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2024年高考數(shù)學二輪復習專題-立體幾何
1. （4）設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.
【詳解】對于A，可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B，可能相交或平行，故B錯誤，對于D，可能相交或平行，故D錯誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，
故選：C
2.（13）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，
因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，
由題可知：，所以球的半徑
所以圓錐的體積為，
球的體積，
所以；
圓錐的表面積，
球的表面積，
所以，
故答案為：；.
3.（17）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析； （2）
【解析】
【小問1詳解】
連接，
因為底面是邊長為2的正方形，所以，
又因為，，
所以，所以，
點為線段中點，所以，
在中，，，
所以，
則，
又，平面，平面，
所以平面
【小問2詳解】
由題知正方形中，平面，所以建系如圖所示，
則，
則，
，
設(shè)面的法向量為，面的法向量為，
則，
，
設(shè)二面角大小，
則，
所以二面角的正弦值為.
題型一：空間幾何體的表面積和體積
【典例例題】
例1.（2024春·黑龍江齊齊哈爾）佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設(shè)計手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，側(cè)面積為，則該建筑的高為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知底面半徑和側(cè)面積，可求圓錐母線長，利用勾股定理求圓錐的高.
【詳解】設(shè)該建筑的母線長為，高為，則由其側(cè)面積為，可得，
解得，所以．
故選：C．
【變式訓練】
1.（2024春·新疆昌吉）如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔．塔頂可以看成一個正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐的一個側(cè)面與底面的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】塔頂是正四棱錐，如圖，是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長為，底面積為，
，，∴，是正三角形，面積為，
所以．
故選：D．
3．（2024春·江蘇蘇州）在梯形中，，以下底所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所得幾何體為圓柱與一個同底的圓錐的組合體，分別求出圓柱與圓錐的體積，從而得解.
【詳解】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱與一個同底的圓錐的組合體，如圖所示：
其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于，
圓柱的高等于，圓錐的高等于，
底面圓的面積為，
圓錐的體積為，圓柱的體積為，
所以所得幾何體的體積為．
故選：B.
4．（2024春·河北保定）如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有12行、122字銘文.銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國，自之辟民’”，其中宅茲中國為“中國”一詞最早的文字記載.“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的深度約為，上口的內(nèi)徑約為，圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為，則“何尊”的容積大約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可知圓臺的高為，
故組合體的體積大約為，
故選：C
題型二：外接球和內(nèi)切球
【典例例題】
例1.（2024春·新疆）將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點在同一球的球面上，則球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空間幾何體的外接球及球體表面積公式計算即可.
【詳解】
如圖所示取中點，連接，
根據(jù)題意易知，
又為等腰直角三角形，為等邊三角形，
所以可知，
易知點在直線上，設(shè)，球半徑為R，
所以，
故外接球的表面積為.
故答案為：
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省）已知是邊長為4的正三角形，是邊上的中線．現(xiàn)將沿折起，使二面角等于，則四面體外接球的表面積為 ．
【答案】
【詳解】因為是正三角形，且是邊上的中線，
所以，且，平面，
所以平面；
記的中點為，的外接圓圓心為，
過作平面的垂線，則球心在該垂線上，連接，
因為二面角等于，所以，
由正弦定理可知，所以，
由垂徑定理以及線面垂直的性質(zhì)易知四邊形是矩形，
所以，
所以，即外接球的半徑，
所以外接球的表面積為，
故答案為：.
2.（2024春·江西省）若體積為的正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，則該球體積的最小值為 ．
【答案】
【分析】求得外接球半徑的表達式，然后利用基本不等式求得半徑的最小值，進而求得體積的最小值.
【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為，連接，則平面，
設(shè)正三棱錐底面的邊長為，頂點到底面距離（體高）為，即，
所以，即．
正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，
即為正三棱錐的外接球，設(shè)其半徑為．等邊三角形外接圓半徑為，
根據(jù)對稱性知球心在正三棱錐的高上，設(shè)球心為，
則．
所以，
當且僅當時取得等號，此時球的體積最小，
最小值為．
故答案為：
3.（2024春·新疆烏魯木齊）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（ ）
A．該幾何體的頂點數(shù)為12
B．該幾何體的棱數(shù)為24
C．該幾何體的表面積為
D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項
【答案】ABD
【詳解】對于A，該幾何體的頂點是正方體各棱的中點，正方體有12條棱，所以該幾何體的頂點數(shù)為12，故A正確；
對于B，由題意知，該幾何體有6個面為正方形，故該幾何體的棱數(shù)為，故B正確；
對于C，該幾何體的棱長為，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，
所以該幾何體的表面積為，故C錯誤；
對于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，內(nèi)切球表面積為.
