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2024年高考數學二輪復習專題-圓錐曲線
1.（2）橢圓的離心率為，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【詳解】由題意得，解得，
故選：A.
2. （8）設雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故選：D.
3. 已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．
（1）證明：直線過定點；
（2）設為直線與直線的交點，求面積的最小值．
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
【小問1詳解】
由，故，由直線與直線垂直，
故兩只直線斜率都存在且不為，
設直線、分別為、，有，
、、、，
聯立與直線，即有，
消去可得，，
故、，
則，
故，，
即，同理可得，
當時，
則，
即
，
由，即，
故時，有，
此時過定點，且該定點為，
當時，即時，由，即時，
有，亦過定點，
故直線過定點，且該定點為；
【小問2詳解】
由、、、，
則，由、，
故，
同理可得，聯立兩直線，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
過點作軸，交直線于點，則，
由、，
故，
當且僅當時，等號成立，
下證：
由拋物線的對稱性，不妨設，則，
當時，有，則點在軸上方，點亦在軸上方，
有，由直線過定點，
此時，
同理，當時，有點在軸下方，點亦在軸下方，
有，故此時，
當且僅當時，，
故恒成立，且時，等號成立，
故，
題型一：橢圓的方程
【典例例題】
例1.（2024春·新高考）（多選）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（ ）
A． B．的最大值為8
C．的取值范圍是 D．的取值范圍是
【答案】CD
【詳解】由橢圓定義得，，，A錯誤；
，當時取等號，B錯誤；
，設，則，，，
，由，得，C正確；
，，D正確.
故選：CD
【變式訓練】
1.（2024春·河南省）若橢圓和的方程分別為和（且）則稱和為相似橢圓．己知橢圓，過上任意一點P作直線交于M，N兩點，且，則的面積最大時，的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【詳解】當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，，
聯立，可得，
所以，
所以的面積為，
由，可得為的中點，所以，
因為點在橢圓上，所以，所以，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯立，消去得，，
，
設，，則，，
，
所以點坐標為，
因為點在橢圓上，所以，
因為原點到直線的距離為，
，
所以的面積為
，
綜上，，又，
又，
所以當時，的面積最大.
故選：B.
2.（2024春·湖南長沙）（多選）橢圓的標準方程為為橢圓的左、右焦點，點．的內切圓圓心為，與分別相切于點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】橢圓：，則，所以，
又，所以點再橢圓上，
連接，

則，故A不正確；
由橢圓的定義可得，
又的內切圓圓心為，所以內切圓半徑，
由于，
所以，
故，故C正確；
又，
所以，
則，所以，故D正確；
又，所以，
又，所以，即，故B正確.
故選：BCD.
題型二：橢圓的離心率
【典例例題】
例1.（2024·黑龍江）已知為橢圓上一點，分別為的左、右焦點，且，若外接圓半徑與其內切圓半徑之比為，則的離心率為 ．
【答案】
【詳解】由題意，在中，
所以其外接圓半徑，內切圓的半徑為，
故.
故答案為：
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省東莞）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在上，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.（2024春·湖北武漢）已知橢圓 的左右焦點為．直線與橢圓相交于兩點， 若， 且， 則橢圓的離心率為 ．
【答案】
【詳解】
由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，則，
由，得，
因為，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，
即橢圓的離心率.
故答案為：.
3.（2024春·廣東汕頭市）已知橢圓，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，直角邊與橢圓分別交于另外兩點．若這樣的有且僅有一個，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【詳解】不妨設直線，則直線，
聯立方程得，得，
，用代替得，
．
由，得，
該方程關于已有一解，由于符合條件的有且僅有一個，
關于的方程無實數解或有兩個相等的實數解．
當方程無實數解時，，解得；
當方程有兩個相等的實數解時，，解得，
，
則該橢圓的離心率．
故答案為：.
4.（2024春·河北）如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【詳解】設橢圓標準方程為，雙曲線的標準方程為，
則，由，，
所以，所以橢圓方程可化為，
由，兩式相減得，
，則，
根據對稱性可知關于原點對稱，關于軸對稱.
