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素養提升點3-5 立體幾何中的軌跡問題（解析版）
【考情透析】
立體幾何中的軌跡問題是高考的難點之一，主要利用平行、垂直、定角、定長等性質分析動點的軌跡，根據軌跡解決一些簡單問題，有時可以借助空間直角坐標系來探求變量關系，然后用函數的性質求解。
【歸納題型】
核心考點題型一 動點平行軌跡問題
【例題1】．（2023秋.山東威海高三模擬）在棱長為1的正方體中，E在棱上且滿足，點F是側面上的動點，且面AEC，則動點F在側面上的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】根據已知，利用面面平行得到線面平行，再根據正方體的性質計算求解.
【詳解】如圖，取的中點，并連接、、，
因為E在棱上且滿足，即E是棱的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理可證平面，
又，所以平面平面，又平面，
所以平面，所以動點F在側面上的軌跡即為，
因為正方體的棱長為1，由勾股定理有：.

故答案為：.
【例題2】（2023·貴州銅仁第一中學?？奸_學考試）設正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；
②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；
③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；
④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．
其中正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由面，而面，則，又，
又，面，則面，
由面，則，同理，
，面，則面，
所以垂直于面所有直線，且面，
若，則在邊長為的正△的邊上，
故軌跡圖形面積為，①對；
若分別為中點，連接，
由正方體的性質易得，，
所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，
由面，面，則面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，則在△的邊上，
所以軌跡長為，②錯；
若分別為的中點，連接，顯然，
所以共面，即面，
由，面，面，則面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面內任意直線都與面平行，
要使∥平面，則在四邊形的邊上運動，
此時軌跡長為，③對；
若分別是的中點，并依次連接，
易知為正六邊形，顯然，，
由面，面，則面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，則面，故垂直于面所有直線，
要使，則在邊長為的正六邊形邊上運動，
所以軌跡圖形面積為，④對；
故選：C
【例題3】（2023秋·廣東梅州高三期末）（多選題）如圖，已知正方體的棱長為2，點M為的中點，點P為正方形上的動點，則（ ）
A．滿足MP//平面的點P的軌跡長度為 B．滿足的點P的軌跡長度為
C．存在點P，使得平面AMP經過點B D．存在點P滿足
【答案】AD
【解析】
對于A，取的中點，的中點，又點為的中點，
由正方體的性質知，，，，
所以平面平面，又平面，平面，
故點的軌跡為線段，故A正確；
以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
則，，設，且，，
，，
對于B，，即，
又，，則點的軌跡為線段，，
且，故B錯誤；
對于C，設，且，，
若平面AMP經過點B，則，且，
又，
所以，即，
因此，從而，不合題意，所以不存在點P，使得平面AMP經過點B，故C錯誤；
對于D，點關于平面的對稱點的為，三點共線時線段和最短，
故，故存在點滿足，故D正確．
故選：AD
【變式1-1】（2023·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，點是正方形所在平面內一動點，若平面，則點軌跡在正方形內的長度為 .

【答案】
【解析】取的中點，連接，如圖所示：
因為，平面，平面，所以平面.
因為，平面，平面，所以平面.
又因為平面，，
所以平面平面.
因為平面，平面，
所以點在平面的軌跡為.
所以.
故答案為：
【變式1-2】．（2023秋·湖南岳陽高三期末）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．若側面的中心為，為側面內的一個動點，平面，且的軌跡長度為，則三棱柱的表面積為 ．

