資源簡介

分類計數原理與分步計數原理
【考綱解讀】
理解并掌握分類計數（或稱加法）原理，能夠運用分類計數（或稱加法）原理解答相關的數學問題；
理解并掌握分步計數（或稱乘法）原理，能夠運用分步計數（或稱乘法）原理解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、分類計數（或稱加法）原理：
1、分類計數（或稱加法）原理：
【問題】
從甲地到乙地，可以乘火車也可以乘汽車，如果火車一天有3班，汽車一天有2班，那么在一天中某人要從甲地到乙地他共有多少種不同的走法？
『思考問題』
（1）問題中的最終目的是從甲地到乙地，選擇的基本方法是：①火車有三種不同走法；②汽車有兩種不同走法；
（2）無論是選擇火車的走法，還是選擇汽車的走法都能完成從甲地到達乙地的整件事情。
分類計數（或稱加法）原理：完成一件事情有n類不同的方案，在第一類方案中有種不同的方法，在第二類方案中有種不同的方法，-----------在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事情共有方法是N=++-------+種不同的方法。
2、理解分類計數（或稱加法）原理應該注意的問題：
（1）分類計數（或稱加法）原理的主要特征是不論采用哪種方案都能完成需要完成的整件事情；
（2）判斷一個問題是不是屬于分類問題的基本方法是：實施這種方案后能不能把需要完成的整件事情做完。
3、分類計數（或稱加法）原理的運用：
分類計數（或稱加法）原理運用的基本方法是：①判斷問題符不符合分類計數（或稱加法）原理的特征；②在符合分類計數（或稱加法）原理的條件下，運用分類計數（或稱加法）原理解決問題。
二、分步計數（或稱乘法）原理：
1、分步計數（或稱乘法）原理：
【問題】
從甲地到乙地中間要經過丙地，由甲地到丙地只能乘火車，由丙地到乙地只能乘汽車，如果火車一天有3班，汽車一天有2班，那么在一天中某人要從甲地到乙地他共有多少種不同的走法？
『思考問題』
（1）【問題】中的最終目的是從甲地經過丙地再到達乙地，從甲地到丙地只能選擇火車，有三種不同的走法；從丙地到乙地只能選擇汽車，有兩種不同走法；
（2）因為從甲地到丙地只走了全程的一段路程，還沒有到達目的乙地，必須再從丙地到乙地才走完了全程的路程。
分步計數（或稱乘法）原理：
完成一件事情，需要分成n個不同的步驟來進行，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，------------做第n步有種不同的方法，那么完成這件事情共有的方法是N=..-------.種不同的方法。
2、理解分步計數（或稱乘法）原理應該注意的問題：
（1）分步計數（或稱乘法）原理的主要特征是不論采用哪種方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分；
（2）判斷一個問題是不是屬于分步問題，只需要看實施這種方法后是完成需要完成的整件事情，還是只完成了需要完成的整件事情的一部分。
3、分步計數（或稱乘法）原理的運用：
分步計數（或稱乘法）原理運用的基本方法是：①判斷問題符不符合分步計數（或稱乘法）原理的特征；②在符合分步計數（或稱乘法）原理的條件下，運用分步計數（或稱乘法）原理解決問題。
三、分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的關系：
分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的關系是：（1）聯系：分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的種數問題；②區別：分類計數（或稱加法）原理的各種方法相互獨立，其中的任何一種方法都可以完成需要完成的整件事情；分步計數（或稱乘法）原理與完成的步驟有關，各個步驟相互獨立，每一步驟只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步驟都結束時，需要完成的整件事情才能完成。
【探導考點】
考點1分類計數（或稱加法）原理的運用；
考點2分步計數（或稱乘法）原理的運用；
考點3分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、在所有兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？
2、已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0,1,2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，則不同的映射有多少個？
『思考問題1』
（1）【典例1】中兩個問題的共同特點是實施任何一種方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分類計數（或稱加法）原理的特征；
（2）解答【典例1】可以直接運用分類計數（或稱加法）原理，求出符合條件的兩位數的個數與符合條件的映射的個數。
〔練習1〕解答下列問題：
從1，2，3，4四個數中任意取數作和（不重復取），求做出不同的和共有多少個？
【典例2】解答下列問題：
1、設集合M=｛-3，-2，-1,0,1,2｝，P（a,b）是坐標平面上的點，a、b∈M，P點可以表示：
①平面上多少個不同的點？
②第二象限內的多少個點？ ①
③不在直線y=x上的點有多少個？ ③ ④
2、如圖用6種不同的顏色為廣告牌著色， ②
要求在①②③④區域中相鄰（有公共邊界）
的區域不用同一種顏色，問共有多少種不同的作色方法？
『思考問題2』
（1）【典例2】中兩個問題的共同特點是實施任何一種方法都可以完成需要完成的整件事情的一部分，符合分步計數（或稱乘法）原理的特征；
（2）解答【典例2】可以直接運用分步計數（或稱乘法）原理，求出符合條件的平面直角坐標系內點的個數與符合條件的涂法的種數。
〔練習2〕解答下列問題：
如圖用6種不同的顏色為廣告牌著色， ①
要求在①②③④區域中相鄰（有公共邊界） ③ ④
的區域不用同一種顏色，問共有多少種不同的作色方法？ ②
【典例3】解答下列問題：
1、橢圓的長軸和短軸把橢圓分成四塊，如圖現在用五種不同
的顏色給A、B、C、D四塊涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，
每塊只涂一色，則一共有多少種不同的涂色方法？
2、王華同學有一些課外參考書，其中有5本不同的外語書，4本
不同的數學書，3本不同的物理書，他的同學想從中借2本不同學科的參考書，問有多少種不同的選法？
3、甲廠生產的收音機外殼有3種不同的形狀，4種不同的顏色，乙廠生產的收音機外殼有4種不同的形狀，5種不同的顏色，這兩廠生產的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，共有多少種不同的品種？