則，
直線的方程為.
將代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以雙曲線方程可化為，
由消去并化簡得，
設，解得，所以，
所以.
故選：B
題型三：雙曲線的方程
【典例例題】
例1.如圖，加斯帕爾·蒙日是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點的軌跡方程為圓，該圓稱為外準圓，也叫蒙日圓．則雙曲線 的蒙日圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設兩條互相垂直的切線的交點為，
由題可知，雙曲線上兩條互相垂直的切線的斜率均存在且均不為0，
設過點且與曲線相切的一條切線方程是，，
由得，
，
則，即，
整理得，，
因為過點有兩條直線與曲線相切，
所以，且，即，則，
得，
又因為過點的這兩條切線互相垂直，
所以，
即，
故該雙曲線的蒙日圓方程為：，半徑為，
所以該雙曲線蒙日圓的面積為，
故選：B．
【變式訓練】
1.（2024春·廣西桂林）已知雙曲線，直線與雙曲線相切于點，與兩條漸近線相交于，兩點，則此時三角形（O為原點）的面積為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【詳解】由消去并整理得，顯然，
則，解得，由對稱性，不妨取，
直線，而雙曲線的漸近線方程為，
由消去并整理得，設，
則，直線交y軸于點，所以三角形的面積為：
.
故選：B
2．（2024春·河北）已知雙曲線的離心率為2，左 右頂點分別為，右焦點為，是上位于第一象限的兩點，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設雙曲線的焦距為，左焦點為，離心率，
則，
由余弦定理得，所以，
又，所以，
設，則，，
所以，所以，
，
故選：D．
3.（2024春·四川成都）若雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點，已知的斜率為，，且，，則直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設，則，如下圖所示：
由雙曲線定義，得；
在中，由余弦定理，得，
即，解得.
在中，由余弦定理，得，
即，解得雙曲線離心率.
令，則，
所以，設直線，
聯立雙曲線和直線整理可得，
則；
由，得，解得，
所以.
故選：A
題型四：雙曲線的離心率
【典例例題】
例1.（2024春·江西贛州）已知雙曲線的右焦點為F，過點F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D. 若，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設雙曲線的右焦點為，則直線，
聯立方程，消去y得：，
則可得，
則，
設線段的中點，則，
即，
且，線段的中垂線的斜率為，
則線段的中垂線所在直線方程為，
令，則，解得，
即，則，
由題意可得：，即，
整理得，則，
注意到雙曲線的離心率，
∴雙曲線的離心率取值范圍是.
故選：A.
【變式訓練】
1.（2024·吉林長春）已知雙曲線的左，右焦點分別為為右支上一點，的內切圓圓心為，直線交軸于點，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
如圖，分別過點和點作軸的垂線段,因，故易得：,
不妨設依題意得：①，由余弦定理：，
整理得：，將① 式代入得： ②，由①-②整理可解得：，
再將其代入② 式右邊，計算可得： ③
由題意，的面積為：，化簡得：，
將③ 式代入并整理得：，因，則離心率為：.
故答案為：.
2.（2024春·新高考）如圖，已知雙曲線的一條弦所在直線的傾斜角為，點關于原點的對稱點為，若，雙曲線的離心率為，則（ ）

A．3 B． C． D．4
【答案】C
【詳解】由題可知，弦所在直線的傾斜角為，，
則直線的傾斜角為，
.
設，則，
則，，兩式相減可得，
即，
即，則，
故，
故選：C.
3.（2024·新疆烏魯木齊）設雙曲線的左、右焦點分別為，，A是右支上一點，滿足，直線交雙曲線于另一點，且，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【詳解】
，則，
又，所以，
則，
，
又，所以三角形為直角三角形，
則,
即，
化為，
解得或者（舍），
此時，
在直角三角形中，,
即，所以，
所以.
故答案為：.

