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2024年高考數學二輪復習專題-統計案例
1. 樣本數據16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數為（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【詳解】將這些數據從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
則其中位數為16.
故選：B.
題型一：隨機抽樣、統計圖表及樣本估計總體
【典例例題】
例1.（2024春·吉林延邊·一模）（多選）今年第5號臺風“杜蘇芮”于7月28日9時55分在福建晉江登陸，為1949年以來登陸福建的第二強臺風，登陸后強度迅速減弱并一路北上影響黃淮、華北，給華北、黃淮等地帶來較大范圍的特大暴雨．華中地區某市受此次臺風影響，最高氣溫同比有所下降，測得七天的最高氣溫分別是28，26，25，27，29，27，25（單位：℃），則（ ）
A．該組數據的極差為4 B．該組數據的眾數為27
C．該組數據的中位數為27 D．該組數據的第70百分位數為28
【答案】AC
【詳解】將這組數據按照從小到大的順排列得，
則該組數據的極差為，故A正確；
該組數據的眾數為和，故B錯誤；
該組數據的中位數為27，故C正確；
因為，
所以該組數據的第70百分位數為第個數據，即，故D錯誤.
故選：AC.
例2.（2024春·河南開封·二模）（多選）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中正確的是（ ）
A．該地農戶家庭年收入的極差為12
B．估計該地農戶家庭年收入的75%分位數約為9
C．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
D．估計該地農戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元
【答案】BCD
【詳解】觀察頻率分布直方圖，
對于A，該地農戶家庭年收入的極差約為，A錯誤；
對于B，數據在的頻率為，
數據在的頻率為，因此75%分位數，，解得，B正確；
對于C，數據在內的頻率為，C正確；
對于D，庭年收入的平均值
（萬元），D正確.
故選：BCD
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省東莞市一模）數據2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．7.5
【答案】．D
【詳解】，從小到大第6個數據為7，第7個數據為8，
故分位數為.
故選：D
2.（2024春·江西省模擬）一組數據按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數據的中位數是極差的，則該組數據的第40百分位數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【詳解】根據題意，數據按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，
則極差為，故該組數據的中位數是，
數據共6個，故中位數為，解得，
因為，所以該組數據的第40百分位數是第3個數6，
故選：C.
3.（2024春·遼寧撫順·一模）（多選）采購經理指數（PMI）是國際上通用的監測宏觀經濟走勢的指標，具有較強的預測、預警作用．2023年12月31日，國家統計局發布了中國制造業PMI指數（經季節調整）圖，如下圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．圖中前三個數據的平均值為
B．2023年四個季度的PMI指數中，第一季度方差最大
C．圖中PMI指數的極差為
D．2023年PMI指數的分位數為
【答案】AB
【詳解】對于A，根據表中數據可知圖中前三個數據的平均值為，可知A正確；
對于B，從表中數據可以看出2023年四個季度的PMI指數中，第一季度的波動性最大，穩定性最差，所以方差最大，即B正確；
對于C，易知圖中PMI指數的極差為，即C錯誤；
對于D，易知，可知2023年PMI指數的分位數為從小到大排列的第9項和第10項的平均數，
即，即D錯誤；
故選：AB
4.（2024春·貴州畢節·二模）某地區工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統中抽取了100名會員，統計了當天他們的步數（千步為單位），并將樣本數據分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據頻率分布直方圖，估計樣本數據的70%分位數；
(2)據統計，在樣本數據，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
【答案】(1)14.5 (2)0.38
【詳解】（1）解：（1）由于在的樣本數據比例為：
∴樣本數據的70%分位數在內∴估計為：.
（2）（2）設任取的會員數據在，，中分別為事件，，，
∴，，
設事件在該地區工會會員中任取一人體檢為“健康”
.
