資源簡介

8.1.1變量的相關關系+8.1.2樣本相關系數
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的．
【目標分析】
1．會區別判斷相關關系與函數關系，培養數學抽象，如第1題；
2．會根據散點圖判斷正相關、負相關，培養直觀想象，如第3題；
3．會求相關系數，培養數學運算，如第6題；
一、解答題
1．舉例說明什么叫相關關系．相關關系與函數關系有什么區別？
2．由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數據的樣本相關系數是否一定能確切地反映變量之間的相關關系？為什么？
3．在以下4幅散點圖中，判斷哪些圖中的y和x之間存在相關關系？其中哪些正相關，哪些負相關？哪些圖所對應的成對樣本數據呈現出線性相關關系？哪些圖所對應的成對樣本數據呈現出非線性相關關系．
4．根據物理中的胡克定律，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比．測得一根彈簧伸長長度x和相應所受外力F的一組數據如下：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x/cm 1 1.2 1.4 1. 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 3.0
F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.40 8.54 9.24
兩個變量的樣本相關系數是否為1？請你解釋其中的原因．
5．例2 有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年內收入的總和）與A商品銷售額的10年數據，如表8.1-2所示．
表8.1-2
第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入/億元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
A商品銷售額/萬元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
畫出散點圖，判斷成對樣本數據是否線性相關，并通過樣本相關系數判斷居民年收入與A商品銷售額的相關程度和變化趨勢的異同．
解：畫出成對樣本數據的散點圖（圖8.1-6），從散點圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數據呈現出線性相關關系．
由樣本數據計算得樣本相關系數．由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入正線性相關，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關程度很強．
圖8.1-6
5．已知變量x和變量y的3對隨機觀測數據，，，計算兩個變量的樣本相關系數．能據此推出這兩個變量線性相關嗎？為什么？
6．下表給出了一些地區的鳥的種類數與該地區的海拔高度的數據，鳥的種類數與海拔高度是否存在相關關系？如果是，那么這種相關關系有什么特點？
地區 A B C D E F G H I J K
海拔/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549
鳥的種類/種 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15
7．隨機抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數據如下：
超市 A B C D E F G
廣告支出/萬元 1 2 4 6 10 14 20
銷售額/萬元 19 32 44 40 52 53 54
請判斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關關系的類型、相關程度和變化趨勢的特征．
【易錯題目】第3，5，8題
【復盤要點】根據散點圖判斷相關性
【復盤訓練】
（23-24高三下·上海浦東新·期中）
8．通過隨機抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價格（單位：百元）與該商品消費者年需求量（單位：千克）的散點圖.若去掉圖中右下方的點后，下列說法正確的是（ ）
A．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量由負相關變為正相關
B．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關程度不變
C．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關系數變大
D．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關系數變小
（2024·四川成都·二模）
9．對變量有觀測數據，得散點圖1；對變量有觀測數據，得散點圖2.表示變量之間的線性相關系數，表示變量之間的線性相關系數，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與呈現正相關，且 B．變量與呈現負相關，且
C．變量與呈現正相關，且 D．變量與呈現負相關，且
10．對小明在連續9次高考模擬數學測試中的成績（單位：分）進行統計得到如圖所示的散點圖．他的同桌小剛根據散點圖對他的數學成績的分析中，正確的有（ ）．
A．小明的數學成績總的趨勢是在逐步提高
B．小明在這連續9次測試中的最高分與最低分的差超過40分
C．小明的數學成績與測試序號具有線性相關性，且為負相關
D．小明的數學成績與測試序號具有線性相關性，且為正相關
（22-23高二·全國·課時練習）
11．對四組數據進行統計，依次獲得如圖所示的散點圖．
關于其相關系數的大小比較，將0、、、、從小到大排列，應為 ．
（2023高二下·吉林長春·期中）
12．在以下4幅散點圖中，圖 中的y和x之間存在相關關系（將正確答案的序號填在橫線上）
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．答案見解析
【分析】根據相關關系和函數關系概念即可說明.
