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專題5 導數(shù)與構造函數(shù)問題
【典例1-1】（22-23高二下·福建龍巖·期中）
1．是自然對數(shù)的底數(shù)，，，已知，則下列結論一定正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，則
【典例1-2】（2023·廣東佛山·一模）
2．若正實數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【題后反思】常見的同構變形：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
（8） （9）
【舉一反三】
3．若，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江蘇南通·二模）
4．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-1】
5．下列不等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（23-24高二上·湖南長沙·期末）
6．若，則（ ）
A． B．
C． D．
【題后反思】（1）最常見的構造比大小函數(shù)：型函數(shù)

函數(shù)極值點：
此函數(shù)定義域為，求導，
當時，，故為增函數(shù)，
當時，，故為減函數(shù)，
當時，取得極大值為，
且，此結論經(jīng)常用來把函數(shù)轉化到同一邊進行比較；
（2）其他形式比大小：根據(jù)各個數(shù)字的特征，利用共同特征構造函數(shù)求解單調(diào)性進行判斷.
【舉一反三】
（22-23高二下·河南周口·期中）
7．若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·遼寧·期中）
8．設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-1】
9．已知函數(shù)在上可導且滿足，則下列不等式一定成立的為（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（22-23高三上·廣東潮州·期末）
10．已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，滿足，（為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則（ ）
A． B．
C．在處取得極小值 D．無極大值
【題后反思】1、兩個基本還原
① ②
2、類型一：構造可導積函數(shù)
① 高頻考點1：
②
高頻考點1： 高頻考點2
③ 高頻考點1：
④
高頻考點1： 高頻考點2
⑤
⑥
序號 條件 構造函數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
3、類型二：構造可商函數(shù)
① 高頻考點1：
②
高頻考點1： 高頻考點2：
③
⑥
【舉一反三】
（22-23高二下·四川成都·期末）
11．記函數(shù)的導函數(shù)為，若為奇函數(shù)，且當時恒有成立，則（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二下·上海·階段練習）
12．已知定義在上的函數(shù)關于軸對稱，其導函數(shù)為，當時，不等式．若對，不等式恒成立，則的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BC
【分析】由題可得單調(diào)性，.A選項，通過取可構造反例；B選項，由題可得，結合單調(diào)性可判斷選項；C選項，當時，顯然正確；當時，在時，，則此時，后結合單調(diào)性可判斷選項；D選項，通過取可構造反例.
【詳解】構造函數(shù).則，
當時，；
時， .
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又由題.
A選項，取，則，因在上單調(diào)遞增，
則滿足題意，但此時，故A錯誤；
B選項，若，，則，又由題可知，
且在上單調(diào)遞增，則，故B正確；
C選項，若，當時，，滿足題意；
當時，構造函數(shù)，注意到當時，
，又，則.
又因，則.因，在上單調(diào)遞增，
則.綜上，若，則，故C正確；
D選項，取，則，又在上單調(diào)遞減，
則滿足題意，但此時，故D錯誤.
故選：BC
【點睛】關鍵點精：本題涉及證明不等式，常需通過觀察找到題目中的相同結構，進而構造出需要的函數(shù)，此外此題作為選擇題，找到合適的反例可幫助我們快速解決問題.
2．AC
【分析】依題意可得，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，再令，利用導數(shù)說明，即，從而得到，當且僅當時取等號，即可判斷.
【詳解】解：因為，所以，
因為，所以，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
由，可得，
令，則，所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，則，即當且僅當時取等號，
即當且僅當時取等號，
又，所以，當且僅當時取等號，
當時或，
結合與的圖象也可得到
所以或.
故選：AC
3．C
【分析】AB選項一組，CD選項一組，分別構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較即可
【詳解】對于AB選項:；
構造函數(shù)，A項可變成；B項可變?yōu)?br/>求導得，令即
所以，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增，
因為，且，所以無法判斷的大小關系，故AB錯誤
對于CD選項：;
構造函數(shù)，C項變?yōu)椋籇項變?yōu)?br/>求導得，令即
所以，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；
因為，根據(jù)單調(diào)性可得，即
故選：C
4．ABD
【分析】證明，放縮可判斷A，由，放縮可判斷B，先證出，再放縮，根據(jù)再放縮即可判斷C，可得，令，轉化為，構造，利用導數(shù)判斷單調(diào)性求函數(shù)最小值即可判斷D.
