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專題4 三角恒等變換
【必備知識】
知識點一、兩角和與差的正弦公式
1.兩角和的正弦公式
（1）公式:sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β.
（2）簡記:Sα+β.
2.兩角差的正弦公式
（1）公式:sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β.
（2）簡記:Sα-β.
3.兩角和與差的正弦公式結構特征
（1）α，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體.
（2）記憶口訣:異名同號.
知識點二、兩角和與差的正切公式
1.兩角和的正切公式
（1）公式:tan（α+β）=.
（2）簡記:Tα+β.
2.兩角差的正切公式
（1）公式:tan（α-β）=.
（2）簡記:Tα-β.
（注:α和β的取值應使分母不為0）
知識點三、兩角和與差正切公式的變形
（1）Tα+β的變形:
tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β）.
tan α+tan β+tan αtan βtan（α+β）=tan（α+β）.
tan αtan β=1-.
（2）Tα-β的變形:
tan α-tan β=tan（α-β）（1+tan αtan β）.
tan α-tan β-tan αtan βtan（α-β）=tan（α-β）.
tan αtan β=-1.
知識點四、輔助角公式
asin x+bcos x=sin（x+φ）.其中，cos φ=，sin φ=.
【必備技能】
常見輔助角結論
（1）sin x±cos x=sin;
（2）sin x±cos x=2sin;
（3）cos x±sin x=cos;
（4）cos x±sin x=2cos.
【考向總覽】
考向一：兩角和與差的余弦公式（★★）
考向二：兩角和與差的正弦公式（★★）
考向三：兩角和與差的正切公式（★★）
【考向歸類】
考向一：兩角和與差的余弦公式
【典例1-1】（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）
1．的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·江蘇鎮江·期末）
2．已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
1.兩角和與差的余弦公式在解三角形中應用廣泛，對公式的要求不僅要會正用，還要能夠逆用.
2.公式的逆用和特殊角三角函數的逆用
當式子中出現，1，，這些特殊角的三角函數值時，往往就是“由值變角”的一種提示，可以根據問題的需要，將常數用三角函數式表示出來，以構成適合公式的形式，從而達到化簡的目的.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
3．（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一·江蘇南通·期末）
4．已知，，，是第四象限角，則的值是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
5．已知，，，．
(1)求；
(2)求．
考向二：兩角和與差的正弦公式
【典例2-1】（22-23高一下·江蘇泰州·期中）
6．（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高一下·江蘇常州·期末）
7．已知為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
注意公式的逆向運用和變形運用
（1）公式的逆用：如sin（α＋β）cos β－cos（α＋β）sin β＝sin[（α＋β）－β]＝sin α.
（2）公式的變形運用：變形運用涉及兩個方面，一個是公式本身的變形運用，如sin（α－β）＋cos αsin β＝sin αcos β；一個是角的變形運用，也稱為角的拆分變換，如α＝（α＋β）－β，2α＝（α＋β）＋（α－β）等，這些在某種意義上來說是一種整體思想的體現．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
8．（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
9．在中，，，則的大小為（ ）
A．或 B． C． D．或
（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）
10．等于（ ）．
A． B． C． D．
考向三：兩角和與差的正切公式
【典例3-1】（22-23高一下·江蘇南京·期中）
11．已知，，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例3-2】（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
12．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
1.公式的特例
tan＝；tan＝.
2.應用公式需注意的三點
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創造條件逆用公式．
（2）注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式．
（3）注意常值代換：用某些三角函數值代替某些常數，使之代換后能運用相關公式，其中特別要注意是“1”的代換，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°等，再如：0，，，等均可視為某個特殊角的三角函數值，從而將常數換為三角函數．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇南京·期中）
13．已知，均為銳角，則（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇徐州·期末）
14．已知，，則的值為 .
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
15．計算： ．
【必備知識】
【必備知識】
知識點一、倍角公式
知識點二、倍角公式的常用變形
（1）=cos α，=sin α;
（2）（sin α±cos α）2=1±sin 2α;
（3）sin2α=，cos2α=.
【必備技能】
倍角公式轉化的策略
（1）探究角之間的“倍、半”關系，是恰好運用倍角公式的前提.
（2）注意角之間的“互補、互余”關系，能有效地進行角之間的互化.
（3）分析題設條件中所給式的結構特征，是有效進行三角變換的關鍵
【考向總覽】
考向一：二倍角的正弦公式（★★）
考向二：二倍角的余弦公式（★★）
考向三：二倍角的正切公式（★★）
【考向歸類】
考向一：二倍角的正弦公式
【典例1-1】（22-23高一下·江蘇南京·期中）
16．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·江蘇鎮江·期中）
17．函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
1.對于“二倍角”應該有廣義上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ （n∈N＋）.
