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2024屆新高考二輪復(fù)習(xí)第十二講：計(jì)數(shù)原理、概率和隨機(jī)變量及其分布
1.（5）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A. 20種 B. 16種 C. 12種 D. 8種
【答案】B
【解析】
【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，
①當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
②當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法，
故選：B.
2.（16）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．
（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；
（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【小問1詳解】
記“取出的個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件，
先確定個(gè)不同數(shù)字的小球，有種方法，
然后每種小球各取個(gè)，有種取法，
所以.
【小問2詳解】
由題意可知，的可取值為，
當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，
所以；
當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，
所以；
當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，
所以，
所以的分布列為：
所以.
題型一：排列、組合
【典例例題】
例1.（2024春·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)） 2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會已在浙江杭州成功舉辦.現(xiàn)知某電視臺在亞運(yùn)會期間某段時(shí)間連續(xù)播放了5個(gè)廣告其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的亞運(yùn)宣傳廣告，其中最后播放的是亞運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)亞運(yùn)宣傳廣告沒有相鄰播放，則不同的播放方式有（ ）
A. 120種 B. 48種 C. 36種 D. 18種
【答案】C
【解析】
【詳解】先考慮最后位置必為亞運(yùn)宣傳廣告，有種，
另一亞運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，有種；
再考慮3個(gè)商業(yè)廣告的順序，有種，故共有種.
故選：C.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·新高考）“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
【答案】C
【詳解】小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)為.
故選：C
2.（2024春春·江西?。⒓住⒁业?名同學(xué)分配到3個(gè)體育場館進(jìn)行冬奧會的志愿服務(wù)，每個(gè)場館不能少于2人，則不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．3160 C．3000 D．2940
【答案】D
【詳解】共有兩種分配方式，一種是，一種是，
故不同的安排方法有.
故選：D.
3.（2024春·湖北?。┬∶鲗?，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)敒為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
【答案】C
【解析】
【詳解】1與4相鄰，共有種排法，
兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，
共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，
則總共有種密碼．
故選：C
4.（2024春·河南信陽聯(lián)考） 將編號為1，2，3，4的四個(gè)小球全部放入甲、乙兩個(gè)盒子內(nèi)，若每個(gè)盒子不空，則不同的方法總數(shù)有______種．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【詳解】若一個(gè)盒子中放個(gè)球，另一個(gè)盒子中放個(gè)球有種放法，
若兩個(gè)盒子中均放個(gè)球，則有種放法，
綜上可得一共有種放法.
故答案為：
題型二：二項(xiàng)式定理
【典例例題】
例1.（2024春·湖南長沙）（多選）關(guān)于二項(xiàng)式的展開式，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B. 展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為
C. 展開式中第5項(xiàng)為 D. 展開式中不含常數(shù)項(xiàng)
【答案】BCD
【解析】
【詳解】A選項(xiàng)：?。校珹錯，
B選項(xiàng)：展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為，B對，
C選項(xiàng)：由，
則時(shí)即為第5項(xiàng)為，C對，
D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)可知恒成立，D對，
故選：BCD.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·湖北武漢聯(lián)考） 的展開式中的系數(shù)為，則的值為______.
【答案】
【解析】
【詳解】由可知其展開式的通項(xiàng)為，，，
令，得，
可得，
又的系數(shù)為，
即，，
故答案為：.
2.（2024春·廣州鐵一中學(xué)高三第二次調(diào)研）寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為
（），
所以展開式中的有理項(xiàng)分別為：時(shí)，；
時(shí)，；時(shí)，；
時(shí)，.
故答案為：（四個(gè)有理項(xiàng)任寫其一均可）.
3.（2024春·江西南昌一模）的展開式中的系數(shù)是______．
【答案】288
【解析】
【詳解】，考慮展開式中的系數(shù).
而展開式的通項(xiàng)公式為，
令，則，令，則，
故展開式中的系數(shù)為：
.
故答案為：.
4.（2024春·廣西桂林聯(lián)考）已知，則__________.（用數(shù)字作答）
【答案】405
【解析】
【詳解】對兩邊求導(dǎo)得：
，
令，可得.
故答案為：.