原正方體外接球的半徑為，外接球表面積為.
由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，
所以該幾何體外接球的表面積為.
因為，
所以該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項，故D正確.
故選:ABD.
4.（2024春·新高考模擬）中國古建筑聞名于世，源遠流長．如圖甲所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形為矩形，,,與都是邊長為2的等邊三角形，若點，，，，都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得且，分類討論當在線段上和在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可得球半徑的平方為，再用球的表面積公式計算即可.
【詳解】如圖，連接，，
設(shè)，因為四邊形為矩形，所以為矩形外接圓的圓心．
連接，則平面，
分別取，，的中點，，，
根據(jù)幾何體的對稱性可知，直線交于點．
連接PQ，則，且為的中點，
因為，所以，連接，，
在與，易知，所以梯形為等腰梯形，
所以，且．
設(shè)，球的半徑為，連接，，
當在線段上時，由球的性質(zhì)可知，易得，
則，此時無解．
當在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可知，，
解得，所以，
所以球的表面積.
故選：A．
題型三：點、直線與平面位置關(guān)系
【典例例題】
例1.（2024春江西省）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，是兩條不同的異面直線，，，，則 D．若，，則與所成的角和與所成的角互余
【答案】C
【分析】利用空間點線面的位置關(guān)系，點線面垂直平行的性質(zhì)依次判斷即可．
【詳解】A．，，則，又，則，所以不正確，A不正確；
B．，，，則或，故B不正確；
C．若，是兩條不同的異面直線，，，，則，C正確．
D．由時，與所成的角沒有關(guān)系，時，由面面平行的性質(zhì)知與所成的角相等，與所成的角相等，
因此與所成的角和與所成的角不一定互余，D不正確.
故選：C．
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省）已知兩條不重合的直線和，兩個不重合的平面和，下列四個說法：
①若，，，則 ②若，，，則
③若，，，則 ④若，，，則
其中所有正確的序號為（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
【答案】B
【詳解】對于①：如果，，也能滿足條件，①錯誤；
對于②：與相交或異面也能滿足條件，②錯誤；
對于③：因為，，則，又因為，所以，③正確；
對于④：因為，所以平面內(nèi)必有直線，又因為，所以，
因為，，所以，而，所以，④正確.
故選：B
2.（2024春湖北省）設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（ ）
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項分析即可.
【詳解】
對于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時，故A錯誤；
對于B，因為，，α、β是不同的平面，則必有，
故B正確；
對于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時，故C錯誤；
對于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
為，為，
則滿足，，此時，故D錯誤.
故選:B.
3．（2024春·湖北·校聯(lián)考模擬）下列說法中正確的是（ ）
A．沒有公共點的兩條直線是異面直線
B．若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則
C．若平面α，β，γ滿足，，則
D．已知a，b是不同的直線，α，β是不同的平面.若，，，則
【答案】D
【詳解】對A，沒有公共點的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯誤；
對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，
則a，b可以平行、相交或異面，故B錯誤；
對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯誤；
對D，兩個平面垂直等價于這兩個平面的垂線垂直，故D正確.
故選：D.
4．（2024·江蘇南通）已知是兩個平面，，是兩條直線，則下列命題錯誤的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，， ，那么
【答案】D
【詳解】對于A:由面面平行的定義可得與沒有公共點，即，故A正確；
對于B:如果，，那么在內(nèi)一定存在直線，又，則，故B正確；
對于C:如果，，那么根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得 ，故C正確;
對于D；如果，，則或，又，那么與可能相交，也可能平行，故D錯誤.
故選：D.
題型四：空間向量與立體幾何
【典例例題】
例1.（2024春·重慶）如圖，在邊長為1的正方體中，是的中點，是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）

A．當點與點重合時，直線平面
B．當點移動時，點到平面的距離為定值
C．當點與點重合時，平面與平面夾角的正弦值為
D．當點為線段中點時，平面截正方體所得截面面積為
【答案】ACD
【詳解】對A，因為，所以點四點共面，
當點與點重合時，直線平面，故A正確；
對B，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

因為為中點，則設(shè)，，，，
則，，，
設(shè)平面的方向量為，則，即，
令，則，所以，
則點到平面的距離，顯然不是定值，故B錯誤；
對C，當點與點重合時，由B知此時，，平面的法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，，
則，故C正確；
對D，連接，并在上底面內(nèi)將直線沿著的方向平移，直至該直線經(jīng)過點，交于點，交于點，
因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，所以，因為點，
所以平面截正方體所得的圖形為四邊形，
不妨以為坐標原點，在上底面內(nèi)建立如圖所示平面直角坐標系，
則，因為為線段中點，則，
根據(jù)直線，則，設(shè)直線的方程為，代入點坐標得
，解得，則，則點位于線段的四分之一等分點處，且靠近點，
點位于線段的四分之一等分點處，且靠近點，
則，，，結(jié)合，
則四邊形為等腰梯形，則其高為,
則，故D正確.
