小值，利用三角形面積公式；對于B，當點P動到點時，取到最小值，通過兩點間距離公式即可求解；對于C，當 運動到與圓C相切時，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；對于D，利用平面向量數量積的幾何意義進行求解.
【詳解】，
圓C是以為圓心，為半徑的圓.
對于A，面積的最小值為點P動到圓C的最低點時，，
，故選項A錯誤；
對于B，連接交圓于點，當點P動到點時，取到最小值為，故選項B正確；
對于C，當 運動到與圓C相切時，取得最大值，設切點為,，，
，故選項C正確；
對于D，，當點P動到點時，取得最大值，即在上的投影，，故選項D正確；
故選：BCD.
【例題2】．（2023·山西運城統考三模）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標原點，則________.
【答案】
【分析】求出拋物線的焦點坐標，用點斜式求出直線的方程，將直線方程與拋物線聯立得到一元二次方程，利用韋達定理得到，，由即可求出.
【詳解】拋物線的焦點為，
設A，B兩點的坐標為和，由題意得直線的方程為，
將直線和拋物線聯立，可得，
其中，
則，，
.
故答案為：
【變式9-1】．（2023·山東煙臺高三檢測）已知橢圓的左右焦點分別為，，P為橢圓上異于長軸端點的動點，分別為的重心和內心，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由題意設的內切圓與三邊分別相切于，可推出，根據向量的數量積的運算律結合數量積的幾何意義，化簡求值，可得答案.
【詳解】由橢圓可得，
如圖，設的內切圓與三邊分別相切與，
分別為的重心和內心，
則，，，
所以,
所以
，
故選：B

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