資源簡介

重難點2-10 幾何體外接球、內(nèi)切球與棱切球問題
（九類核心考點題型）（原卷版）
【考情透析】
空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學的重點、難點，也是高考命題的熱點，難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸小題的位置。
【歸納題型】
核心考點題型一 與長方體相關的幾何體外接球問題
1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3．補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
（一）墻角模型（補成長方體）
找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出
【例題1】（2023.甘肅天水高三模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，平面，，，，則該“陽馬”外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋.四川成都高三模擬）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023秋.云南大理高三模擬）如圖，在邊長為2的正方形中，分別是的中點，將，，分別沿，，折起，使得三點重合于點，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【例題4】（2023秋·陜西榆林高三專題檢測）金剛石是碳原子的一種結構晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．
【變式1-1】（2023秋.山東煙臺高三模擬）如圖，已知在三棱錐中，，，且，求該三棱錐外接球的表面積是 ．

【變式1-2】（2023秋.山西大同高三模擬）在直三棱柱中，，，，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023秋.陜西榆林高三模擬）三棱錐的側棱兩兩垂直，且側面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．4 B． C． D．
【變式1-4】（2023秋·江蘇無錫高三模擬預測）如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．
【變式1-5】（2023秋.山西大同高三模擬）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為 .
【變式1-6】（2023秋·河北石家莊高三模擬預測）如圖，在三棱錐中，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
（二）對棱相等模型（補成長方體）
題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）
第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；
第二步：設出長方體的長寬高分別為，，
，，
列方程組，，
補充：圖2-1中，.
第三步：根據(jù)墻角模型，，，
，求出.
【例題1】（2023秋.云南昆明高三模擬）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋.陜西漢中高三模擬）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023秋.四川成都高三模擬）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023秋.遼寧沈陽高三模擬）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023秋.陜西咸陽高三模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為 　　．
核心考點題型二 漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）
題設：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例題1】（2023秋·河南洛陽高三校考期末）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B．60 C． D．
【例題2】（2023秋·陜西榆林高三專題檢測）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球，球的表面積為，則該圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·江蘇無錫高三專題檢測）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【變式3-2】（2023秋·山東濰坊高三模擬）已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023秋·安徽合肥高三專題檢測）已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】（2023秋·陜西寶雞高三專題檢測）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-6】（2023秋·云南昆明高三專題檢測）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【變式3-7】（2023·河南鄭州高三專題檢測）已知正三棱柱的外接球表面積為，則正三棱柱的所有棱長之和的最大值為______．
核心考點題型三 垂面模型（一條直線垂直于一個平面）
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；②．
【例題1】．（2023·江蘇南京高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【例題2】．（2023·陜西榆林高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【例題3】（2023·陜西榆林高三專題檢測）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【變式4-1】（2023·遼寧撫順高三專題檢測）已知四面體ABCD的所有頂點在球O的表面上，平面BCD ，，，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為 ．
【變式4-3】（2023·四川成都七中高三校考檢測）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為 .
【變式4-4】（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學校考模擬預測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為 .
【變式4-5】（2023秋·云南昆明高三模擬預測）已知三棱錐中，，，，是等邊三角形，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【變式4-6】（2023·江蘇鎮(zhèn)江中學高三模擬）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為 .
【變式4-7】（2023·四川綿陽·綿陽中學校考二模）在四棱錐中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為 .
【變式4-8】（2023·廣東韶關·高二統(tǒng)考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是 ．
【變式4-9】（2023·陜西漢中高三第一次模擬）在三棱錐中，
，則三棱錐的外接球的半徑為 ．
核心考點題型四 切瓜模型（面面垂直）
1.如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點.
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出；1．
事實上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.
2．如圖4-2，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，則
利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②
3．如圖4-3，平面平面，且（即為小圓的直徑）
4．題設：如圖4-4，平面平面，且（即為小圓的直徑）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；
第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.
【例題1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模擬）在四棱錐中，側面底面，側面是正三角形，底面是邊長為的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·甘肅天水一中高三第二次模擬）在菱形中，，，將繞對角線所在直線旋轉至，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023·河北秦皇島高三模擬）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模擬）在三棱錐中，平面平面，，且，，則三棱錐的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·山東青島高三模擬）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·湖南長沙高三模擬）已知四面體ABCD的頂點都在球О的表面上，平面平面BCD，，為等邊三角形，且，則球O的表面積為 .
【變式5-4】（2023·湖北武漢高三模擬）如圖，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為 ．

【變式5-5】（2023·陜西漢中高三第一次模擬）已知三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側面底面，且，則該幾何體的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【變式5-6】（2023·四川綿陽高三第一次模擬）在平行四邊形中，，，將此平行四邊形沿對角線折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積是 　　．
核心考點題型五 折疊模型（二面角模型）
題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)
第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；
第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心，連接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四點共面且四點共圓，證略.
【例題1】（2023·廣東深圳中學校聯(lián)考模擬預測）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點，將沿直線DE翻折成，連接，當二面角的平面角的大小為時，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·四川成都高三聯(lián)考模擬預測）在菱形中，，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【例題3】（2023秋·河南開封高三模擬）兩個邊長為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023春·河南洛陽高三統(tǒng)考）已知中，為邊上的高線，以為折痕進行折疊，使得二面角為，則三棱錐的外接球半徑為__________.