5.（2024春·廣東東莞聯(lián)考）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】
【詳解】由于，
所以的展開式中含的項(xiàng)為，
所以的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
題型三：概率
【典例例題】
例1.（2024春·福建福州一模）（多選）深圳某中學(xué)社團(tuán)招新活動開展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學(xué)計(jì)劃籃球社、足球社、羽毛球社三個(gè)社團(tuán)中各自任選一個(gè)，每人選擇各社團(tuán)的概率均為 ，且每人選擇相互獨(dú)立，則（ ）
A. 三人選擇社團(tuán)一樣的概率為
B. 三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為
C. 至少有兩人選擇籃球社的概率為
D. 在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為
【答案】ACD
【解析】
【詳解】對于A，三人選擇社團(tuán)一樣的事件是都選籃球社的事件、都選足球社的事件、都選羽毛球社的事件的和，它們互斥，
三人選擇社團(tuán)一樣的概率為，A正確；
對于B，三人選擇社團(tuán)各不相同的事件，是小王從3個(gè)社團(tuán)中任選1個(gè)，小李從余下兩個(gè)中任選1個(gè)，
最后1個(gè)社團(tuán)給小張的事件，共6個(gè)不同結(jié)果，因此三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為，B錯誤；
對于C，至少有兩人選擇籃球社的事件是恰有2人選籃球社與3人都選籃球社的事件和，其概率為，C正確；
對于D，令至少有兩人選擇羽毛球社的事件為A，由選項(xiàng)C知，，小王選擇羽毛球社的事件為B，則事件AB是含小王只有2人擇羽毛球社的事件和3人都擇羽毛球社的事件和，其概率，
所以在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為，D正確.
故選：ACD
例2.（2024春·廣州鐵一中學(xué)高三第二次調(diào)研）（多選）已知事件A，B滿足，，則（ ）
A 若，則 B. 若A與B互斥，則
C. 若A與B相互獨(dú)立，則 D. 若，則A與B相互獨(dú)立
【答案】BD
【解析】
【詳解】解：對于A，因?yàn)?，，?br/>所以，故錯誤；
對于B，因?yàn)锳與B互斥，所以，故正確；
對于C，因?yàn)?，所以，所以，故錯誤；
對于D，因?yàn)椋?，所以?br/>又因?yàn)?，所以?br/>所以A與B相互獨(dú)立，故正確.
故選：BD
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·吉林長春一模）一袋中裝有大小 質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】根據(jù)題意，至少含有一個(gè)黑球的概率是.
故選：B.
2.（2024春·廣東惠州市聯(lián)考）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】解法一：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，
若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，
所以2個(gè)0不相鄰的概率為.
解法二：本題直接用（的含義：4個(gè)1和2個(gè)0占6個(gè)位置，先讓2個(gè)0選位置，有種選法，然后讓4個(gè)1順次插進(jìn)去，只有一種插法）.
故選：A.
3.（2024春·河北衡水一模）（多選）已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，，，則（ ）
A. B.
C. 若A，B獨(dú)立，則 D. 若A，B互斥，則
【答案】ACD
【解析】
【詳解】因?yàn)椋訟正確，B錯誤；
由獨(dú)立事件定義，若A，B獨(dú)立，則，所以C正確；
若A，B互斥，則，，，所以D正確．
故選：ACD．
4.（2024春·廣東省東莞市一模）用試劑檢驗(yàn)并診斷疾病，表示被檢驗(yàn)者患疾病，表示判斷被檢驗(yàn)者患疾?。迷噭z驗(yàn)并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實(shí)患疾病的概率______________．
【答案】
【解析】
【詳解】由條件概率公式可得，
，
由條件概率公式可得，
所以，，
所以，.
故答案為：.
題型四：隨機(jī)變量及其分布列
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省華附、深中、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考）3月14日為國際數(shù)學(xué)日，也稱為節(jié)，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中一項(xiàng)活動是“數(shù)學(xué)知識競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)班級派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲 乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲 乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.
（1）若高三（6）班獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）已知甲 乙兩個(gè)小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進(jìn)行，搶到并答對一題得100分，答錯一題扣100分，得分高的獲勝.假設(shè)這兩組在決賽中對每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲 乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是，假設(shè)每道題搶與答的結(jié)果均互不影響，求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【小問1詳解】
設(shè)甲 乙通過兩輪制的初賽分別為事件，
則，
由題意可得，的取值有，
，
，
，
所以.
【小問2詳解】
依題意甲 乙搶到并答對一題的概率分別為，
，
乙已得100分，甲若想獲勝情況有：
①甲得200分：其概率為；
②甲得100分，乙再得100分，其概率為；
③甲得0分，乙再得200分，其概率為，
故乙先得100分后甲獲勝的概率為.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·江西南昌一模）魔方是民間益智玩具，能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，鍛煉眼腦的協(xié)調(diào)性，全面提高專注力、觀察力、反應(yīng)力.基于此特點(diǎn)某小學(xué)開設(shè)了魔方興趣班，共有100名學(xué)生報(bào)名參加，在一次訓(xùn)練測試中，老師統(tǒng)計(jì)了學(xué)生還原魔方所用的時(shí)間（單位：秒），得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
時(shí)間 人數(shù) 年級
低年級 2 8 12 14 4
高年級 10 22 16 10 2
（1）估計(jì)這100名學(xué)生這次訓(xùn)練測試所用時(shí)間的第78百分位數(shù)；
（2）在這次測試中，從所用時(shí)間在和內(nèi)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，記抽到低年級學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）150 （2）分布列見解析，
【解析】
【小問1詳解】
在這次訓(xùn)練測試中所用時(shí)間在140秒以下的學(xué)生所占比例為，
所用時(shí)間在170秒以下的學(xué)生所占比例為，
所以第78百分位數(shù)一定位于內(nèi)，
設(shè)第78百分位數(shù)的值為，則.