題型五：拋物線
【典例例題】
例1.（2024·安徽）（多選）設是坐標原點，拋物線的焦點為，點，是拋物線上兩點，且.過點作直線的垂線交準線于點，則（ ）
A．過點恰有2條直線與拋物線有且僅有一個公共點
B．的最小值為2
C．的最小值為
D．直線恒過焦點
【答案】BC
【詳解】
由拋物線的性質可知，過點會有3條直線與拋物線有且僅有一個公共點，其中2條直線與拋物線相切，1條斜率為零的直線與拋物線相交，故A錯；
設，，因為，所以，解得，
若，則或，此時,
當時，
直線的方程為，
所以直線恒過定點，故D錯；
設直線：，聯立得，，
則，，
，
所以當時，最小，最小為，故C正確；
因為，所以直線為，
聯立得，則，即為準線上的動點，
所以當點為時，最小，為2，故B正確.
故選：BC.
【變式訓練】
1.（2024春·黑龍江）圓心在拋物線上，且與直線相切的圓一定過的點是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：拋物線的標準方程為：，
拋物線的準線方程為，焦點為．
設動圓圓心為，則到的距離：．
動圓與直線相切，
到直線的距離為動圓半徑，即動圓半徑為，即為圓上的點．
此圓恒過定點．
故選：B．
2.（2024春·甘肅）已知過拋物線焦點的直線交于，兩點，點，在的準線上的射影分別為點，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【詳解】如圖，過點作，
由條件可知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，
由，，所以,
設直線的直線方程為，
聯立，得，
易知，則，
而，得.

故選：B
3．（2024春·新疆烏魯木齊）設拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與交于A，B兩點，以為直徑的圓與準線切于點，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由于以為直徑的圓與拋物線的準線相切，以為直徑的圓過點，
可知的中點的縱坐標為：2，
直線的方程為：，
則，可得，則中的縱坐標為：，解得，
該拋物線的方程為：．
故選：B．
4.（2024·貴州貴陽）（多選）已知拋物線的焦點為為坐標原點，其準線與軸交于點，經過點的直線與拋物線交于不同兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以為直徑且經過焦點的圓
D．當的面積為時，直線的傾斜角為或
【答案】AD
【詳解】對A，由題意得，準線方程為，則，
顯然當直線的斜率為0，即直線的方程為，此時不合題意，
設直線的方程為，
聯立拋物線方程，得，，解得或，
，，，，則，，則，
，，
則，A正確；
對B，當直線與拋物線相切時，最大，則，解得，
根據拋物線對稱性取分析：
此時直線方程為，此時直線斜率為1，則，因此不存在，B錯誤；
對C，假設存在以為直徑且經過焦點的圓，則，
，則，
即，,
即，即，，滿足或，
即存在以為直徑且經過焦點的圓，C錯誤；
對D，，，
此時直線斜率為，則直線的傾斜角為或，故D正確.
故選：AD.
題型六：直線與圓錐曲線的位置關系
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省深圳外國語學校、執信中學）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，是橢圓上的點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設為的左頂點，過的直線交橢圓于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，是線段的中點，在軸上求出一定點，使得.
【答案】（1） （2）
【解析】
【小問1詳解】
解：由橢圓過可得，可得，
又因為，解得，，所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
解：設點、，易知點、，
若直線與軸重合，則、中必有一點與點重合，不合乎題意，
設直線的方程為，
聯立可得，
，
由韋達定理可得，，
直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
同理可得點，則中點.
因為，則點是在以為直徑的圓上，
以為直徑圓的方程為，
在圓的方程中，令，得，
.
所以，即，
又因為，
所以，即，解得，
所以點坐標為.
【變式訓練】
1.（2024春·廣州市華南師大附中第一次調研）已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點M，l與C交于A，B兩點，D是A關于y軸的對稱點．當M與原點O重合時，面積為．
(1)求C的方程；
(2)當M異于O點時，記直線與y軸交于點N，求周長的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當M與原點O重合時，可設，則有、，
且，即有,
則，
即，又，故，則，
即有，由離心率為，即，
則，故，即有，
解得，故，即C的方程為；
（2）設直線方程為，令，有，即，
設點、，則，
聯立直線與橢圓方程：，消去有，
，即，
有，，
為，
令，故，
由，故，
其中，即，
則
，
當且僅當時等號成立，
故周長的最小值為.