故選：ACD.

【變式訓練】
1.（2024春·云南昆明）在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（ ）
A． B．與平面所成的角為
C． D．平面
【答案】AB
【詳解】
易知正四棱柱是長方體，故以為原點建立空間直角坐標系，
連接，設(shè)，，，與平面所成的角為，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化簡得，結(jié)合底面是正方形，可得，故，，即，故A正確，
易知面的法向量，，設(shè)與平面所成的角為，故，化簡得，故，故B正確，
易知，，故，即不垂直，故C錯誤，
易知，，故，，，，，設(shè)面的法向量，故，，解得，，，即，則與不平行，故與面不垂直，故D錯誤，
故選：AB
2.（2024春·河南信陽）（多選）正方體中，為的中點，為正方體表面上一個動點，則（ ）
A. 當在線段上運動時，與所成角的最大值是
B. 當在棱上運動時，存在點使
C. 當在面上運動時，四面體體積為定值
D. 若在上底面上運動，且正方體棱長為與所成角為，則點的軌跡長度是
【答案】BC
【解析】
【詳解】對于A，在正方體中，易知，
所以與所成角等價于與所成的角，
當為中點時，，此時所成角最大，為，故A錯誤.
對于B，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體棱長為1，，
因為，，
所以，故B正確.
對于C，因為在面內(nèi)，面到平面的距離等于，
而三角形面積不變，故體積為定值，故C正確.
對于D，因為棱垂直于上底面，且與所成角為，
所以在中，，
由圓錐的構(gòu)成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長度是，故D錯誤.
故選：BC.
3.（2024春·惠州市東江博雅學校期末考試）（多選）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（ ）
A. 與所成的角是
B. 與平面所成的角的正弦值是
C. 平面與平面所成的銳二面角余弦值是
D. 是線段上動點，為中點，則點到平面距離最大值為
【答案】BD
【詳解】因為，，所以，
因為平面，平面，所以，
所以兩兩互相垂直，
所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，
所以，
所以，，，
對于A，，所以與所成的角是，故A錯誤；
對于B，由題意不妨設(shè)平面的法向量為，則，
令，解得，即取平面的一個法向量為，
又由A選項分析可知，，
設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成的角的正弦值是，故B正確；
對于C，由題意，面，
所以面，故可取面的一個法向量為，由B選項可知平面的一個法向量為，
不妨設(shè)平面與平面所成的角為，則，
所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故C錯誤；
對于D，因為是線段上動點，所以設(shè)，
因為為中點，所以，，
所以，
當時，點與點重合，此時點到平面距離為，
當時，點不與點重合，設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，，
所以，
所以點到平面距離為，
當時，，當時，，所以當即時，
，，故D正確.
故選：BD.
4.（2024春·汕頭市潮陽實驗學校期末考試）（多選）在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則（ ）
A. 存在點，使
B. 存在點，使點到直線的距離為
C. 存在點，使直線與所成角的余弦值為
D. 存在點，使點，到平面的距離之和為3
【答案】AB
【解析】
【詳解】連接，則，故A正確；
點到直線的距離，故B正確；
以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則，，，設(shè)，，則，，
假設(shè)存在點，使直線與所成角的余弦值為，
則，
整理得，解得，故C錯誤；
在平面中，過，分別作，，垂足為，，
則點，到平面的距離之和為．
設(shè)，則，
當點與重合時，點，到平面的距離之和最大，
所以不存在點，使點，到平面的距離之和為3，故D錯誤．
故選：AB
題型五：立體幾何綜合應(yīng)用
【典例例題】
例1.（2024春·廣西桂林）“陽馬”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，，，.
(1)證明：四棱錐是一個“陽馬”；
(2)已知點在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析;
(2).
【詳解】（1）四邊形是正方形，，
，，平面，
平面，
平面，，
四邊形是正方形，，
，，平面.
平面，
平面，，
，平面，
平面，
四棱錐是一個“陽馬”；
（2）由（1）得平面，，
，，，
以點為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意可得，，，，，
所以，
設(shè)，，
，，
，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
，令，則，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
，令，則，，
，或（舍去）.