2.倍角公式轉化的策略
（1）探究角之間的“倍、半”關系，是恰好運用倍角公式的前提.
（2）注意角之間的“互補、互余”關系，能有效地進行角之間的互化.
（3）分析題設條件中所給式的結構特征，是有效進行三角變換的關鍵
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇鎮江·期中）
18．已知角的終邊落在直線上，則的值為（　　）
A． B．
C． D．
（23-24高一上·江蘇無錫·期末）
19．已知，則 .
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
20．若，則的值為 .
考向二：二倍角的余弦公式
【典例2-1】（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）
21．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
22．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
直接利用公式或逆用公式較為簡單．而有時需要通過觀察角度的關系，發現其特征（二倍角形式），逆用正弦二倍角公式，使得問題中可連用正弦二倍角公式，所以在解題過程中要注意觀察式子的結構特點及角之間是否存在特殊的倍數關系，靈活運用公式及其變形，從而使問題迎刃而解．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇揚州·期末）
23．已知，則（ ）.
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇蘇州·期末）
24．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇南京·期末）
25． ．
考向三：二倍角的正切公式
【典例3-1】（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）
26．若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（22-23高一下·江蘇南京·期中）
27．（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯系，有兩個觀察方向：
（1）有方向地將已知式或未知式化簡，使關系明朗化；
（2）尋找角之間的關系，看是否適合相關公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關系．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇南京·期末）
28．已知，則（ ）
A． B．2 C． D．7
（23-24高三上·海南海口·階段練習）
29．在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊經過點，則 ．
（22-23高一下·江蘇南京·期中）
30．已知是第三象限角，且，則的值是 .
【必備技能】
1.在進行求值變換的過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數式的特點，如果整體符合三角公式，那么整體變形，否則進行各局部的變換.
2.角的變換：
（1）當“已知角”有兩個或多個時，“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式;
（2）當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”;
（3）角的拆分方法不唯一，可根據題目合理選擇拆分方式.
3.給角化簡求值的策略
（1）分析式子結構，正確選用公式形式.
Tα±β是三角函數公式中應用靈活程度較高的公式之一.因此在應用時先從所化簡（求值）式子的結構出發，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換.
（2）化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應用.
當所要化簡（求值）的式子中出現特殊的數值時，要考慮用這些特殊值所對應的特殊角的正切值去代換
【考向總覽】
考向一：三角恒等變換的化簡（★★★）
考向二：給角求值（★★）
考向三：給值求角（★★）
考向四：給值求值（★★）
【考向歸類】
考向一：三角恒等變換的化簡
【典例1-1】（22-23高一下·江蘇南京·期中）
31．已知函數，則的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·江蘇淮安·期中）
32．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
三角函數式化簡的要求及方法
（1）對于三角函數式的化簡有下列要求：
①能求出值的應求出值．
②使三角函數種數盡量少．
③使三角函數式中的項數盡量少．
④盡量使分母不含有三角函數．
⑤盡量使被開方數不含三角函數．
（2）化簡的方法：
①弦切互化，異名化同名，異角化同角．
②降冪或升冪．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇南京·期末）
33．若，則實數的值為（ ）
A．3 B． C．2 D．4
（22-23高一下·江蘇鎮江·期中）
34．設，，，則有（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·湖北襄陽·期中）
35．函數的圖象（ ）
A．關于原點對稱 B．關于點對稱
C．關于軸對稱 D．關于直線對稱
考向二：給角求值
【典例2-1】（22-23高一·全國·期中）
36．的值是
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高一下·江蘇南通·期中）
37．下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】
解決給角求值問題的策略
（1）對于非特殊角的三角函數式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．
（2）一般途徑是將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子，分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）
38．計算：（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江蘇蘇州·期中）
39．若，則 .
（22-23高一下·江蘇鎮江·期中）
40．下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
考向三：給值求角
【典例3-1】（22-23高一下·安徽亳州·期末）
41．若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（22-23高三上·廣東廣州·期中）
42．已知，，，，則 .
【備考提醒】
解決給值（式）求角問題的方法
（1）解決給值（式）求角問題的關鍵是尋求所求角的三角函數值與已知值或式之間的關系，利用兩角和與差的正、余弦公式，求出所求角的三角函數值，從而求出角．
（2）給值求角本質上為給值求值問題，解題時應注意對角的范圍加以討論，以免產生增解或漏解．
【舉一反三】
（22-23高一下·陜西西安·期中）
43．已知，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·江蘇南通·期末）
44．在中，若、是的方程的兩個實根，則角 .