【小問2詳解】
記事件為“從所用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是低年級的學(xué)生”，
事件為“從所用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是低年級的學(xué)生”，
由題意知，事件，相互獨(dú)立，且，.
的所有可能取值為0，1，2，
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2
故的數(shù)學(xué)期望.
2.（2024春·黑龍江聯(lián)考）杭州亞運(yùn)會的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個(gè)30元．
（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個(gè)盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；
（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個(gè)，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個(gè)盲盒？
【答案】（1）分布列詳見解析 （2）買個(gè)
【小問1詳解】
由題意可知所有可能取值為，
,
所以的分布列如下：
【小問2詳解】
設(shè)甲一次性購買個(gè)吉祥物盲盒，集齊三款吉祥物需要的總費(fèi)用為.
依題意，可取.
方案1：不購買盲盒時(shí)，則需要直接購買三款吉祥物，總費(fèi)用元.
方案2：購買個(gè)盲盒時(shí)，則需要直接購買另外兩款吉祥物，
總費(fèi)用元.
方案3：購買個(gè)盲盒時(shí)，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式不同，則只需直接購買剩下一款吉祥物，
總費(fèi)用，，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式相同，則需要直接購買另外款吉祥物，
總費(fèi)用，
所以元.
方案4：購買個(gè)盲盒時(shí)，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式各不相同，則總費(fèi)用，，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后恰有款相同，則需要直接購買剩下一款吉祥物，
則總費(fèi)用，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式全部相同，則需要直接購買另外兩款吉祥物，
總費(fèi)用，
所以元.
對比個(gè)方案可知，第個(gè)方案總費(fèi)用的期望值最小，
故應(yīng)該一次性購買個(gè)吉祥物盲盒.
題型五：二項(xiàng)分布、超幾何分布
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省華附、深中、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考）在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.
（1）求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；
（2）若抽4次，抽到道代數(shù)題，求隨機(jī)變量的分布列和期望.
記表示事件“第次抽到代數(shù)題”，.
（1）由條件概率公式可得
所以第一次抽到幾何題的條件下，第二次抽到代數(shù)題的概率為；
（也可以：已知第一次抽到幾何題，這時(shí)還剩余代數(shù)題和幾何題各四道，因此）
（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為：；
的分布列為
0 1 2 3 4
所以：
例2.（2024春·陜西西安一模）已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學(xué)生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜歡羽毛球 0.3 0.3
只喜歡乒乓球 0.25 0.2
既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球 0.3 0.15
（1）從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；
（2）從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.
解：（1）記事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡乒乓球，
則，
，
故所求的概率.
（2）由（1）可知從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率，則，
從而，
故.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·新疆烏魯木齊一模）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動，記錄他們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．
（?。┯涍@3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）
【解析】
【小問1詳解】
該班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù):
．
【小問2詳解】
由題意可知進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，
頻率比為；
所以抽取的8人中，進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．
（ⅰ）由題意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以．
（ⅱ）記事件“抽取的3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間”，
事件“抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間”，
則，，
所以，
即這3個(gè)人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率為．
2.（2024春·廣東省東莞市聯(lián)考）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量（）；③記隨機(jī)變量，利用的期望和方差進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．
（1）已知，，證明：，；
（2）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為（），并計(jì)算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．
（?。┱堄煤头謩e代替和，估算和；
（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．
【答案】（1）證明見解析
（2）（?。?，；（ⅱ）15
【解析】
【小問1詳解】
由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項(xiàng)分布，
則，，
，
，
所以，.
【小問2詳解】
（ⅰ）由（1）可知，
則的均值，的方差，
所以，解得或，
由題意可知：，則，
所以，；
（ⅱ）由（?。┛芍?，則，
則，
由題意可知：，
解得，且，則，
所以的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值為15.
題型六：正態(tài)分布
【典例例題】
例1.（2024春·江蘇·一模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；
(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．
附：若，取，．
【答案】(1)0.09；(2).
【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．
因?yàn)椋裕?br/>，
．
所以
，
所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．
（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，
所以．
由，解得．
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；所以最大．
因此當(dāng)時(shí)，最大．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·福建泉州·模擬預(yù)測）中心極限定理是概率論中的一個(gè)重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機(jī)變量，則當(dāng)且時(shí)，可以由服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（ ）
附：若：，則，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
【答案】D
【詳解】骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率，故，
顯然，其中，，
故，
則，
由正態(tài)分布的對稱性可知，估算骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為
.