，，
平面，直線與底面所成角的正切值為.
【變式訓練】
1.（2024春·新高考）如圖，在三棱柱中，是正三角形，四邊形是菱形，與交于點，平面，.
(1)若點為中點，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)易于建系，分別求出相關(guān)點的坐標，得到，的坐標，利用空間向量的夾角公式計算即得；
（2）同上建系，求出相關(guān)點坐標，分別求得兩個平面的法向量坐標，最后利用空間向量的夾角公式計算即得.
【詳解】（1）
因為四邊形是菱形，所以，
因為平面，所以，，兩兩垂直，
如圖，以點為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系.
則，，，，.
，，在三棱柱中，因，
易得,故，
因為點為中點，所以，所以，
因，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
（2），，，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
取，得，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
取，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
故平面與平面的夾角的余弦值為.
2.（2024春·江西省）“陽馬”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，，，.
(1)證明：四棱錐是一個“陽馬”；
(2)已知點在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析;
(2).
【分析】（1）借助線面垂直的相關(guān)知識證明即可.
（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用二面角為計算出，進而求出線面角的正切值.
【詳解】（1）四邊形是正方形，，
，，平面，
平面，
平面，，
四邊形是正方形，，
，，平面.
平面，
平面，，
，平面，
平面，
四棱錐是一個“陽馬”；
（2）由（1）得平面，，
，，，
以點為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意可得，，，，，
所以，
設(shè)，，
，，
，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
，令，則，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
，令，則，，
，或（舍去）.
，，
平面，直線與底面所成角的正切值為.
3.（2024春·湖北省）如圖，在四棱錐中，平面，.
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上確定一點，使異面直線與所成角的大小為，并求此時點到平面的距離.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法求二面角；
（2）設(shè)，由空間向量法求異面直線所成的角得出，再由向量法求點面距．
【小問1詳解】
以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為，
所以，
則.
設(shè)平面的法向量，
則，取得，
設(shè)平面的法向量，
則，取得，
設(shè)二面角的大小為，則
，
所以.
【小問2詳解】
設(shè)，則
.
因為異面直線與所成角的大小為，
所以，解得或（舍去）.
此時，
所以點到平面的距離.
一、單項選擇
1．（2024春·黑龍江哈爾濱）過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意知，，，分別為，，，的中點，設(shè)正方形的邊長為，，然后表示四棱錐與四棱臺的表面積，由表面積之比為，得到，的關(guān)系，確定線面角，求解即可.
【詳解】
依題意過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，
則，，，分別為，，，的中點，
設(shè)正方形的邊長為，，
所以正方形的面積為，正方形的面積為，
正四棱錐的側(cè)面積為，
四棱臺的側(cè)面積為，
所以正四棱錐的表面積為，
四棱臺的表面積為，
所以，
解得，
由平面，所以為直線與底面所成角，
所以，又，，
所以.
故選：.
2．（2024春·黑龍江）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為，則該方亭的上底面邊長為（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【分析】設(shè)，表達出，方亭的高為，由棱臺的體積公式列出方程，求出，得到答案.
【詳解】因為上底面與下底面的面積之比為，設(shè)，則，
故方亭的高為，
故方亭的體積為，解得，
故m，即該方亭的上底面邊長為3m.
故選：A
3．（2023春·黑龍江哈爾濱）所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體稱為正多面體.已知一個正四面體和一個正八面體的棱長都是（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體，則新多面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)棱錐體積的公式進行求解即可.
【詳解】連接、，交于點，連接，四棱錐的高為，
四棱錐的體積為，
取中點，連接、，由，，平面，，所以平面.
所以三棱錐的體積為，
所以新多面體的體積為．
故選：C.
4．（2024上·安徽合肥）中國古建筑的屋檐下常系掛風鈴，風吹鈴動，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴．若一個驚鳥鈴由銅鑄造而成，且可近似看作由一個較大的圓錐挖去一個較小的圓錐，兩圓錐的軸在同一條直線上，截面圖如下，其中，，，若不考慮鈴舌，則下列數(shù)據(jù)比較接近該驚鳥鈴質(zhì)量的是（參考數(shù)據(jù)：，銅的密度為8.96）（ ）
A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg
【答案】A
【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，結(jié)合質(zhì)量公式求解即可.