【答案】/
【解析】連接交于，取的中點，過作，分別交于，連接，由面面平行的判定定理可證得平面平面，所以的軌跡為線段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面積.
【詳解】
連接交于，取的中點，過作，
分別交于，連接，
易得，
因為平面，平面，所以平面，
平面，因為，且都在面內，所以平面平面，
所以的軌跡為線段，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
故三棱柱的表面積為.
故答案為：.
【變式1-3】．（2023秋·江西九江高三期末）（多選題）已知正方體的邊長為2，M為的中點，P為側面上的動點，且滿足平面，則下列結論正確的是（ ）
A． B．平面
C．與所成角的余弦值為 D．動點P的軌跡長為
【答案】BCD
【解析】如圖建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，
則，
所以，
由平面，得，即，
化簡可得：，
所以動點P在直線上，
對于選項A：，所以與不垂直，所以A選項錯誤；
對于選項B：平面平面，所以平面，B選項正確；
對于選項C：，C選項正確；
對于選項D：動點P在直線上，且P為側面上的動點，則P在線段上，，所以，D選項正確；
故選：BCD．
【變式1-4】．（2023·陜西漢中高三專題檢測）在邊長為2的正方體中，點M是該正方體表面及其內部的一動點，且平面，則動點M的軌跡所形成區域的面積是 ．
【答案】
【解析】如圖，邊長為2的正方體中，
動點M滿足平面，
由面面平行的性質得：當始終在一個與平面平行的面內，即滿足題意，
連接，，，
因為且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，同理，
又平面，平面，所以平面，
因為平面，平面，所以平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，所以動點M的軌跡所形成區域為，
，
，
所以動點M的軌跡所形成區域的面積是.
故答案為：.
【變式1-5】（2023·四川大學附中三模）已知棱長為的正四面體，為的中點，動點滿足，平面經過點，且平面平面，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為_________．
【答案】
【解析】設的外心為，的中點為，過作的平行線，則以為坐標原點，可建立如圖所示空間直角坐標系，
為等邊三角形，，，，
，，，
設，由得：，
整理可得：，
動點的軌跡是以為球心，為半徑的球；
延長到點，使得，，，
則，，又平面，平面，
平面，平面，由，平面，
平面平面，即平面為平面，
則點到平面的距離即為點到直線的距離，
，，，即，
點到直線的距離，
截面圓的半徑，球被平面截得的截面圓周長為，
即平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為．
故答案為：．
核心考點題型二 動點垂直軌跡問題
【例題1】（2023秋·寧夏銀川二中?？紮z測）在棱長為4的正方體中，點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一動點，若MP與CQ垂直，則點M所構成的軌跡的周長為 .
【答案】
【解析】如圖，只需過點P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡.
分別取，的中點R，S，
由，知，易知，
又，，平面ABRS，
所以平面ABRS，
過P作平面ABRS的平行平面，點M的軌跡為四邊形，
其周長與四邊形ABRS的周長相等，
其中，，
所以點M所構成的軌跡的周長為.
故答案為：
【例題2】．（2023秋·陜西榆林二中?？紮z測）如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）．若AM⊥MP，則點P形成的軌跡長度為 ，點S與P距離的最小值是 ．

【答案】 / /
【解析】建系，根據空間向量的垂直關系可得點P的軌跡方程為.空1：根據圓的弦長公式運算求解；空2：根據空間中兩點間距離公式運算求解.
【詳解】由題意可知，建立空間直角坐標系，如圖所示．