故選：D
2.（2024春·四川瀘州·二模）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有如下結(jié)論：若，從的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量．據(jù)傳德國數(shù)學(xué)家希爾伯特喜歡吃披薩．他每天都會到同一家披薩店購買一份披薩．該披薩店的老板聲稱自己所出售的披薩的平均質(zhì)量是500g，上下浮動不超過25g，這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)披薩的質(zhì)量服從期望為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為25g的正態(tài)分布．
(1)假設(shè)老板的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買份披薩，記這份披薩的平均值為，利用上述結(jié)論求；
(2)希爾伯特每天都會將買來的披薩稱重并記錄，天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算得到份披薩質(zhì)量的平均值為，希爾伯特通過分析舉報(bào)了該老板．試從概率角度說明希爾伯特舉報(bào)該老板的理由．
附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；
②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生．
【答案】(1) (2)理由見解析
【詳解】（1）依題意，又，
所以，，
且，
所以.
（2）由（1）可得，
又希爾伯特計(jì)算份披薩質(zhì)量的平均值為，，
而，
所以份披薩質(zhì)量的平均值為為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生，
所以希爾伯特認(rèn)為老板的說法不真實(shí)，這就是他舉報(bào)該老板的理由.
3．（2024春·湖南邵陽·二模）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學(xué)對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進(jìn)行了檢測（檢測分為初試和復(fù)試），共有4萬名學(xué)生參加初試.組織者隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數(shù)的估計(jì)值；
(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，.規(guī)定初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；
(3)復(fù)試筆試試題包括兩道數(shù)學(xué)題和一道物理題，已知小明進(jìn)入了復(fù)試，且在復(fù)試筆試中答對每一道數(shù)學(xué)題的概率均為，答對物理題的概率為.若小明全部答對的概率為，答對兩道題的概率為，求概率的最小值.
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.
【答案】(1)0.02；69；(2)910（人）(3).
【詳解】（1），
.
樣本平均數(shù)的估計(jì)值為.
（2）.
.
能參加復(fù)試的人數(shù)約為（人）.
（3）由題意有.
答對兩道題的概率.
而.
令，則，
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；
時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，.故概率的最小值為.
1.（2024春·廣東聯(lián)考）在二項(xiàng)式的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)恰是所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和的5倍，則實(shí)數(shù)a的值為______．（用數(shù)字作答）
【答案】4
【解析】
【詳解】二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和應(yīng)為所有項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和的一半，即，
展開式通項(xiàng)為，
令可得常數(shù)項(xiàng)為，則：，即，
所以.
故答案為：4.
2.（2024春·湖南長沙一模）若，且，則的值為______.
【答案】
【解析】
【詳解】由題意得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)相等，
則，解得或0（舍去）.
故答案為：
3.（2024春·福建廈門一模）的展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【詳解】的通項(xiàng)公式為，
令得，，此時(shí)，
令得，，此時(shí)，
故的系數(shù)為
故答案為：
4.（2024春·廣東深圳市寶安區(qū)聯(lián)考）為了檢查學(xué)生的身體素質(zhì)情況，從田徑類3項(xiàng)，球類2項(xiàng)，武術(shù)類2項(xiàng)共7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)進(jìn)行測試，則恰好抽到兩類項(xiàng)目的概率是__________.
【答案】 從這7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)的情況有種，抽取的3項(xiàng)屬同一類的情況有種，抽取的3項(xiàng)包含三類的情況有種，則符合條件的情況有種，故所求概率為.
5.（2024春·湖北武漢一模）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有___________種不同的選法
【答案】
【解析】
【詳解】第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有種選法，
第二步，再從剩余4人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有種選法，
第三步，再從3人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有種選法，
所以共有種選法.
故答案為: .
6.（2024春·新疆·二模）（多選）坐式高拉訓(xùn)練器可以鍛煉背闊肌，斜方肌下束.小明是一個(gè)健身愛好者，他發(fā)現(xiàn)健身房內(nèi)的坐式高拉訓(xùn)練器鍛煉人群的配重（單位：）符合正態(tài)分布，下列說法正確的是（ ）
參考數(shù)據(jù)：，
A．配重的平均數(shù)為
B．
C．
D．1000個(gè)使用該器材的人中，配重超過的有135人
【答案】BC
【詳解】對于A項(xiàng)，由配重（單位：）符合正態(tài)分布可知，配重的平均數(shù)為，故A項(xiàng)錯誤；
對于B項(xiàng)，由配重（單位：）符合正態(tài)分布可知，故
,故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，顯然正確；
對于D項(xiàng)，因,
故1000個(gè)使用該器材的人中，配重超過的約有人，故D項(xiàng)錯誤.