題型二：變量間的相關關系及回歸方程
【典例例題】
例1.（2024春·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產食品淀粉，下表為年投入資金（萬元）與年收益（萬元）的8組數據：
10 20 30 40 50 60 70 80
12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
(1)用模擬生產食品淀粉年收益與年投入資金的關系，求出回歸方程；
(2)為響應國家“加快調整產業結構”的號召，該企業又自主研發出一種藥用淀粉，預計其收益為投入的．2024年該企業計劃投入200萬元用于生產兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬元）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，
②
161 29 20400 109 603
③
【答案】(1) (2)36.5
【詳解】（1）
∴回歸方程為：
（2）
2024年設該企業投入食品淀粉生產x萬元，預計收益（萬元）
，
，得
∴其在上遞增，上遞減
【變式訓練】
1.（2024春·湖北省武漢市聯考）對兩個具有線性相關關系的變量x和y進行統計時，得到一組數據，通過這組數據求得回歸直線方程為，則m的值為（ ）
A. 3 B. 5 C. 5.2 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由數據得出樣本中心點，再代入回歸直線方程計算即可.
【詳解】易知，代入得.
故選：A
2.（2024春·河北滄州·一模）（多選）下表是某地從2019年至2023年能源消費總量近似值（單位：千萬噸標準煤）的數據表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代號 1 2 3 4 5
能源消費總量近似值（單位：千萬噸標準煤） 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以為解釋變量，為響應變量，若以為回歸方程，則決定系數0.9298，若以為回歸方程，則，則下面結論中正確的有（ ）
A．變量和變量的樣本相關系數為正數
B．比的擬合效果好
C．由回歸方程可準確預測2024年的能源消費總量
D．
【答案】ABD
【詳解】對于A選項：隨著變量的增加，變量也在增加，故變量和變量成正相關，即樣本相關系數為正數，正確；
對于B選項：因為，故比的擬合效果好，正確；
對于C選項：回歸方程可預測2024年的能源消費總量，不可準確預測，錯誤；
對于D選項：由回歸方程必過樣本中心點，可知，正確.
故選：ABD.
4.（2024·四川巴中·一模）下圖是某市2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）與年份t的散點圖.
(1)根據散點圖推斷變量y與t是否線性相關，并用相關系數加以說明；
(2)建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2024年該市生活垃圾無害化處理量.
參考數據：
，，，.
參考公式：，；相關系數.
【答案】(1)y與t線性相關，說明見解析 (2)1.84萬噸
【詳解】（1）
根據散點圖推斷變量y與t線性相關，說明如下：
由題意得，
，
，
故，
由y與t的相關系數約為0.97表明，y與t線性相關，相關程度相當高；
（2）
由以及（1）可得，
則，
故y關于t的回歸方程為，
將2024年對應的年份代碼代入回歸方程得
故預測2024年該市生活垃圾無害化處理量約為1.84萬噸.
題型三：列聯表與獨立性檢驗
【典例例題】
例1.（2024春·黑龍江吉林·二模）恰逢盛世，風調雨順.某稻米產地今秋獲得大豐收，為促進當地某品牌大米銷售，甲、乙兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產的該品牌大米.通過在某時段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干部的直播間（下簡稱甲直播間、乙直播間）購買的情況進行調查（假定每人只在一個直播間購買大米），得到以下數據：
網民類型 在直播間購買大米的情況 合計
在甲直播間購買 在乙直播間購買
本地區網民 50 5 55
外地區網民 30 15 45
合計 80 20 100
(1)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區有關；
(2)用樣本分布的頻率分布估計總體分布的概率，若共有名網民在甲、乙直播間購買大米，且網民選擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買大米的網民數為X，求使事件“”的概率取最大值時k的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)能認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區有關 (2)
【詳解】（1）提出零假設：網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區沒有關聯，
經計算得，
依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區有關聯.
（2）利用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，
可知網民選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，
則，記，，
則，
則問題等價于求當取何值時取最大值，
因為，，
又，
所以當時，；
當時，；
當時，；
所以，
，
所以當時，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的的值為.
【變式訓練】
1.（2024春·河南·一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發突出，在用戶生活中
覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構在網上隨機對1000人進行了一次市場調研，以決策是否開發將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數據：
青年人 中年人 老年人
對短視頻剪接成長視頻的APP有需求 200
對短視頻剪接成長視頻的APP無需求 150
其中的數據為統計的人數，已知被調研的青年人數為400．
(1)求的值；
(2)根據小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？
參考公式：，其中．
臨界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) (2)有差異
【詳解】（1）
由題意可得：，解得．
（2）
零假設為：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．
由已知得，如下列聯表：
青年人 中老年人 合計
對短視頻剪接成長視頻的APP有需求 300 250 550
對短視頻剪接成長視頻的APP無需求 100 350 450
合計 400 600 1000
可得，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
所以對短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．
2.（2024春·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.