則，
設，則，
因為AM⊥MP，則，解得，
所以點P的軌跡方程為，
空1：根據圓的弦長公式，可得點P形成的軌跡長度為；
空2：因為，
所以當時，點S與P距離的最小，其最小值為．
故答案為：；.
【例題3】．（2023秋·甘肅天水高三檢測）（多選）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，點為的中點，點為底面上的動點，則（ ）
A．當時，存在唯一的點滿足
B．當時，存在點滿足
C．當時，滿足的點的軌跡長度為
D．當時，滿足的點軌跡長度為
【答案】AC
【分析】建立空間直角坐標系，結合選項逐個驗證，利用對稱點可以判斷A，利用垂直求出可以判斷B，求出點P軌跡長度可判定C,D.
【詳解】以為原點，所在直線分別為軸，建系如圖，
則，，，設
對于選項A，當時，，
由得，
即，解得，
所以存在唯一的點P滿足，故A正確；
對于選項B，當時，，，
設點關于平面的對稱點為，則，
.
所以.故B不正確.
對于選項C，當時，，，
則，
由得.
在平面中，建立平面直角坐標系，如圖，
則的軌跡方程表示的軌跡就是線段，
而，故C正確.
對于選項D，當時，，，
則，
由得，即，
在平面中，建立平面直角坐標系，如圖，
記的圓心為，與交于；
令，可得，
而，所以，其對應的圓弧長度為；
根據對稱性可知點P軌跡長度為；故D錯誤.
故選：AC.
【變式2-1】（2023·河北石家莊高三模擬預測）已知為正方體的內切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是 .
【答案】
【解析】如圖所示：
正方體，設，則內切球的半徑，
其中為的中點，取的中點，連接,
則有：,
又,平面，
所以平面，
所以動點的軌跡是平面截內切球的交線，
即平面截內切球的交線，
因為正方體，，
如圖所示：
連接,則有且，
，且，
設到平面的距離為：，
則在三棱錐中，有，
所以，
即，
解得：，
截面圓的半徑，
所以動點的軌跡長度為：，
即，解得，
所以，正方體的體積：，
故答案為：.
【變式2-2】（2023·河北保定高三檢測）如圖，正方體的棱長為，點是棱的中點，點是正方體表面上的動點．若，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中點，的中點，連接、、、、，
設，如下圖所示．
因為四邊形是正方形，又點是棱的中點，點是的中點，
則，，，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，即．
在正方體中，平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，，
又，、平面，所以，平面．
所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為的三邊，
因為正方體的棱長為，
由勾股定理可得，同理可得，，
所以的周長為．
故選：C．
【變式2-3】（2023·湖北宜昌高三檢測）直四棱柱的底面是邊長為的正方形，，點為的中點，點為的中點，則點到底面的距離為__________若為底面內的動點，且，則動點的軌跡長度為__________．
【答案】
【解析】由點為的中點可得，點到平面的距離是點到平面距離的一半，則點到平面的距離為，
故點到平面的距離為；
，點為的中點，
，
設以為球心，的長為半徑的球與平面所截得的圓的半徑為，則，
則動點的軌跡即為以正方形的中心為圓心，為半徑的圓留在正方形內的圓弧，如圖，為中點，所以，所以，
所以，點軌跡所形成的圓弧長為．
故答案為：；．
【變式2-4】（2023秋·河南開封高三專題檢測）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 ．
【答案】10
【解析】因為是圓柱下底面圓的直徑，所以，
又，，平面，所以平面，
設過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
所以點在平面內，又點在圓柱的表面，所以點的軌跡是矩形，
依題意得，，，所以，
所以矩形的面積為.
故點的軌跡所圍成圖形的面積為.
故答案為：.
【變式2-5】（2023秋·山東青島高三專題檢測）（多選）如圖，正方體的棱長為3，動點在側面內運動（含邊界），且，則（ ）
A．點的軌跡長度為 B．點的軌跡長度為
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】AD
【解析】根據平面，得點的軌跡為， 可得點的軌跡長度可判斷A B；將平面翻折到與平面重合， 可得，，三點共線，取得最小值，分別求出、可得答案．
【詳解】如圖，
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，
所以平面，平面，所以，
若，則點的軌跡為，
因為正方體的棱長為3，所以點的軌跡長度為，故A正確B錯誤；
將平面翻折到與平面重合，如圖，
此時，，三點共線，取得最小值，
此時，是邊長為的等邊三角形，
是邊長為的等腰直角三角形，且是的中點，
所以，，
所以取得最小值為，故C錯誤D正確.
故選：AD．
核心考點題型四 動點定長軌跡問題
【例題1】（2023秋·山西大同高三專題檢測）在棱長為1的正方體中，點Q為側面內一動點（含邊界），若，則點Q的軌跡長度為 ．
【答案】/
【分析】根據題設描述確定Q的軌跡，即可求其長度.
【詳解】由題意，在面的軌跡是以為圓心，半徑為的四分之一圓弧，

所以軌跡長度為.
故答案為：
【例題2】（2023秋·河南安陽模擬預測）在四邊形ABCD中，，，P為空間中的動點，，E為PD的中點，則動點E的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，作的中點，連接，．因為，，
所以．因為，，所以，
故四邊形為平行四邊形，則有，且，則有點的軌跡長度與點的軌跡長度相同，
過點作于，則點的軌跡是以為圓心長為半徑的圓，且，
故點的軌跡長度為．
故選：D．
【例題3】．（2023秋·云南大理高三專題檢測）（多選）已知正方體的棱長為為空間中任一點，則下列結論中正確的是（ ）
A．若為線段上任一點，則與所成角的范圍為
B．若在正方形內部，且，則點軌跡的長度為
C．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為
D．若三棱錐的體積為恒成立，點的軌跡為橢圓或部分橢圓
【答案】ABD
【分析】利用異面直線所成角的定義推理計算判斷A；判斷軌跡形狀并求出長度判斷B；求出三棱錐外接球半徑計算判斷C；求出滿足兩個條件的點分別形成的圖形，再結合圓錐曲線的意義判斷D作答.
【詳解】對于A，當與不重合時，過作交于，連接，如圖，