故選：BC.
7.（2024春·河北滄州·一模）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現(xiàn)有完全相同的甲 乙兩個(gè)小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個(gè)小球，其中甲盒中有8個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙盒中有3個(gè)黑球和7個(gè)白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個(gè)盒子中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，再從選中的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進(jìn)行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球；方案二，從另外一個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．
(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計(jì)算，說明選擇哪個(gè)方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依據(jù)以上分析，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.
【答案】(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【詳解】（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，
“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，
所以試驗(yàn)一次結(jié)果為白球的概率為，
所以，
所以選到的袋子為甲盒的概率為.
（2）①
所以方案一中取到黑球的概率為：，
方案二中取到黑球的概率為：，
因?yàn)?，所以方案二中取到黑球的概率更?
②隨機(jī)變量的值為，
依據(jù)以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.
8．（2024·福建·模擬預(yù)測）11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立.已知第一局目前比分為10∶10.
(1)求再打兩個(gè)球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比賽甲獲勝的概率；
(3)現(xiàn)用估計(jì)每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.
【答案】(1)分布列見解析，均值
(2)
(3)
【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為
設(shè)打成后甲先發(fā)球?yàn)槭录瑒t乙先發(fā)球?yàn)槭录遥?br/>所以，
.
所以的分布列為
0 1 2
故的均值為.
（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則.
由（1）知，，
由全概率公式，得
解得，即第一局比賽甲獲勝的概率.
（3）由（2）知，故估計(jì)甲每局獲勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，
設(shè)甲獲勝時(shí)的比賽總局?jǐn)?shù)為，因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，
所以的所有可能取值為，
因此可得；
故該場比賽甲獲勝的概率.
9．（2024春·陜西寶雞·二模）目前，隨著人們的生活節(jié)奏的加快，人們出行時(shí)乘坐的交通工具也逐漸多樣化．某公司為了了解員工上個(gè)月上、下班時(shí)兩種交通工具乘坐情況，從全公司所有的員工中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中兩種交通工具都不乘坐的有5人，樣本中僅乘坐和僅乘坐的員工月交通費(fèi)用分布情況如下：
交通費(fèi)用（元） 交通工具 大于600
僅乘坐 18人 9人 3人
僅乘坐 10人 14人 1人
(1)從全公司員工中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該員工上個(gè)月兩種交通工具都乘坐的概率；
(2)從樣本中僅乘坐和僅乘坐的員工中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月交通費(fèi)用大于400元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)已知上個(gè)月樣本中的員工乘坐交通工具方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本中僅乘坐的員工中隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月交通費(fèi)用都大于600元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中僅乘坐的員工中本月交通費(fèi)用大于600元的人數(shù)有變化？請說明理由．
【答案】(1).
(2)分布列見解析，.
(3)見解析
【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得僅乘坐的人數(shù)為，
僅乘坐的人數(shù)為人，兩種交通工具都不乘坐的有5人，
故都乘坐的人數(shù)為，
故從全公司員工中隨機(jī)抽取1人，
估計(jì)該員工上個(gè)月兩種交通工具都乘坐的概率為.
（2）樣本中從僅乘坐的人任選一人，上個(gè)月交通費(fèi)用大于400元的概率為，
樣本中從僅乘坐的人任選一人，上個(gè)月交通費(fèi)用大于400元的概率為，
的所有可能取值為，
故，
，
，
故的分布列為：
故.
（3）記事件為“從樣本中僅乘坐的員工中隨機(jī)抽查3人，交通費(fèi)用都大于600”，
由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)可得，
結(jié)論1：可以認(rèn)為有變化，
因?yàn)楹苄。怕屎苄〉氖录话悴蝗菀装l(fā)生，一旦發(fā)生，就可以認(rèn)為樣本中僅乘坐的員工中本月交通費(fèi)用大于600元的人數(shù)有變化.
結(jié)論2：無法確定有沒有變化，
因?yàn)槭录请S機(jī)事件，很小，一般不容易發(fā)生，但還是有發(fā)生的可能，所以無法確定有沒有變化.
10．（2024春·北京豐臺·一模）某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗(yàn)．將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A，第2組注射藥物B．試驗(yàn)結(jié)果如下表所示．
皰疹面積（單位：）
第1組（只） 3 4 1 2 0
第2組（只） 1 3 2 3 1
(1)現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于的概率；
(2)從兩組皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)，“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)（），寫出方差，的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【詳解】（1）記被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于為事件，
其中從第1組中選出的只白鼠皮膚皰疹面積小于的概率為，
從第組中選出的只白鼠皮膚皰疹面積小于的概率為，
所以.
（2）依題意的可能取值為、、，
且，，，
所以的分布列為：
所以.
