資源簡介

8.1.1變量的相關關系+8.1.2樣本相關系數
第二練 強化考點訓練
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.會利用散點圖判斷相關性，，培養直觀想象，如第5題；
2.會求相關系數，鍛煉運算求解能力，如第12，13題；
（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習）
1．開始吸煙年齡與得肺癌的相對危險度相對應的一組數據為，；每天吸煙的支數與其得肺癌的相對危險度相對應的一組數據為，．用表示變量與之間的線性相關系數，用表示變量與之間的線性相關系數，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·陜西·階段練習）
2．設變量和變量的樣本相關系數為，變量和變量的樣本相關系數為，且，，則（ ）
A．和之間呈正線性相關關系，且和的線性相關程度強于和的線性相關程度
B．和之間呈負線性相關關系，且和的線性相關程度強于和的線性相關程度
C．和之間呈負線性相關關系，且和的線性相關程度弱于和的線性相關程度
D．和之間呈正線性相關關系，且和的線性相關程度弱于和的線性相關程度
（2023·高二下·重慶沙坪壩·階段練習）
3．已知變量和滿足關系，變量y與正相關，則（ ）
A．與負相關，與負相關 B．與正相關，與正相關
C．與正相關，與負相關 D．與負相關，與正相關
（2024·重慶·模擬預測）
4．為弄清兩隨機變量、之間的關系，某人經過調研得到一組數據，并計算出、之間的相關系數為， 則隨機變量、存在（ ）
A．相互獨立 B．基本不相關 C．高度正相關 D．高度負相關
（2024·山西運城·一模）
5．對變量，有觀測數據，得散點圖1；對變量，有觀測數據，得散點圖2. 表示變量，之間的樣本相關系數，表示變量，之間的樣本相關系數，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高二下·陜西咸陽·階段練習）
6．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，選擇了4個不同的模型，模型1的相關系數為，模型2的相關系數為，模型3的相關系數為，模型4的相關系數為，其中擬合效果最好的模型是（ ）
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
（23-24高一上·江西吉安·期末）
7．對于樣本相關系數，下列說法錯誤的是（　　）
A．可以用來判斷成對樣本數據相關的正負性
B．可以是正的，也可以是負的
C．樣本相關系數越大，成對樣本數據的線性相關程度也越高
D．取值范圍是
（2023高二·全國·專題練習）
8．相關變量的散點圖如圖所示，現對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據圖中所有數據，得到線性回歸方程，相關系數為；方案二：剔除點，根據剩下數據得到線性回歸直線方程：，相關系數為.則（ ）

A．
B．
C．
D．
（2024·湖南·模擬預測）
9．某騎行愛好者在專業人士指導下對近段時間騎行鍛煉情況進行統計分析，統計每次騎行期間的身體綜合指標評分與騎行用時（單位：小時）如下表：
身體綜合指標評分 1 2 3 4 5
用時小時） 9.5 8.8 7.8 7 6.1
由上表數據得到的正確結論是（ ）
參考數據：
參考公式：相關系數.
A．身體綜合指標評分與騎行用時正相關
B．身體綜合指標評分與騎行用時的相關程度較弱
C．身體綜合指標評分與騎行用時的相關程度較強
D．身體綜合指標評分與騎行用時的關系不適合用線性回歸模型擬合
（22-23高二下·河南南陽·階段練習）
10．變量X與Y相對應的一組數據為：（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應的一組數據為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關系數，表示變量V與U之間的線性相關系數，則與的大小關系是 .
（22-23高二下·遼寧沈陽·期中）
11．在散點圖中，若所有的樣本點都落在一條斜率為非0實數的直線上，則相關系數 ．
（22-23高二下·江蘇·課后作業）
12．某部門所屬的10個工業企業的固定資產價值x與工業增加值y資料如下表（單位：百萬元）：
固定資產價值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
工業增加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根據上表資料計算的相關系數約為 ．
（23-24高三上·陜西·期中）
13．人口結構的變化，能明顯影響住房需求.當一個地區青壯年人口占比高，住房需求就會增加，而當一個地區老齡化嚴重，住房需求就會下降.某機構隨機選取了某個地區的10個城市，統計了每個城市的老齡化率和空置率，得到如下表格.
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
老齡化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
并計算得.
(1)若老齡化率不低于，則該城市為超級老齡化城市，根據表中數據，估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率；
(2)估計該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數（結果精確到0.01）.
參考公式：相關系數.