電視臺在“歡樂今宵”節目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次竟猜中成績優秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多少種不同的結果？
賽艇運動員10人，3人會劃右舷，2人會劃左舷，其余5人兩舷都會劃，現要從中選出6人上艇，平均分配在兩舷上劃漿，問有多少種不同的選法？
『思考問題3』
（1）【典例3】中的每一個問題都涉及到分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理，屬于分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用問題；
（2）解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用問題的基本方法是：①分辨清楚每一個環節是分類還是分步；②屬于分類的運用分類計數（或稱加法）原理，屬于分步的運用步計數（或稱乘法）原理；③求出問題的結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、一個盒子內裝有4個不同的彩球，另一個盒子內裝有3個不同的彩球，所有彩球顏色各不相同。
（1）從兩個盒子內任取一個彩球，有多少種不同的取法？
（2）從兩個盒子內各取一個彩球有多少種不同的取法？
2、三邊均為整數，且最大邊為11的三角形的個數是多少？
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、在3000到8000中有多少個無重復數字的奇數？
2、用黃，藍，白三種顏色粉刷6間辦公室，一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，問粉刷這6間辦公室，有多少種粉刷方法？
3、甲，乙兩個自然數的最大公約數為720，問甲，乙兩數的公約數有多少個？
『思考問題4』
【典例4】是解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理問題時，容易觸碰的雷區。這類問題的主要雷區包括：①忽視分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的區別，導致解答問題出現錯誤；②忽視分步計數（或稱乘法）原理的正確理解，導致解答問題出現錯誤；
解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理問題時，為避免忽視分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的區別的雷區，需要正確理解分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理，主要各自的基本特征；
解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理問題時，為避免忽視忽視分步計數（或稱乘法）原理的正確理解的雷區，需要正確理解分步計數（或稱乘法）原理，主要每一步中完成該步事情的所有方法，做到不重復不遺漏。
〔練習4〕解答下列問題：
1、在1000到5000中有多少個無重復數字的奇數？
2、用黃，藍，白三種顏色粉刷7間辦公室，一種顏色粉刷4間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，問粉刷這7間辦公室，有多少種粉刷方法？
【追蹤考試】
【典例4】解答下列問題：
1、有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六，星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）(2023全國高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
2、甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀兩種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相
同的選法共有（ ）（2023全國高考乙卷理）
A 30種 B 60種 C 120種 D 240鐘
3、某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）（2023全國高考新高考I）
4、某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層抽樣方法作抽樣調查，擬從
初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）（2013全國高考新高考II）
A B C D
5、甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A 12種 B 24種 C 36種 D 48種
『思考問題5』
（1）【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試）試卷中有關分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理及運用的問題，歸結起來注意包括：①分類計數（或稱加法）原理及運用；②分步計數（或稱乘法）原理及運用；③分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用；
解答二項式定理及運用的問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、將5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）（2021全國高考乙卷）
A 60種 B 120種 C 240種 D 480種
2、6名同學到甲，乙，丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）（2020全國高考新高考I理）
A 120種 B 90種 C 60種 D 30種
3、安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有（ ）（2020全國高考新高考II理）
A 12種 B 18種 C 24種 D 36種
分類計數原理與分步計數原理
【考綱解讀】
理解并掌握分類計數（或稱加法）原理，能夠運用分類計數（或稱加法）原理解答相關的數學問題；