（3）依題意可得，，
所以，所以，
又，，
所以，
所以，
所以.
11．（2024春·重慶·模擬預(yù)測）甲、 乙兩同學(xué)參加趣味數(shù)學(xué)對抗賽，比賽規(guī)則：兩人輪流作答且每題僅一人作答，每答一次視為一輪比賽；答正確一方積分加2分，另一方積分加0分；答錯誤一方積分加0分，另一方積分加2分； 一方比另一方積分多6分或進(jìn)行了7輪比賽，對抗賽結(jié)束； 結(jié)束時(shí)積分多者獲勝. 已知甲、乙每次作答正確的概率都是 ，且每次作答是否正確相互獨(dú)立.
(1)求甲恰在第5輪比賽后獲勝的概率；
(2)設(shè)表示對抗賽結(jié)束時(shí)比賽進(jìn)行輪數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 .
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）因?yàn)榈谳啽荣惡蠹住⒁夜灿蟹e分分，由題意可知甲積分，
故前輪必須恰有輪為乙積分，另輪甲積分，第輪和第輪都必須是甲積分，
甲一輪積分為分的概率為，故概率為，
所以甲恰在第5輪比賽后獲勝的概率；
（2）依題意只能為、、，
當(dāng)時(shí)，甲、乙各自獲勝的概率為，即；
當(dāng)時(shí)，由（1）得甲獲勝的概率為，由每輪甲、乙積分的概率相等，故，
所以，
所以的分布列為：
3 5 7
所以．
12.（2024春·福建莆田·二模）某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．
(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)；
附：若，則．
(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．
①求顧客獲得乙獎品的概率；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．
【答案】(1)16372 (2)①；②
【詳解】（1）由題意
，
若某天該商場有20000位顧客，
估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為；
（2）設(shè)事件“顧客中龍騰獎”， 事件“顧客中旺旺獎”， 事件“顧客獲得乙獎品”，
由題意知，
事件包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，
則（i）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”， “1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”， “2點(diǎn)，2點(diǎn)，2點(diǎn)”，三類情況，
共有種；
（ii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”， “2點(diǎn)，5點(diǎn)，5點(diǎn)”， “2點(diǎn)，4點(diǎn)，6點(diǎn)”， “3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)”， “3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”， “4點(diǎn)，4點(diǎn)，4點(diǎn)”，六類情況，
共有種；
（iii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則有“6點(diǎn)，6點(diǎn)，6點(diǎn)”，一類情況，
共有1種；
所有，
①由全概率公式可得，
即顧客獲得乙獎品的概率為；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是，
所以顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是.2024屆新高考二輪復(fù)習(xí)第十二講：計(jì)數(shù)原理、概率和隨機(jī)變量及其分布
1.（5）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A. 20種 B. 16種 C. 12種 D. 8種
2.（16）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．
（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；
（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
題型一：排列、組合
【典例例題】
例1.（2024春·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)） 2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會已在浙江杭州成功舉辦.現(xiàn)知某電視臺在亞運(yùn)會期間某段時(shí)間連續(xù)播放了5個(gè)廣告其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的亞運(yùn)宣傳廣告，其中最后播放的是亞運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)亞運(yùn)宣傳廣告沒有相鄰播放，則不同的播放方式有（ ）
A. 120種 B. 48種 C. 36種 D. 18種
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·新高考）“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（ ）
A．90 B．180 C．220 D．360
2.（2024春春·江西?。⒓?、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場館進(jìn)行冬奧會的志愿服務(wù)，每個(gè)場館不能少于2人，則不同的安排方法有（ ）
A．2720 B．3160 C．3000 D．2940
3.（2024春·湖北?。┬∶鲗?，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)敒為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
4.（2024春·河南信陽聯(lián)考） 將編號為1，2，3，4的四個(gè)小球全部放入甲、乙兩個(gè)盒子內(nèi)，若每個(gè)盒子不空，則不同的方法總數(shù)有______種．（用數(shù)字作答）
題型二：二項(xiàng)式定理
【典例例題】
例1.（2024春·湖南長沙）（多選）關(guān)于二項(xiàng)式的展開式，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B. 展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為
C. 展開式中第5項(xiàng)為 D. 展開式中不含常數(shù)項(xiàng)
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·湖北武漢聯(lián)考） 的展開式中的系數(shù)為，則的值為______.
2.（2024春·廣州鐵一中學(xué)高三第二次調(diào)研）寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為______.