【變式6-2】（2023春·河南洛陽高三統(tǒng)考）（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023春·江蘇無錫高三統(tǒng)考）在四面體中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【變式6-4】（2023·黑龍江哈爾濱三中校考）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型六 共斜邊拼接模型
【例題1】（2023·四川成都高三模擬）在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【例題2】（2023·陜西寶雞高三模擬）在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023秋·江西贛州高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023秋·湖北武漢高三模擬）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023秋·山西大同高三模擬）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023秋·湖北武漢高三模擬）三棱錐的四個頂點都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為
A． B． C． D．
【變式7-4】．（2023秋·河南洛陽高三模擬）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
核心考點題型七 臺體的外接和內(nèi)切球
【例題1】．（2023秋·陜西榆林高三模擬）已知正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，側棱長為，則正四棱臺外接球的半徑為 .
【例題2】（2023秋·遼寧撫順高三模擬預測）已知某圓臺的母線長為4，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1：9，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例題3】（2023秋·陜西咸陽高三模擬預測）現(xiàn)有一個高為2的三棱錐被一個平行于底面的平面截去一個高為1的三棱錐，得到棱臺．已知，，，則該棱臺的外接球體積為 ．
【變式8-1】（2023秋·陜西咸陽高三模擬預測）．在正四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設直線與直線的交點為P，則四棱錐的外接球的體積為 .
【變式8-2】（2023·浙江金華高三校聯(lián)考開學考試）已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023·四川綿陽高三模擬）中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方棱臺（上、下底面均為矩形的棱臺）的專用術語，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．現(xiàn)有一外接球的表面積為的“芻童”如圖所示，記為四棱臺，其上、下底面均為正方形，且，則該“芻童”的體積為（ ）
A．224 B．448 C．或448 D．或224
核心考點題型八 常見多面體的內(nèi)切球
（一）錐體的內(nèi)切球問題
1．題設：如圖8-1，三棱錐上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.
第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．題設：如圖8-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑
第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點共線；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．題設：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）
方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內(nèi)切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
【例題1】（2023·安徽馬鞍山二中高三模擬）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內(nèi)，當時，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023秋·廣西桂林高二校聯(lián)考期中）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式9-1】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（2023·浙江寧波慈溪中學校聯(lián)考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
（二）其他幾何體的內(nèi)切球
【例題1】（2023·云南昆明高三模擬）軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，已知一等邊圓錐的母線長為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（ ）
A． B． C． D．
【例題2】（2023·四川南充高級中學校考模擬預測）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱， 圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球， 、為圓柱上、下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，有以下三個命題：
①平面截得球的截面面積最小值為；
②球的表面積是圓柱的表面積的；
③若為球面和圓柱側面的交線上一點，則的取值范圍為．
其中所有正確的命題序號為___________.
【例題3】（2023·山東青島模擬預測）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（ ）

A． B． C． D．
【變式9-4】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為__________.
【變式9-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾統(tǒng)考三模）已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中錯誤的是（ ）
A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內(nèi)切球表面積為
【變式9-6】（2023秋·四川成都高三模擬）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.
【變式9-7】（2023·浙江溫州統(tǒng)考一模）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為 .
【變式9-8】（2023·貴州貴陽高三校考）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側面、底面均相切的球）的半徑為2，當該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-9】（2023·湖南郴州統(tǒng)考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為 .
核心考點題型十 棱切球
【例題1】．（2023秋·云南大理校聯(lián)考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
【例題2】．（2023秋·山西大同聯(lián)考模擬預測）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2023·江西宜春第一中學校考）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是 ．
【變式10-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江高三校聯(lián)考）已知三棱錐的棱長均為，則與其各條棱都相切的球的體積為 .
【變式10-3】（2022 湖南長沙一模）已知正三棱柱的高等于1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為　　
A． B． C． D．
【變式10-4】（2023 河南洛陽高三期末）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為，則該幾何體最高點到正三棱柱下底面的距離為　　
A．5 B．6 C．7 D．8重難點2-10 幾何體外接球、內(nèi)切球與棱切球問題
（九類核心考點題型）（解析版）
【考情透析】
空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學的重點、難點，也是高考命題的熱點，難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸小題的位置。
【歸納題型】
核心考點題型一 與長方體相關的幾何體外接球問題
1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3．補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
（一）墻角模型（補成長方體）
找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出
【例題1】（2023.甘肅天水高三模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，平面，，，，則該“陽馬”外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：把四棱錐放置在長方體中，
則長方體的外接球即為四棱錐的外接球，
，，，長方體的對角線長為，
則長方體的外接球的半徑，
該“陽馬”外接球的表面積為．
【例題2】（2023秋.四川成都高三模擬）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，
則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，
所以外接球的直徑，
∴該球的體積為．
故選：B
【例題3】（2023秋.云南大理高三模擬）如圖，在邊長為2的正方形中，分別是的中點，將，，分別沿，，折起，使得三點重合于點，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補成一個長方體，利用長方體的對角線長求得外接球的半徑，結合球的表面積公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，且，
所以三棱錐可補成一個長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
如圖所示，

設長方體的外接球的半徑為，可得，所以，
所以外接球的表面積為
【例題4】（2023秋·陜西榆林高三專題檢測）金剛石是碳原子的一種結構晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．
【答案】
【解析】依題意可知，為正四面體的中心，如圖：
連接，延長交平面于點，則為△的中心，
所以設，，
因為，所以，
由，得，
得，解得，
所以正四面體的棱長為．
依題意可知，正四面體的外接球的圓心為，半徑為，
所以正四面體的外接球的體積是．
故答案為：；．
【變式1-1】（2023秋.山東煙臺高三模擬）如圖，已知在三棱錐中，，，且，求該三棱錐外接球的表面積是 ．

【答案】
【分析】根據(jù)題意將三棱錐轉化為長方體，利用長方體的求外接球的半徑，進而可得結果.