由平面，平面，得，有，顯然，
則為與所成的角，，當與重合時，，
當由點向點移動過程中，逐漸增大，逐漸減小，則逐漸增大，
因此，，當與點重合時，有，，
所以與所成角的范圍為，A正確；
對于B，由平面，得是直角三角形，，如圖，

點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓?。ú缓〉亩它c），軌跡長度為，B正確；
對于C，連接，連接，如圖，

顯然分別為中點，則，
因此點是三棱錐外接球球心，球半徑為，體積為，C錯誤；
對于D，連接，如圖，，面積，

設點到平面的距離為，由三棱錐的體積為，得，解得，
由平面，平面，得，又，平面，
則平面，而平面，于是，同理，
又平面，從而平面，同理平面，則平面平面，
三棱錐的體積，于是點到平面距離為，
同理點到平面距離為，又，即平面與平面的距離為，
因此點在平面上或在過點與平面平行的平面上，
令與平面交于點，連接，有，，
于是直線與平面所成角的余弦，即直線與平面所成角大于，
則點在平面上，由，得點在以直線為軸，為頂點，軸截面頂角為的圓錐側面上（除頂點外），
顯然點P的軌跡是平面與上述圓錐側面的交線，所以平面截上述圓錐側面為橢圓，D正確.
故選：ABD
【變式4-1】（2023秋·遼寧撫順高三專題檢測）．已知正方體的棱長為3，動點在內，滿足，則點的軌跡長度為 .
【答案】
【分析】確定正方體對角線與的交點E，求出確定軌跡形狀，再求出軌跡長度作答.
【詳解】在正方體中，如圖，

平面，平面，則，而，
，，平面，于是平面，又平面，
則，同理，而，，平面，
因此平面，令交平面于點，
由，得，
即，解得，
而，于是，
因為點在內，滿足，則，
因此點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓在內的圓弧，
而為正三角形，則三棱錐必為正三棱錐，為正的中心，
于是正的內切圓半徑，
則，即，，
所以圓在內的圓弧為圓周長的，
即點的軌跡長度為
故答案為：
【變式4-2】（2023·河北邯鄲第一中學?？迹┮阎襟w的棱長為1，點P在該正方體的表面上運動，且則點P的軌跡長度是 ．
【答案】
【解析】當時，如圖，點的軌跡是在面，，三個面內以1為半徑，圓心角為的三段弧，所以此時點點P在該正方體的表面上運動的軌跡的長度為，
故答案為：
【變式4-3】．（2023·貴州銅仁·統考模擬預測）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是 ．
【答案】
【解析】因為，所以點可能在平面內，可能在平面內，可能在平面內.
當點在平面內時，
由平面，平面，可知，
所以，所以，
所以點到的距離為，
所以點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內部的交線.
如上圖，，，
則的長，
所以，當點在平面內時，點P的軌跡長度是.
同理可得，當點在平面內時，點P的軌跡長度也是.
當點在平面時，點P的軌跡長度也是.
綜上所述，點P的軌跡長度為.
故答案為：.
【變式4-4】（2023秋·山東威海高三模擬）如圖，已知棱長為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內（包括邊界）的動點，滿足PM=PD，則點P的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】如圖建立空間直角坐標系，則
設平面的法向量
則有，令，則
則
設，則
∵，則
又∵PM=PD，則
整理得：
聯立方程，則
可得，可得
當時，，當時，
在空間中，滿足PM=PD的P為過MD的中點且與MD垂直的平面
兩個平面的公共部分為直線，即點P的軌跡為平面A′C′D，則
故答案為：．
核心考點題型五 動點定角軌跡問題
【例題1】．（2023秋·四川成都高三模擬）如圖，點是棱長為2的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為45°，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用直線與平面所成的角為45°求得點的軌跡，進而求得點的軌跡長度.
【詳解】若點P在正方形內，
過點P作平面于，連接.
則為直線與平面所成的角，則，
又，則，則，
則點的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形內的部分），
若點P在正方形內或內，軌跡分別為線段，
因為點P不可能落在其他三個正方形內，
所以點的軌跡長度為.
故選：A
【例題2】．（2023·山東臨沂高三專題檢測）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點，，，.沿著將折起，使A到達點的位置，且平面平面.設P為內的動點，若，則P的軌跡的長度為 .
【答案】
【解析】
建立如圖示空間直角坐標系，
則,
設
則
∴\
,
∵∴,
∴
整理化簡得：
∴P的軌跡為圓，交于,于,
則
∴所對應的圓心角，∴弧長為．
故答案為：．
【例題3】．（2023·陜西榆林中學校聯考）已知正方體的棱長為2，點為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點的軌跡所圍成的周長為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，
因為平面，所以，又，且與相交，
所以平面，所以，
同理可得，又，
所以平面，
∴是平面所成的角，∴．
由可得，，即．
在四面體中，，平面，
所以，所以為的中心，
又，．∴四面體為正三棱錐，
如圖所示：在等邊三角形中，，
，
∵，∴，即在平面內的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，∴周長為.
故答案為：
【變式5-1】．（2023·陜西榆林中學校聯考）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為 ．
【答案】
【解析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內一部分圓弧，求其圓心角計算弧長即可.
【詳解】如圖所示，取BC中點G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN與底面ABCD的夾角即，
∴，則，
故N點在以G為原點為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的軌跡為圖示中的圓弧，
易知，
所以長為.
故答案為：.
【變式5-2】．（2023·四川綿陽中學校聯考）已知是半徑為2的球面上的四點，且．二面角的大小為，則點形成的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】根據題意求出外接球球心與面的距離，結合二面角的大小判斷與面所成角大小，進而求出到外接圓圓心距離，即可確定軌跡長度.
【詳解】由題意，為等腰直角三角形，且外接圓半徑，圓心為中點，
又外接球半徑，球心，則，