3.（2024春·江西南昌一模）的展開式中的系數(shù)是______．
4.（2024春·廣西桂林聯(lián)考）已知，則__________.（用數(shù)字作答）
5.（2024春·廣東東莞聯(lián)考）的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
題型三：概率
【典例例題】
例1.（2024春·福建福州一模）（多選）深圳某中學(xué)社團(tuán)招新活動開展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學(xué)計(jì)劃籃球社、足球社、羽毛球社三個(gè)社團(tuán)中各自任選一個(gè)，每人選擇各社團(tuán)的概率均為 ，且每人選擇相互獨(dú)立，則（ ）
A. 三人選擇社團(tuán)一樣的概率為
B. 三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為
C. 至少有兩人選擇籃球社的概率為
D. 在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為
例2.（2024春·廣州鐵一中學(xué)高三第二次調(diào)研）（多選）已知事件A，B滿足，，則（ ）
A 若，則 B. 若A與B互斥，則
C. 若A與B相互獨(dú)立，則 D. 若，則A與B相互獨(dú)立
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·吉林長春一模）一袋中裝有大小 質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·廣東惠州市聯(lián)考）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
3.（2024春·河北衡水一模）（多選）已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，，，則（ ）
A. B.
C. 若A，B獨(dú)立，則 D. 若A，B互斥，則
4.（2024春·廣東省東莞市一模）用試劑檢驗(yàn)并診斷疾病，表示被檢驗(yàn)者患疾病，表示判斷被檢驗(yàn)者患疾病．用試劑檢驗(yàn)并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實(shí)患疾病的概率______________．
題型四：隨機(jī)變量及其分布列
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省華附、深中、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考）3月14日為國際數(shù)學(xué)日，也稱為節(jié)，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中一項(xiàng)活動是“數(shù)學(xué)知識競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)班級派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲 乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲 乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.
（1）若高三（6）班獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）已知甲 乙兩個(gè)小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進(jìn)行，搶到并答對一題得100分，答錯一題扣100分，得分高的獲勝.假設(shè)這兩組在決賽中對每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲 乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是，假設(shè)每道題搶與答的結(jié)果均互不影響，求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·江西南昌一模）魔方是民間益智玩具，能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，鍛煉眼腦的協(xié)調(diào)性，全面提高專注力、觀察力、反應(yīng)力.基于此特點(diǎn)某小學(xué)開設(shè)了魔方興趣班，共有100名學(xué)生報(bào)名參加，在一次訓(xùn)練測試中，老師統(tǒng)計(jì)了學(xué)生還原魔方所用的時(shí)間（單位：秒），得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
時(shí)間 人數(shù) 年級
低年級 2 8 12 14 4
高年級 10 22 16 10 2
（1）估計(jì)這100名學(xué)生這次訓(xùn)練測試所用時(shí)間的第78百分位數(shù)；
（2）在這次測試中，從所用時(shí)間在和內(nèi)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，記抽到低年級學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
2.（2024春·黑龍江聯(lián)考）杭州亞運(yùn)會的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個(gè)30元．
（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個(gè)盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；
（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個(gè)，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個(gè)盲盒？
題型五：二項(xiàng)分布、超幾何分布
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省華附、深中、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考）在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.
（1）求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；
（2）若抽4次，抽到道代數(shù)題，求隨機(jī)變量的分布列和期望.
記表示事件“第次抽到代數(shù)題”，.
例2.（2024春·陜西西安一模）已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學(xué)生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜歡羽毛球 0.3 0.3
只喜歡乒乓球 0.25 0.2
既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球 0.3 0.15
（1）從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；
（2）從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·新疆烏魯木齊一模）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動，記錄他們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（2）現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．
（ⅰ）記這3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．
2.（2024春·廣東省東莞市聯(lián)考）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量（）；③記隨機(jī)變量，利用的期望和方差進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．
（1）已知，，證明：，；
（2）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為（），并計(jì)算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．
（?。┱堄煤头謩e代替和，估算和；
（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．
題型六：正態(tài)分布
【典例例題】
例1.（2024春·江蘇·一模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；
(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．
附：若，取，．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·福建泉州·模擬預(yù)測）中心極限定理是概率論中的一個(gè)重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機(jī)變量，則當(dāng)且時(shí)，可以由服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（ ）
附：若：，則，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
2.（2024春·四川瀘州·二模）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有如下結(jié)論：若，從的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量．據(jù)傳德國數(shù)學(xué)家希爾伯特喜歡吃披薩．他每天都會到同一家披薩店購買一份披薩．該披薩店的老板聲稱自己所出售的披薩的平均質(zhì)量是500g，上下浮動不超過25g，這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)披薩的質(zhì)量服從期望為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為25g的正態(tài)分布．
(1)假設(shè)老板的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買份披薩，記這份披薩的平均值為，利用上述結(jié)論求；
(2)希爾伯特每天都會將買來的披薩稱重并記錄，天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算得到份披薩質(zhì)量的平均值為，希爾伯特通過分析舉報(bào)了該老板．試從概率角度說明希爾伯特舉報(bào)該老板的理由．
附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；
②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生．
3．（2024春·湖南邵陽·二模）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學(xué)對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進(jìn)行了檢測（檢測分為初試和復(fù)試），共有4萬名學(xué)生參加初試.組織者隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數(shù)的估計(jì)值；
(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，.規(guī)定初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；
(3)復(fù)試筆試試題包括兩道數(shù)學(xué)題和一道物理題，已知小明進(jìn)入了復(fù)試，且在復(fù)試筆試中答對每一道數(shù)學(xué)題的概率均為，答對物理題的概率為.若小明全部答對的概率為，答對兩道題的概率為，求概率的最小值.