【詳解】設三棱錐外接球的外接球的半徑為，
由題意可將三棱錐轉化為長方體，長、寬、高分別為2、1、1，
則長方體的體對角線為外接球的直徑，即，
所以該三棱錐外接球的表面積為.
故答案為：.

【變式1-2】（2023秋.山西大同高三模擬）在直三棱柱中，，，，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，將直三棱柱擴充為長方體其體對角線為外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．
【解答】因為，，，
所以將直三棱柱擴充為長、寬、高為1、1、2的長方體，
其體對角線為其外接球的直徑，長度為，
所以其外接球的半徑為，
則此三棱柱外接球的表面積為．

故選：B
【變式1-3】（2023秋.陜西榆林高三模擬）三棱錐的側棱兩兩垂直，且側面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】結合題意可得，，進而由勾股定理可得，，從而求得，再利用等體積法即可求解.
【詳解】由題意，可得，
解得，，
由勾股定理可得，，
設中點為，連接，則，且，
所以，
即.
設該三棱錐內(nèi)切球的球心為，半徑為，
由，
即，
即，
解得.
故選：D.
【變式1-4】（2023秋·江蘇無錫高三模擬預測）如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．
【答案】
【解析】取的中點E，連接AE，如圖．
因為，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，
所以面，面，所以．
設，則，解得，
所以．所以三棱柱外接球的表面積．
【變式1-5】（2023秋.山西大同高三模擬）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為 .
【答案】
【解析】由圖可知正四面體的外接球的體積等于正方體的外接球的體積，求正方體外接球體積即可．
如圖，由題可得正四面體與正四面體全等，
所以正四面體的外接球的體積等于正四面體的外接球的體積，
也即是正方體的外接球的體積，
因為正方體棱長為1，所以外接球直徑為，
所以正方體的外接球的體積為：，
所以正四面體的外接球的體積為．
故答案為：．
【變式1-6】（2023秋·河北石家莊高三模擬預測）如圖，在三棱錐中，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二面角的正切值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.
【詳解】設是的中點，連接，由于，
所以，所以是二面角的平面角，所以，
由得.
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
由于，所以 兩兩垂直.
由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.
設正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，
（二）對棱相等模型（補成長方體）
題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）
第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；
第二步：設出長方體的長寬高分別為，，
，，
列方程組，，
補充：圖2-1中，.
第三步：根據(jù)墻角模型，，，
，求出.
【例題1】（2023秋.云南昆明高三模擬）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于三棱錐對棱相等，可將它補成一個長方體，利用長方體求得其外接球的半徑，然后求出球表面積即可．
【詳解】因為，
所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：

設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，
則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，
所以有，
所以所求的球體表面積為：．
故選：A．
【例題2】（2023秋.陜西漢中高三模擬）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，如圖所示：
則，故，球的半徑，
故體積為.
故選：D
【變式2-1】（2023秋.四川成都高三模擬）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將三棱錐放到長方體中，設長方體的長、寬、高分別為，求出即得三棱錐外接球的半徑，即得解.
【詳解】解：由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設長方體的長、寬、高分別為，
則，，，解得，，．
所以三棱錐外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
【變式2-2】（2023秋.遼寧沈陽高三模擬）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設四面體的外接球的半徑為,
則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，
則故，
故四面體ABCD外接球的體積為
【變式2-3】（2023秋.陜西咸陽高三模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為 　　．
【解析】解：如下圖所示，
將四面體放在長方體內(nèi)，設該長方體的長、寬、高分別為、、，
則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設該長方體的外接球半徑為，
由勾股定理得，
上述三個等式全加得，
所以，該四面體的外接球直徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為，
故答案為：．
核心考點題型二 漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）
題設：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例題1】（2023秋·河南洛陽高三校考期末）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B．60 C． D．
【答案】D
【解析】如圖，為棱的中點，為正△的中心，為外接球的球心
根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，
外接球半徑，∵正△的邊長為6，則
∴
外接球的表面積.故選：D．
【例題2】（2023秋·陜西榆林高三專題檢測）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球，球的表面積為，則該圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，因為圓柱的軸截面為正方形，所以圓柱的高，由球的表面積，得，
又，得，所以圓柱的體積.故選：C.
【變式3-1】（2023秋·江蘇無錫高三專題檢測）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示，
此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，
設球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，
設的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，
由正弦定理，得，所以，
中，，所以，解得，
所以．
【變式3-2】（2023秋·山東濰坊高三模擬）已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以正六邊形ABCDEF外接圓的半徑，
所以球O的半徑，故球O的表面積為．
故選：D
【變式3-3】（2023秋·安徽合肥高三專題檢測）已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱補成直四棱柱，其體對角線就是外接球的直徑，求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解．
【詳解】方法一：
由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱補成直四棱柱，
其體對角線就是外接球的直徑，所以半徑，
由球的表面積公式得，
故選：B．
方法二：
如圖，取的中點分別為，
根據(jù)題意，它們分別是的外心，因為，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
而底面ABC，所以底面ABC，
取的中點O，于是點O為該直三棱柱外接球的球心．
連接OB，容易求得，則外接球半徑
，于是外接球的表面積為，
故選：B．
【變式3-4】（2023秋·陜西寶雞高三專題檢測）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，因為，所以.
于是（是外接圓的半徑），.
又球心到平面的距離等于側棱長的一半，
所以球的半徑為.
所以球的表面積為，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面積是
.