【詳解】相關關系：當自變量取值一定，因變量的取值帶有一定的隨機性(非確定性關系)，
函數關系：函數關系指的是自變量和因變量之間的關系是相互唯一確定的.
相同點:均是指兩個變量的關系.
不同點:函數關系是一種確定的關系，因果關系;而相關關系是一種非確定性關系，也可能是伴隨關系.
舉例：身高與體重是相關關系，身高越高體重不一定大.
2．不一定，原因見詳解；
【分析】根據由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數據具有隨機性進行具體的分析即可.
【詳解】因為由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數據具有隨機性，由此得到的到樣本相關系數也具有一般性，因此由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數據的樣本相關系數不一定能確切地反映變量之間的相關關系.
3．圖（2）（3）（4）中的y和x之間存在相關關系；其中圖（2）（4）中的y和x之間呈現正相關關系，圖（3）中的y和x之間呈現負相關關系；圖（2）（3）中的y和x之間呈現線性相關關系；其中圖（4）中的y和x之間呈現非線性相關關系；
【分析】根據散點圖中散點呈現的變化趨勢依次判斷兩個變量間的相關關系即可.
【詳解】（1）由（1）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點沒有落在了一條直線或者曲線附近，是雜亂無章的，所以可以判定兩個變量之間不存在相關關系；
（2）由（2）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個變量之間存在相關關系，圖像呈現左下右上趨勢，說明兩個變量呈正線性相關關系；
（3）由（3）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個變量之間存在線性相關關系，圖像呈現左上右下趨勢，說明兩個變量呈負線性相關關系；
（4）由（4）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條曲線附近，所以可以判定兩個變量之間存在相關關系，而且是非線性相關關系；
綜上，圖（2）（3）（4）中的y和x之間存在相關關系；其中圖（2）（4）中的y和x之間呈現正相關關系；圖（2）（3）中的y和x之間呈現線性相關關系；其中圖（4）中的y和x之間呈現非線性相關關系；
4．兩個變量的樣本相關系數不一定為1（理由見詳解）
【分析】比較理想狀態下的相關系數與現實情況下的相關系數進行說明，從測量數據的隨機性進行分析即可.
【詳解】兩個變量的樣本相關系數不一定為1，
理由如下：在理想狀態下，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比，則彈簧伸長的長度x和相應所受外力F之間滿足線性函數關系，相關系數必為1；但是在現實情況下，測量數據受很多因素的影響，比如彈簧的材料，粗細，測量的誤差等等，所以通過測量獲得樣本數據也具有隨機性，因此通過測量數據求得的相關系數不一定為1.
5．，線性相關，因為
【分析】計算相關系數即可得出結果.
【詳解】，，
則相關系數
，即，
的絕對值越接近相關性越強，的絕對值越接近相關性越弱，
所以兩個變量線性相關，
6．存在正相關，相關性較強.
【分析】由表中數據計算相關系數即可得出結果.
【詳解】設鳥的種類數為，海拔高度為，
，
，
，
當時，且時，兩變量正相關，相關性較強.
所以由數據可知，鳥類的種數隨海拔高度增加而增加，
兩者呈正相關，相關性較強.
7．線性相關關系；相關程度高；銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.
【分析】作出成對數據的散點圖，由數據計算相關系數即可得出結果.
【詳解】成對數據的散點圖如圖所示：
從散點圖上可得，超市的銷售額與廣告支出之間呈現出線性相關關系，
由數據可得；
，
，，，
，
由此可推斷，銷售額與廣告支出之間具有相關關系，相關程度較強，
且銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.
8．D
【分析】根據相關系數的概念逐一判斷.
【詳解】對于A：去掉圖中右下方的點后，根據圖象，兩個變量還是負相關，A錯誤；
對于BCD：去掉圖中右下方的點后，相對來說數據會集中，相關程度會更高，
但因為是負相關，相關系數會更接近線性相關系數會變小，故D正確，BC錯誤.
故選：D.
9．C
【分析】利用散點圖，結合相關系數的知識可得答案.