易知：為等腰直角三角形，又二面角的大小為，
由為外接圓直徑，且面面，則與面所成角為，
所以到外接圓圓心距離，故外接圓的半徑為，
注意：根據二面角大小及球體的對稱性，如上圖示，
軌跡在大球冠對應外接圓優弧的一側，在小球冠對應外接圓劣弧的一側，
所以軌跡長度為.
故答案為：
【變式5-3】．（2023·湖北武漢高三聯考）如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為4和6，側棱長為2，點P在側面內運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先將正三棱臺側棱延長補成正三棱錐，求出點到平面的距離即可確定點的運動軌跡，進而可得出答案.
【詳解】依題意，延長正三棱臺側棱相交于點，取中點，
中點，連接，則有，
所以的延長線必過點且，
過點作，則四邊形是邊長為2的菱形，
如圖所示：
在中，，即，
解得，所以，
所以為邊長為6等邊三角形，
所以，，
所以，
因為是邊長為3的等邊三角形且為中點，
所以，，
在中，由余弦定理變形得，，
在中，由余弦定理變形得，
，
解得，所以，所以，
由平面，
可得平面，
又平面，所以，
由，，，平面，
可得平面，
因為AP與平面所成角的正切值為，
所以，解得，，
所以點在平面的軌跡為以為原點的圓被四邊形所截的弧，
設的長度為，則，
所以所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度為.
故選：A.
【變式5-4】．（2023秋·江西贛州高三聯考）在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方形（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為 .
【答案】/
【解析】如圖，在棱長為6的正方體中，
則平面，平面，
又，在平面上，，，
又，，
，即，
如圖，在平面中，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，
則，，，
由，知，
化簡整理得，，圓心，半徑的圓，
所以點的軌跡為圓與四邊形的交點，即為圖中的
其中，，，則
由弧長公式知
故答案為：.
【變式5-5】．（2023·云南昭通市第一中學模擬）（多選題）如圖，若正方體的棱長為，點是正方體的側面上的一個動點（含邊界），是棱的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．沿正方體的表面從點到點的最短路程為
B．若保持，則點在側面內運動路徑的長度為
C．三棱錐的體積最大值為
D．若點滿足，則點的軌跡為線段
【答案】BD
【解析】對于A，將側面和側面沿棱展開，可得展開圖如下圖所示，
此時從點到點的最短路程為；
將底面和側面沿棱展開，可得展開圖如下圖所示，
此時從點到點的最短路程為；
，從點到點的最短路程為，A錯誤；
對于B，取中點，連接，
分別為中點，，又平面，
平面，即為在平面內的投影；
，，，
點的運動路徑是以為圓心，為半徑的圓與側面的交線，即，如下圖所示，
，，的長度為，
即點在側面內運動路徑的長度為，B正確；
對于C，是邊長為的等邊三角形，；
設點到平面的距離為，則，
即當最大時，最大；當與重合時，取得最大值，
，C錯誤；
對于D，作，，垂足分別為，
平面，平面，，
；
設，，，
則，，，
，
又，，
整理可得：，即，即，
則為滿足的線段上的點，即點的軌跡為線段，D正確．
故選：BD．
核心考點題型六 翻折過程求軌跡
【例題1】（2023秋·河北保定第一中學模擬）如圖，在長方形ABCD中，AB=，BC=1，E為線段DC上一動點，現將AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為 ．
【答案】
【解析】由題可知，根據沿折起，使點在平面上的射影在直線上，可知，所以的軌跡是以為直徑的一段圓弧 ，
在折起前的圖形中對應以AD為直徑的一段圓弧，利用弧長公式計算即可求得所形成軌跡的長度.
【詳解】如圖所示：
由題可知，根據沿折起，使點在平面上的射影在直線上，
可知，所以的軌跡是以為直徑的一段圓弧 ，
對應折起前的圖形中，是如圖所示的圓弧,圓心是線段AD的中點O，
長方形ABCD′中，AB= ，BC=1，
所以，∴ ,
所形成軌跡的長度為；
故答案為：.
【例題2】（2023秋·湖南長沙高三模擬）．在矩形ABCD中，，，點E在CD上，現將沿AE折起，使面面ABC，當E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在原平面矩形中,連接,由面面ABC知,故點的軌跡是以為直徑的圓上一段弧,根據的位置求出此弧的長度.
【詳解】
由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內過點作垂足為在平面上的射影，連接,由翻折的特征知，
則，故點的軌跡是以為直徑的圓上一段弧，根據長方形知圓半徑是，
如圖當與重合時，,所以，
取為的中點，得到是正三角形.
故，其所對的弧長為；
故選：D.
【變式6-1】．（2023秋·甘肅武威高三專題檢測）矩形ABCD中，，E為AB中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當θ在范圍內變化時，點A'的軌跡長度為
【答案】；
【解析】取的中點為，連接，則，
故在以球心，為半徑的球面上.
過作，垂足為，連接，則.
在矩形中，，故，
故，而，故平面，
故在過且垂直于的平面上，所以在以為圓心，為半徑的圓上，
而為二面角的平面角，故，
故點的軌跡長度為，
故答案為：.
【變式6-2】．（2023·江蘇連云港·高二?？迹┰诰匦蜛BCD中，，，點E在CD上，現將沿AE折起，使面面ABC，當E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內過點作垂足為在平面上的射影，連接,由翻折的特征知，
則，故點的軌跡是以為直徑的圓上一段弧，根據長方形知圓半徑是，
如圖當與重合時，,所以，
取為的中點，得到是正三角形.