【變式3-5】（2023秋·河北保定高三專題檢測）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球，球的表面積為，則該圓柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，由球的表面積為，得，根據(jù)軸截面為正方形列方程解得，代圓柱的體積公式得解.
【詳解】設外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，因為圓柱的軸截面為正方形，所以圓柱的高，由球的表面積，得，又，得，所以圓柱的體積
【變式3-6】（2023秋·云南昆明高三專題檢測）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【解析】設為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，
則，所以，則，
外接圓的半徑為，
所以棱柱外接球的半徑為，
令，則，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
則該三棱柱外接球表面積最小值為.
故選：C.
【變式3-7】（2023·河南鄭州高三專題檢測）已知正三棱柱的外接球表面積為，則正三棱柱的所有棱長之和的最大值為______．
【答案】
【解析】
由已知可得正三棱柱的外接球的球心為上下底面中心連線的中點，由外接球的表面積求出外接球半徑，由底面邊長求出底面外接圓半徑，求出球心到底面的距離，進而求出正三棱柱的高，即可求出結論，
【詳解】
設正三棱柱上下底面中心分別為，連，
取中點為正三棱柱外接球的球心，
連為外接球的半徑，如圖，
，
設正三棱柱的底面邊長為x，
，在中，
，
三棱柱的所有棱長之和為．
，
令，解得，
當時，，當時，，
所以是函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一極大值點，
故當時，有最大值．
故答案為： ．
核心考點題型三 垂面模型（一條直線垂直于一個平面）
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；②．
【例題1】．（2023·江蘇南京高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示，
此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，
設球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，
設的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，
由正弦定理，得，所以，
中，，所以，解得，
所以．
故答案為：．
【例題2】．（2023·陜西榆林高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.
【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，
而平面，因此平面，
在等腰中，，則，，
令的外接圓圓心為，則平面，，
有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，
從而，四邊形為平行四邊形，，又，
因此球O的半徑，
所以球的表面積.
【例題3】（2023·陜西榆林高三專題檢測）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】/
【解析】如圖，
分別取、、、的中點、、、，
連接、、、、，可得，，
則為異面直線與所成角，∴，
由面，而，故面，面，則，
設，可得，，，，則，
在中，由余弦定理，可得，
，解得，
設底面三角形的中心為，三棱錐的外接球的球心為，
連接，則平面，
由底面三角形是邊長為2的等邊三角形，可得，
∴為三棱錐外接球的球心，∴，則，，
又，可得，
則三棱錐的外接球的半徑．
∴三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：．
【變式4-1】（2023·遼寧撫順高三專題檢測）已知四面體ABCD的所有頂點在球O的表面上，平面BCD ，，，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出的外接圓半徑，作出輔助線，得到球心的位置，利用外接球半徑相等得到方程，求出半徑和表面積.
【詳解】因為，，設的外接圓半徑為，
則由正弦定理得，則，
如圖所示，點為的外接圓圓心，連接，則，
設外接球球心為，則⊥平面，設，
過點作⊥于點，連接，
則，，
由勾股定理得，，
故，解得，
所以外接球的半徑為，
所以球O的表面積為.
【變式4-2】（2023·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為 ．
【答案】
【解析】根據(jù)已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，
可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．
設正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，
的外接圓半徑為，，
所以球的半徑為，
所以四面體外接球的表面積為，
故答案為：．
【變式4-3】（2023·四川成都七中高三校考檢測）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意設底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，
因為平面ABC，所以，
設是PA中點，因為，所以，
因為平面平面ABC，所以，因此，
因此四邊形ODAG是平行四邊形，故，
∵，∴，
又外接圓的半徑，由正弦定理得，
所以該外接球的半徑滿足，
所以外接球的表面積為.
故答案為：．
【變式4-4】（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學校考模擬預測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為 .
【答案】/
【解析】設，則，
取正三角形的外心為，設四面體的外接球球心為，
連接，則平面，
又平面，則，
則平面截球所得截面為大圓，又，
則
又底面外接圓的半徑，
所以三棱錐外接球的半徑.
當時，有最小值，
所以三棱錐外接球的表面積的最小值為.
故答案為：
【變式4-5】（2023秋·云南昆明高三模擬預測）已知三棱錐中，，，，是等邊三角形，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【分析】由已知得出，取中點，連接，根據(jù)已知條件可得，由勾股定理逆定理可得，進而可得平面，可得出的外心就是三棱錐外接球球心，由此可得半徑，由球的表面積公式即可求解．
【詳解】因為，，所以，所以，
取中點，連接，則外心，
因為是等邊三角形，所以，且，
在中，，，，
所以，所以，又因為，，
所以平面，
所以三棱錐外接球球心在上，
所以的外心就是三棱錐外接球球心，
所以外接球的半徑，
球面積為．
故答案為：．
【變式4-6】（2023·江蘇鎮(zhèn)江中學高三模擬）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為 .
【答案】
【解析】取中點，中點，連接，則，
因為底面，所以平面，
因為四邊形是菱形，則，所以是的外心，
又底面，平面，所以，
所以到四點距離相等，即為三棱錐的外接球球心．
又，，所以，
所以，
所以三棱錐的外接球體積為．
故答案為：．
【變式4-7】（2023·四川綿陽·綿陽中學校考二模）在四棱錐中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】連接，
因為，，所以在直徑為的圓上，
取的中點，即四邊形外接圓的圓心，
在中，即，解得，
所以四邊形外接圓的直徑即外接圓的直徑為，
所以，
因為平面BCDE，所以四棱錐的外接球的球心與底面的距離為，
所以四棱錐的外接球的半徑為，對應的表面積為
故答案為：
【變式4-8】（2023·廣東韶關·高二統(tǒng)考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是 ．
【答案】
【解析】如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,
所以球心O到面的距離為,
由正弦定理有:
,
所以,
.