理解并掌握分步計數（或稱乘法）原理，能夠運用分步計數（或稱乘法）原理解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、分類計數（或稱加法）原理：
1、分類計數（或稱加法）原理：
【問題】
從甲地到乙地，可以乘火車也可以乘汽車，如果火車一天有3班，汽車一天有2班，那么在一天中某人要從甲地到乙地他共有多少種不同的走法？
『思考問題』
（1）問題中的最終目的是從甲地到乙地，選擇的基本方法是：①火車有三種不同走法；②汽車有兩種不同走法；
（2）無論是選擇火車的走法，還是選擇汽車的走法都能完成從甲地到達乙地的整件事情。
分類計數（或稱加法）原理：完成一件事情有n類不同的方案，在第一類方案中有種不同的方法，在第二類方案中有種不同的方法，-----------在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事情共有方法是N=++-------+種不同的方法。
2、理解分類計數（或稱加法）原理應該注意的問題：
（1）分類計數（或稱加法）原理的主要特征是不論采用哪種方案都能完成需要完成的整件事情；
（2）判斷一個問題是不是屬于分類問題的基本方法是：實施這種方案后能不能把需要完成的整件事情做完。
3、分類計數（或稱加法）原理的運用：
分類計數（或稱加法）原理運用的基本方法是：①判斷問題符不符合分類計數（或稱加法）原理的特征；②在符合分類計數（或稱加法）原理的條件下，運用分類計數（或稱加法）原理解決問題。
二、分步計數（或稱乘法）原理：
1、分步計數（或稱乘法）原理：
【問題】
從甲地到乙地中間要經過丙地，由甲地到丙地只能乘火車，由丙地到乙地只能乘汽車，如果火車一天有3班，汽車一天有2班，那么在一天中某人要從甲地到乙地他共有多少種不同的走法？
『思考問題』
（1）【問題】中的最終目的是從甲地經過丙地再到達乙地，從甲地到丙地只能選擇火車，有三種不同的走法；從丙地到乙地只能選擇汽車，有兩種不同走法；
（2）因為從甲地到丙地只走了全程的一段路程，還沒有到達目的乙地，必須再從丙地到乙地才走完了全程的路程。
分步計數（或稱乘法）原理：
完成一件事情，需要分成n個不同的步驟來進行，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，------------做第n步有種不同的方法，那么完成這件事情共有的方法是N=..-------.種不同的方法。
2、理解分步計數（或稱乘法）原理應該注意的問題：
（1）分步計數（或稱乘法）原理的主要特征是不論采用哪種方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分；
（2）判斷一個問題是不是屬于分步問題，只需要看實施這種方法后是完成需要完成的整件事情，還是只完成了需要完成的整件事情的一部分。
3、分步計數（或稱乘法）原理的運用：
分步計數（或稱乘法）原理運用的基本方法是：①判斷問題符不符合分步計數（或稱乘法）原理的特征；②在符合分步計數（或稱乘法）原理的條件下，運用分步計數（或稱乘法）原理解決問題。
三、分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的關系：
分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的關系是：（1）聯系：分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的種數問題；②區別：分類計數（或稱加法）原理的各種方法相互獨立，其中的任何一種方法都可以完成需要完成的整件事情；分步計數（或稱乘法）原理與完成的步驟有關，各個步驟相互獨立，每一步驟只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步驟都結束時，需要完成的整件事情才能完成。
【探導考點】
考點1分類計數（或稱加法）原理的運用；
考點2分步計數（或稱乘法）原理的運用；
考點3分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
在所有兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？
【解析】
【知識點】①分類計數（或稱加法）原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出所有兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數。
【詳細解答】所有兩位數中，個位數字大于十位數字的可能有8種不同的情況：第一種，個位數字是2，十位數字只能取1，這樣的兩位數有個；第二種，個位數字是3，十位數字可以在1，2兩個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個；第三種，個位數字是4，十位數字可以在1，2，3,三個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個；第四種，個位數字是5，十位數字可以在1，2，3，4四個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個；第五種，個位數字是6，十位數字可以在1，2，3，4，5五個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個；第六種，個位數字是7，十位數字可以在1，2，3，4，5，6,六個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個；第七種，個位數字是8，十位數字可以在1，2，3，4，5，6，7七個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個；第八種，個位數字是9，十位數字可以在1，2，3，4，5，6，7，8八個數字中任意取一個，這樣的兩位數有個，在所有兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有+++++++=1+2+3+4+5+6+7
+8=36（個）。
已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，則不同的映射有多少個？
【解析】
【知識點】①分類計數（或稱加法）原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出滿足f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4的不同映射的個數。