年齡 次數 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；
(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為 ，求小明星期天選擇跑步的概率.
參考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)有關
(2)分布列見解析；期望為
(3)
【詳解】（1）零假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，
由題得列聯表如下：
青年 中年 合計
體育鍛煉頻率低 125 95 220
體育鍛煉頻率高 75 105 180
合計 200 200 400
，
根據小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，
即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.
（2）由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內的人數分別為1，2，
依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
0 1 2
所以的數學期望為.
（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，
星期天選擇跑步為事件，則，
，
所以
所以小明星期天選擇跑步的概率為.
1．（2024春·廣西南寧·一模）（多選）下列說法中，正確的是（ ）
A．一組數據的第40百分位數為12
B．若樣本數據的方差為8，則數據的方差為2
C．已知隨機變量服從正態分布，若，則
D．在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為和獨立
【答案】BC
【詳解】對A，由于共10個數據，且，
故第40百分位數為第4，5個數據的平均數為，故A錯誤；
對B，設數據的平均數為，方差為，
則數據的平均數為，
方差為
，所以，故B正確；
對C，則，即，由正態分布的性質可得，故C正確；
對D，在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規則是：當
時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為和獨立.故D錯誤.
故選：BC
2．（2024春·山東淄博·一模）（多選）下列命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數據的方差為2，則數據的方差為17
B．一組數據8，9，10，11，12的第80百分位數是11.5
C．用決定系數比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好
D．以模型 去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
【答案】BCD
【詳解】對A：若樣本數據的方差為2，則數據的方差為，故A錯誤；
對B：，則其第80百分位數是，故B正確；
對C，根據決定系數的含義知越大，則相應模型的擬合效果越好，故C正確；
對D，以模型去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，
則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D正確.
故選：BCD.
3．（2024春·廣東廣州·一模）某校數學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數/分鐘）的對應數據，根據生物學常識和散點圖得出與近似滿足（為參數）.令，，計算得，，.由最小二乘法得經驗回歸方程為，則的值為 ；為判斷擬合效果，通過經驗回歸方程求得預測值，若殘差平方和，則決定系數 .（參考公式：決定系數）
【答案】
【詳解】因為，兩邊取對數可得，
又，，
依題意回歸直線方程必過樣本中心點，
所以，解得，所以，
又.
故答案為：；
4．（2024春·寧夏銀川·一模）已知某水果種植基地蘋果的種植面積（單位：公頃）與其產量（單位：噸）呈線性相關關系，小王準備承包一塊蘋果種植地，為了解市場行情，在該基地調查了5家果農，統計得到了蘋果種植面積與其產量的數據如表所示：
種植面積/公頃 1 2 3 4 5
產量/噸 20 38 64 78 100
(1)求關于的線性回歸方程；
(2)若蘋果的銷量等于產量，且所種蘋果的總利潤（單位：千元）滿足，蘋果種植面積，請根據（1）的結果預測要使得單位面積的蘋果利潤最大，小王應該種植多少公頃的蘋果？
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
【答案】(1)
(2)10
【詳解】（1）由題意可得：，
，
，
則，
所以關于的線性回歸方程為.
（2）由題意可知：單位面積的蘋果利潤為，
因為，
可知當，即時，單位面積的蘋果利潤取到最大值181千元/公頃，
所以小王應該種植10公頃的蘋果.
5．（2024春·陜西·模擬預測）隨著人們對節日儀式的愈加重視及送禮需求的不斷增加，中國禮物經濟市場規模逐年增大，下表為2019-2023年中國禮物經濟市場規模的數據（萬億元），其中2019-2023年的年份代碼分別為1-5.
年份代碼x 1 2 3 4 5
中國禮物經濟市場規模y/萬億元 0.944 1.091 1.157 1.226 1.300
(1)由上表數據可知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；
(2)求y關于的回歸方程.（系數精確到0.001）
參考數據:.