【詳解】由題意可知，變量的散點圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現正相關；
再分別觀察兩個散點圖，圖比圖點更加集中，相關性更好，所以線性相關系數.
故選：C.
10．ABD
【分析】利用散點顯示的各次成績的情況，逐項分析判斷作答.
【詳解】散點圖從左向右看呈上升趨勢，則小明的數學成績總的趨勢是在逐步提高，A正確；
小明在這連續9次測試中的最高分大于130分，最低分小于90分，兩者的差超過40分，B正確；
散點落在某條直線附近，小明的數學成績與測試序號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，C錯誤，D正確.
故選：ABD
11．
【分析】根據散點圖直接求解即可.
【詳解】由散點圖可知，
所以.
故答案為:.
12．（2）（3）（4）
【分析】根據散點圖直接分析可知.
【詳解】圖（2）（3）中的點成帶狀區域分布在某一直線附近，（4）中點分布在某一曲線附近，故（2）（3）（4）存在相關關系.
故答案為：（2）（3）（4）
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁8.1.1變量的相關關系+8.1.2樣本相關系數
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1．了解樣本相關系數的統計含義．
2．會求相關系數．
3．會運用相關系數解決簡單的實際問題．
[明確任務]
1．了解樣本相關系數的統計含義．【數學抽象】
2．會求相關系數．【數學運算】
3．會運用相關系數解決簡單的實際問題．【數學建模，數學運算】
1．函數的定義：設A、B為兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)．
2．表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
核心知識點1：變量的相關關系
變量與變量之間的關系常見的有兩類：一類是變量之間的關系具有確定性，當一個變量確定后，另一個變量就確定了，即函數關系；另一類是變量之間確實有一定的關系，但沒有達到可以互相決定的程度，它們之間的關系帶有一定的隨機性．
1．相關關系
兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．
2．函數關系與相關關系的異同點
關系異同點 函數關系 相關關系
相同點 兩者均是指兩個變量之間的關系
不同點 是一種確定性的關系 是一種非確定性的關系
是兩個變量之間的關系 ①一個為變量，另一個為隨機變量；②兩個都是隨機變量
是一種因果關系 可能是因果關系，也可能是伴隨關系
是一種理想的關系模型 是一種更為一般的情況
解讀：
（1）由于相關關系的不確定性，在尋找變量之間相關關系的過程中，統計發揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數據，在對數據進行統計分析的基礎上，發現其中的規律，對它們之間的關系作出判斷．
（2）函數關系與相關關系的正確理解：兩類關系在一定條件下可以相互轉化，如正方形面積S與其邊長a之間雖然是確定性關系，但在每次測量面積時，由于測量誤差等原因，其數值大小表現為一種隨機性．而對于具有相關關系中的線性關系的兩個變量來說，在求得其經驗回歸方程（8.2節內容）之后，又可以用一種確定性的關系來對這兩個變量間的關系進行估計．
例1 （22-23高二下·河南省直轄縣級單位·期末）下列兩個變量中能夠具有相關關系的是（ ）
A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高
C．正方體的體積與棱長 D．某同學的學籍號與考試成績
【答案】A
【分析】利用相關關系的定義判斷．
【詳解】A．人所站的高度越高則視野越開闊，具有正相關關系，故正確；
B．人眼的近視程度與身高不具有相關關系，故錯誤；
C．正方體的體積與棱長是一種確定關系，故錯誤；
D．某同學的學籍號與考試成績不具有相關關系，故錯誤；
故選：A
歸納總結 兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．
【舉一反三】（22-23高二下·上海金山·期末）
1．如果兩種證券在一段時間內收益數據的相關系數為正數，那么表明（ ）
A．兩種證券的收益之間存在完全同向的聯動關系，即同時漲或同時跌
B．兩種證券的收益之間存在完全反向的聯動關系，即漲或跌是相反的
C．兩種證券的收益有同向變動的傾向
D．兩種證券的收益有反向變動的傾向
核心知識點2：散點圖
1．散點圖的概念