【詳解】由題意可得驚鳥鈴的體積約為長，
所以該驚鳥鈴的質(zhì)量約為（kg）．
故選：A．
5．（2024春·安徽宣城）粽子是我國人們傳統(tǒng)的美食，基本上全國都有吃粽子的習慣.隨著生活水平的不斷提高，粽子的花樣，口味也在不斷的變化，現(xiàn)在市場上粽子的形狀有金字塔形、條形、三棱錐形等，口味大致有甜味，咸味兩種，還有蛋黃，豆沙，大肉等.現(xiàn)將一種蛋黃粽看作正四面體，其內(nèi)部的蛋黃看作一個球體，那么，當?shù)包S的體積為時，該蛋黃粽（正四面體）高的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】要使正四面體的高最小，當且僅當球與正四面體相內(nèi)切，內(nèi)切球的半徑為，根據(jù)球的體積求出，再根據(jù)等體積法求出即可.
【詳解】要使正四面體的高最小，當且僅當球與正四面體相內(nèi)切，
設(shè)正四面體的棱長為，高為，內(nèi)切球的半徑為，則，解得，
如圖正四面體中，令為的中點，為底面三角形的中心，
則底面，所以，則，
故選：C.
6．（2024春·安徽阜陽）在古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有一個令他最引以為傲的幾何圖案.該幾何圖案是內(nèi)部嵌入一個內(nèi)切球的圓柱，且該圓柱底面圓的直徑與高相等，則該圓柱的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓柱高為，底面半徑為，圓柱內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，得出，，，之間的關(guān)系，由球的體積公式求出圓柱內(nèi)切球與外接球的體積之比.
【詳解】該圓柱的內(nèi)切球和外接球的截面圖如下圖所示，
設(shè)圓柱高為，底面半徑為，圓柱內(nèi)切球半徑為，
外接球半徑為，則，，
，，，
圓柱內(nèi)切球與外接球的體積之比為.
故選：B
7.（2024·全國·校聯(lián)考模擬）已知是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若，且與不垂直，則與一定不垂直
B．若與不平行，則與一定是異面直線
C．若，且，則與可能平行
D．若，則與可能垂直
【答案】D
【分析】結(jié)合點線面之間的關(guān)系逐項判斷即可得.
【詳解】對A：在平面內(nèi)，存在無數(shù)條直線和垂直，故A錯誤；
對B：當時，與不是異面直線，故B錯誤；
對C：若，且，與為異面直線，故C錯誤；
對D：若，在內(nèi)存在直線與垂直，故其可能與垂直，故D正確.
故選：D.
8．（2024·全國·校聯(lián)考模擬）設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項分析即可.
【詳解】
對于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時，故A錯誤；
對于B，因為，，α、β是不同的平面，則必有，
故B正確；
對于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時，故C錯誤；
對于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
為，為，
則滿足，，此時，故D錯誤.
故選:B.
二、多項選擇
9.（2024·山西晉城）如圖，在正四棱柱中，，，，平面將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對應(yīng)的幾何體為，下部分對應(yīng)的幾何體為，則（ ）
A．的體積為2
B．的體積為12
C．的外接球的表面積為
D．平面截該正四棱柱所得截面的面積為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意求截面，可知為直三棱柱，進而可求相應(yīng)的體積，即可判斷AB；利用補形法結(jié)合長方體的性質(zhì)求外接球的半徑和表面積，即可得判斷C；可知平面截該正四棱柱所得截面為矩形，即可得面積判斷D.
【詳解】設(shè)，
連接，，，
由長方體的性質(zhì)可知：，可知A，，，四點共面，
所以為直三棱柱，其體積為，故A正確；
的體積為，B錯誤．
的外接球即為長方體的外接球，
所以的外接球的半徑，
則的外接球的表面積為，C正確．
平面截該正四棱柱所得截面為矩形，其面積為，D正確．
故選：ACD.
10．（2024春·安徽滁州）已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長為2，點為的中點，則（ ）
A．圓臺的體積為
B．圓臺的側(cè)面積為
C．圓臺母線與底面所成角為60°
D．在圓臺的側(cè)面上，從點到點的最短路徑長為4
【答案】AC
【分析】根據(jù)已知求體積;過作交底面于F，判斷出即為母線與底面所成角；作出圓臺的側(cè)面展開圖，直接求出面積；圓臺的側(cè)面上，判斷出從到的最短路徑的長度為CE,等逐個判斷即可求解.
【詳解】對于A：圓臺的高為，則圓臺的體積，A正確；
對于B：由題意，圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，
其面積為.故B錯誤；
對于C：過A作交底面于F，則底面，所以即為母線與底面所成角.
在等腰梯形ABCD中，,所以.
因為為銳角，所以.故C正確；
對于D：如圖示，在圓臺的側(cè)面上，從到的最短路徑的長度為CE.由題意可得：.由為中點，所以，所以.故D錯誤.