2.（2024春·廣東惠州）已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到焦點的最長距離為．
（1）求橢圓的方程：
（2）直線（不過原點）與拋物線相交于兩點，以為直徑的圓經過原點，且此直線也與橢圓相交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.
【答案】（1）
（2）面積的最大值是，此時的方程為．
【解析】
【小問1詳解】
設橢圓上的點坐標為，，右焦點，
則點D到焦點距離為
，
當時，取得最大值，
由題意知：∴，
∴橢圓C的方程為；
【小問2詳解】
顯然，直線的斜率存在，設直線方程為，
，，，，
聯立直線與拋物線方程得：
，
以為直徑的圓經過原點，則，
或（舍去），所以直線的方程為：，
聯立直線與橢圓方程得：，，
，
法一：設直線與軸的交點為，.
法二：設直線與軸的交點為，
，
法三：原點到直線的距離為，所以，
其中，令，．∴，
當且僅當時等號成立，此時，且滿足，
∴面積最大值是，此時的方程為．
3.（2024春·廣東廣州市）在平面直角坐標系中，點，點是平面內的動點.若以PF為直徑的圓與圓內切，記點P的軌跡為曲線E．
（1）求E的方程；
（2）設點，，，直線AM，AN分別與曲線E交于點S，T（S，T異于A），，垂足為H，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小問1詳解】
設，則的中點，
根據題意得，即，
整理得，
化簡得點的軌跡方程
【小問2詳解】
設，先證直線恒過定點，理由如下：
由對稱性可知直線的斜率不為0，所以可設直線，
聯立直線與，,
則，①
，②
所以，令，得點橫坐標，
同理可得點橫坐標，
故，
將代入上式整理得：
，
將②代入得，
若，則直線，恒過不合題意；
若，則，恒過，
因為直線恒過，且與始終有兩個交點，
又，，垂足為H，
所以點H軌跡是以為直徑的半圓（不含點，在直線下方部分），
設中點為C，則圓心，半徑為1，
所以，當且僅當點H在線段上時，
所以的最小值為.
4.（2024春·河北廊坊）已知拋物線C：的焦點為F，圓M：．點是拋物線C上一點，
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若點P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求面積的最大值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【小問1詳解】
由拋物線C：過點，得，解得，
所以拋物線C的標準方程是.
【小問2詳解】
由（1）知，拋物線C的方程為，即，求導得，
設點，則，
直線的方程為，整理得，
同理，直線PB的方程為，
顯然點P為這兩條直線的公共點，則，
則點A、B的坐標滿足方程，于是直線的方程為，
由消去y并整理得，
由，得，解得，
因此，，
則，
點P到直線AB的距離為，
于是，
而，
而，則當時，，，
所以的面積取最大值是.
題型七：圓錐曲線新穎題型
【典例例題】
例1.（2024春·廣東汕頭）已知點為雙曲線上的動點.
(1)判斷直線與雙曲線的公共點個數，并說明理由；
(2)（i）如果把（1）的結論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應的結論？請寫出你的結論，不必證明；
（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點，直線：與的兩條漸近線分別交于點，則為線段的中點.
【答案】
【詳解】（1）由點在雙曲線上，得，即
由消去y得：，
則，顯然，
所以該直線與雙曲線有且只有1個公共點.
（2）（i）由（1）知，直線與雙曲線相切于點，
所以過雙曲線上一點的切線方程為.證明如下：
顯然，即，
由消去y得：，
于是，
因此直線與雙曲線相切于點，
所以過雙曲線上一點的切線方程為.
（ii）當時，直線的斜率不存在，由對稱性知，點為線段的中點；
當時，設，線段的中點，
由消去y得：，
由，得，則，
又，于是，即點與點重合，
所以點為線段的中點.
【變式訓練】
1.（2024春·四川雅安）我們把形如和的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線．設共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可知則．
由，可設，
則，其中，
當，即時，取得最大值，
此時．
故選：A.
2.（2024春·安徽合肥）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點分別為橢圓的左 右頂點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設過點的動直線交雙曲線右支于兩點，若直線的斜率分別為.