【詳細解答】f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4可能有不同的三種情況：第一種，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的對應值有兩個為0，兩個為2，這樣的映射有個；第二種，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的對應值有一個為0，兩個為1，一個為3，這樣的映射有個；第三種，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的對應值四個都為1，這樣的映射有個，若f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，則不同的映射有++=6+12+1=19（個）。
『思考問題1』
（1）【典例1】中兩個問題的共同特點是實施任何一種方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分類計數（或稱加法）原理的特征；
（2）解答【典例1】可以直接運用分類計數（或稱加法）原理，求出符合條件的兩位數的個數與符合條件的映射的個數。
〔練習1〕解答下列問題：
從1，2，3，4四個數字中任意取數字作和（不重復取），求取出的數字的不同和的個數？（答案：取出的數字的不同和的個數為8個。）
【典例2】解答下列問題：
1、設集合M=｛-3，-2，-1，0，1，2｝，P（a，b）是坐標平面上的點，a、b∈M，P點可以表示：
（1）平面上多少個不同的點？
（2）第二象限內的多少個點？
（3）不在直線y=x上的點有多少個？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】（1）根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理和組合數計算公式，就可求出平面上不同的點的個數；（2）根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理和組合數計算公式，就可求出第二象限內的點的個數；（3）根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理和組合數計算公式，就可求出不在直線y=x上的點的個數。
【詳細解答】（1） P（a，b）是坐標平面上的點，a、b∈M，確定 P點可以分兩步進行：第一步，確定a的值，從-3，-2，-1，0，1，2六個數中任選一個數； 第二步，確定b的值，從-3，-2，-1，0，1，2六個數中任選一個數，P點可以表示平面上不同點的個數為66=36（個）；（2） P（a，b）是坐標平面上二象限內的點，a、b∈M，確定 P點可以分兩步進行：第一步，確定a的值，從-3，-2，-1三個數中任選一個數； 第二步，確定b的值，從1，2二個數中任選一個數，P點可以表示第二象限內不同點的個數為32=6（個）；（3） P（a，b）是坐標平面上不在直線y=x上的點，a、b∈M，確定 P點可以分兩步進行：第一步，確定a的值，從-3，-2，-1，0，1，2六個數中任選一個數； 第二步，確定b的值，從剩下的五個數中任選一個數，P點可以表示不在直線y=x上的點的個數為65=30（個）。
2、如圖用6種不同的顏色為廣告牌著色，
要求在①②③④區域中相鄰（有公共邊界） ① ③ ④
的區域不用同一種顏色，問共有多少種不同的作色方法？ ②
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理和組合數計算公式，就可求出用六種不同的顏色給①②③④區域四塊涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，每塊只涂一色，不同的涂色方法的種數。
【詳細解答】用六種不同的顏色給①，②，③，④四塊區域涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，每塊只涂一色，不同的涂色方法可以分四步進行：第一步給①塊區域涂色，可在六種顏色中任選一種涂色；第二步給②塊區域涂色，可在余下的五種顏色中任選一種涂色；第三步給③塊區域涂色，可在余下的四種顏色中任選一種涂色；第四步給④塊區域涂色，只能在余下的四種顏色中任選一種涂色，用六種不同的顏色給①，②，③，④四塊區涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，每塊只涂一色，不同的涂色方法種數為
=6544=480（種）。
『思考問題2』
（1）【典例2】中兩個問題的共同特點是實施任何一種方法都可以完成需要完成的整件事情的一部分，符合分步計數（或稱乘法）原理的特征；
（2）解答【典例2】可以直接運用分步計數（或稱乘法）原理，求出符合條件的平面直角坐標系內點的個數與符合條件的涂法的種數。
〔練習2〕解答下列問題：
如圖用6種不同的顏色為廣告牌著色，
要求在①②③④區域中相鄰（有公共邊界） ①
的區域不用同一種顏色，問共有多少種不同 ③ ④
的作色方法？ ②
（答案：共有300種不同的作色方法）
【典例3】解答下列問題：
1、橢圓的長軸和短軸把橢圓分成四塊，如圖現在用五種不同
的顏色給A、B、C、D四塊涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，
每塊只涂一色，則一共有多少種不同的涂色方法？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②分類計數（或稱加法）原理及運用；③排列定義與性質；④排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理，分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出用五種不同的顏色給A、B、C、D四塊涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，每塊只涂一色，不同的涂色方法的種數。
【詳細解答】用五種不同的顏色給A、B、C、D四塊涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，
每塊只涂一色，不同的涂色方法可能有兩種情況：第一種A塊與D塊同色，可以分四步進行：第一步給A塊涂色，可在五種顏色中任選一種涂色；第二步給B塊涂色，可在余下的四種顏色中任選一種涂色；第三步給C塊涂色，也可在余下的四種顏色中任選一種涂色；第四步給D塊涂色，只能選與A塊相同的顏色，第二種A塊與D塊不同色，可以分四步進行：第一步給A塊涂色，可在五種顏色中任選一種涂色；第二步給B塊涂色，可在余下的四種顏色中任選一種涂色；第三步給C塊涂色，也可在余下的四種顏色中任選一種涂色；第四步給D塊涂色，由D塊與B塊，C塊均有公共邊，且與A塊顏色不同，只能在余下的兩種顏色中任選一種涂色，用五種不同的顏色給A、B、C、D四塊涂色，要求公共邊的兩塊顏色互異，每塊只涂一色，不同的涂色方法種數為+