【易錯題目】第12，13題
【復盤要點】根據題意求相關系數
【典例】（2024高三·全國·專題練習）學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠愈受益．為實現中華民族偉大復興，全國各行各業掀起了“學習強國”的高潮．某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰答題”模塊，他記錄了自己連續七天每天一次最多答對的題數如下表：
天數x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答對題數y 12 15 16 18 21 24 27
參考數據：，，，，，
相關系數
由表中數據可知該老師每天一次最多答對題數y與天數x之間是正相關，其相關系數 （結果保留兩位小數）.
【答案】0.99
【分析】根據題意，由相關系數的計算公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意
.
故答案為：.
【易錯警示】熟記公式，變量x和變量y的樣本相關系數r的計算公式如下：
r＝.
【復盤訓練】
（22-23高二下·江蘇·單元測試）
14．一唱片公司欲知唱片費用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關系，從其所發行的唱片中隨機抽選了10張，得如下的資料：，，，，，則y與x的相關系數r的絕對值為（ ）
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
（河南省南陽市六校2022-2023學年高二下學期第一次聯考數學（文）試題）
15．在一組樣本數據不全相等的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（ ）
A． B．0 C．1 D．
（21-22高二·全國·課時練習）
16．一唱片公司欲知唱片費用x（十萬元）與唱片銷售量y（千張）之間的關系，從其所發行的唱片中隨機抽取了10張，得到如下的資料：，則y與x的相關系數r為 ．
（22-23高二下·江蘇·課后作業）
17．某部門所屬的10個工業企業的固定資產價值x與工業增加值y資料如下表（單位：百萬元）：
固定資產價值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
工業增加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根據上表資料計算的相關系數約為 ．
（2023高三上·全國·專題練習）
18．如圖是我國2014年至2020年年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.
注：年份代碼1～7分別對應年份2014～2020.
由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明.
參考數據：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.
參考公式：相關系數
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】借助線性相關系數的定義判斷即可得.
【詳解】由與相對應的數據可得，隨的增大而減小，呈負相關，故，
由與相對應的數據可得，隨的增大而增大，呈正相關，故，
故.
故選：D.
2．D
【分析】根據對變量間的相關系數的意義和辨析即可得出結果.
【詳解】由線性相關系數，可知變量與之間呈負線性相關關系，
由線性相關系數，可知變量與之間呈正線性相關關系，
又，
所以變量與的線性相關程度比變量與的線性相關程度強.
故選：D.
3．A
【分析】根據關系式判斷負相關，再由變量y與正相關可得負相關即可判斷.
【詳解】因為變量和滿足關系，變量y與正相關，
由正相關、負相關的定義可知與負相關，與負相關.
故選：A
4．D
【分析】根據相關系數的概念判斷即可.
【詳解】因為、之間的相關系數為，且非常接近，
所以隨機變量、高度負相關.
故選：D
5．A
【分析】利用散點圖，結合相關系數知識容易得出答案.
【詳解】從圖像中看出隨增大而減少（圖像下降），隨增大而減少（圖像下降），則與呈負相關關系， 與呈負相關關系，即，故C，D不正確；
另外對比兩圖，容易看出與相關性更強，故越接近，
所以得，A正確，B錯誤.
故選：A.
6．B
【分析】利用相關系數的絕對值越接近于1，擬合效果越好判斷即得.
【詳解】4個不同的模型相關系數的絕對值由小到大依次為：，
而相關系數的絕對值越接近于1，擬合效果越好，
所以擬合效果最好的模型是模型2.
故選：B
7．C
【分析】利用相關系數的概念，結合選項可以判斷.
【詳解】對于相關系數的定義：
當相關性越強，相關系數就越接近于；
當相關系數的絕對值越小，相關性越弱；
當系數為正數時，為正相關，系數為負數時，為負相關.
故選：C．
8．D
【分析】根據相關系數的意義：其絕對值越接近，說明兩個變量越具有線性相關，以及負相關的意義作判斷.
【詳解】由散點圖得負相關，所以，
因為剔除點后，剩下點數據更線性相關性更強，則更接近，
所以.
故選：D.
9．C
【分析】求出相關系數，根據相關系數的大小確定答案即可.
【詳解】因為相關系數.
即相關系數近似為與負相關，且相關程度相當高，從而可用線性回歸模型擬合與的關系.
所以選項ABD錯誤，C正確.
故選：C.
10．
【分析】通過相關系數的知識確定正確答案.