故選：
11.（2024春·廣州市1月份調(diào)研測試）如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點，Q為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則（ ）
A. 平面
B. 平面截正方體所得的截面面積為
C. 點Q的軌跡長度為
D. 能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，得到線面垂直；B選項，作出輔助線，找到平面截正方體所得的截面，求出面積；C選項，作出輔助線，得到點Q的軌跡，并求出軌跡長度；D選項，由對稱性得到平面分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，由對稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，由得到方程，求出半徑的最大值.
【詳解】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，
故.
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，，故，
因為，故平面，A正確；
B選項，取的中點，連接，
因為M，N，P分別是棱，，的中點，
所以，又，
所以，所以平面截正方體所得的截面為正六邊形，
其中邊長為，故面積為，B正確；
C選項，Q為平面上的動點，直線與直線的夾角為，
又平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，
即為點Q的軌跡，
其中，由對稱性可知，，
故半徑，
故點Q的軌跡長度為，C錯誤；
D選項，因為M，N，P分別是棱，，的中點，
所以平面分割該正方體所成的兩個空間幾何體對稱，
不妨求能放入含有頂點的空間幾何體的球的半徑最大值，
該球與平面切與點，與平面，平面，平面相切，
由對稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，則半徑為，
，故，即，解得，
故球的半徑的最大值為，D正確.
故選：ABD
填空題
12．（2024春·全國）在三棱錐中，兩兩互相垂直，，當三棱錐的體積取得最大值時，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為 .
【答案】
【分析】設(shè)，表示出三棱錐的體積的表達式，利用導數(shù)求出體積取最大值時x的值，從而確定棱錐的各棱長，再根據(jù)等體積法，即可求得答案.
【詳解】設(shè)，則，
由題意知兩兩互相垂直，
可得三棱錐的體積為，
令，則，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當時，取到最大值，此時三棱錐的體積取得最大值，
設(shè)此時三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，
則，
則，
則
即，解得，
故答案為：
13．（2024春·江西贛州）某小區(qū)計劃修建一個圓臺形的花臺，它的上、下底面半徑分別為和．若需要的土才能把花臺填滿，則花臺高為 ．
【答案】1
【分析】利用圓臺體積公式求解.
【詳解】圓臺形的花臺，它的兩底面半徑分別為1m和2m，高為m，
則兩底面積分別為，，
圓臺的體積，
解得，所以花臺高為1m.
故答案為：1
14．（2024春·安徽六安）在四棱錐中，底面為正方形，平面，，已知圓柱在該四棱錐的內(nèi)部且圓柱的底面在該四棱錐的底面上，當圓柱的體積最大時，圓柱的底面半徑為 .
【答案】
【分析】依據(jù)題意作出合理的圖形，將圓柱體積寫為某個含單一變量的函數(shù)，求導找到極值點，即可求解.
【詳解】
如圖，設(shè)圓柱外切長方體的底邊長為，則高為，∴圓柱的底面半徑為，高為，
∴圓柱的體積為，，
∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴當，即半徑為時，圓柱的體積最大.
故答案為：
15．（2024春·河北保定）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的足球，現(xiàn)已知某“鞠”的表面上有四個點滿足，，則該“鞠”的表面積為 .
【答案】
【分析】作出輔助線，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半徑，得到表面積.
【詳解】取的中點，連接，
因為，所以且，
故，
因為，所以，
故，
在上取點，使得，則點為等邊的中心，則，
設(shè)點為三棱錐的外接球球心，則平面，
連接，設(shè)外接球半徑為，則，
過點作⊥，交延長線于點，則，
由于在平面中，故，故平面，
過點作⊥于點，則，
，，，
故，設(shè)，則，
由勾股定理得，，
故，解得，
故，
故該“鞠”的表面積為.
故答案為：
簡答題
16.（2024春·河南）在四棱錐中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱錐的體積；
（2）求直線與平面夾角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點，連接，，可證平面，則為四棱錐的高，利用錐體體積公式求解即可；
（2）建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，線面角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值，求解即可.
【小問1詳解】
取的中點，連接，，
因為，所以，
又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，又，
所以，即，
又，平面，平面，
所以平面，
所以四棱錐的體積為；
【小問2詳解】
過作交于，則，
結(jié)合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標系：
則，，，，
故，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故，取，則，，所以，
設(shè)直線與平面夾角，
則，
所以直線與平面夾角的正弦值為.
17.（2024春·廣東省深圳外國語學校、執(zhí)信中學期末）正方體中分別是的中點.