故，
其所對的弧長為；
故選：D.
核心考點題型七 投影求軌跡
【例題1】．（2023·山東煙臺三模）如圖所示，二面角的平面角的大小為，是上的兩個定點，且，滿足與平面所成的角為，且點在平面上的射影在的內部（包括邊界），則點的軌跡的長度等于_________．
【答案】
【解析】如圖所示：因為與平面所成的角為30°，點在平面上的射影，，
所以，
所以的軌跡為直角三角形繞斜邊旋轉所形成的軌跡，
在直角中，作，垂足為，
因為，可得，
即點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓弧，
又因為二面角的平面角的大小為，
所以點的軌跡的長度等于．
故答案為：．
【例題2】．（2023·云南師大附中高三模擬）1822年，比利時數學家Dandelin利用圓錐曲線的兩個內切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現了橢圓截線定義與軌跡定義的統一性．在生活中，有一個常見的現象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，設，
，，，
，
，∴長軸長，，
則離心率．
故選：A
【變式7-1】．（2023·四川成都一模）橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓．現有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根據題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質即可確定此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍．
【詳解】
當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大．
此時橢圓長軸長為，短軸長為6，
所以橢圓離心率，
所以．
故選：C
【例題2】．（2023·湖北武漢市第一中學校高三模擬預測）參加數學興趣小組的小何同學在打籃球時，發現當籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數學課堂上學過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學習，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點．他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當成質點），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______．
【答案】
【解析】以A為原點建立平面直角坐標系，則，，直線PR的方程為
設，
由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）
則，
又設直線PN的方程為
由到直線PN的距離為1，得，整理得
則，又，故
則直線PN的方程為，
故，
由，解得，故橢圓的離心率
故答案為：
【變式8-1】（2023·江西南昌·二模）通過研究發現：點光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個焦點（如圖所示），如圖是底面邊長為2 高為3的正四棱柱，一實心小球與正四棱柱的下底面及四個側面均相切，若點光源P位于的中點處時，則在平面上的投影形成的橢圓的離心率是___________．
【答案】
【解析】從P作于M點，在平面內作球的切線，交平面于N點，則在平面內形成的圖形如圖所示：
底面邊長為2 高為3的正四棱柱，實心小球與正四棱柱的下底面及四個側面均相切，
則，，故，
，
則，
根據題目條件知，是橢圓焦點，MN是長軸，即，，
則，離心率
故答案為：
【變式8-2】．（2023·吉林東北師大附中模擬預測）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．
【答案】
【解析】連接，
因為，
所以，
所以，
在照射過程中，橢圓的短半軸長是球的半徑，即，
如圖，橢圓的長軸長是，過點向作垂線，垂足為，
由題意得，
因為，所以，
所以，得，
所以橢圓的離心率為，
故答案為：素養提升點3-5 立體幾何中的軌跡問題（原卷版）
【考情透析】
立體幾何中的軌跡問題是高考的難點之一，主要利用平行、垂直、定角、定長等性質分析動點的軌跡，根據軌跡解決一些簡單問題，有時可以借助空間直角坐標系來探求變量關系，然后用函數的性質求解。
【歸納題型】
核心考點題型一 動點平行軌跡問題
【例題1】．（2023秋.山東威海高三模擬）在棱長為1的正方體中，E在棱上且滿足，點F是側面上的動點，且面AEC，則動點F在側面上的軌跡長度為 ．
【例題2】（2023·貴州銅仁第一中學?？奸_學考試）設正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；
②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；
③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；
④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．
其中正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例題3】（2023秋·廣東梅州高三期末）（多選題）如圖，已知正方體的棱長為2，點M為的中點，點P為正方形上的動點，則（ ）
A．滿足MP//平面的點P的軌跡長度為 B．滿足的點P的軌跡長度為
C．存在點P，使得平面AMP經過點B D．存在點P滿足
【變式1-1】（2023·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，點是正方形所在平面內一動點，若平面，則點軌跡在正方形內的長度為 .

