資源簡介

專題4 三角恒等變換中策略問題
（23-24高一下·江蘇徐州·期中）
【典例1-1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式計算可得.
【詳解】
.
故選：A
（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）
【典例1-2】 .
【答案】1
【分析】依題意可得，利用和（差）角公式展開計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
【題后反思】
對于給角求值問題，一般有兩類
（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．
（2）若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．
【舉一反三】
（23-24高一下·江蘇南通·期中）
1．（ ）
A． B． C． D．
（22-23高三上·江蘇常州·階段練習(xí)）
2．（多選）下列化簡正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）
3．計算下列各式，結(jié)果為的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024高一下·湖南株洲·競賽）
4． ．
（2024·四川·模擬預(yù)測）
【典例2-1】已知，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角差和的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解.
【詳解】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故選：A.
（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）
【典例2-2】若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用兩角和的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，所以，又，所以，則，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，則.
故選：B.
【題后反思】
已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
（1）界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．
（2）求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．
（3）結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．
注：（1）由三角函數(shù)值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．
（2）解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值，而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定，已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)，已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，當(dāng)所求角范圍是（0，π）或（π，2π）時，選取求余弦值，當(dāng)所求角范圍是或時，選取求正弦值．
【舉一反三】
（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）
5．已知，，且，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）
6．已知銳角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·山西運城·階段練習(xí)）
7．內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）
8．若，且，，則的值是 ．
（23-24高一下·河北張家口·期中）
【典例3-1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由輔助角公式和正弦展開式結(jié)合待定系數(shù)法求出，再代入所求算式計算即可.
【詳解】，
由待定系數(shù)法可得，
所以，
故選：D
（2024·遼寧·模擬預(yù)測）
【典例3-2】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知化簡可推得，兩邊平方整理得出，求解得出，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，顯然，
兩邊同時乘以可得，，
整理可得，
所以，，
兩邊同時平方可得，
即，解得或.
當(dāng)時，，此時，不滿足題意，舍去.
所以，.
故選：A.
【題后反思】
給值求值的解題策略
（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．
①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．
②當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．
（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：
①α＝（α－β）＋β；
②α＝＋；
③2α＝（α＋β）＋（α－β）；
④2β＝（α＋β）－（α－β）．
⑤
【舉一反三】
（23-24高一下·廣東佛山·期中）
9．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）
10．已知，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）
11．若，，（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）
12．已知，，，則 ．
（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）
【典例4-1】已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件化為，利用換元法化為，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，令，
則，因為，所以；
又因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
則在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
所以，即，解得.
故選：C
（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）
【典例4-2】已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最大值及取最大值時x的取值集合；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）已知函數(shù)在上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）最大值，
（2）
（3）
【分析】（1）（2）先利用三角公式化簡，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）構(gòu)造方程，求出的范圍，即為的范圍，進(jìn)而可得實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】（1）由已知，
令，得，即，
所以函數(shù)的最大值為，且取最大值時x的集合為
（2）令，
解得，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（3）當(dāng)，，
此時，即，
令，得在上存在零點，
令，
即在上存在零點，
又當(dāng)時，
所以，解得.
【題后反思】
利用三角恒等變換解決三角函數(shù)性質(zhì)問題的解題思路
（1）將化為的形式；
（2）構(gòu)造
（3）和角公式逆用，得 （其中φ為輔助角）；
（4）利用研究三角函數(shù)的性質(zhì)；
注：研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性和最值問題，通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過恰當(dāng)?shù)娜亲儞Q，轉(zhuǎn)化為一種簡單的三角函數(shù)，再研究轉(zhuǎn)化后的函數(shù)的性質(zhì)．在這個過程中通常利用輔助角公式，將y＝asin x＋bcos x轉(zhuǎn)化為y＝Asin（x＋φ）或y＝Acos（x＋φ）的形式，以便研究函數(shù)的性質(zhì)．
【舉一反三】
（2024·浙江·二模）
13．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為 B．關(guān)于點中心對稱
C．最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）
14．已知函數(shù).
(1)把化為的形式，并求的最小正周期和對稱軸方程；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間.
（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）
15．設(shè)函數(shù)．
(1)求的最小正周期及其圖象的對稱軸；
(2)若且，求的值．
（23-24高一下·貴州六盤水·階段練習(xí)）
16．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)減區(qū)間以及在區(qū)間上的最值.
一.單選題
（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）
17．已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
（2024·全國·模擬預(yù)測）
18．（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）
19．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）
20．已知為第二象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·山東青島·階段練習(xí)）
21．已知，則（ ）
A．3 B． C． D．2
（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）
22．的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
（23-24高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）
23．若，且，則 .
（23-24高一下·山東青島·階段練習(xí)）
24．已知，則的值是 ．
（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）
25．已知，則的值是 ．
（2024·山西朔州·一模）
26．若，則 ．
三、解答題
（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）
27．設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)的最大值，并求出取最大值時的值.
（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）
28．已知函數(shù).
(1)求的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求的值.
（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）
29．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的對稱中心與對稱軸；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）
30．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求；
(2)當(dāng)時，求的取值范圍；
(3)試從向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的角度，結(jié)合數(shù)量積的定義或幾何意義解釋的最大值為.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】直接由兩角和的正弦公式即可求解.
【詳解】.
故選：B.
2．AB
【分析】由兩角差的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式及兩角和的正切公式對選項一一化簡即可得出答案.
【詳解】對于選項A：，故A正確；
對于選項B：，故B正確．
對于選項C：，故C錯誤．
對于選項D：，故D錯誤.