（1）證明：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意建立空間直角坐標系，求得向量與平面的法向量，從而得證；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得，再用直線和平面所成角的正弦公式計算即可.
【小問1詳解】
設(shè)正方體棱長是2，
以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
所以，則，
又平面，故平面.
【小問2詳解】
由（1）知，是平面的一個法向量，
設(shè)與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
18.（2024春·廣州市華南師大附中第一次調(diào)研）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，且，，，為中點．

(1)求證：平面平面；
(2)若線段上存在點，使得二面角的大小為，求的值．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【詳解】（1）證明：連接，

是邊長為的等邊三角形，是的中點，
，，
，，，
四邊形是矩形，，
，，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，
，，，
設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，得，
又平面，
為平面的一個法向量，
，
二面角的大小為，
，
解得．
．2024年高考數(shù)學二輪復習專題-立體幾何
1. （4）設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
2.（13）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．
3.（17）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
題型一：空間幾何體的表面積和體積
【典例例題】
例1.（2024春·黑龍江齊齊哈爾）佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設(shè)計手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，側(cè)面積為，則該建筑的高為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練】
1.（2024春·新疆昌吉）如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔．塔頂可以看成一個正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐的一個側(cè)面與底面的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024春·江蘇蘇州）在梯形中，，以下底所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024春·河北保定）如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有12行、122字銘文.銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國，自之辟民’”，其中宅茲中國為“中國”一詞最早的文字記載.“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的深度約為，上口的內(nèi)徑約為，圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為，則“何尊”的容積大約為（ ）
A． B． C． D．
題型二：外接球和內(nèi)切球
【典例例題】
例1.（2024春·新疆）將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點在同一球的球面上，則球的表面積為______.
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省）已知是邊長為4的正三角形，是邊上的中線．現(xiàn)將沿折起，使二面角等于，則四面體外接球的表面積為 ．
2.（2024春·江西省）若體積為的正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，則該球體積的最小值為 ．
3.（2024春·新疆烏魯木齊）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（ ）
A．該幾何體的頂點數(shù)為12
B．該幾何體的棱數(shù)為24
C．該幾何體的表面積為
D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項
4.（2024春·新高考模擬）中國古建筑聞名于世，源遠流長．如圖甲所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形為矩形，,,與都是邊長為2的等邊三角形，若點，，，，都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型三：點、直線與平面位置關(guān)系
【典例例題】
例1.（2024春江西省）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，是兩條不同的異面直線，，，，則 D．若，，則與所成的角和與所成的角互余
【變式訓練】
1.（2024春·廣東省）已知兩條不重合的直線和，兩個不重合的平面和，下列四個說法：
①若，，，則 ②若，，，則
③若，，，則 ④若，，，則
其中所有正確的序號為（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
2.（2024春湖北省）設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（ ）
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
3．（2024春·湖北·校聯(lián)考模擬）下列說法中正確的是（ ）
A．沒有公共點的兩條直線是異面直線
B．若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則
C．若平面α，β，γ滿足，，則
D．已知a，b是不同的直線，α，β是不同的平面.若，，，則
4．（2024·江蘇南通）已知是兩個平面，，是兩條直線，則下列命題錯誤的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，， ，那么
題型四：空間向量與立體幾何
【典例例題】
例1.（2024春·重慶）如圖，在邊長為1的正方體中，是的中點，是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）

A．當點與點重合時，直線平面
B．當點移動時，點到平面的距離為定值
C．當點與點重合時，平面與平面夾角的正弦值為
D．當點為線段中點時，平面截正方體所得截面面積為
【變式訓練】
1.（2024春·云南昆明）（多選）在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，底面是正方形，則（ ）
A． B．與平面所成的角為
C． D．平面
2.（2024春·河南信陽）（多選）正方體中，為的中點，為正方體表面上一個動點，則（ ）
A. 當在線段上運動時，與所成角的最大值是
B. 當在棱上運動時，存在點使
C. 當在面上運動時，四面體體積為定值
D. 若在上底面上運動，且正方體棱長為與所成角為，則點的軌跡長度是
3.（2024春·惠州市東江博雅學校期末考試）（多選）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（ ）
A. 與所成的角是
B. 與平面所成的角的正弦值是
C. 平面與平面所成的銳二面角余弦值是
D. 是線段上動點，為中點，則點到平面距離最大值為
4.（2024春·汕頭市潮陽實驗學校期末考試）（多選）在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則（ ）
A. 存在點，使
B. 存在點，使點到直線的距離為
C. 存在點，使直線與所成角的余弦值為
D. 存在點，使點，到平面的距離之和為3
題型五：立體幾何綜合應(yīng)用
【典例例題】
例1.（2024春·廣西桂林）“陽馬”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，，，.
