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專題4 用導數研究函數性質的參數問題
【典例1-1】
（22-23高二下·浙江·期中）
1．已知函數在上有三個單調區間，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（23-24高二上·浙江寧波·期中）
2．若函數在區間上有單調遞增區間，則實數的取值范圍是 ．
【題后反思】已知函數單調區間求參數問題，即已知導數的零點求參數，結合基本初等函數相關知識求解并檢驗即可.
【舉一反三】
（22-23高二下·廣西·期中）
3．若函數在存在單調遞減區間，則a的取值范圍為 ．
（22-23高二下·北京海淀·期中）
4．已知函數，若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 ；若在區間上存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍是 .
【典例2-1】
（22-23高二下·山東濟寧·期中）
5．若在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
（22-23高二下·山東淄博·期中）
6．已知當時，恒成立，則m的取值范圍是
【題后反思】函數在某個區間上單調求參數的范圍
1.數形結合：對于基本初等函數、分段函數，可結合函數圖象列不等式，求參數的取值范圍；
2.借助導數：轉化為導函數在這個區間上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出參數的范圍.
【舉一反三】
（22-23高二下·四川巴中·期中）
7．若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
（22-23高二下·福建漳州·期中）
8．已知函數.
(1)當時，求函數的單調遞減區間；
(2)若函數在上單調遞增，求實數a的取值范圍．
【典例3-1】
（22-23高二下·北京·期中）
9．已知函數，當（ ）時，在處有極小值.
A．0 B．-1
C．1 D．-2
【典例3-2】
（22-23高二下·河南·期中）
10．若函數有兩個極值點，則非負實數的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C．或 D．或
【題后反思】已知極值點求參數
已知函數的極值點求參數，往往是通過列方程來求解：
1.求參數的值：①導函數在極值點處的函數值等于0；②極值也是函數值，函數在極值點處的函數值等于極值；
2.驗證：極值點都是導函數方程的解，但導函數方程的解不一定是極值點，要使導函數方程的解是極值點，必須滿足函數在這個解左右兩邊的單調性正好相反，因此求出參數后，需帶入原函數驗證.
【舉一反三】
（2023高二下·山東臨沂·期中）
11．函數在時有極小值0，則（ ）
A．7 B．6 C．11 D．4
（22-23高二下·湖南邵陽·期中）
12．已知函數．
(1)若曲線在處的切線斜率為，求的值；
(2)若函數（其中是的導函數）有兩個極值點、，且，求的取值范圍．
【典例4-1】
（22-23高二下·江西九江·期中）
13．若函數存在兩個極值，則實數的取值范圍是 .
【典例4-2】
（22-23高二下·吉林白城·期中）
14．若函數在區間內存在最大值，則實數的取值范圍是 ．
【題后反思】已知函數的最值求參：一般先求出函數在給定區間上的最值（含參數），根據最值列方程組或不等式組求參數的范圍.
【舉一反三】
（22-23高二下·四川遂寧·期中）
15．已知函數，若，則的最小值為 .
（22-23高二下·福建龍巖·期中）
16．已知函數在處取得極值1.
(1)求、b的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
【典例5-1】
（22-23高二下·吉林長春·期中）
17．已知函數
(1)當時，求的極值；
(2)討論的單調性；
(3)若，求在區間的最小值.
【典例5-2】
（22-23高二下·四川綿陽·期中）
18．已知函數．
(1)討論函數的單調區間；
(2)當時，函數在上的最大值為，求實數的值．
【題后反思】討論的角度：
①討論最高次冪的系數是否為0；
②討論導函數是否有變號零點；
③若導函數有變號零點，討論變化零點是否在函數定義域或指定區間內；
④討論導函數的變號零點之間的大小關系．
【舉一反三】
（22-23高二下·河南周口·期中）
19．已知函數．
(1)討論函數的單調區間；
(2)證明：．
（22-23高二下·遼寧沈陽·期中）
20．已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若對任意的不等正數，且，總有，求實數a的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BD
【分析】將問題等價于在有兩個不同的實數根，進一步轉化為在有唯一不為1的根，構造函數，求導得單調性即可求解.