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.
1.（2024春·廣東聯(lián)考）在二項(xiàng)式的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)恰是所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和的5倍，則實(shí)數(shù)a的值為______．（用數(shù)字作答）
2.（2024春·湖南長沙一模）若，且，則的值為______.
3.（2024春·福建廈門一模）的展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
4.（2024春·廣東深圳市寶安區(qū)聯(lián)考）為了檢查學(xué)生的身體素質(zhì)情況，從田徑類3項(xiàng)，球類2項(xiàng)，武術(shù)類2項(xiàng)共7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)進(jìn)行測試，則恰好抽到兩類項(xiàng)目的概率是__________.
5.（2024春·湖北武漢一模）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有___________種不同的選法
6.（2024春·新疆·二模）（多選）坐式高拉訓(xùn)練器可以鍛煉背闊肌，斜方肌下束.小明是一個(gè)健身愛好者，他發(fā)現(xiàn)健身房內(nèi)的坐式高拉訓(xùn)練器鍛煉人群的配重（單位：）符合正態(tài)分布，下列說法正確的是（ ）
參考數(shù)據(jù)：，
A．配重的平均數(shù)為
B．
C．
D．1000個(gè)使用該器材的人中，配重超過的有135人
7.（2024春·河北滄州·一模）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現(xiàn)有完全相同的甲 乙兩個(gè)小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個(gè)小球，其中甲盒中有8個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙盒中有3個(gè)黑球和7個(gè)白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個(gè)盒子中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，再從選中的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進(jìn)行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球；方案二，從另外一個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．
(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計(jì)算，說明選擇哪個(gè)方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依據(jù)以上分析，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.
8．（2024·福建·模擬預(yù)測）11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立.已知第一局目前比分為10∶10.
(1)求再打兩個(gè)球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比賽甲獲勝的概率；
(3)現(xiàn)用估計(jì)每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.
9．（2024春·陜西寶雞·二模）目前，隨著人們的生活節(jié)奏的加快，人們出行時(shí)乘坐的交通工具也逐漸多樣化．某公司為了了解員工上個(gè)月上、下班時(shí)兩種交通工具乘坐情況，從全公司所有的員工中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中兩種交通工具都不乘坐的有5人，樣本中僅乘坐和僅乘坐的員工月交通費(fèi)用分布情況如下：
交通費(fèi)用（元） 交通工具 大于600
僅乘坐 18人 9人 3人
僅乘坐 10人 14人 1人
(1)從全公司員工中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該員工上個(gè)月兩種交通工具都乘坐的概率；
(2)從樣本中僅乘坐和僅乘坐的員工中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月交通費(fèi)用大于400元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)已知上個(gè)月樣本中的員工乘坐交通工具方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本中僅乘坐的員工中隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月交通費(fèi)用都大于600元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中僅乘坐的員工中本月交通費(fèi)用大于600元的人數(shù)有變化？請說明理由．
10．（2024春·北京豐臺·一模）某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗(yàn)．將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A，第2組注射藥物B．試驗(yàn)結(jié)果如下表所示．
皰疹面積（單位：）
第1組（只） 3 4 1 2 0
第2組（只） 1 3 2 3 1
(1)現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于的概率；
(2)從兩組皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)，“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在區(qū)間內(nèi)（），寫出方差，的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
11．（2024春·重慶·模擬預(yù)測）甲、 乙兩同學(xué)參加趣味數(shù)學(xué)對抗賽，比賽規(guī)則：兩人輪流作答且每題僅一人作答，每答一次視為一輪比賽；答正確一方積分加2分，另一方積分加0分；答錯誤一方積分加0分，另一方積分加2分； 一方比另一方積分多6分或進(jìn)行了7輪比賽，對抗賽結(jié)束； 結(jié)束時(shí)積分多者獲勝. 已知甲、乙每次作答正確的概率都是 ，且每次作答是否正確相互獨(dú)立.
(1)求甲恰在第5輪比賽后獲勝的概率；
(2)設(shè)表示對抗賽結(jié)束時(shí)比賽進(jìn)行輪數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 .
12.（2024春·福建莆田·二模）某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．
(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)；
附：若，則．
(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．
①求顧客獲得乙獎品的概率；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．

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