故答案為:.
【變式4-9】（2023·陜西漢中高三第一次模擬）在三棱錐中，
，則三棱錐的外接球的半徑為 ．
【答案】
【分析】依題為直角三角形，又由，可得點在底面的射影為的外心，故球心在直線上，易求出半徑得解.
【詳解】如圖，由，可得，
所以的外心為的中點，又由，
點在底面的射影為H，
則平面，連接，
則，
，所以點H與點D重合，
點在底面的射影為的外心，
顯然三棱錐外接球的球心在直線上，
設，
在中，有，解得．
故答案為：
核心考點題型四 切瓜模型（面面垂直）
1.如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點.
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出；1．
事實上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.
2．如圖4-2，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，則
利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②
3．如圖4-3，平面平面，且（即為小圓的直徑）
4．題設：如圖4-4，平面平面，且（即為小圓的直徑）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；
第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.
【例題1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模擬）在四棱錐中，側面底面，側面是正三角形，底面是邊長為的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用面面垂直的性質(zhì)證得面，面，再結合正弦定理求得三角形外接圓的半徑及勾股定理求得四棱錐外接球的半徑，進而求得其表面積.
【詳解】如圖所示，
連接AC、BD交于一點，取AD中點E，連接、，
所以由題意知，，，為正方形ABCD外接圓的圓心，
又因為面面，面面，面，
所以面，
同理：面，
設等邊△SDA的外接圓的圓心為，過作的平行線交過作的平行線于點O，
則面，面，
所以O為四棱錐外接球的球心，半徑為，
方法1：等邊△SDA的外接圓半徑
方法2：在等邊△SDA中由正弦定理得，解得：，
又因為，
所以，
所以四棱錐外接球表面積為.
故選：C.
【例題2】（2023秋·甘肅天水一中高三第二次模擬）在菱形中，，，將繞對角線所在直線旋轉至，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，取的中點，連接的，利用勾股定理證明，則有平面平面，設點為的外接圓的圓心，則在上，設點為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.
【詳解】如圖，取的中點，連接，
在菱形中，，則都是等邊三角形，
則，
因為平面平面，
所以即為二面角的平面角，
因為，所以，即，
所以平面平面，
如圖，設點為的外接圓的圓心，則在上，且，
設點為三棱錐的外接球的球心，則平面
外接球的半徑為，設，
則，解得，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：B.
【例題3】（2023·河北秦皇島高三模擬）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】過點作于E，則PE為四棱錐的高，據(jù)此求出正方形棱長.再根據(jù)幾何關系找出外接球球心，根據(jù)勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】
設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等邊三角形，則，
∴，解得．
設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，
O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，
則，，
，
∴外接球表面積．
故選：C．
【變式5-1】（2023·云南曲靖一中高三第一次模擬）在三棱錐中，平面平面，，且，，則三棱錐的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，
取等邊三角形的中心，過作平面的垂線段，且，
則為三棱錐的外接球的球心，
在等邊三角形中，由，得，
連接，則，
三棱錐的外接球的表面積為．
【變式5-2】（2023·山東青島高三模擬）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意得到平面ABEF，進一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．
【詳解】由可知，，，可求，，，
因為平面平面ABEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC為外接球直徑，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面積為．
故選：A．
【變式5-3】（2023·湖南長沙高三模擬）已知四面體ABCD的頂點都在球О的表面上，平面平面BCD，，為等邊三角形，且，則球O的表面積為 .
【答案】/
【解析】取的中點為，連接，根據(jù)條件可得平面BCD，球心在上，然后在中根據(jù)勾股定理建立方程可求出球的半徑.
【詳解】
取的中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，
因為平面平面BCD，平面平面BCD，平面，
所以平面BCD，
因為，所以的外心為，球心在上，
設球的半徑為，因為，，
所以在中，，即，解得，
所以球的表面積為，
故答案為：
【變式5-4】（2023·湖北武漢高三模擬）如圖，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為 ．

【答案】
【分析】由矩形的性質(zhì)分析可得外接球的球心即為的中點，進而可求球的半徑和體積.
【詳解】設，由矩形的性質(zhì)可知：，
則三棱錐的外接球的球心即為，半徑，
所以三棱錐的外接球的體積.
故答案為：.

【變式5-5】（2023·陜西漢中高三第一次模擬）已知三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側面底面，且，則該幾何體的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，設底面正三角形的外心為，側面三角形的外心為，
過作底面垂線，過作側面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，
由已知可得，
，設三角形的外接圓的半徑為，
則，即．
在中，可得，
該幾何體的外接球的表面積為．
故選：．
【變式5-6】（2023·四川綿陽高三第一次模擬）在平行四邊形中，，，將此平行四邊形沿對角線折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積是 　　．
【解答】解：如圖，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，
，
同理可證，
在中，，所以，
取中點為，連接，，
由直角三角形的性質(zhì)可知，，，
又，即到，，，四點的距離相等，
為三棱錐外接球的球心，
，
球的體積
核心考點題型五 折疊模型（二面角模型）
題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)
第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；
第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心，連接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
注：易知四點共面且四點共圓，證略.
