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模型2 用換元思想速解函數(shù)嵌套問題
【問題背景】形如y＝f（g（x））的復(fù)合函數(shù)（暫稱此函數(shù)為“嵌套函數(shù)”），以基本初等函數(shù)相互“復(fù)合”成的一些“新函數(shù)”為主，常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)、零點等交匯起來綜合考查．對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．
【解決方法】
【典例1】
（2024江蘇常州高級中學8月期初檢測）
已知函數(shù)，其中，則函數(shù)共有______個零點．
【套用模型】
第一步：確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．
函數(shù)分解后是函數(shù)，，即內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為．
第二步：確定外層函數(shù)的零點及所在區(qū)間．
令，即．
由可得，解得，所以當時，．
對求導得，令，得或，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以有兩解，，不妨設(shè)，則，．
第三步：根據(jù)外層函數(shù)的零點及零點所在區(qū)間，確定內(nèi)層函數(shù)的零點情況．
根據(jù)對的分析作出的大致圖象，如圖1所示．
因為，所以根據(jù)圖象可知直線與曲線有2個交點，直線與曲線有2個交點．
圖1
第四步：整合結(jié)論，確定結(jié)果．
綜上，函數(shù)共有4個零點．
【典例2】
（2024重慶八中8月開學考試｜多選）
已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．，使得有2個零點 B．，使得有3個零點
C．若有3個零點，則 D．若有4個零點，則
【套用模型】
第一步：確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，對內(nèi)層函數(shù)實施換元．
令，則，則．
【會轉(zhuǎn)化】換元后，可以看出內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為
第二步：借助切線，研究外層函數(shù)的零點．
根據(jù)題意作出的大致圖象，如圖2所示，則外層函數(shù)的零點個數(shù)即直線與曲線的交點個數(shù)．
【易遺漏】內(nèi)層函數(shù)的值域限制了外層函數(shù)的定義域，故換元后要注意新元的取值范圍
圖2
直線的斜率為1，
當時，，設(shè)曲線的斜率為1的切線的切點為，，則由得，故切點為，切線方程為．
向上平移直線，當?shù)竭_直線的位置時，與曲線有2個交點．
故當時，直線與曲線有1個交點，且交點橫坐標滿足；
當時，直線與曲線有2個交點，交點橫坐標分別滿足和；
當時，直線與曲線有1個交點，且交點橫坐標滿足；
當時，直線與曲線有1個交點，且交點橫坐標滿足；
當時，直線與曲線有1個交點，且交點橫坐標滿足．
第三步：研究內(nèi)層函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)情況．
再看的圖象，如圖3所示，
圖3
當時，曲線與直線有2個交點，
當時，曲線與直線有3個交點，
當時，曲線與直線有1個交點，
當時，曲線與直線沒有交點．
第四步：整合結(jié)論，求得結(jié)果．
綜上可知：當或時，有3個零點；當時，有4個零點；當時，有2個零點．故選ABD．
【典例3】
（2024江蘇鹽城8月期初測試）
已知函數(shù)在區(qū)間上有2個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【套用模型】
第一步：利用降冪公式轉(zhuǎn)化題目條件，換元確定內(nèi)、外層函數(shù)．
，
令，，則，
則外層函數(shù)為，內(nèi)層函數(shù)為．
第二步：分析確定外層函數(shù)的零點個數(shù)．
若函數(shù)的零點含1，不符合題意．
【掃清障礙】若函數(shù)只有1個零點，則函數(shù)只有1個零點；若函數(shù)除1外還有別的零點，則由二次函數(shù)圖象知函數(shù)的零點有奇數(shù)個．均不符合題意
假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有n個零點．
第三步：分析確定內(nèi)層函數(shù)的零點個數(shù)．
若在上有1個零點，則在上有2個不同的x滿足，
【會分析】正向求解零點個數(shù)的問題時，由外向內(nèi)，逐層分析，即可得出結(jié)論；而已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍時，需要先假設(shè)外層函數(shù)的零點情況，根據(jù)內(nèi)、外層函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，分析內(nèi)層函數(shù)的零點情況，據(jù)此確定各假設(shè)是否成立
因此若函數(shù)在區(qū)間上有n個零點，則函數(shù)在上有2n個零點，
所以函數(shù)在上有2個零點，即函數(shù)在區(qū)間上有1個零點．
第四步：根據(jù)t的范圍確定參數(shù)的范圍．
又時，則時，得，
即實數(shù)a的取值范圍為．故選C．
【典例4】
（2024廣東茂名9月統(tǒng)測）
已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為______．
【套用模型】
第一步：換元，確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．
令，則原方程可以化為．
第二步：根據(jù)原方程根的個數(shù)，分析內(nèi)、外層函數(shù)的零點情況，確定t的范圍．
因為方程有4個實數(shù)根，且，
當時，關(guān)于x的方程只有1個根，不符合題意．
當時，關(guān)于x的方程有2個不同的根．
則原方程有4個根等價于函數(shù)的圖象與直線有2個不同的交點．
第三步：作出外層函數(shù)的圖象和直線．
作出函數(shù)和的圖象，如圖4所示．
圖4
第四步：數(shù)形結(jié)合，得出a的取值范圍．
由圖象可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有2個不同的交點，
故a的取值范圍是．
一、單選題
（22-23高三上·河南焦作·期中）
1．已知函數(shù)則函數(shù)f (x)在(－6，＋∞)上的零點個數(shù)為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
（2023·浙江溫州·二模）
2．已知，則方程的根的個數(shù)是
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期中）
3．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（2023·黑龍江哈爾濱·一模）
4．已知函數(shù)，若的零點個數(shù)為4，則實數(shù)取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高三上·天津·期末）
5．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江寧波·二模）
6．設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
（22-23高三·浙江杭州·階段練習）
7．已知函數(shù)，則方程（為正實數(shù)）的根的個數(shù)不可能為（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
二、填空題
（22-23高三上·黑龍江黑河·階段練習）
8．已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點個數(shù)為 個．
（22-23高三下·浙江溫州·期末）
9．設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的值為 .