一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對數據（簡稱為成對樣本數據），如下表所示．
序號i 1 2 3 … N
變量x …
變量y …
則在直角坐標系xOy中描出點，，2，3，…，n，就可以得到這n對數據的散點圖．
2．線性相關關系
如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減小的趨勢，則稱這兩個變量負相關．
一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關．
劃重點 如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關，如圖①所示；
如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為負相關，如圖②所示．
圖① 圖②
拓展 利用散點圖判斷線性相關的優缺點
散點圖中的點從整體上看大致在一條直線附近（并不是嚴格在一條直線上），稱這兩個變量具有線性相關關系，這條直線并不唯一，我們本階段學習的經驗回歸方程（8.2節內容）是那條與散點圖中的點的整體距離最小的直線方程；如果散點圖中的點嚴格在一條直線上，那這兩個變量具有函數關系，而不是線性相關關系．
優點：散點圖能形象地反映各對數據的密切程度，用散點圖判斷兩個相關變量是否具有線性相關關系既直觀又方便．
缺點：散點圖只能粗略的判斷兩個相關變量是否具有線性相關關系．
解讀：對正、負相關的理解
在相關關系中，正、負相關只是代表一個趨勢，以正相關為例，在散點圖中，只要點散布在從左下角到右上角的區域，就說明這兩個變量是正相關的，允許個別的點，滿足當時，．這點要與函數關系中增函數的概念區別開來．
例2（23-24高二下·廣西桂林·開學考試）對兩個變量的三組數據進行統計，得到以下散點圖，關于兩個變量相關系數的比較，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據散點圖中點的分布的特征，確定3個圖對應的相關系數的正負以及大小關系，可得答案．
【詳解】由散點圖可知第1個圖表示的正相關，
故；
第2，3圖表示的負相關，且第2個圖中的點比第3個圖中的點分布更為集中，
故，且，故，
綜合可得，即，
故選：C
歸納總結 散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關．
【舉一反三】（23-24高二下·河南南陽·階段練習）
2．對甲、乙兩組數據進行統計，獲得以下散點圖（左圖為甲，右圖為乙），下列結論不正確的是（ ）

A．甲、乙兩組數據都呈線性相關 B．乙組數據的相關程度比甲強
C．乙組數據的相關系數r比甲大 D．乙組數據的相關系數r的絕對值更接近1
【舉一反三】（2024高三·全國·專題練習）
3．下列圖形中具有相關關系的兩個變量是（ ）．
A． B．
C． D．
核心知識點3：相關關系的強弱
1．樣本相關系數
現實生活中的數據，由于度量對象和單位的不同等，數值會有大有小，為了去除這些因素的影響，統計學里一般用來衡量y與x的線性相關性強弱，我們稱r為變量x和變量y的樣本相關系數．
2．相關系數r的性質
（1），且y與x正相關的充要條件是，y與x負相關的充要條件是．
（2）當越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．
（3）的充要條件是成對樣本數據構成的點都在經驗回歸直線上（8.2節內容）．
3． 非線性相關關系
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條曲線附近，則這兩個變量之間具有非線性相關關系．
解讀：相關性強弱的理解
（1）相關系數是兩個變量之間相關關系強弱的刻畫，它是相對的，不是絕對的．當相關系數的絕對值等于1時，就是確定關系，是相關變量的極限狀態．
（2）當時，通常認為兩個變量有較強的線性相關性．
例3．（22-23高二下·江蘇·課后作業）為考察兩個變量x，y的相關性，搜集數據如表，則兩個變量的線性相關程度（ ）
x 5 10 15 20 25
y 103 105 110 111 114
A．很強 B．很弱
C．無相關 D．不確定
【答案】A
【分析】根據表格中的數據，結合相關系數的公式，求得的值，即可得到答案．
【詳解】根據表格中的數據，可得，，，，
，，，
則，
可得兩個變量與的相關程度很強．
故選：A．
歸納總結 樣本相關系數：當r＞0時，正相關；當r＜0時，負相關；|r|越接近于1，相關性越強．
【舉一反三】（22-23高二下·陜西漢中·期末）
4．對于樣本相關系數r，下列說法正確的是（ ）
A．r的取值范圍是
B．越大，相關程度越弱
