資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題3 與曲線(xiàn)的切線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題
【典例1-1】（23-24高二上·河北·期中）
1．設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高二下·遼寧·期中）
2．過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)圖像相切的直線(xiàn)方程是（ ）
A． B． C． D．
【題后反思】
求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題主要分兩大類(lèi)：
一類(lèi)是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)和斜率即可；
另一類(lèi)是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示切線(xiàn)的斜率以及切線(xiàn)方程，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)求切點(diǎn)，得出切線(xiàn)方程.
【舉一反三】
3．直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)相切，則直線(xiàn)的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
4．已知，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-1】（22-23高二下·山東泰安·期中）
5．若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)恰為直線(xiàn)，則（ ）
A．3 B． C．1 D．
【典例2-2】（22-23高二下·北京·期中）
6．函數(shù)與函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線(xiàn)相同，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．或
【題后反思】
【典例2-2】考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線(xiàn)方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想.
【舉一反三】
（22-23高二下·北京·期中）
7．若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為2，則t的值為（ ）
A．–1 B． C．0 D．1
（22-23高二下·重慶·期中）
8．若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的值為（ ）
A． B．2或 C．2 D．1或
【典例3-1】（22-23高二上·安徽·期中）
9．拋物線(xiàn)與的兩條公切線(xiàn)（同時(shí)與兩條曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)叫做兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】
10．已知方程的兩實(shí)根為，，若函數(shù)在與處的切線(xiàn)相互垂直，滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)為
A．1 B．2 C．3 D．4
【題后反思】
【典例3-2】考查利用過(guò)曲線(xiàn)外一點(diǎn)作曲線(xiàn)切線(xiàn)的條數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于寫(xiě)出切線(xiàn)方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程，將切線(xiàn)與切點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想求解．
【舉一反三】
（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）
11．若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則（ ）
A． B． C． D．
12．若函數(shù)與存在兩條公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-1】（22-23高二下·陜西安康·期中）
13．若點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
【典例4-2】
14．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．若滿(mǎn)足到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【題后反思】
求距離的最小值就是作出平行切線(xiàn)，求兩平行線(xiàn)間的距離問(wèn)題，首先需要利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程.
【舉一反三】
（22-23高二下·重慶南岸·期中）
15．已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·黑龍江·期中聯(lián)考）
16．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線(xiàn)，與軸交于，再過(guò)作軸的垂線(xiàn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線(xiàn)，與軸交于，……，如此進(jìn)行下去，在軸上得到一個(gè)點(diǎn)列，記的橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列為．
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）
17．函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，該曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為
（23-24高二上·湖北武漢·期中）
18．已知曲線(xiàn).
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程.
（22-23高二下·河南駐馬店·期中）
19．已知函數(shù).
(1)求曲線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的切線(xiàn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求直線(xiàn)的斜率.
（22-23高二下·上海閔行·期中）
20．若直線(xiàn)為曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值是 ．
（23-24高二上·廣東深圳·期末）
21．過(guò)點(diǎn)可以做三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·二模）
22．若曲線(xiàn)有三條過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
23．若曲線(xiàn)有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
（22-23高二下·四川瀘州·期中聯(lián)考）
24．若點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)：距離的最小值為 .
（22-23高三上·陜西寶雞·期中）
25．已知函數(shù)，直線(xiàn)的方程為，則函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為
（22-23高二下·上海普陀·期中）
26．對(duì)于函數(shù)，分別在處作函數(shù)的切線(xiàn)，記切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第n項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列為函數(shù)的“切線(xiàn)-軸數(shù)列”，同理記切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第n項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列為函數(shù)的“切線(xiàn)-軸數(shù)列”
(1)設(shè)函數(shù)，記“切線(xiàn)-軸數(shù)列”為，記為的前n項(xiàng)和，求.
(2)設(shè)函數(shù)，記“切線(xiàn)-軸數(shù)列”為，猜想的通項(xiàng)公式并證明你的結(jié)論.
(3)設(shè)復(fù)數(shù)均為不為0的實(shí)數(shù)，記為的共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，記“切線(xiàn)-軸數(shù)列”為，求證：對(duì)于任意的不為0的實(shí)數(shù)，總有成立.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】求導(dǎo)，令，求得，則可求，進(jìn)而求出切線(xiàn)方程.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
令，
，，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，即.