【詳解】由數據可知與正相關，與負相關，
所以，則.
故答案為：
11．1
【分析】根據相關系數的含義分析可得.
【詳解】當散點圖的所有點都在一條斜率為非0實數的直線上時，它的殘差為0，殘差的平方和為0，所以它的相關系數為，即．
故答案為：1．
12．
【分析】根據表格中的數據，結合相關系數的公式，準確計算，即可求解.
【詳解】根據表格中的數據，可得，
，
則.
故答案為：.
13．(1)估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率為
(2)該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數約為0.63
【分析】（1）由已知數據確定老齡化率不低于的城市個數后用頻率估計概率；
（2）根據所給公式計算相關系數可得．
【詳解】（1）由表中數據可知，調查的10個城市中，老齡化率不低于的有4個，
故估計該地區城市為超級老齡化城市的頻率為.
（2），
則
.
故該地區城市的老齡化率和空置率的相關系數約為0.63.
14．D
【分析】運用相關系數公式進行求解即可.
【詳解】因為，，所以，
，
故選：D.
15．A
【分析】根據樣本數據的所有樣本點都在一條直線上，得出這組樣本數據完全相關，再根據直線的斜率得出是正相關還是負相關即可.
【詳解】這組樣本數據的所有樣本點都在直線上，
這組樣本數據完全相關，
即說明這組數據的樣本完全負相關，其相關系數是
故選：A.
16．0.3
【詳解】由題可知：
故答案為：0.3
17．
【分析】根據表格中的數據，結合相關系數的公式，準確計算，即可求解.
【詳解】根據表格中的數據，可得，
，
則.
故答案為：.
18．答案見解析
【分析】根據相關系數計算即可.
【詳解】由折線圖中數據和附注中參考數據得＝4，，，，.
因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁8.1.1變量的相關關系+8.1.2樣本相關系數
第二課 歸納核心考點
題型一 相關關系的判斷
例1.（1）下列關系中，是相關關系的有______．
①正方形的邊長與面積之間的關系；
②廣告費支出與銷售額之間的關系；
③人的身高與體重之間的關系．
（2）某個男孩的年齡與身高的統計數據如表：
年齡/歲 1 2 3 4 5 6
身高/厘米 78 87 98 108 115 120
畫出散點圖，并判斷它們是否有相關關系．如果有相關關系，是正相關還是負相關．
（1）【解析】①正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系；
②廣告費支出與銷售額之間的關系不是嚴格的函數關系，但是具有相關性，因而是相關關系；
③人的身高并不能確定體重，但一般來說“身高者，體也重”，我們說身高與體重這兩個變量具有相關關系，因此填②③．
【答案】②③
點透 這類題主要是區分相關關系和函數關系．
（2）【解】散點圖是分析變量相關關系的重要工具．作出散點圖如圖所示．
由圖分析可知，該男孩的身高與年齡具有線性相關關系，且是正相關．
【方法總結】兩個變量是否具有相關關系的兩種判斷方法：
（1）根據實際經驗，借助積累的經驗進行分析判斷．
（2）利用散點圖．通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規律，直觀地進行判斷．如果發現點的分布從
【變式訓練1-1】
1．下列說法正確的是（ ）．
A．任意兩個變量都具有相關關系
B．球的體積與該球的半徑具有相關關系
C．農作物的產量與施肥量之間是確定性關系
D．學生的數學成績與物理成績之間是非確定性的關系
【變式訓練1-2】
[貴州貴陽2021高二期末]
2．如下四個散點圖中，正相關的是（ ）
A． B．
C． D．
整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響．
題型二 相關性檢驗
例2．在我國，大學生就業壓力日益嚴峻，伴隨著政府政策引導與社會觀念的轉變，大學生創業意識、就業方向也悄然發生轉變．某大學生在國家提供的稅收、擔保貸款等很多方面的政策扶持下選擇加盟某專營店自主創業，該專營店統計了近五年來創收利潤數y（單位：萬元）與時間t（單位：年）的數據，列表如下：
t 1 2 3 4 5
y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
依據表中給出的數據，判斷y與t的線性相關程度，請計算樣本相關系數r并加以說明．（計算結果精確到0.01，若，則線性相關程度很高）
附：樣本相關系數公式．
參考數據：．
【解】由題可知，，，
則，
故創收利潤數y與時間t的線性相關程度很高．
【方法總結】根據相關性檢驗來判斷它們是否線性相關，具體步驟如下：