C．越接近于0，成對樣本數據的線性相關程度越強
D．越接近于1，成對樣本數據的線性相關程度越強
【舉一反三】（23-24高三上·天津·期末）
5．學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠愈受益．為實現中華民族偉大復興，全國各行各業掀起了“學習強國”的高潮．某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰答題”模塊，他記錄了自己連續七天每天一次最多答對的題數如下表：
天數x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答對題數y 12 15 16 18 21 24 27
參考數據：，，，，，
相關系數
由表中數據可知該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是 相關（填“正”或“負”），其相關系數 （結果保留兩位小數）
（2023高一下·陜西咸陽·階段練習）
6．如圖，兩個變量具有相關關系的是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3）
（2023高二下·四川成都·期中）
7．下列兩個量之間的關系是相關關系的是（ ）
A．勻速直線運動中時間與位移的關系 B．學生的成績和身高
C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質量
（22-23高二下·江蘇·課時練習）
8．已知某產品產量與產品單位成本之間的相關系數為－0.97，這說明二者之間存在著（　?。?br/>A．高度相關 B．中度相關
C．弱度相關 D．極弱相關
（2023高二·全國·課后作業）
9．給出成對值的數據如下：
1 2 4 8
3 5 9 17
則根據數據可以判斷和的關系是 ．（填“確定關系”“相關關系”或“沒有關系”）
（2023·高二·全國·課時練習）
10．一唱片公司欲知唱片費用x（十萬元）與唱片銷售量y（千張）之間的關系，從其所發行的唱片中隨機抽取了10張，得到如下的資料：，則y與x的相關系數r為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據正相關的定義可得出結論.
【詳解】因為兩種證券在一段時間內收益數據的相關系數為正數，
那么表明兩種證券的收益有同向變動的傾向，C對，ABD錯.
故選：C.
2．C
【分析】利用線性相關的定義進行求解即可.
【詳解】由散點圖可以看出，甲、乙兩組數據都呈線性相關，所以A正確；
乙圖的點相對更加集中，所以其相關性較強，更接近1，所以B，D正確；
甲圖是正相關，其相關系數大于0，乙圖是負相關，其相關系數小于0，所以C錯誤.
故選：C.
3．C
【分析】根據若樣本點成帶狀分布，則兩個變量具有相關關系，結合散點圖即得.
【詳解】根據散點圖可知在C中，樣本點成帶狀分布，則兩個變量具有相關關系，
所以兩個變量x、y具有相關關系的圖是C.
A，B為函數關系，D無相關關系．
故選：C.
4．D
【分析】根據相關系數的性質即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，r的取值范圍是，故A錯誤，
對于B，越大，相關程度越強，故B錯誤，
對于C,, 越接近于0，成對樣本數據的線性相關程度越弱，故C錯誤，
對于D，越接近于1，成對樣本數據的線性相關程度越強，故D正確，
故選：D
5． 正 0.99
【分析】根據正相關和負相關的定義即可得出結論；根據相關系數公式求相關系數即可.
【詳解】由表中數據得隨的增大而增大，
所以該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是正相關，
.
故答案為：正；.
6．B
【分析】根據相關關系等知識確定正確答案.
【詳解】具有相關關系的是（1）（4），
（2）是確定關系，（3）不具有相關關系.
故選：B
7．C
【分析】根據相關關系和函數關系的概念即可判斷
【詳解】A、D是函數關系；B是不相關關系；C是相關關系，
故選：C
8．A
【分析】根據已知條件結合相關系數的定義分析判斷即可
【詳解】因為比較接近1，
所以說明二者之間存在著高度相關，
故選：A.
9．確定關系
【分析】根據兩個變量的相關關系的概念分析可得答案.
【詳解】由題表中數據可以得到x，y之間是一種函數關系，函數解析式為，
所以x，y之間是一種確定的關系，即函數關系．
故答案為：確定關系．
10．0.3
【詳解】由題可知：
故答案為：0.3
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