【變式1-2】．（2023秋·湖南岳陽高三期末）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．若側面的中心為，為側面內的一個動點，平面，且的軌跡長度為，則三棱柱的表面積為 ．

【變式1-3】．（2023秋·江西九江高三期末）（多選題）已知正方體的邊長為2，M為的中點，P為側面上的動點，且滿足平面，則下列結論正確的是（ ）
A． B．平面
C．與所成角的余弦值為 D．動點P的軌跡長為
【變式1-4】．（2023·陜西漢中高三專題檢測）在邊長為2的正方體中，點M是該正方體表面及其內部的一動點，且平面，則動點M的軌跡所形成區域的面積是 ．
【變式1-5】（2023·四川大學附中三模）已知棱長為的正四面體，為的中點，動點滿足，平面經過點，且平面平面，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為_________．
核心考點題型二 動點垂直軌跡問題
【例題1】（2023秋·寧夏銀川二中校考檢測）在棱長為4的正方體中，點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一動點，若MP與CQ垂直，則點M所構成的軌跡的周長為 .
【例題2】．（2023秋·陜西榆林二中?？紮z測）如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）．若AM⊥MP，則點P形成的軌跡長度為 ，點S與P距離的最小值是 ．

【例題3】．（2023秋·甘肅天水高三檢測）（多選）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，點為的中點，點為底面上的動點，則（ ）
A．當時，存在唯一的點滿足
B．當時，存在點滿足
C．當時，滿足的點的軌跡長度為
D．當時，滿足的點軌跡長度為
【變式2-1】（2023·河北石家莊高三模擬預測）已知為正方體的內切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是 .
【變式2-2】（2023·河北保定高三檢測）如圖，正方體的棱長為，點是棱的中點，點是正方體表面上的動點．若，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（ ）