【詳解】由，可得，
，
令，則，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，所以，即，
由知，A正確；
由可得，可得（時取等號），
因為，所以，B正確；
時，，則，
，C錯誤；
，
令，則，
，
在單調(diào)遞增，，，故D正確.
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：比較式子的的大小，要善于對已知條件變形，恰當變形可結合，，放縮后判斷AB選項，變形，再令，變形，是判斷D選項的關鍵，變形到此處，求導得最小值即可.
5．AC
【解析】構造函數(shù)，利用導數(shù)分析其單調(diào)性，然后由、、、得出每個選項的正誤.
【詳解】令，則，令得
易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
所以①，即，即，故A正確
②，即，所以可得，故B錯誤
③，即，即
所以，所以，故C正確
④，即，即，即
所以，故D錯誤
故選：AC
【點睛】本題考查的是構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關鍵是函數(shù)的構造和自變量的選擇，屬于較難題.
6．C
【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，結合單調(diào)性分析判斷.
【詳解】因為，
構造函數(shù)，則，
令，解得；當時，令，解得；
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
且，所以，即.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)題意構建，結合函數(shù)單調(diào)性比較大小.
7．AC
【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，，再借助導數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性并證明恒成立的不等式作答.
【詳解】令函數(shù)，求導得，當時，，當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，
設，則，
當且僅當時取等號，而函數(shù)在上遞增，，，
則函數(shù)在上存在零點，取，因此，即，A正確，B錯誤；
設，由，得，當時，，當且僅當時取等號，
于是，
則有，即有，
取，因此，即，C正確，D錯誤．
故選：AC
【點睛】思路點睛：涉及實數(shù)大小比較，可根據(jù)給定條件構造函數(shù)，利用導數(shù)并探討函數(shù)單調(diào)性，再賦值即可判斷作答.
8．C
【分析】構造函數(shù)研究其單調(diào)性來比較，構造函數(shù)研究其單調(diào)性來比較即可.
【詳解】由，
設，，
∴，
當時，
∴在上單調(diào)遞減，
∴，即
所以；
由
設，則，
所以，
當時，，
所以，
所以在單調(diào)遞減，
又，
所以，
因為，
所以，即，
所以，
故選：C.
9．C
【分析】構造函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.
【詳解】構造函數(shù)，
在時恒成立，
所以在時單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
故選:C.
10．BCD
【分析】設，對其求導可得，因此設，根據(jù)題意可得的解析式，對A：利用導數(shù)判斷的單調(diào)性分析判斷，對B、C、D：利用導數(shù)判斷的單調(diào)性分析判斷.
【詳解】設，則，
可設，則，解得，
故，即，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
∴，即，則，A錯誤；
∵，令，解得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，在處取得極小值，無極大值，
B、C、D均正確
故選：BCD.
【點睛】結論點睛：
（1）形式，聯(lián)想到；
（2）形式，聯(lián)想到.
11．B
【分析】根據(jù)，構造函數(shù)，利用其單調(diào)性結合奇函數(shù)性質比較.
【詳解】令，則，
當時恒有，所以，
則在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，選項A錯誤；
，則，即，選項B正確；
，則，又為奇函數(shù)，所以，選項C錯誤；
由得，選項D錯誤；
故選：B
12．
【分析】構造函數(shù)，判斷單調(diào)性及奇偶性，去掉函數(shù)符號，轉化為恒成立,分離參數(shù)求最值即可求解.
【詳解】定義在上的函數(shù)關于軸對稱，函數(shù)為上的偶函數(shù)．
令，則,為奇函數(shù)．
．
當時，不等式．
，在單調(diào)遞增．
函數(shù)在上單調(diào)遞增．
對，不等式恒成立，
,
即
．
當時，，
則，
則；；
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，
．
當時，，則，則
則的取值范圍是.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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