【例題1】（2023·廣東深圳中學校聯(lián)考模擬預測）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點，將沿直線DE翻折成，連接，當二面角的平面角的大小為時，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，E是AB的中點，所以，又，，
所以為等腰直角三角形，故為等腰直角三角形，
取的中點為，則，因為，又，，所以
同理可得，又，所以，取的中點為，連接，
則，所以，
所以為二面角的平面角，所以，
因為，，，
所以為等邊三角形，取的中點為，則，
因為，，，平面，
所以平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
因為為直角三角形，為斜邊，
所以，所以為的外接圓的圓心，
設為三棱錐外接球的球心，則平面，
設，三棱錐外接球的半徑為，則，
若球心和點位于平面的兩側，延長到點，使得，
因為平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，，
所以，所以，
所以，，
所以三棱錐外接球的表面積，
若球心和點位于平面的同側，因為平面，平面，所以，過點作，則四邊形為平行四邊形，
所以，，
所以，
所以，所以，舍去 ，故選：A.
【例題2】（2023·四川成都高三聯(lián)考模擬預測）在菱形中，，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】設菱形中心為，則為等邊三角形，利用球的對稱性可知，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出球的半徑可得答案.
【詳解】過球心作平面，平面，則為等邊三角形的中心，
為等邊三角形的中心，，
∵四邊形是菱形，，∴、都是邊長為2等邊三角形，
連接，，所以，
設，交于點，則，，，
則，∴.
∵，∴，∴，，
∴，∴球的半徑，
∴三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：.
【例題3】（2023秋·河南開封高三模擬）兩個邊長為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題，設正三角形與的中心分別為，
根據(jù)外接球的性質(zhì)有平面，平面，又二面角的大小為，故，又正三角形與的邊長均為2，
故，故.
易得，故，故，
又，故球的半徑，
故球的表面積為，故選：B
【變式6-1】（2023春·河南洛陽高三統(tǒng)考）已知中，為邊上的高線，以為折痕進行折疊，使得二面角為，則三棱錐的外接球半徑為__________.
【答案】
【解析】由題意，可得，為二面角的平面角，即，在中，，
由余弦定理，可得，
又由且平面，
所以平面，設外接圓的半徑為，圓心為，
則，可得，即，
設三棱錐的外接球的半徑為，球心為，
可得，即，
所以三棱錐的外接球半徑為.
【變式6-2】（2023春·河南洛陽高三統(tǒng)考）（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中點，連接，
因為，所以到的距離相等，
故即為球心．
由球的表面積等于，設外接球半徑為，故，
解得，過作垂直于于點，
因為，，所以，同理，
過點作，且，則，是二面角的平面角，，過點作，垂足為點.
因為，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，
又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，
則為三棱錐的高，
故三棱錐的高為，
其中，
所以三棱錐的體積．
【變式6-3】（2023春·江蘇無錫高三統(tǒng)考）在四面體中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【答案】A
【解析】如圖所示，取的中點，連接，分別取和的外心與，
過兩點分別作平面和平面的垂線，交于點，
則就是外接球的球心，連接，
則為二面角的平面角，即，
則是等邊三角形，其邊長為，，
在中，，所以，
又由，所以，
所以四面體的外接球的表面積為.
故選：A.
【變式6-4】（2023·黑龍江哈爾濱三中校考）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設為，設的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，
又因為二面角的大小為，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，
故選：B
核心考點題型六 共斜邊拼接模型
【例題1】（2023·四川成都高三模擬）在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四邊形中，，
，，
沿折成直二面角，
平面平面 三棱錐的外接球的直徑為，
外接球的半徑為1，故表面積是．
故選：．
【例題2】（2023·陜西寶雞高三模擬）在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．
∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖所示．
∴外接球的半徑．故．
【變式7-1】（2023秋·江西贛州高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
設SC的中點為O，AB的中點為D，連接OA、OB、OD，
因為，
所以，
則，
所以O為其外接球的球心，設球的半徑為R，
因為，， 所以，
所以，
因為，所以平面AOB，
所以，解得，
所以其外接球的體積為，
故選：D
【變式7-2】（2023秋·湖北武漢高三模擬）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，則，所以，
又因為，，，則，所以，
由，，，則，所以，
又由，，，則，所以，
可得為三棱錐的外接球的直徑，
又由，
所以此三棱錐的外接球半徑為，
所以球的表面積為．
【變式7-3】（2023秋·山西大同高三模擬）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中點，連接，
因為，，所以，.
因為平面平面，所以平面.
設，
所以，
所以球的體積為.
【變式7-3】（2023秋·湖北武漢高三模擬）三棱錐的四個頂點都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖：由題意，是球的直徑，
，，
，，
，
， ， 球的半徑為，
球的表面積為
【變式7-4】．（2023秋·河南洛陽高三模擬）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，則，所以，
又因為，，，則，所以，
由，，，則，所以，
又由，，，則，所以，
可得為三棱錐的外接球的直徑，
又由，
所以此三棱錐的外接球半徑為，
所以球的表面積為．
故選：C．
核心考點題型七 臺體的外接和內(nèi)切球
【例題1】．（2023秋·陜西榆林高三模擬）已知正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，側棱長為，則正四棱臺外接球的半徑為 .
【答案】
【解析】如圖，在正四棱臺中，分別取上下底面的中心、，則球心在線段上，求出的長，設正四棱臺外接球的半徑為R，分析可得，求出R的值，即可得答案
【詳解】如圖，在正四棱臺中，分別取上下底面的中心、，有，，
過點作，垂足為H，
在中，，
設正四棱臺外接球的半徑為R，有，
整理得到，解得：，檢驗符合.