(1)證明：四棱錐是一個“陽馬”；
(2)已知點在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.
【變式訓練】
1.（2024春·新高考）如圖，在三棱柱中，是正三角形，四邊形是菱形，與交于點，平面，.
(1)若點為中點，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
2.（2024春·江西省）“陽馬”是我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，，，.
(1)證明：四棱錐是一個“陽馬”；
(2)已知點在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.
3.（2024春·湖北省）如圖，在四棱錐中，平面，.
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上確定一點，使異面直線與所成角的大小為，并求此時點到平面的距離.
一、單項選擇
1．（2024春·黑龍江哈爾濱）過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春·黑龍江）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為，則該方亭的上底面邊長為（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
3．（2023春·黑龍江哈爾濱）所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體稱為正多面體.已知一個正四面體和一個正八面體的棱長都是（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體，則新多面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·安徽合肥）中國古建筑的屋檐下常系掛風鈴，風吹鈴動，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴．若一個驚鳥鈴由銅鑄造而成，且可近似看作由一個較大的圓錐挖去一個較小的圓錐，兩圓錐的軸在同一條直線上，截面圖如下，其中，，，若不考慮鈴舌，則下列數(shù)據(jù)比較接近該驚鳥鈴質(zhì)量的是（參考數(shù)據(jù)：，銅的密度為8.96）（ ）
A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg
5．（2024春·安徽宣城）粽子是我國人們傳統(tǒng)的美食，基本上全國都有吃粽子的習慣.隨著生活水平的不斷提高，粽子的花樣，口味也在不斷的變化，現(xiàn)在市場上粽子的形狀有金字塔形、條形、三棱錐形等，口味大致有甜味，咸味兩種，還有蛋黃，豆沙，大肉等.現(xiàn)將一種蛋黃粽看作正四面體，其內(nèi)部的蛋黃看作一個球體，那么，當?shù)包S的體積為時，該蛋黃粽（正四面體）高的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2024春·安徽阜陽）在古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有一個令他最引以為傲的幾何圖案.該幾何圖案是內(nèi)部嵌入一個內(nèi)切球的圓柱，且該圓柱底面圓的直徑與高相等，則該圓柱的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·全國·校聯(lián)考模擬）已知是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若，且與不垂直，則與一定不垂直
B．若與不平行，則與一定是異面直線
C．若，且，則與可能平行
D．若，則與可能垂直
8．（2024·全國·校聯(lián)考模擬）設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
二、多項選擇
9.（2024·山西晉城）如圖，在正四棱柱中，，，，平面將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對應(yīng)的幾何體為，下部分對應(yīng)的幾何體為，則（ ）
A．的體積為2
B．的體積為12
C．的外接球的表面積為
D．平面截該正四棱柱所得截面的面積為
10．（2024春·安徽滁州）已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長為2，點為的中點，則（ ）
A．圓臺的體積為
B．圓臺的側(cè)面積為
C．圓臺母線與底面所成角為60°
D．在圓臺的側(cè)面上，從點到點的最短路徑長為4
11.（2024春·廣州市1月份調(diào)研測試）如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點，Q為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則（ ）
A. 平面
B. 平面截正方體所得的截面面積為
C. 點Q的軌跡長度為
D. 能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為
填空題
12．（2024春·全國）在三棱錐中，兩兩互相垂直，，當三棱錐的體積取得最大值時，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為 .
13．（2024春·江西贛州）某小區(qū)計劃修建一個圓臺形的花臺，它的上、下底面半徑分別為和．若需要的土才能把花臺填滿，則花臺高為 ．
14．（2024春·安徽六安）在四棱錐中，底面為正方形，平面，，已知圓柱在該四棱錐的內(nèi)部且圓柱的底面在該四棱錐的底面上，當圓柱的體積最大時，圓柱的底面半徑為 .
15．（2024春·河北保定）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的足球，現(xiàn)已知某“鞠”的表面上有四個點滿足，，則該“鞠”的表面積為 .
簡答題
16.（2024春·河南）在四棱錐中，底面是正方形，若，，，
（1）求四棱錐的體積；
（2）求直線與平面夾角的正弦值．
17.（2024春·廣東省深圳外國語學校、執(zhí)信中學期末）正方體中分別是的中點.
（1）證明：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
18.（2024春·廣州市華南師大附中第一次調(diào)研）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，且，，，為中點．

(1)求證：平面平面；
(2)若線段上存在點，使得二面角的大小為，求的值．

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