【詳解】由題意可知函數在上有三個單調區間，等價在有兩個不同的根.，令，則，
即在有唯不為1的一根，則有有唯一不為1的根，
令，則，故當 單調遞增，
當 單調遞減，且
即，
故選：BD
2．
【分析】根據題意轉化為在上有解，分離參數后求函數最值即可得解.
【詳解】，由題意在上有解，
即在上有解，
根據對勾函數的性質可知，在上單調遞增，所以在時取最大值，
故，故實數的取值范圍是.
故答案為：
3．
【分析】將題意轉化為：在有解，利用參變量分離得到，轉化為，結合導數求解即可．
【詳解】，等價于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
則，即在上是增函數，
∴，所以.
故答案為：.
4．
【分析】函數求導后，函數在區間內單調遞增，轉換成在上恒成立，孤立參數得，轉換成求函數最大值，從而得實數的取值范圍；
在區間上存在單調遞增區間轉換成在上能成立，孤立參數得，轉換成求函數最小值，從而得實數的取值范圍.
【詳解】因為，，
在區間內單調遞增，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立，
，，因為在，
，則的取值范圍是：.
若在上存在單調遞增區間，則在上有解，
即在上有解，，
又，.則的取值范圍是：.
故答案為：；.
5．D
【分析】由單調性可知在上恒成立，結合二次函數性質可得，由此可得的取值范圍.
【詳解】在上單調遞增，在上恒成立，
在上單調遞增，，解得：，
的取值范圍為.
故選：D.
6．
【分析】構造函數，根據其單調性，分離參數得在上恒成立，再求出右邊的最大值即可.
【詳解】因為，
所以，
構造，
因為，
所以，
因為，所以在上是減函數.
因為，所以，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
構造，顯然在上單調遞增，
所以，即.
故答案為: .
7．C
【分析】求導，根據導函數在上恒成立即可求解.
【詳解】，
函數在區間單調遞增，
在區間上恒成立．在上恒成立，
而在區間上單調遞減，．
故選：C
8．(1)
(2)
【分析】（1）求定義域，求導后令，求出單調遞減區間；
（2）根據題意得到在上恒成立，分離參數后，構造，，求出最值，得到答案.
【詳解】（1）由題意知，函數的定義域為，
當時，，
由得，故的單調遞減區間是．
（2）由題意得，
，
因為在上單調遞增，則在上恒成立，
即，故在上恒成立，
設，．
在恒成立，故在單調遞減，
∴在上，，
∴，故實數a的取值范圍是.
9．C
【分析】求導得到導函數，討論，，三種情況，根據單調性計算極值得到答案.
【詳解】，則，
①當時，和時，，函數單調遞減；
時，，函數單調遞增，
故函數在處取得極大值，不滿足；
②當時，，函數無極值，不滿足；
③當時，和時，，函數單調遞增；
時，，函數單調遞減，
故函數在處取得極小值，滿足；
綜上所述：.
故選：C.
10．D
【分析】利用導數分析的單調性，畫出兩段函數的圖象，結合圖象分析即可求解.
【詳解】對于，，
令，可得.
當時，，所以為增函數，
當時，，所以為減函數，
當時，，所以為增函數，
所以在處有極大值為，
在處有極小值為，
所以在同一坐標系中作出的圖像，如圖所示：
若有兩個極值點，則或.
故選：D
11．C
【分析】求出導函數，根據已知列出關系式，求解得出或.分別代入導函數，得出函數的單調區間，檢驗即可得出答案.
【詳解】由已知可得，.
因為在時有極小值0，
所以有，即，
解得或.
當時，恒成立，所以，在R上單調遞增，此時沒有極值點，舍去；
當時，.
由可得，或.
由可得，，所以在上單調遞減；
由可得，或，所以在上單調遞增，在上單調遞增.
所以，在處取得極大值，在處取得極小值，滿足題意.
所以，，.
故選：C.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據導數的幾何意義可得，計算得解；
（2）根據題意，兩個極值點、是的兩根，可得，，得，且，代入化簡得，構造函數利用導數求出最值得解.
【詳解】（1）因為的定義域為，而，
所以，可得：，
解得.
（2），
則的定義域為，，
若有兩個極值點、，且，
則方程的判別式，且，
，得，且．
所以
，，
設，
則在上恒成立，
故在單調遞減，
從而，，
所以的取值范圍是．
13．
【分析】求出函數的導函數，依題意可得方程有兩不相等實數根，則，即可求出參數的取值范圍.