A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·湖北宜昌高三檢測）直四棱柱的底面是邊長為的正方形，，點為的中點，點為的中點，則點到底面的距離為__________若為底面內的動點，且，則動點的軌跡長度為__________．
【變式2-4】（2023秋·河南開封高三專題檢測）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 ．
【變式2-5】（2023秋·山東青島高三專題檢測）（多選）如圖，正方體的棱長為3，動點在側面內運動（含邊界），且，則（ ）
A．點的軌跡長度為 B．點的軌跡長度為
C．的最小值為 D．的最小值為
核心考點題型四 動點定長軌跡問題
【例題1】（2023秋·山西大同高三專題檢測）在棱長為1的正方體中，點Q為側面內一動點（含邊界），若，則點Q的軌跡長度為 ．
【例題2】（2023秋·河南安陽模擬預測）在四邊形ABCD中，，，P為空間中的動點，，E為PD的中點，則動點E的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】．（2023秋·云南大理高三專題檢測）（多選）已知正方體的棱長為為空間中任一點，則下列結論中正確的是（ ）
A．若為線段上任一點，則與所成角的范圍為
B．若在正方形內部，且，則點軌跡的長度為
C．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為
D．若三棱錐的體積為恒成立，點的軌跡為橢圓或部分橢圓
【變式4-1】（2023秋·遼寧撫順高三專題檢測）．已知正方體的棱長為3，動點在內，滿足，則點的軌跡長度為 .
【變式4-2】（2023·河北邯鄲第一中學?？迹┮阎襟w的棱長為1，點P在該正方體的表面上運動，且則點P的軌跡長度是 ．
【變式4-3】．（2023·貴州銅仁·統考模擬預測）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是 ．
【變式4-4】（2023秋·山東威海高三模擬）如圖，已知棱長為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內（包括邊界）的動點，滿足PM=PD，則點P的軌跡長度為 ．
核心考點題型五 動點定角軌跡問題
【例題1】．（2023秋·四川成都高三模擬）如圖，點是棱長為2的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為45°，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·山東臨沂高三專題檢測）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點，，，.沿著將折起，使A到達點的位置，且平面平面.設P為內的動點，若，則P的軌跡的長度為 .
【例題3】．（2023·陜西榆林中學校聯考）已知正方體的棱長為2，點為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點的軌跡所圍成的周長為 ．
【變式5-1】．（2023·陜西榆林中學校聯考）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為 ．
【變式5-2】．（2023·四川綿陽中學校聯考）已知是半徑為2的球面上的四點，且．二面角的大小為，則點形成的軌跡長度為 ．
【變式5-3】．（2023·湖北武漢高三聯考）如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為4和6，側棱長為2，點P在側面內運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】．（2023秋·江西贛州高三聯考）在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方形（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為 .
【變式5-5】．（2023·云南昭通市第一中學模擬）（多選題）如圖，若正方體的棱長為，點是正方體的側面上的一個動點（含邊界），是棱的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．沿正方體的表面從點到點的最短路程為
B．若保持，則點在側面內運動路徑的長度為
C．三棱錐的體積最大值為
D．若點滿足，則點的軌跡為線段
核心考點題型六 翻折過程求軌跡
【例題1】（2023秋·河北保定第一中學模擬）如圖，在長方形ABCD中，AB=，BC=1，E為線段DC上一動點，現將AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為 ．
【例題2】（2023秋·湖南長沙高三模擬）．在矩形ABCD中，，，點E在CD上，現將沿AE折起，使面面ABC，當E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】．（2023秋·甘肅武威高三專題檢測）矩形ABCD中，，E為AB中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當θ在范圍內變化時，點A'的軌跡長度為
【變式6-2】．（2023·江蘇連云港·高二?？迹┰诰匦蜛BCD中，，，點E在CD上，現將沿AE折起，使面面ABC，當E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型七 投影求軌跡
【例題1】．（2023·山東煙臺三模）如圖所示，二面角的平面角的大小為，是上的兩個定點，且，滿足與平面所成的角為，且點在平面上的射影在的內部（包括邊界），則點的軌跡的長度等于_________．
【例題2】．（2023·云南師大附中高三模擬）1822年，比利時數學家Dandelin利用圓錐曲線的兩個內切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現了橢圓截線定義與軌跡定義的統一性．在生活中，有一個常見的現象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】．（2023·四川成都一模）橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓．現有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】．（2023·湖北武漢市第一中學校高三模擬預測）參加數學興趣小組的小何同學在打籃球時，發現當籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數學課堂上學過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學習，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點．他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當成質點），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______．
【變式8-1】（2023·江西南昌·二模）通過研究發現：點光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個焦點（如圖所示），如圖是底面邊長為2 高為3的正四棱柱，一實心小球與正四棱柱的下底面及四個側面均相切，若點光源P位于的中點處時，則在平面上的投影形成的橢圓的離心率是___________．
【變式8-2】．（2023·吉林東北師大附中模擬預測）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．

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