（22-23高三上·湖北武漢·期中）
10．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】分段函數(shù)，分別在定義域內(nèi)求函數(shù)的零點，解方程即可.
【詳解】函數(shù)在(－6，＋∞)上有零點，
則或，
解得x＝2或x＝4或x＝e－6，
即函數(shù)f(x)在(－6，＋∞)上的零點個數(shù)為3.
故選:C.
【點睛】本題考查了求函數(shù)零點個數(shù)問題，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.
2．C
【分析】由題意，根據(jù)分段函數(shù)分段討論根的可能性，從而求，再由求即可．
【詳解】由題意，
當時，， 與矛盾，此時無解；
當時，；
故或，
若，則 時，，時，，
故或或；
若，則 時，， 時，，
故（舍去）或或；
故共有5個根；
故選：．
3．C
【分析】畫出函數(shù)的草圖，分析函數(shù)的值域及的解，由解的個數(shù)，可得答案
【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，
由，得，
令，則，
當時，，得，
當時，，則，
所以當時，，由圖象可知方程有兩個實根，
當 時，，由圖象可知，方程有1個實根，
綜上，方程有3個實根，
所以函數(shù)的零點個數(shù)為3，
故選：C
4．D
【分析】畫出的圖象，結(jié)合的零點個數(shù)以及函數(shù)的圖象可得方程的解、滿足，根據(jù)根分布可求實數(shù)取值范圍.
【詳解】的圖象如圖所示：
因為有4個不同的零點，故有解，
設(shè)此關(guān)于方程的解為、，其中均不為零且.
由題設(shè)可得關(guān)于的方程和共有4個不同的解，
故（舍）或或（舍）.
所以，解得.
故選：D.
【點睛】方法點睛：復(fù)合方程的解的討論，一般通過換元轉(zhuǎn)化為內(nèi)、外方程的解來處理，注意根據(jù)已知零點的個數(shù)合理推斷二次方程的根的情況.
5．A
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合零點的意義求出的零點，數(shù)形結(jié)合求出方程有三個根的a的取值范圍作答.
【詳解】由得：或，因函數(shù)，由解得，
因此函數(shù)有四個不同的零點，當且僅當方程有三個不同的根，
函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，
在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
方程有3個不同的根，當且僅當直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，
觀察圖象知，當或，即或時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.
6．A
【分析】當時，畫出函數(shù)圖象，可得有和兩個零點；當，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得要使有3個零點，需滿足時，.
【詳解】當時，的大致圖象如圖1，此時令，可得，觀察圖象可解得或，即方程有2個根，則此時只有2個零點，不合題意；
當時，的大致圖象如圖2，此時令，可得或，
由圖易知恰有一根，則需滿足有兩根，而和均為的根，
則需滿足時，，
又時的對稱軸為，則，解得，則，
綜上，的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)分段函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可進行判斷求解.
7．A
【分析】對求導，得其單調(diào)性，故而可得函數(shù)圖象，通過作出函數(shù)，的圖象，數(shù)形結(jié)合，綜合即可得結(jié)果．
【詳解】函數(shù)，
由得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當時，函數(shù)取得極大值，
當時，函數(shù)取得極小值，
函數(shù)，，圖象如圖：
令，
當時，有2個根，
有3個根，有3個或1個根，所以原方程有6個或4個根；
當時，有2個根，
有2個根，有3個根，所以原方程有5個根；
當時，有2個根，
有1個根，有3個根，所以原方程有4個根；
∴方程（a為正實數(shù)）的根的個數(shù)可能為：4個，5個，6個，
不可能為3個，
故選：A．
8．10
【分析】令，即，再令，根據(jù)的解析式分類討論，即可求出，即或或，再畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷；
【詳解】令得，
令得或，
解得或或．
或或．
作出的函數(shù)圖象如圖所示：
由圖象可知有4個解，有兩個解，有4個解，
共有10個零點．
故答案為：10
9．
【分析】分和兩種情況討論，由解出的值，然后分、解關(guān)于的方程，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的等式，進而可求得實數(shù)的值.
【詳解】①當時，由，可得，
當時，由，可得或，
當時，.
即當時，函數(shù)只有個零點，不合乎題意；
②當時，由，可得或.
當時，由，可得或，方程無解，
當時，由，即，，
解方程可得，
其中合乎題意，舍去，
所以，方程在時有唯一解，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，，當時，，
故，解得.
綜上所述，.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
10．
【解析】先由可求得的值，再由和兩種情況結(jié)合的值，可求得的值，即可得解.
【詳解】下面先解方程得出的值.
（1）當時，可得，可得；
（2）當時，可得，可得或.
下面解方程、和.
①當時，由可得，由可得（舍去），由可得；
②當時，由可得，由可得或，由可得或.
綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：判定函數(shù)的零點個數(shù)的常用方法：
（1）直接法：直接求解函數(shù)對應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；
（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，進而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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