=5441+5442=80+160=240（種）。
2、王華同學有一些課外參考書，其中有5本不同的外語書，4本不同的數學書，3本不同的物理書，他的同學想從中借2本不同學科的參考書，問有多少種不同的選法？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②分類計數（或稱加法）原理及運用；③排列定義與性質；④排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理，分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出他的同學想從中借2本不同學科的參考書，不同選法的種數。
【詳細解答】他的同學想從中借2本不同學科的參考書，不同的選法可能有三種情況：第一種，借一本外語書和一本數學書不同的選法有=54=20（種）；第二種，借一
本外語書和一本物理書不同的選法有=53=15（種）；第三種，借一本數學書和一本物理書不同的選法有=43=12（種），他的同學想從中借2本不同學科的參考書，不同選法的種數為20+15+12=47種。
甲廠生產的收音機外殼有3種不同的形狀，4種不同的顏色，乙廠生產的收音機外殼有4種不同的形狀，5種不同的顏色，這兩廠生產的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，共有多少種不同的品種？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②分類計數（或稱加法）原理及運用；③排列定義與性質；④排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理，分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出這兩廠生產的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，共有不同品種的種數。
【詳細解答】甲廠生產的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，不同的品種有=34
=12（種）；乙廠生產的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，不同的品種有=45=20
（種），這兩廠生產的收音機僅從外殼的形狀和顏色看，共有不同品種的種數為12+20=32種。
4、電視臺在“歡樂今宵”節目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次竟猜中成績優秀的觀
眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多少種不同的結果？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②分類計數（或稱加法）原理及運用；③排列定義與性質；④排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理，分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，不同結果的種數。
【詳細解答】若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴有兩種可能的情況：第一種從甲信箱抽取一名作為幸運之星，再從兩信箱中各抽取一名座位幸運伙伴有=302920=17400（種）；第二種從乙信箱抽取一名作為幸運之星，再從兩信箱中各抽取一名作為幸運伙伴有=203019=11400（種），先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有17400+11400=28800種不同的結果。
5、賽艇運動員10人，3人會劃右舷，2人會劃左舷，其余5人兩舷都會劃，現要從中選6
人上艇，平均分配在兩舷上劃漿，問有多少種不同的選法？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②分類計數（或稱加法）原理及運用；③組合定義與性質；④組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理，分類計數（或稱加法）原理和組合數計算公式，就可求出從中選6人上艇，平均分配在兩舷上劃漿，不同選法的種數。
【詳細解答】從中選6人上艇，平均分配在兩舷上劃漿有三種可能的情況：第一種2個會劃左舷的人都選上，不同的選法有=1535=175（種）；第二種2個會劃左舷的人只選上一人，不同的選法有=21020=400（種）；第三種2個會劃左舷的人都沒有選上，不同的選法有=11010=100（種），從中選6人上艇，平均分配在兩舷上劃漿，有675種不同的選法
『思考問題3』
（1）【典例3】中的每一個問題都涉及到分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理，屬于分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用問題；
（2）解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用問題的基本方法是：①分辨清楚每一個環節是分類還是分步；②屬于分類的運用分類計數（或稱加法）原理，屬于分步的運用步計數（或稱乘法）原理；③求出問題的結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、一個盒子內裝有4個不同的彩球，另一個盒子內裝有3個不同的彩球，所有彩球顏色各不相同。
（1）從兩個盒子內任取一個彩球，有多少種不同的取法？
（2）從兩個盒子內各取一個彩球有多少種不同的取法？（答案：（1）從兩個盒子內任取一個彩球，有7種不同的取法；（2）從兩個盒子內各取一個彩球有12種不同的取法）
2、三邊均為整數，且最大邊為11的三角形的個數是多少？（答案：三邊均為整數，且最大邊為11的三角形的個數為36個）
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
在3000到8000中有多少個無重復數字的奇數？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②分類計數（或稱加法）原理及運用；③排列定義與性質；④排列數計算公式及運用。
【解題思路】根據排列的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理，分類計數（或稱加法）原理和排列數計算公式，就可求出3000到8000中無重復數字的奇數個數。