（1）利用題中數據計算，；（2）利用公式求解；（3）判斷相關關系強弱．
【變式訓練2-1】
[陜西渭南2022高二期末]
3．對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】
[吉林省吉林市2021二模]
4．某貧困縣為了響應國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面（單位：畝）與相應的管理時間（單位：月）的關系如表所示：
土地使用面積（單位：畝） 1 2 3 4 5
管理時間（單位：月） 8 11 14 24 23
作出散點圖，判斷管理時間與土地使用面積是否線性相關，并根據相關系數說明相關關系的強弱．（若，認為兩個變量有較強的線性相關性，的值精確到0.001）
注：畝，我國市制土地面積單位，1畝≈666.7平方米．
參考公式：．
參考數據：，，．
易錯點 不能正確判斷兩個變量是否具有相關性而致錯例．影響消費水平的原因是很多的，其中重要的一項是工資收入．下表是我國某地區2016年～2021年職工平均工資與城鎮居民消費水平（單位：萬元）的數據．
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021
職工平均工資 6.6 7.2 7.8 8.5 8.4 9.5
城鎮居民消費水平 4.1 5.0 5.2 6.3 5.8 6.6
以x表示職工平均工資，y表示城鎮居民消費水平，繪制散點圖如圖所示，判斷這兩個變量是否具有線性相關關系．
【錯解】從題圖中可以看出，雖然這6個點大致分布在一條直線的附近，但第5個點離這條直線太遠，所以這兩個變量不具有線性相關關系．
【正解】從題圖中可以看出，除第5個點外，其余5個點大致分布在一條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關關系．
易錯警示 判斷是否具有線性相關關系，要看大部分點是否分布在一條直線附近，個別點是不影響大局的．
5．某連鎖經營公司所屬的5個零售店某月的銷售額x（單位：千萬元）和利潤額y（單位：百萬元）資料如表：
零售店名稱 A B C D E
銷售額x/千萬元 3 5 6 7 9
利潤額y/百萬元 2 3 3 4 5
畫出銷售額和利潤額的散點圖，并判斷這兩個變量是否具有線性相關關系．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據相關關系和函數關系的概念逐項分析判斷.
【詳解】對于A：當兩個變量之間具有確定的關系時，兩個變量之間是函數關系，而不是相關關系，故A錯誤；
對于B：球的體積與該球的半徑之間是函數關系，故B錯誤；
對于C：農作物的產量與施肥量之間的關系是相關關系，是非確定性關系，故C錯誤；
學生的數學成績與物理成績之間的關系是相關關系，是非確定性關系，故D正確．
故選：D．
2．A
【解析】根據散點圖中點的分布情況，判斷是否具有相關性和正負相關關系.
【詳解】對于A，散點圖中的點從左向右是上升的，且在一條直線附近，是正相關；
對于B，散點圖中的點從左向右是下降的，且在一條直線附近，是負相關；
對于C、D，散點圖中的點不成帶狀分布，沒有明顯的相關關系；
故選：A.
【點睛】方法點睛：該題考查的是有關正負相關的判斷問題，解題方法如下：
（1）觀察圖中散點圖是不是成帶狀區域；
（2）判斷其從左往右上升正相關，下降負相關.
3．A
【分析】根據散點圖中點的分布的特征，結合線性相關定義可得答案.
【詳解】由給出的散點圖可以看出，題圖①和題圖③是正相關，相關系數大于0，
題圖②和題圖④是負相關，相關系數小于0．
題圖①和題圖②的點相對更加集中，所以相關性更強，所以接近于1，接近于，
由此可得．
故選：A．
4．散點圖見解析，管理時間與土地使用面積線性相關，因為，所以管理時間與土地使用面積線性相關性較強．
【分析】根據表格數據畫出散點圖，即可判斷線性相關性，再根據所給公式計算出相關系數即可.
【詳解】根據表格數據可得散點圖如圖所示．
由散點圖可知，管理時間與土地使用面積線性相關．
依題意，，又，
，
，
，
則．
因為，所以管理時間與土地使用面積線性相關性較強．
5．散點圖見解析，這兩個變量具有線性相關關系
【分析】由已知數據作出散點圖結合線性相關關系即可得出結論．
【詳解】根據連鎖經營公司所屬的5個零售店某月的銷售額和利潤額資料畫出散點圖如下．
從圖中可以看出，5個點大致分布在一條直線附近，所以這兩個變量具有線性相關關系．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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