【詳解】函數的定義域為，且，
因為函數存在兩個極值，所以即有兩不相等實數根，
即，解得或，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：
14．
【分析】由題意，求導確定函數的單調性，從而作出函數的簡圖，由圖象求實數的取值范圍．
【詳解】由題意，，
令，解得或，令，解得，
故在，上是減函數，在上是增函數，
作其圖象如下圖，
所以當時，取得最大值為，
令，解得，或，
則結合圖象可知，
，
解得，,．
故答案為：．
15．
【分析】令，則，求導，利用導數研究函數的最小值即可.
【詳解】設，即，解得，
所以，令，則，令，解得，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為，所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：對于雙變量的范圍問題，往往轉化為一個變量（解方程、主元法等），構造函數后利用導數研究函數的單調性，進一步求出函數的值域即可.
16．(1)，
(2)最大值為1，最小值為
【分析】（1）由題意，根據極值點、極值的含義得，可求出、的值，再利用導數與函數極值點之間的關系驗證即可；
（2）利用導數求出函數在區間上的單調性，即可求得函數在上的最大值和最小值.
【詳解】（1）因為，該函數的定義域為，
則，
因為函數在處取得極值1，
則，解得，，則，
所以，，令，可得，列表如下：
1
+ 0
增 極大值 減
所以，函數在取得極大值，合乎題意，故，.
（2）由（1）可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，，
又因為，，
因為，
所以，故.
17．(1)，
(2)當時的單調增區間為，，單調減區間為；
當時在R上單調遞增；
當時的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；
(3)
【分析】（1）求出函數的導函數，再解關于導函數的不等式，即可得到函數的單調區間與極值；
（2）求導函數，分，，討論可得結果；
（3）結合（2）的結論，分、兩種情況討論，分別求出函數的最小值.
【詳解】（1）當時定義域為R，
且，
所以當或時，當時，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
即，；
（2）函數定義域為R，則，
令，解得或，
①當時，則當或時，，
當時，，
所以的單調增區間為，，單調減區間為；
②當時，恒成立，所以在R上單調遞增；
③當時，當或時，，當時，，
所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，
綜上可得當時的單調增區間為，，單調減區間為；
當時在R上單調遞增；
當時的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；
（3）因為，由（2）可得的單調增區間為，，單調減區間為，
若，即時在上單調遞減，
所以在上的最小值為，
若，即時，在單調遞減，在單調遞增，
所以在的最小值為，
所以.
18．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求出的導函數，對分類討論分析導函數的符號，可得函數的單調性；
（2）由題意，令，利用的單調性可得，從而在上單調遞減，即可確定在上的最大值，從而得解.
【詳解】（1）由題意得，
當時，在上恒成立，故函數在上單調遞增；
當時，當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
綜上，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在單調遞增，上單調遞減．
（2）由題意，，
，
令，，
當時，，單調遞減，則，
則，則在上單調遞減，
故在上的最大值為，
所以.
19．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出的定義域，以及，分、兩種情況討論，分析導數的符號變化，即可得出函數的增區間和減區間；
（2）當時，分析函數的單調性，分析可得，即可得出，于是得出，即為，綜合可得出結論.
【詳解】（1）解：的定義域是，，
當時，在時恒成立，此時，函數的增區間為；
當時，令，得，令，得，
此時，函數的增區間為，減區間為.
綜上所述，當時，函數的增區間為，無減區間；
當時，函數的增區間為，減區間為.
（2）證明：當時，，
由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，當時，，即，則，
所以，，即，
綜上可得．
20．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，求導可得，然后分與討論，即可得到結果；
（2）根據題意，將不等式轉化為在上單調遞增，然后構造函數
，分離參數，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1），，，
∴，
①當時，，單調遞增，
②當時，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減，綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在單調遞增．
（2）在上單調遞增，
∴在上恒成立，
令，，
則在上恒成立，∴，
令，，則，
在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減，
∴，∴，∴，
即實數的取值范圍為．
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及利用導數研究函數極值問題，難度較大，解決問題的關鍵在于，將問題轉化為在上單調遞增，然后利用導數研究，分離參數，轉化為極值問題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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