【詳細解答】3000到8000中無重復數字的奇數有兩種情況：第一種首位數是3（或5或7），可以分三步進行：第一步排首位數，可以在3，5，7三個數字中任選一個；第二步排個位數，只能在余下的四個奇數數字中任選一個數字；第三步排中間兩位數，可以在余下的八個數字中任選兩個數字進行排列，這種情況無重復數字的奇數個數為34=672（個）；第一種首位數是4（或6），可以分三步進行：第一步排首位數，可以在4，6兩個數字中任選一個；第二步排個位數，可以在五個奇數數字中任選一個數字；第三步排中間兩位數，可以在余下的八個數字中任選兩個數字進行排列，這種情況無重復數字的奇數個數為25=560（個），在3000到8000中有672+560=1232（個）無重復數字的奇數。
用黃，藍，白三種顏色粉刷6間辦公室，一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，問粉刷這6間辦公室，有多少種粉刷方法？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理和組合數計算公式，就可求出粉刷方法的種數。
【詳細解答】用黃，藍，白三種顏色粉刷6間辦公室需要分三步進行：第一步從黃，藍，白三種顏色中任選一種顏色對從6間辦公室中任選三間粉刷；第二步從余下的兩種顏色中任選一種顏色對從余下的三間辦公室中任選兩間粉刷；第三步，用剩下的一種顏色對剩下的一間辦公室粉刷，用黃，藍，白三種顏色粉刷6間辦公室，一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間的粉刷方法有321=6061=360（種）。
甲，乙兩個自然數的最大公約數為720，問甲，乙兩數的公約數有多少個？
【解析】
【知識點】①分步計數（或稱乘法）原理及運用；②最大公約數定義與性質；③公約數定義與性質；排列定義與性質；④組合定義與性質；⑤組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據最大公約數，公約數和組合的性質，運用分步計數（或稱乘法）原理和組合數計算公式，就可求出甲，乙兩數的公約數個數。
【詳細解答】甲，乙兩個自然數的最大公約數為720=..5，確定甲，乙兩數的公約數需要分三步進行：第一步從1，2，，，五個數中，任選一個作為公約數的一個因數；第二步從1，3，三個數中，任選一個作為公約數的另一個因數；第三步從1，5兩個數中，任選一個作為公約數的最后一個因數，甲，乙兩數的公約數有
=532=30（個）。
『思考問題4』
【典例4】是解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理問題時，容易觸碰的雷區。這類問題的主要雷區包括：①忽視分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的區別，導致解答問題出現錯誤；②忽視分步計數（或稱乘法）原理的正確理解，導致解答問題出現錯誤；
解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理問題時，為避免忽視分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的區別的雷區，需要正確理解分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理，主要各自的基本特征；
解答分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理問題時，為避免忽視忽視分步計數（或稱乘法）原理的正確理解的雷區，需要正確理解分步計數（或稱乘法）原理，主要每一步中完成該步事情的所有方法，做到不重復不遺漏。
〔練習4〕解答下列問題：
1、在1000到5000中有多少個無重復數字的奇數？（答案：在1000到5000中有1008個無重復數字的奇數）
2、用黃，藍，白三種顏色粉刷7間辦公室，一種顏色粉刷4間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，問粉刷這7間辦公室，有多少種粉刷方法？（答案：用黃，藍，白三種顏色粉刷7間辦公室，一種顏色粉刷4間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，粉刷這7間辦公室，有630種粉刷方法）
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
1、有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六，星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）(2023全國高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考點】①分步計算原理及運用；②組合定義與性質；③組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用分步計算原理和組合數計算公式，求出則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數就可得出選項。
【詳細解答】第一天從五人任選兩人參加星期六服務的選擇種數為==10（種），
第二天參加星期天服務的選擇種數為=6（種），恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為106=60（種）， B正確，選B。
2、甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀兩種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相
同的選法共有（ ）（2023全國高考乙卷理）
A 30種 B 60種 C 120種 D 240鐘
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②乘法原理及運用；③組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件求出這
兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法總數就可得出選項。
【詳細解答】兩人選讀同一種課外讀物的選法為種，甲從剩余的五種讀物選一種
的選法為種，乙從剩余的四種讀物選一種的選法為種，這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法共有=654=120（種）， C正確，選C。