（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；
（ii）求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)（i）為定值，（ii）
【詳解】（1）由題意可設雙曲線，則，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）（i）設，直線的方程為，
由，消元得.
則，且，
，

或由韋達定理可得，即,
，
即與的比值為定值.
（ii）方法一：設直線，
代入雙曲線方程并整理得，
由于點為雙曲線的左頂點，所以此方程有一根為，.
由韋達定理得：，解得.
因為點A在雙曲線的右支上，所以，解得，
即，同理可得，
由（i）中結論可知，
得，所以，
故，
設，其圖象對稱軸為，
則在上單調遞減，故，
故的取值范圍為；
方法二：由于雙曲線的漸近線方程為，
如圖，過點作兩漸近線的平行線，由于點A在雙曲線的右支上，
所以直線介于直線之間（含軸，不含直線），

所以.
同理，過點作兩漸近線的平行線，
由于點在雙曲線的右支上，
所以直線介于直線之間（不含軸，不含直線），

所以.
由（i）中結論可知，
得，所以,
故.
3.（2024春·安徽黃山）如圖，已知曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以原點O為中心，為焦點的雙曲線的一部分，A是曲線和曲線的交點，且為鈍角，我們把曲線和曲線合成的曲線C稱為“月蝕圓”．設.

(1)求曲線和所在的橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)過點作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點，記G為CD的中點，H為BE的中點．問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)橢圓所在的標準方程為，雙曲線所在的標準方程為
(2)是定值，為，理由見解析
【詳解】（1）設橢圓所在的標準方程為，
雙曲線所在的標準方程為，
因為，
所以可得，，
解得，，
所以橢圓所在的標準方程為，雙曲線所在的標準方程為；
（2）是定值，為，理由如下，
由（1）橢圓所在的標準方程為，雙曲線所在的標準方程為，
因為直線與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點，所以直線的斜率不為0，
設直線的方程為，，
雙曲線的漸近線方程為，所以，
可得，，
直線的方程與橢圓方程聯立，整理得
，
所以，
所以，
直線的方程與雙曲線方程聯立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，
所以是定值.
一、單項選擇
1.（2024春·江西省）橢圓與橢圓的（ ）
A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【詳解】橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，
橢圓的長軸長為，短軸長為，
焦距為，離心率為，
所以，兩橢圓的焦距相等，長軸長不相等，短軸長不相等，離心率也不相等.
故選：D.
2．（2024春·廣東深圳）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，經過的直線交雙曲線的左支于，，的內切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【詳解】設內切圓的半徑為，
由，即，則,
設，則，則，
由，即，
則，則，
，則，故，同理得，
故，故，
則，
故，則，
則.
故選：A

3.（2024春·內蒙古赤峰）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，與的兩條漸近線分別交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
設直線方程為，因為漸近線方程為，聯立兩方程解得，
因為，所以，即，
化簡可得，
所以離心率，
故選：B.
3.（2024春·天津）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點，且（為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設雙曲線焦距為，則、，
不妨設漸近線的方程為，如圖：

因為直線與直線垂直，則直線的方程為，
聯立可得，即點，
所以，，
因為，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故該雙曲線的漸近線方程為.
故選：D.
二、多項選擇
4．（2024春·遼寧）已知拋物線的焦點為，為坐標原點，傾斜角為的直線過點且與交于，兩點，若的面積為，則 （ ）
A． B．
C．以為直徑的圓與軸僅有個交點 D．或
【答案】AC
【詳解】依題意，設直線，，，
由，整理得，則，
所以，，所以，
解得，所以，又，解得，
所以，又，所以，故A正確；
因為，故B錯誤；
因為，又線段的中點到軸的距離為，
所以以為直徑的圓與軸相切，即僅有個交點，故C正確；
因為，若，則，解得或；
若，則，解得或；
即、或、，
所以或，故D錯誤.