故選：D
2．C
【分析】先設(shè)出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出切線(xiàn)的斜率即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>設(shè)所求切線(xiàn)的切點(diǎn)為，則，
由題知，，解得，所以切線(xiàn)斜率為，
故所求切線(xiàn)方程為.
故選：C.
3．B
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)得切線(xiàn)斜率，表示出切線(xiàn)方程，代入切點(diǎn)坐標(biāo)解出，由斜率即可求解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)，，則直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)，得，
解得，則斜率為1，故傾斜角為.
故選：B.
4．B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)斜式可得出直線(xiàn)的方程.
【詳解】因?yàn)椋渲校瑒t，
直線(xiàn)的斜率為，由，可得，且，即點(diǎn)，
所以，直線(xiàn)的方程為，即.
故選：B.
5．D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率，由條件可得，，即可求得．
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
由題意可得，圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)恰為直線(xiàn)，
所以，，解得，，
即．
故選：D．
6．C
【分析】分別對(duì)、求導(dǎo)，解出在點(diǎn)的切線(xiàn)方程，根據(jù)切線(xiàn)方程相同解出參數(shù)的值.
【詳解】解：函數(shù)，有，
則，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，
又函數(shù)，有，
則，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線(xiàn)相同，
所以，即，
故選：.
7．C
【分析】求導(dǎo)解方程即得解.
【詳解】由題得，所以.
故選：C
8．B
【分析】由兩線(xiàn)垂直可知處切線(xiàn)的斜率為5，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，即可求的值.
【詳解】由題意知：直線(xiàn)的斜率為，則在處切線(xiàn)的斜率為5，
又∵，即，
∴，解得或，
故選：B．
9．C
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程，再聯(lián)立求解作答.
【詳解】設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，
與拋物線(xiàn)相切的切點(diǎn)為，
由求導(dǎo)得：，由求導(dǎo)得：，
則拋物線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)為，即，
拋物線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)為，即，
依題意，，解得，
因此兩條公切線(xiàn)方程分別為，，
由，解得，
所以?xún)蓷l公切線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C
10．D
【分析】由題得，，再根據(jù)兩切線(xiàn)互相垂直得到，把韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】，，依題知，
即.∵，，
∴，
∴.解得，，
即，，經(jīng)檢驗(yàn)每個(gè)值都符合題意，故滿(mǎn)足條件的有4個(gè).
故選D
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.
11．D
【分析】設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.將切點(diǎn)代入兩條曲線(xiàn)，聯(lián)立方程可分別求得,代入其中一條曲線(xiàn)即可求得的值，由此可求.
【詳解】直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn),也是曲線(xiàn)的切線(xiàn),
則兩個(gè)切點(diǎn)都在直線(xiàn)上,設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為
則兩個(gè)曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)分別為,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,則
且切點(diǎn)在各自曲線(xiàn)上,所以
則將代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故選：D.
12．D
【分析】設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，將切線(xiàn)方程與函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可得出直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，
聯(lián)立可得，
由題意可得且，可得，
令，其中，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：
由題意可知，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得.
故選：D.
13．D
【分析】先分析出當(dāng)切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)距離最小，設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)后利用斜率得到切點(diǎn)坐標(biāo)，求出答案.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，當(dāng)切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)距離最小.
設(shè)切點(diǎn)為，
所以切線(xiàn)斜率為，由題知，解得或（舍），
，此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)距離.
故選：D
14．D
【分析】在曲線(xiàn)的點(diǎn)作切線(xiàn)，使得此切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，得，進(jìn)而根據(jù)題意得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為時(shí)滿(mǎn)足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得或，再結(jié)合圖形分析即可得答案.
【詳解】過(guò)函數(shù)的圖象上點(diǎn)作切線(xiàn)，使得此切線(xiàn)與直線(xiàn)平行
因?yàn)椋谑牵裕啵?br/>于是當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為時(shí)，則滿(mǎn)足到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個(gè)，
∴ ，解得或
又當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線(xiàn)不相交（如圖），從而只有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)距離為，所以不滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線(xiàn)相交，滿(mǎn)足條件.
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵在于求出過(guò)曲線(xiàn)的點(diǎn)作切線(xiàn)，使得此切線(xiàn)與直線(xiàn)平行的切點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解，是中檔題.
15．A
【分析】作出直線(xiàn)與函數(shù)的圖象，利用平行于直線(xiàn)且與函數(shù)的圖象相切的直線(xiàn)，可以求得相應(yīng)的最小距離.