（23-24高一上·山東聊城·期末）
45．在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點．
(1)求的值；
(2)已知為銳角，，求．
考向四：給值求值
【典例4-1】（23-24高一上·河南洛陽·期末）
46．已知，則（ ）
A． B． C． D．0
【典例4-2】（23-24高一上·山西太原·期末）
47．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【備考提醒】
解決給值求值問題的思路
已知三角函數式的值，求其他三角函數式的值，一般思路為:
（1）化簡，先化簡已知或所求式子.
（2）找可知，先觀察已知條件與所求式子之間的聯系.
（3）代入，將已知條件代入所求式子，化簡求值.
【舉一反三】
（23-24高一上·云南德宏·期末）
48．已知，，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高一上·福建龍巖·期末）
49．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·全國·期末）
50．已知是第三象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】由誘導公式結合兩角差的余弦公式即可得出答案.
【詳解】
.
故選：C.
2．A
【分析】由可得的范圍，可知，再由同角三角函數的基本關系和兩角和的余弦公式求解即可得出答案.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，
所以
.
故選：A.
3．C
【分析】由兩角差的余弦公式逆用即可求解.
【詳解】由題意.
故選：C.
4．C
【分析】運用同角三角函數平方關系及差角的余弦公式計算即可.
【詳解】由已知得，，
則.
故選：C.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由，，得到，再由求解；
（2）由求解.
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，
；
（2）由（1）知，，
又∵，，
∴，
∵，
所以，
∴，
.
6．A
【分析】利用誘導公式和兩角差的正弦公式求解.
【詳解】.
故選：A
7．A
【分析】由同角三角函數可得，再由角的變換及兩角差的正弦公式展開即可.
【詳解】（為銳角），
∴為銳角，
，
，
故選：A．
8．D
【分析】根據兩角和的正弦公式和特殊角三角函數求解.
【詳解】.
故選：D.
9．C
【分析】將所給兩式平方相加化簡可得，再根據分析角度范圍求解即可.
【詳解】由，，等式兩邊平方相加得：
，
即，故，故或.
由，得，得，故，
則，故.
故選：C
10．B
【分析】利用誘導公式和和差角公式可得.
【詳解】原式
.
故選：B
11．B
【分析】利用兩角差的正切公式計算可得.
【詳解】因為，，
所以.
故選：B
12．B
【分析】根據兩角和的正切公式計算直接得出結果.
【詳解】由，
得，
解得.
故選：B
13．C
【分析】由兩角差的正切公式求解即可.
【詳解】因為，，，
，
，
所以.
故選：C.
14．##1.5
【分析】先利用正切的和角公式打開，得到,再根據和差角的正余弦公式化簡，弦切互換代入即可求解.
【詳解】由，代入，解得，
.
故答案為：.
15．
【分析】根據兩角和的正切公式可得，再結合題意分析求解.
【詳解】因為，
整理得，
則，
所以
，
即.
故答案為：
16．D
【分析】利用平方關系可求，結合二倍角公式可得答案.
【詳解】因為，所以；
所以.
故選：D.
17．C
【分析】利用正弦函數的倍角公式化簡題設函數，從而利用最小正周期公式即可得解.
【詳解】因為，
所以所求最小正周期為.
故選：C.
18．D
【分析】先根據三角函數的定義求得正切值，再利用二倍角公式，結合同角三角函數的關系計算.
【詳解】設為角終邊上一點，則，， ，
，
故選：D.
19．
【分析】化簡，代入即可求解.
【詳解】因為，所以
.
故答案為：.
20．##
【分析】對平方后展開，結合同角三角函數基本關系及二倍角公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，解得.
故答案為：.
21．B
【分析】直接利用誘導公式和二倍角的余弦公式求解.
【詳解】由題得.
故選：B.
22．B
【分析】由已知利用誘導公式以及二倍角的余弦公式即可求解.
【詳解】因為 ，
所以
，
故選：B.
23．A
【分析】利用二倍角的余弦公式求解.
【詳解】解：因為，
所以，
故選：A
24．C
【分析】由條件結合利用二倍角公式求，再利用誘導公式求.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：C.
25．
【分析】由誘導公式和二倍角的余弦公式進行化簡可得答案.
【詳解】
.
故答案為：.
26．B
【分析】由給定條件，求出，再利用二倍角的正切求解作答.
【詳解】由，得，
所以.
故選：B
27．C
【分析】利用二倍角正切公式得到，利用兩角和的正切公式計算可得.
【詳解】
.
故選：C
28．D
【分析】根據正切的二倍角公式以及和差角公式即可求解.
【詳解】由得,
所以，
故選：D
29．
【詳解】由正切函數的定義可得，借助正切函數的二倍角公式計算即可得.
【點睛】由角終邊經過點，故，則.
故答案為：.