參考公式:相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
【答案】(1)，說明見解析
(2)
【詳解】（1），
，
，
因為與的相關系數近似為，趨近于1，說明與的線性相關程度相當強，
從而可以用線性回歸模型擬合與的關系；
（2），
，
故.
6．（2024春·陜西西安·二模）某工廠用A，B兩臺機器生產同一種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機器生產的產品質量，分別用兩臺機器各生產了100件產品，產品的質量情況統計如表：
一級品 二級品 合計
A機器 70 30 100
B機器 80 20 100
合計 150 50 200
(1)若用A，B兩臺機器各生產該產品5萬件，用頻率估計概率，試估算此次生產的一級品的數量有多少萬件？
(2)能否有90%的把握認為A機器生產的產品質量與B機器生產的產品質量有差異？
附：，其中．
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
【答案】(1)
(2)沒有90%的把握認為機器的產品質量與機器的產品質量有差異.
【詳解】（1）根據題表中數據知，
機器生產的產品中一級品的頻率是，
機器生產的產品中一級品的頻率是；
用頻率估計概率，估算此次生產的一級品的數量有萬件.
答：估算此次生產的一級品的數量有萬件。
（2）根據題表中數據可得，
因為，
所以沒有90%的把握認為機器的產品質量與機器的產品質量有差異.
7．（2024春·陜西安康·模擬預測）作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續不減，并日漸形成了“千模大戰”的局面.百度的文心一言 阿里的通義千問 華為的盤古 騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發布上線.現有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元.后臺調取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統計發現購買24元的用戶數是140，其中個人用戶數比公司用戶數少20，購買6元的公司用戶數是個人用戶數的一半.
(1)完成如下用戶類別與購買意向的列聯表；
購買6元 購買24元 總計
個人用戶
公司用戶
總計
(2)能否有的把握認為購買意向與用戶類別有關？（運算結果保留三位小數）
附：，
臨界值表如下：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列聯表見解析
(2)有的把握認為用戶類別與購買意向有關系
【詳解】（1）解：設購買24元的個人用戶數為，則購買24元的公司用戶數為，
設購買6元的公司用戶數為，則購買6元的個人用戶數為，
則有，解得，
所以用戶類別與購買意向列聯表如下：
購買6元 購買24元 總計
個人用戶 40 60 100
公司用戶 20 80 100
總計 60 140 200
（2）解：由（1）中列聯表，可得
，
所以有的把握認為用戶類別與購買意向有關系.
8．（2024春·江蘇徐州·一模）某中學對該校學生的學習興趣和預習情況進行長期調查，學習興趣分為興趣高和興趣一般兩類，預習分為主動預習和不太主動預習兩類，設事件A：學習興趣高，事件B：主動預習．據統計顯示，，，．
(1)計算和的值，并判斷A與B是否為獨立事件；
(2)為驗證學習興趣與主動預習是否有關，該校用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本，利用獨立性檢驗，計算得．為提高檢驗結論的可靠性，現將樣本容量調整為原來的倍，使得能有99.5%的把握認為學習興趣與主動預習有關，試確定的最小值．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)，，不相互獨立
(2)
【詳解】（1）由已知，
，
又因為，所以，
所以，
又，
所以，
所以A與B不為獨立事件；
（2）假設原列聯表為
興趣高 興趣不高 總計
主動預習
不太主動預習
總計
根據原數據有
若將樣本容量調整為原來的倍，
則新的列聯表為：
興趣高 興趣不高 總計
主動預習
不太主動預習
總計
則
，解得，
又，所以的最小值為.2024年高考數學二輪復習專題-統計案例
1. 樣本數據16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數為（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
題型一：隨機抽樣、統計圖表及樣本估計總體
【典例例題】
例1.（2024春·吉林延邊·一模）（多選）今年第5號臺風“杜蘇芮”于7月28日9時55分在福建晉江登陸，為1949年以來登陸福建的第二強臺風，登陸后強度迅速減弱并一路北上影響黃淮、華北，給華北、黃淮等地帶來較大范圍的特大暴雨．華中地區某市受此次臺風影響，最高氣溫同比有所下降，測得七天的最高氣溫分別是28，26，25，27，29，27，25（單位：℃），則（ ）
A．該組數據的極差為4 B．該組數據的眾數為27
C．該組數據的中位數為27 D．該組數據的第70百分位數為28
例2.（2024春·河南開封·二模）（多選）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中正確的是（ ）
A．該地農戶家庭年收入的極差為12
B．估計該地農戶家庭年收入的75%分位數約為9
C．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
D．估計該地農戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省東莞市一模）數據2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．7.5