3、某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）（2023全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①組合定義與性質；②乘法原理及運用；③加法原理及運用；④組合數計算公式記運用。
【解題思路】根據組合的性質，運用加法原理，乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件就可求出不同的選課方案總數。
【詳細解答】若選修2門，從4門不同體育選修1門的選法為種，從4門不同的藝術選修1門的選法為種，從8門不同的課程中選修2門，且每類選修課至少選修1門的不同選法為=44=16（種）；若選修3門，有兩種可能，其一選修2門體育課，1門藝術課，其二選修1門體育課，2門藝術課，從4門不同的體育選修2門的選法為種，從4門不同的藝術選修1門的選法為種，從4門不同的體育選修1門的選法為種，從4門不同的藝術課選修2門的選法為種，從8門不同的課程中選修3門，且每類選修課至少選修1門的不同選法為+=64+46=48（種），從8門不同的課程中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門的不同的選課方案共有16+48=64（種），
4、某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層抽樣方法作抽樣調查，擬從
初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）（2013全國高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考點】①分層抽樣定義與性質；②分層抽樣的基本方法；③組合定義與性質； ④乘法原理及運用；⑤組合數計算公式及運用。
【解題思路】根據分層抽樣和組合的性質，運用分層抽樣的基本方法，乘法原理和組合數計算公式，結合問題條件求出不同的抽樣結果的總數就可得出選項。
【詳細解答】抽取60名學生中，初中部人數為60400/400+200=40（人），高中部人數為60200/400+200=20（人），不同的抽樣結果總數為 ， D正確，選D。
5、甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A 12種 B 24種 C 36種 D 48種
【解析】
【考點】①排列定義與性質；②排列數計算公式及運用。
【解答思路】根據排列的性質，運用排列數計算公式，結合問題條件求出甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式的種數，就可得出選項。
【詳細解答】甲乙丙丁戊5名同學站成一排，且甲不站在兩端，丙和丁相鄰，不同排列方式有=226=24（種），B正確，選B。
『思考問題5』
（1）【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試）試卷中有關分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理及運用的問題，歸結起來注意包括：①分類計數（或稱加法）原理及運用；②分步計數（或稱乘法）原理及運用；③分類計數（或稱加法）原理與分步計數（或稱乘法）原理的綜合運用；
解答二項式定理及運用的問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、將5名北京東奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）（2021全國高考乙卷）（答案：C）
A 60種 B 120種 C 240種 D 480種
2、6名同學到甲，乙，丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）（2020全國高考新高考I理）（答案：C）
A 120種 B 90種 C 60種 D 30種
3、安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有（ ）（2020全國高考新高考II理）（答案：D）
A 12種 B 18種 C 24種 D 36種
1、從甲、乙等10名同學中選出4名參加公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法有 種（2008全國 高考四川卷）
2、從5名男生和5名女生中選3人組隊參加集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為（ ）（2008全國高考湖北卷）
A 100 B 110 C 120 D 180
3、12名同學合影，站成前排4人，后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他的人相對順序不變，則不同調整方法的種數為（ ）（2008全國高考安徽卷）
A B C D
4、某班級要從4名男生，2名女生中選派4人參加社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為（ ）（2008全國高考福建卷）
A 14 B 24 C 28 D 48
5、甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學，2名女同學；若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（ ）（2009全國高考I卷）
A 150種 B 180種 C 300種 D 345種
6、甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（ ）（2009全國高考II卷）
A 6種 B 12種 C 24種 D 30種
7、由數字1、2、3、4、5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（ ）（2009全國高考北京卷） A 8 B 24 C 48 D 120
8、如圖一環形花壇分成A、B、C、D四塊，現有四種不同的花供選種，
要求每塊里種一種花，且相鄰的二塊種不同的花，則不同的種法種數為（ ）
（2008全國高考I卷）
A 96 B 84 C 60 D 48
9、某人有四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多）要在圖中 C
6個點A、B、C、、、上各裝一個燈泡，要求同一條線 A | B
段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡至少用一個的安裝方法 |
共有 種（用數字作答）（2008全國高考重慶卷）