30．##-0.75
【分析】根據同角三角函數關系式求得的值，再根據正切二倍角公式求得的值.
【詳解】因為是第三象限角，且，
所以，則，
所以.
故答案為：.
31．B
【分析】利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期.
【詳解】
，
因此，函數的最小正周期為，
故選：B.
32．A
【分析】根據正切二倍角公式展開，再切化弦，化簡得到，進而求解.
【詳解】顯然，
因為，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
即，
化簡得，，
因為，所以，
所以.
故選：A
33．C
【分析】利用三角恒等變換，化簡函數，求實數的值.
【詳解】原式變形為，
即，
則.
故選：C
34．A
【分析】利用三角恒等變換化簡，再由單調性即可比較其大小.
【詳解】因為，
所以：
又因為
所以：.
故選：A.
35．B
【分析】利用三角恒等變換公式確定函數的解析式，利用函數的性質確定對稱中心或對稱軸即可求解.
【詳解】,
令得，
所以函數的對稱中心為，
對于A，不存在使得，所以圖象不關于原點對稱，A錯誤；
對于B， 時對稱中心為，B正確；
令得，
所以函數的對稱軸為，
不存在使得或，
所以圖象不關于軸對稱，不關于直線對稱，C,D錯誤.
故選:B.
36．C
【解析】變形后，根據兩角差的余弦公式計算可得答案.
【詳解】
，
故選：C.
【點睛】本題考查了兩角差的余弦公式，屬于基礎題.
37．BD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項；利用兩角差的正切公式可判斷B選項；利用二倍角的正弦公式結合誘導公式可判斷C選項；利用兩角差的余弦公式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，A錯；
對于B選項，因為，
所以，，B對；
對于C選項，
，C錯；
對于D選項，
，D對.
故選：BD.
38．C
【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關系化簡即可.
【詳解】因為
，所以原式
故選：C
39．
【分析】由誘導公式結合和差角公式求解即可.
【詳解】
故答案為：
40．AC
【分析】對于A，逆用倍角余弦公式即可判斷；對于B，利用輔助角公式即可判斷；對于C，利用輔助角公式即可判斷；對于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判斷.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，
，D錯誤.
故選：AC
41．A
【分析】根據三角函數值確定角的范圍，再根據角的變換有，根據三角函數值確定的值.
【詳解】，符號相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故選：A．
42．##
【分析】求出，再由求得的值.
【詳解】因為，，
所以，
所以，
所以，
因為，所以.
故答案為：
43．D
【分析】根據求出，從而可得的范圍，即可得出的范圍，再求和的值，即可得結果.
【詳解】因為，，，
則，
可知，，則，
又因為，
可得，
所以.
故選：D.
44．
【分析】利用韋達定理結合兩角和的正切公式求出的值，求出的值，即可求得角的值.
【詳解】對于方程，則，解得或，
因為、是的方程的兩個實根，
由韋達定理可得，，
所以，，
因為，則，故.
故答案為：.
45．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函數的定義求出的值，利用誘導公式以及弦化切可求得所求代數式的值；
（2）求出的值，利用兩角差的正弦公式求出的值，結合角的范圍可求得角的值.
【詳解】（1）解：因為角的終邊過點，所以，
則，，．
．
（2）解：因為角的終邊過點，所以為第四象限角，即，
又因為為銳角，則，可得，
因為，則，
因為，所以．
則
．
所以．
46．D
【分析】由已知利用誘導公式可求得的值，進而利用三角函數恒等變換的應用化簡所求即可求解．
【詳解】因為，
所以，
所以，解得或舍去，
則
．
故選：D．
47．(1)
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式與三角函數基本關系將弦化為切計算即可得；
（2）結合三角函數基本關系與三角恒等變換計算即可得.
【詳解】（1），且，
則；
（2），
，
，，，
則，即，，
.
48．B
【分析】根據同角三角函數的基本關系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
而，所以，
所以，
所以
.
故選：B
49．ACD
【分析】由同角三角函數的基本關系求出、，即可判斷B，由得到，再結合兩角和的余弦公式即可求出，，即可判斷A，再由二倍角公式判斷C，最后由，即可判斷D.
【詳解】因為，
所以，
所以，故B錯誤；
又，即，即，
所以，解得，
所以，故A正確；
，故C正確；
因為，
因為
，
所以，
所以，故D正確.
故選：ACD
50．(1)；
(2).
【分析】（1）利用兩角和的正切公式求出，然后化弦為切結合同角三角函數基本關系求解即可；
（2）結合二倍角公式及化簡，利用弦為切求解即可.
【詳解】（1）由，得，解得.
因為，，是第三象限角，
所以.
（2）.
答案第1頁，共2頁
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