2.（2024春·江西省模擬）一組數據按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數據的中位數是極差的，則該組數據的第40百分位數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
3.（2024春·遼寧撫順·一模）（多選）采購經理指數（PMI）是國際上通用的監測宏觀經濟走勢的指標，具有較強的預測、預警作用．2023年12月31日，國家統計局發布了中國制造業PMI指數（經季節調整）圖，如下圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．圖中前三個數據的平均值為
B．2023年四個季度的PMI指數中，第一季度方差最大
C．圖中PMI指數的極差為
D．2023年PMI指數的分位數為
4.（2024春·貴州畢節·二模）某地區工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統中抽取了100名會員，統計了當天他們的步數（千步為單位），并將樣本數據分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據頻率分布直方圖，估計樣本數據的70%分位數；
(2)據統計，在樣本數據，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
題型二：變量間的相關關系及回歸方程
【典例例題】
例1.（2024春·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產食品淀粉，下表為年投入資金（萬元）與年收益（萬元）的8組數據：
10 20 30 40 50 60 70 80
12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
(1)用模擬生產食品淀粉年收益與年投入資金的關系，求出回歸方程；
(2)為響應國家“加快調整產業結構”的號召，該企業又自主研發出一種藥用淀粉，預計其收益為投入的．2024年該企業計劃投入200萬元用于生產兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬元）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，
②
161 29 20400 109 603
③
【變式訓練】
1.（2024春·湖北省武漢市聯考）對兩個具有線性相關關系的變量x和y進行統計時，得到一組數據，通過這組數據求得回歸直線方程為，則m的值為（ ）
A. 3 B. 5 C. 5.2 D. 6
2.（2024春·河北滄州·一模）（多選）下表是某地從2019年至2023年能源消費總量近似值（單位：千萬噸標準煤）的數據表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代號 1 2 3 4 5
能源消費總量近似值（單位：千萬噸標準煤） 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以為解釋變量，為響應變量，若以為回歸方程，則決定系數0.9298，若以為回歸方程，則，則下面結論中正確的有（ ）
A．變量和變量的樣本相關系數為正數
B．比的擬合效果好
C．由回歸方程可準確預測2024年的能源消費總量
D．
4.（2024·四川巴中·一模）下圖是某市2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）與年份t的散點圖.
(1)根據散點圖推斷變量y與t是否線性相關，并用相關系數加以說明；
(2)建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測2024年該市生活垃圾無害化處理量.
參考數據：
，，，.
參考公式：，；相關系數.
題型三：列聯表與獨立性檢驗
【典例例題】
例1.（2024春·黑龍江吉林·二模）恰逢盛世，風調雨順.某稻米產地今秋獲得大豐收，為促進當地某品牌大米銷售，甲、乙兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產的該品牌大米.通過在某時段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干部的直播間（下簡稱甲直播間、乙直播間）購買的情況進行調查（假定每人只在一個直播間購買大米），得到以下數據：
網民類型 在直播間購買大米的情況 合計
在甲直播間購買 在乙直播間購買
本地區網民 50 5 55
外地區網民 30 15 45
合計 80 20 100
(1)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區有關；
(2)用樣本分布的頻率分布估計總體分布的概率，若共有名網民在甲、乙直播間購買大米，且網民選擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買大米的網民數為X，求使事件“”的概率取最大值時k的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【變式訓練】
1.（2024春·河南·一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構在網上隨機對1000人進行了一次市場調研，以決策是否開發將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數據：
青年人 中年人 老年人
對短視頻剪接成長視頻的APP有需求 200
對短視頻剪接成長視頻的APP無需求 150
其中的數據為統計的人數，已知被調研的青年人數為400．
(1)求的值；
(2)根據小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？
參考公式：，其中．
臨界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2.（2024春·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.