故選：AC
5.（2024春·山東日照）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點E，F（E，F是截口橢圓C的焦點）．設圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（ ）
A．橢圓C的中心不在直線上 B．
C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為
D．橢圓C的離心率為
【答案】ACD
【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，
得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，
點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，
可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A正確；
橢圓長軸長，
過作于D，連，顯然四邊形為矩形，
又，
則，
過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，
橢圓焦距，故B錯誤；
所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；
所以橢圓的離心率，故D正確；
故選：ACD.
6.（2024春·廣東廣州）雙曲線具有如下性質：雙曲線在任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.設為坐標原點，雙曲線的左右焦點分別為，右頂點到一條漸近線的距離為2，右支上一動點處的切線記為，則（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率為
C．當軸時，
D．過點作，垂足為
【答案】ACD
【詳解】對于A，由雙曲線可知，右頂點，
其漸近線方程為，右頂點到一條漸近線的距離為2，
不妨取漸近線，則，解得，
故雙曲線的漸近線方程為，A正確；
對于B，由于，
故雙曲線的離心率為，B錯誤；
對于C，，當軸時，將代入中，
得，即得，
由于P在雙曲線右支上，故，C正確；
對于D，連接并延長交的延長線于E，
由題意知，為的角平分線，結合，
可知，K為的中點，而O為的中點，
故，D正確，
故選：ACD
8.（2024春·廣東東莞）已知雙曲線的左 右焦點分別為為坐標原點，直線與雙曲線的漸近線交于點（在第二象限，在第一象限），下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為4
D．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為8
【答案】AC
【詳解】由于雙曲線的漸近線方程為，所以，,
故，點在以為圓心，為半徑的圓上，所以，A正確.
，直線的斜率為，直線的斜率為
由于與不一定相等，所以直線與直線不一定平行，B錯誤.
的面積為，雙曲線的焦距為
，當且僅當時，等號成立，
所以雙曲線的焦距的最小值為正確，錯誤.
故選：AC

簡答題
9.（2024春·廣東惠州市）如圖，已知半圓C1：與x軸交于A、B兩點，與y軸交于E點，半橢圓C2：的上焦點為F，并且是面積為的等邊三角形，將由C1、C2構成的曲線，記為“Γ”．
（1）求實數a、b的值；
（2）直線l：與曲線Γ交于M、N兩點，在曲線Γ上再取兩點S、T（S、T分別在直線l兩側），使得這四個點形成的四邊形MSNT的面積最大，求此最大面積；
（3）設點，P是曲線Γ上任意一點，求的最小值．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【小問1詳解】
如圖1所示，
由等邊的面積為，所以，
解得，所以，
又，解得，即；
【小問2詳解】
如圖2所示，
設點N在半圓上，且在第三象限內，M在半橢圓上，且在第一象限內，
由，解得，
由，解得；
所以；
設S在半圓上，且在第二象限，，S到直線MN的距離為d，
，
則，T到直線MN的最大距離為1，
所以四邊形MSNT的面積最大值為
；
【小問3詳解】
如圖3所示，
當時，；
當時，設是半橢圓上的點，由得.
此時
若，則，在上單調遞減，在上單調遞增，
故當時,；
若，則，在上單調遞減，
故當時，；
綜上所述，
10. （2024春·廣東省潮州市） 設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.
（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；
（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).
【解析】
【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓定義求方程；（Ⅱ）把面積表示為關于斜率k的函數，再求最值．
試題解析：（Ⅰ）因為，，故，
所以，故.
又圓的標準方程為，從而，所以.
由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：
（）.
（Ⅱ）當與軸不垂直時，設的方程為，，.
由得.
則，.
所以.
過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以
.故四邊形面積
.
可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.
當與軸垂直時，其方程為，，，四邊形面積為12.
綜上，四邊形面積的取值范圍為.