故答案為：
【例題2】（2023秋·遼寧撫順高三模擬預測）已知某圓臺的母線長為4，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1：9，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將圓臺補全為圓錐，記圓錐頂點為，取圓錐的軸截面，
記該軸截面與圓臺的交點為，記圓臺上底面圓心為，下底面圓心為，根據(jù)圓臺的對稱性可知，其外接球球心在中軸線上，
連接如圖所示：
由題知，因為上、下底面的面積之比為1：9，
所以上底面半徑與下地面半徑之比為，即，
因為，所以，解得，
因為，所以，
因為，所以，，
記圓臺外接球半徑為，，在直角和直角中由勾股定理知：
，，即，，解得，
故圓臺外接球的表面積為.故選：D
【例題3】（2023秋·陜西咸陽高三模擬預測）現(xiàn)有一個高為2的三棱錐被一個平行于底面的平面截去一個高為1的三棱錐，得到棱臺．已知，，，則該棱臺的外接球體積為 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得，由正弦定理得外接圓的半徑，進而得外接圓的半徑，根據(jù)球心與棱臺上下底面的位置關系討論，列出關于外接球半徑的方程，求出，進而得出答案.
【詳解】由題意，，且，
設外接圓的圓心分別為，半徑分別為，則，
，，，
由余弦定理得，，則，
由正弦定理得，∴，
設棱臺的外接球球心為，半徑為，
若球心在棱臺上下底面之間時，
在直角中，，∴，
在直角中，，∴，
∵，∴，此方程無解；
若球心不在棱臺上下底面之間時，
在直角中，，∴，
在直角中，，∴，
∵，∴，解得，
則該棱臺的外接球體積為．
故答案為：．
【變式8-1】（2023秋·陜西咸陽高三模擬預測）．在正四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設直線與直線的交點為P，則四棱錐的外接球的體積為 .
【答案】
【分析】先確定四棱錐為正四棱錐，則其外接球的球心O在直線上，由勾股定理可得半徑，結合球的體積公式計算即可求解.
【詳解】設與相交于點，因為四棱臺為正四棱臺，
直線與直線的交點為P，所以四棱錐為正四棱錐，
得平面，四棱錐的外接球的球心O在直線上，連接BO，
設該外接球的半徑為R，由，，
所以，則，
即，解得，
則四棱錐外接球的體積為.
故答案為：.
【變式8-2】（2023·浙江金華高三校聯(lián)考開學考試）已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】顯然此時圓與等腰梯形的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標系，
由題意得，，則，
則直線所在直線方程為，即
設，表面積最大時球的半徑為，
則，則點到直線的距離等于半徑，
則有，解得或，，
，此時，則，故選：.
【變式8-3】（2023·四川綿陽高三模擬）中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方棱臺（上、下底面均為矩形的棱臺）的專用術語，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．現(xiàn)有一外接球的表面積為的“芻童”如圖所示，記為四棱臺，其上、下底面均為正方形，且，則該“芻童”的體積為（ ）
A．224 B．448 C．或448 D．或224
【答案】C
【解析】連接，交于點，連接，交于點，
連接，則由球的幾何性質(zhì)可知，芻童外接球的球心必在直線上，
由題意可得，，設球的半徑為，由，得．
連接，，在中，，
即，得．
在中，，即，得．
當球心在線段上時，，
則該芻童的體積；
當球心在線段的延長線上時，，
則該芻童的體積為．故選：C．
核心考點題型八 常見多面體的內(nèi)切球
（一）錐體的內(nèi)切球問題
1．題設：如圖8-1，三棱錐上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.
第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．題設：如圖8-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑
第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點共線；
第二步：求，，是側面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．題設：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）
方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設內(nèi)切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
【例題1】（2023·安徽馬鞍山二中高三模擬）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內(nèi)，當時，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中點，由矩形的性質(zhì)可知，
即為該四面體的外接球的球心，故外接球的半徑；
因為，，平面，
可得平面，
平面，則，
且，，平面，
可得平面，
平面，則，故該四面體的四個面都是直角三角形，
設四面體的內(nèi)切球的半徑為，
因為內(nèi)切球與四面體的四個面都相切，故滿足，
則，解得；
因此該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積的比值為.
故選：C.
【例題2】（2023秋·廣西桂林高二校聯(lián)考期中）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為四棱錐的各棱長均為2，所以四棱錐是正四棱錐，
則，
過P作底面垂線，垂足為H，則，
所以，則，
故其內(nèi)切圓表面積為，
故選：B．
【變式9-1】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)圖形，已知正方體的棱長為2，易知正八面體的棱長為正方體面對角線長的一半，
即為，
如圖，
在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，.
在中，，
則該正八面體的體積，
該八面體的表面積
設正八面體的內(nèi)切球半徑為，
，即，解得，
.
故選：C.
【變式9-2】（2023·浙江寧波慈溪中學校聯(lián)考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因為四面體四個面都為直角三角形，平面，
所以，，
設四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，
則
所以，
因為四面體的表面積為，
又因為四面體的體積，
所以，
所以內(nèi)切球表面積.
故選：C.
【變式9-3】（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，
在三棱錐中，，，
三棱錐是正四面體，是的中心，平面，
三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，
，解得球的半徑，
設，則，，
，
，，，
解得，，
此三棱錐的體積為.
故選：D.
（二）其他幾何體的內(nèi)切球
【例題1】（2023·云南昆明高三模擬）軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，已知一等邊圓錐的母線長為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】軸截面如圖所示，設內(nèi)切球的半徑為，則，
由題意可得，，
在中，，
所以，即，
所以內(nèi)切球體積為，故選：D
【例題2】（2023·四川南充高級中學校考模擬預測）傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱， 圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球， 、為圓柱上、下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，有以下三個命題：
①平面截得球的截面面積最小值為；
②球的表面積是圓柱的表面積的；
③若為球面和圓柱側面的交線上一點，則的取值范圍為．
其中所有正確的命題序號為___________.