年齡 次數 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；
(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為 ，求小明星期天選擇跑步的概率.
參考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1．（2024春·廣西南寧·一模）（多選）下列說法中，正確的是（ ）
A．一組數據的第40百分位數為12
B．若樣本數據的方差為8，則數據的方差為2
C．已知隨機變量服從正態分布，若，則
D．在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為和獨立
2．（2024春·山東淄博·一模）（多選）下列命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數據的方差為2，則數據的方差為17
B．一組數據8，9，10，11，12的第80百分位數是11.5
C．用決定系數比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好
D．以模型 去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
3．（2024春·廣東廣州·一模）某校數學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數/分鐘）的對應數據，根據生物學常識和散點圖得出與近似滿足（為參數）.令，，計算得，，.由最小二乘法得經驗回歸方程為，則的值為 ；為判斷擬合效果，通過經驗回歸方程求得預測值，若殘差平方和，則決定系數 .（參考公式：決定系數）
4．（2024春·寧夏銀川·一模）已知某水果種植基地蘋果的種植面積（單位：公頃）與其產量（單位：噸）呈線性相關關系，小王準備承包一塊蘋果種植地，為了解市場行情，在該基地調查了5家果農，統計得到了蘋果種植面積與其產量的數據如表所示：
種植面積/公頃 1 2 3 4 5
產量/噸 20 38 64 78 100
(1)求關于的線性回歸方程；
(2)若蘋果的銷量等于產量，且所種蘋果的總利潤（單位：千元）滿足，蘋果種植面積，請根據（1）的結果預測要使得單位面積的蘋果利潤最大，小王應該種植多少公頃的蘋果？
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
5．（2024春·陜西·模擬預測）隨著人們對節日儀式的愈加重視及送禮需求的不斷增加，中國禮物經濟市場規模逐年增大，下表為2019-2023年中國禮物經濟市場規模的數據（萬億元），其中2019-2023年的年份代碼分別為1-5.
年份代碼x 1 2 3 4 5
中國禮物經濟市場規模y/萬億元 0.944 1.091 1.157 1.226 1.300
(1)由上表數據可知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；
(2)求y關于的回歸方程.（系數精確到0.001）
參考數據:.
參考公式:相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
6．（2024春·陜西西安·二模）某工廠用A，B兩臺機器生產同一種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機器生產的產品質量，分別用兩臺機器各生產了100件產品，產品的質量情況統計如表：
一級品 二級品 合計
A機器 70 30 100
B機器 80 20 100
合計 150 50 200
(1)若用A，B兩臺機器各生產該產品5萬件，用頻率估計概率，試估算此次生產的一級品的數量有多少萬件？
(2)能否有90%的把握認為A機器生產的產品質量與B機器生產的產品質量有差異？
附：，其中．
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
7．（2024春·陜西安康·模擬預測）作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續不減，并日漸形成了“千模大戰”的局面.百度的文心一言 阿里的通義千問 華為的盤古 騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發布上線.現有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元.后臺調取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統計發現購買24元的用戶數是140，其中個人用戶數比公司用戶數少20，購買6元的公司用戶數是個人用戶數的一半.
(1)完成如下用戶類別與購買意向的列聯表；
購買6元 購買24元 總計
個人用戶
公司用戶
總計
(2)能否有的把握認為購買意向與用戶類別有關？（運算結果保留三位小數）
附：，
臨界值表如下：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8．（2024春·江蘇徐州·一模）某中學對該校學生的學習興趣和預習情況進行長期調查，學習興趣分為興趣高和興趣一般兩類，預習分為主動預習和不太主動預習兩類，設事件A：學習興趣高，事件B：主動預習．據統計顯示，，，．
(1)計算和的值，并判斷A與B是否為獨立事件；
(2)為驗證學習興趣與主動預習是否有關，該校用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本，利用獨立性檢驗，計算得．為提高檢驗結論的可靠性，現將樣本容量調整為原來的倍，使得能有99.5%的把握認為學習興趣與主動預習有關，試確定的最小值．
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

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