11.（2024春·廣東省深圳市龍崗區）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點，．當時，的面積為5．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若直線與軸交于點，且，，求證：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【詳解】（1）當時，，，
可得．
由雙曲線的定義可知，，
兩邊同時平方可得，，
所以．①
又雙曲線的離心率為，所以．②
由①②可得，，，所以，
所以雙曲線的標準方程為．
（2）當直線與軸垂直時，點與原點重合，
此時，，，所以，，．
當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，，，
由題意知且，
將直線的方程與雙曲線方程聯立，消去得，，
則，，．
易知點的坐標為，
則由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
綜上，為定值．2024年高考數學二輪復習專題-圓錐曲線
1.（2）橢圓的離心率為，則（ ）
A. B. C. D. 2
2. （8）設雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．
（1）證明：直線過定點；
（2）設為直線與直線的交點，求面積的最小值．
題型一：橢圓的方程
【典例例題】
例1.（2024春·新高考）（多選）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（ ）
A． B．的最大值為8
C．的取值范圍是 D．的取值范圍是
【變式訓練】
1.（2024春·河南省）若橢圓和的方程分別為和（且）則稱和為相似橢圓．己知橢圓，過上任意一點P作直線交于M，N兩點，且，則的面積最大時，的值為（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖南長沙）（多選）橢圓的標準方程為為橢圓的左、右焦點，點．的內切圓圓心為，與分別相切于點，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二：橢圓的離心率
【典例例題】
例1.（2024·黑龍江）已知為橢圓上一點，分別為的左、右焦點，且，若外接圓半徑與其內切圓半徑之比為，則的離心率為 ．
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省東莞）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在上，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖北武漢）已知橢圓 的左右焦點為．直線與橢圓相交于兩點， 若， 且， 則橢圓的離心率為 ．
3.（2024春·廣東汕頭市）已知橢圓，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，直角邊與橢圓分別交于另外兩點．若這樣的有且僅有一個，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．
4.（2024春·河北）如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（ ）
A. 2 B. C. D. 4
題型三：雙曲線的方程
【典例例題】
例1.如圖，加斯帕爾·蒙日是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點的軌跡方程為圓，該圓稱為外準圓，也叫蒙日圓．則雙曲線 的蒙日圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】
1.（2024春·廣西桂林）已知雙曲線，直線與雙曲線相切于點，與兩條漸近線相交于，兩點，則此時三角形（O為原點）的面積為（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024春·河北）已知雙曲線的離心率為2，左 右頂點分別為，右焦點為，是上位于第一象限的兩點，，若，則（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·四川成都）若雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點，已知的斜率為，，且，，則直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
題型四：雙曲線的離心率
【典例例題】
例1.（2024春·江西贛州）已知雙曲線的右焦點為F，過點F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D. 若，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】
1.（2024·吉林長春）已知雙曲線的左，右焦點分別為為右支上一點，的內切圓圓心為，直線交軸于點，則雙曲線的離心率為 .
2.（2024春·新高考）如圖，已知雙曲線的一條弦所在直線的傾斜角為，點關于原點的對稱點為，若，雙曲線的離心率為，則（ ）

A．3 B． C． D．4
3.（2024·新疆烏魯木齊）設雙曲線的左、右焦點分別為，，A是右支上一點，滿足，直線交雙曲線于另一點，且，則雙曲線的離心率為 ．
題型五：拋物線
【典例例題】
例1.（2024·安徽）（多選）設是坐標原點，拋物線的焦點為，點，是拋物線上兩點，且.過點作直線的垂線交準線于點，則（ ）
A．過點恰有2條直線與拋物線有且僅有一個公共點
B．的最小值為2
C．的最小值為
D．直線恒過焦點
【變式訓練】
1.（2024春·黑龍江）圓心在拋物線上，且與直線相切的圓一定過的點是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024春·甘肅）已知過拋物線焦點的直線交于，兩點，點，在的準線上的射影分別為點，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2024春·新疆烏魯木齊）設拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與交于A，B兩點，以為直徑的圓與準線切于點，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·貴州貴陽）（多選）已知拋物線的焦點為為坐標原點，其準線與軸交于點，經過點的直線與拋物線交于不同兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以為直徑且經過焦點的圓
D．當的面積為時，直線的傾斜角為或
題型六：直線與圓錐曲線的位置關系
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省深圳外國語學校、執信中學）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，是橢圓上的點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設為的左頂點，過的直線交橢圓于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，是線段的中點，在軸上求出一定點，使得.