【答案】①③
【解析】對于①，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，如下圖所示：
易知，，，由勾股定理可得，
則由題可得，
設到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，
因為平面，當平面時，取最大值，即，
所以，，所以平面截得球的截面面積最小值為，①對；
對于②，因為球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，球的表面積為，圓柱的表面積為，所以球與圓柱的表面積之比為，②錯；
對于③，由題可知點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設在底面的射影為，
則，，，
由勾股定理可得，令，則，其中，
所以，，所以，，
因此，，③對.
【例題3】（2023·山東青島模擬預測）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知組合體的體積是一個圓錐體積的二倍，內(nèi)切球的球心為，半徑為點到的距離，從而可求出球的半徑，進而可求出球的體積，則可得答案
【詳解】由題意可得，
因為上下兩個圓錐大小相同，所以組合體內(nèi)切球的球心為，半徑等于點到的距離，設半徑為，則
，
所以，
所以，
故選：D
【變式9-4】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為__________.
【答案】
【解析】如圖所示：依題意得 ，
底面的外接圓半徑為，
點到平面的距離為 ，
所以 ， 所以
設球的半徑為，所以
則，得
設球的半徑為，則，又 得
所以球的表面積為
【變式9-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾統(tǒng)考三模）已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中錯誤的是（ ）
A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內(nèi)切球表面積為
【答案】B
【解析】由題設，底面直徑，故半徑為，體高為，
所以圓錐的體積為，A正確；
圓錐的表面積為，B錯誤；
底面周長為，側面展開扇形半徑為2，故圓心角為，C正確；
由軸截面是腰長為2的等腰直角三角形，圓錐的內(nèi)切球最大截面為其內(nèi)切圓，
所以內(nèi)切球半徑為，故球體表面積為，D正確.
故選：B
【變式9-6】（2023秋·四川成都高三模擬）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.
【答案】
【解析】作正方體的對角面，得如圖所示的截面圖:其中AB,CD為正方體的棱，
AD,BC為正方體的面對角線，AC為體對角線，
球心和在上，過分別作的垂線交于E，F(xiàn)兩點.
設小球半徑為r，大球半徑為R,則由題意知，
得，
∴，
∴，即兩球半徑之和為.
【變式9-7】（2023·浙江溫州統(tǒng)考一模）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為 .
【答案】
【解析】由題意，畫出圓臺的直觀圖，其中為圓臺的母線長，，分別為上、下底面的圓心，點為內(nèi)切球的球心，點為球與圓臺側面相切的一個切點.
則由題意可得：，
.
因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.
故答案為：
【變式9-8】（2023·貴州貴陽高三校考）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側面、底面均相切的球）的半徑為2，當該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設圓錐的頂點為，底面圓的圓心為，內(nèi)切球圓心為，
則，，
因為⊥，⊥，所以∽，則，
設，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圓錐的表面積為，
令，，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在時取得最小值，，
此時，，
設圓錐的外接球球心為，連接，設，
則，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面積為.
故選：A
【變式9-9】（2023·湖南郴州統(tǒng)考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為 .
【答案】/
【解析】如圖所示：
依題意得 ，
底面的外接圓半徑為，
點到平面的距離為 ，
所以 ，
所以
設球的半徑為，所以
則，得
設球的半徑為，則，又 得
所以球的表面積為
故答案為：.
核心考點題型九 棱切球
【例題1】．（2023秋·云南大理校聯(lián)考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，將正四面體放到正方體中，正方體的內(nèi)切球即與正四面體的六條棱均相切，，正方體的棱長為，則正四面體棱長為，高，，
故選:A．
【例題2】．（2023秋·山西大同聯(lián)考模擬預測）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，正方體中，棱長為，
所以，四面體是棱長為的正四面體，
當正四面體的各條棱都與同一球面相切時，該球為正方體的內(nèi)切球，半徑為，
所以，該球的體積為，
因為正四面體的體積為，
所以，該球與此正四面體的體積之比為.
【變式10-1】（2023·江西宜春第一中學校考）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是 ．
【答案】
【解析】過正方體的對角面作截面如圖，故球的半徑，
其表面積．
故答案為：.
【變式10-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江高三校聯(lián)考）已知三棱錐的棱長均為，則與其各條棱都相切的球的體積為 .
【答案】
【解析】將三棱錐補全為正方體，如下圖所示：
則正方體的內(nèi)切球即為與三棱錐各條棱均相切的球，
設正方體棱長為，則，解得：，
所求的球的半徑，球的體積.
故答案為：.
【變式10-3】（2022 湖南長沙一模）已知正三棱柱的高等于1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為　　
A． B． C． D．
【解析】解：如圖，正三棱柱的高等于1，
設上底面中心為，下底面中心為，連接，
則球的球心在的中點上，設球切棱于，切棱于，
則、分別為所在棱的中點，設底面邊長為，則，
，又，
，
，解得．
則球的半徑為，球的體積．
故選：．
【變式10-4】（2023 河南洛陽高三期末）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為，則該幾何體最高點到正三棱柱下底面的距離為　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】解：設球的半徑為，三棱柱上底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，
因為球的體積為，則，解得，
因為正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，
所以底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，正三棱柱的高為4，
設球心為，正三角形的內(nèi)切圓圓心為，
取的中點，并將這三點順次連接，
則由球的幾何知識可得△為直角三角形，
所以，
于是該幾何體最高點到正三棱柱下底面的距離為．
故選：．

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