【綜合練習1（理）】
如圖用6種不同的顏色給圖中的四個格子涂色，每個格子
涂一種顏色要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，
則不同的涂色方法共有 種（用數字作答）
（2007全國高考天津卷）
2、某校要求每位學生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有 種（以數字作答）（2007全國高考重慶卷）
3、某書店有11種雜志，2元一本的8種，一元一本的3種，小張用10元錢買雜志（每種至多1本），10元錢剛好用完，則不同的買法種數是 （用數字作答）（2007全國高考浙江卷）
4、安排3名支教教師去6所學校任教，沒校至多2人，則不同的分配方案共有 種（2007全國高考陜西卷）
5、某校開設9門課程供學生選修，其中A、B、C三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規定每位同學選修4門，共有 種不同的選修方案（用數字作答）（2007全國高考江蘇卷）
6、某校安排5個班到四個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有 種（用數字作答）（2007全國高考寧夏海南卷）
7、如圖一環形花壇分成A、B、C、D四塊，現有四種不同的花供選種，
要求每塊里種一種花，且相鄰的二塊種不同的花，則不同的種法種數為（ ）
（2008全國高考I卷）
A 96 B 84 C 60 D 48
8、某人有四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多）要在圖中 C
6個點A、B、C、、、上各裝一個燈泡，要求同一條線 A | B
段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡至少用一個的安裝方法 |
共有 種（用數字作答）（2008全國高考重慶卷）
9、將5名志愿者分配到三個不同奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種樹為（ ）（2008全國高考湖北卷）
A 540 B 300 C 180 D 150
10、甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學，2名女同學；若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（ ）（2009全國高考I卷）
A 150種 B 180種 C 300種 D 345種
11、如圖小明從街道E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（ ）（2016全國高考新課標II卷）
A 24 B 18 C 12 D 9
【綜合練習1（文）】
如圖用6種不同的顏色給圖中的四個格子涂色，每個格子
涂一種顏色要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，
則不同的涂色方法共有 種（用數字作答）
（2007全國高考天津卷）
如圖是某汽修公司的維修點環形分布圖，公司在年初
分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件，在使
用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件調整
為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰維修點之間進 B C
行，那么要完成上述調整，最少調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（ ）
Ａ　　　18 Ｂ 17 Ｃ 16 Ｄ 15
3、將1、2、3填入3x3的方格中，要求每行、每列都沒有
重復數字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（ ） 1 2 3
（2008全國高考I卷） 3 1 2
A 6種 B 12種 C 24種 D 48種
4、某人用3種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多）要在圖中 2 3 1
6個點A、B、C、、、上各裝一個燈泡，要求同一條線 C
段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡至少用一個的安裝方法 A | B
共有 種(用數字作答）（2008全國高考重慶卷） |
5、從甲、乙等10名同學中選出4名參加公益活動，要求甲、乙中 |
至少有1人參加，則不同的挑選方法有 種（2008全國
高考四川卷）
6、從5名男生和5名女生中選3人組隊參加集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為（ ）（2008全國高考湖北卷）
A 100 B 110 C 120 D 180
7、12名同學合影，站成前排4人，后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他的人相對順序不變，則不同調整方法的種數為（ ）（2008全國高考安徽卷）
A B C D
8、某班級要從4名男生，2名女生中選派4人參加社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為（ ）（2008全國高考福建卷）
A 14 B 24 C 28 D 48
9、甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學，2名女同學；若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（ ）（2009全國高考I卷）
A 150種 B 180種 C 300種 D 345種
10、甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（ ）（2009全國高考II卷）
A 6種 B 12種 C 24種 D 30種
11、由數字1、2、3、4、5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（ ）（2009全國高考北京卷） A 8 B 24 C 48 D 120
A B
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A B
C D
A D
B C C
A D
B C C
A D

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