【變式訓練】
1.（2024春·廣州市華南師大附中第一次調研）已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點M，l與C交于A，B兩點，D是A關于y軸的對稱點．當M與原點O重合時，面積為．
(1)求C的方程；
(2)當M異于O點時，記直線與y軸交于點N，求周長的最小值．
2.（2024春·廣東惠州）已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到焦點的最長距離為．
（1）求橢圓的方程：
（2）直線（不過原點）與拋物線相交于兩點，以為直徑的圓經過原點，且此直線也與橢圓相交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.
3.（2024春·廣東廣州市）在平面直角坐標系中，點，點是平面內的動點.若以PF為直徑的圓與圓內切，記點P的軌跡為曲線E．
（1）求E的方程；
（2）設點，，，直線AM，AN分別與曲線E交于點S，T（S，T異于A），，垂足為H，求的最小值．
4.（2024春·河北廊坊）已知拋物線C：的焦點為F，圓M：．點是拋物線C上一點，
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若點P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求面積的最大值．
題型七：圓錐曲線新穎題型
【典例例題】
例1.（2024春·廣東汕頭）已知點為雙曲線上的動點.
(1)判斷直線與雙曲線的公共點個數，并說明理由；
(2)（i）如果把（1）的結論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應的結論？請寫出你的結論，不必證明；
（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點，直線：與的兩條漸近線分別交于點，則為線段的中點.
【變式訓練】
1.（2024春·四川雅安）我們把形如和的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線．設共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
2.（2024春·安徽合肥）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點分別為橢圓的左 右頂點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設過點的動直線交雙曲線右支于兩點，若直線的斜率分別為.
（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；
（ii）求的取值范圍.
3.（2024春·安徽黃山）如圖，已知曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以原點O為中心，為焦點的雙曲線的一部分，A是曲線和曲線的交點，且為鈍角，我們把曲線和曲線合成的曲線C稱為“月蝕圓”．設.

(1)求曲線和所在的橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)過點作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點，記G為CD的中點，H為BE的中點．問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
一、單項選擇
1.（2024春·江西省）橢圓與橢圓的（ ）
A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等
2．（2024春·廣東深圳）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，經過的直線交雙曲線的左支于，，的內切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．2
3.（2024春·內蒙古赤峰）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，與的兩條漸近線分別交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·天津）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點，且（為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多項選擇
4．（2024春·遼寧）已知拋物線的焦點為，為坐標原點，傾斜角為的直線過點且與交于，兩點，若的面積為，則 （ ）
A． B．
C．以為直徑的圓與軸僅有個交點 D．或
5.（2024春·山東日照）如圖是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點E，F（E，F是截口橢圓C的焦點）．設圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（ ）
A．橢圓C的中心不在直線上 B．
C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為
D．橢圓C的離心率為
6.（2024春·廣東廣州）雙曲線具有如下性質：雙曲線在任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.設為坐標原點，雙曲線的左右焦點分別為，右頂點到一條漸近線的距離為2，右支上一動點處的切線記為，則（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率為
C．當軸時，
D．過點作，垂足為
8.（2024春·廣東東莞）已知雙曲線的左 右焦點分別為為坐標原點，直線與雙曲線的漸近線交于點（在第二象限，在第一象限），下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為4
D．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為8
簡答題
9.（2024春·廣東惠州市）如圖，已知半圓C1：與x軸交于A、B兩點，與y軸交于E點，半橢圓C2：的上焦點為F，并且是面積為的等邊三角形，將由C1、C2構成的曲線，記為“Γ”．
（1）求實數a、b的值；
（2）直線l：與曲線Γ交于M、N兩點，在曲線Γ上再取兩點S、T（S、T分別在直線l兩側），使得這四個點形成的四邊形MSNT的面積最大，求此最大面積；
（3）設點，P是曲線Γ上任意一點，求的最小值．
10. （2024春·廣東省潮州市） 設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.
（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；
（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
11.（2024春·廣東省深圳市龍崗區）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點，．當時，的面積為5．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若直線與軸交于點，且，，求證：為定值．

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