故選：AB．
3．AD
【分析】利用輔助角公式可判斷選項A；利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可判斷選項B；利用二倍角公式可判斷選項C；利用切化弦、輔助角公式和誘導(dǎo)公式可判斷選項D.
【詳解】因為
，
故選項A正確；
因為，
故選項B錯誤；
因為，
故選項C錯誤；
因為
，
故選項D正確.
故選：AD.
4．
【分析】利用二倍角公式及和差角公式計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
5．B
【分析】根據(jù)正切的倍角公式求得，再結(jié)合正切的和角公式求得，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果.
【詳解】；
，
又，，故，，
又，，故，則.
故選：B.
6．B
【分析】根據(jù)平方和關(guān)系求出、的值，再根據(jù)兩角和的余弦公式求出的值，即可得答案.
【詳解】因為，均為銳角，且，
所以，，
所以，
又因為，，所以，即.
故選：B
7．AC
【分析】利用正弦定理可得，可得即，然后可求出，分類討論從而可求解.
【詳解】因為，所以，
由正弦定理可得，又，所以，
因為，，所以，所以，
所以或，當(dāng)時，；
當(dāng)時，.故A、C正確.
故選：AC.
8．
【分析】先由降冪公式得到，再由同角三角函數(shù)關(guān)系得到和，然后經(jīng)過拆角和余弦展開式化簡得到結(jié)果.
【詳解】，
所以，
因為，所以，所以，
因為，所以，
又，所以，
所以，
因為，
所以，
故答案為：.
9．D
【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，再結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.
【詳解】因為，可得，
則.
故選：D.
10．C
【分析】利用兩角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.
【詳解】因為，即，
解得，
所以
.
故選：C
11．B
【分析】利用同角基本關(guān)系式與三角函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
則
.
故選：B.
12．0
【分析】首先求出、，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，結(jié)合求解.
【詳解】已知，，
則，
，
，，
則，，
則
.
故答案為：.
13．BC
【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.
【詳解】，
，
函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；
，所以函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；
，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；
由，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：BC
14．(1)，，對稱軸方程為
(2)
【分析】（1）先降冪，由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求解；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性計算可得．
【詳解】（1）因為
，
即，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以函數(shù)的對稱軸方程為．
（2）由，，解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
15．(1)最小正周期為，對稱軸
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）依題意可得，再由的取值范圍，求出的范圍，即可求出，最后根據(jù)兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】（1）
所以的最小正周期為，
，即，
所以的對稱軸為.
（2）因為，即，即，
因為，所以，
又，
所以
.
16．(1).
(2)，最大值為，最小值為.
【分析】（1）先利用兩角和與差的正弦公式、輔助角公式得出；再根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式即可求解.
（2）先根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式；再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）
，
則函數(shù)的最小正周期為.
（2）根據(jù)圖象變換可得：.
令，
解得：，
則的單調(diào)減區(qū)間為.
令
則.
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
17．B
【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
18．A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式和倍角公式，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解.
【詳解】由
.
故選：A．
19．A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和倍角公式進(jìn)行角的變換，然后代入求值即可
【詳解】
．
故選：A．
20．D
【分析】先利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與基本關(guān)系式依次求得，再利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】因為為第二象限角，且，
所以，則，
所以.
故選：D
21．A
【分析】利用輔助角公式結(jié)合同角關(guān)系式結(jié)合條件可得，然后利用誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】因為，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，故.
故選：A
22．D
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正弦的二倍角公式即可求解.
【詳解】由于，所以，
而,
因此，
故選：D
23．
【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】因為
所以，
故答案為：.
24．##0.9375
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式以及平方關(guān)系即可直接化簡求值.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以.
故答案為：
25．##
【分析】觀察到，再由誘導(dǎo)公式化簡后求出最后結(jié)果即可.
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：觀察到，再由誘導(dǎo)公式化簡所求更為簡便.
26．
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用正切差角公式得到，從而求出答案.
【詳解】由題意得，
又，解得，
，
.
故答案為：
27．(1)
(2)，此時，.
【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)，再代入周期公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）因為
故最小正周期，
（2）
令，得，時，.
28．(1)；增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，得到，根據(jù)基本關(guān)系式，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，
可得函數(shù)的最小正周期為，
令，可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
令，可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）解：由，可得，即，
因為，可得，可得，
所以.
29．(1)對稱中心為；對稱軸為；
(2)和；
(3)或.
【分析】（1）將原函數(shù)恒等變換化簡后再利用正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心解出即可；
（2）利用正弦函數(shù)的對稱區(qū)間解出即可；
（3）先將函數(shù)平移變換后再結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性把問題轉(zhuǎn)化為方程在上僅有一個實根，然后令結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可.
【詳解】（1）∵
，
令，解得，
所以對稱軸為；
令，解得，
所以對稱中心為.
（2）由（1）得，
令，
得，
又因為，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（3）將的圖象向左平移個單位后，得，又因為，則，
的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.
令，則，
依題意得在上僅有一個實根.
令，因為，
則需或，
解得或.
30．(1)
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）代入a、b，利用輔助角公式轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（2）利用輔助角公式轉(zhuǎn)化，結(jié)合條件得到的范圍，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)與正切函數(shù)的倍角公式得到關(guān)于的表達(dá)式，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（3）將轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而從向量的角度解釋了的最大值.
【詳解】（1）（1）當(dāng)時，，
其中，
因為，所以，即，
則，即，
所以.
（2）因為，其中，
由，
因為，所以，解得，即，
因為，所以，即，
所以，即，
所以，
令，易知在上單調(diào)遞減，
所以，則，
所以，則，
所以，即的取值范圍為.
（3）設(shè)，為向量的夾角，
則，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以當(dāng)同向共線時，在上的投影數(shù)量最大即為的最大值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