【詳解】設(shè)直線(xiàn)平行于直線(xiàn)，則直線(xiàn)的斜率為2，

當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切，點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)椋瑒t，解得，
又在函數(shù)的圖象上，則，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為，到直線(xiàn)的距離為，
則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為.
故選：A.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合，可求得過(guò)的切線(xiàn)方程，令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可得，進(jìn)而求出；
（2）由（1）可推出數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為2的等比數(shù)列，然后可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋赃^(guò)的切線(xiàn)方程為，
即，令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，
因?yàn)椋裕?
（2）由（1）知，
∴
又∵
∴數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為2的等比數(shù)列
∴，即
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
17．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】，
，故.
且，
,
故該曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.
故答案為：
18．(1)
(2)和
【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得到切線(xiàn)方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，然后根據(jù)曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的切線(xiàn)方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出結(jié)果．
【詳解】（1）由題意得，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
（2）設(shè)曲線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)相切于點(diǎn)，
設(shè)切線(xiàn)的斜率為，則由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)方程為，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，
則，解得或，
則曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為和.
19．(1)
(2)或5
【分析】（1）求出切線(xiàn)的斜率，再寫(xiě)出切線(xiàn)方程；
（2）根據(jù)切線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的方程列方程組求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)樾甭蕿椋裕?br/>所以，又.
所以所求切線(xiàn)方程為，即.
（2），設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程：，
則
則，整理得，所以，
所以或5.
20．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式以及切線(xiàn)方程的求法求解.
【詳解】由，可得，
設(shè)切點(diǎn)為，則，
故切線(xiàn)方程為，即，
又因?yàn)榍芯€(xiàn)為，所以，
解得，所以，
故答案為：.
21．A
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，過(guò)點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，
∴M處的切線(xiàn)斜率，則過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為，
代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)得，
∵過(guò)點(diǎn)可以作三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，
∴方程有三個(gè)不等實(shí)根.
令，求導(dǎo)得到，
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
如圖所示，
故，即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線(xiàn)方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.
22．B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，利用方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與直線(xiàn)在R上有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.
【詳解】設(shè)該切線(xiàn)的切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為，
所以切線(xiàn)方程為，
又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，整理得.
要使過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)有3條，需方程有3個(gè)不同的解，
即函數(shù)圖象與直線(xiàn)在R上有3個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)，則，
令，令或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
且極小值、極大值分別為，如圖，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線(xiàn)在R上有3個(gè)交點(diǎn)，
即過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)有3條.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
23．
【分析】先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示切線(xiàn)方程，然后根據(jù)切線(xiàn)方程過(guò)原點(diǎn)建立關(guān)于參數(shù)的方程（有兩個(gè)根），利用導(dǎo)數(shù)分析符合條件的情況即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，有，
則切線(xiàn)方程為．
又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，
所以，即，
整理得，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
解法一：，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解．
當(dāng)時(shí)，即．
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
解法二：令，，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，因此不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，即，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的極小值為．
若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，又因?yàn)椋裕矗裕詫?shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
24．
【分析】過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，當(dāng)切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．
【詳解】過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，當(dāng)切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小．
設(shè)切點(diǎn)為，
∴切線(xiàn)斜率為，
由題知，解得或(舍)．
∴，此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)距離．
故答案為：．
25．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平行線(xiàn)間距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)為，
當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小，
由，
所以直線(xiàn)的方程為，
因此函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程是解題的關(guān)鍵.
26．(1)當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線(xiàn)方程，根據(jù)“切線(xiàn)-軸數(shù)列”的定義即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步分類(lèi)討論即可求其前項(xiàng)和.
（2）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線(xiàn)方程，根據(jù)“切線(xiàn)-軸數(shù)列”的定義即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）由復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算先表示出，再求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線(xiàn)方程，根據(jù) “切線(xiàn)-軸數(shù)列”的定義即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合的定義以及模即可得證.
【詳解】（1）由題意，則，設(shè)切點(diǎn)為，
則過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)為，
令，整理得，
當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，；
所以當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，.
（2）猜想的通項(xiàng)公式為，證明過(guò)程如下：
由題意，則，設(shè)切點(diǎn)為，
則過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)為，
令，整理得.
（3）由題意，則，
所以，
設(shè)切點(diǎn)為，
則過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)為，
令，整理得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂新定義的數(shù)列，然后具體會(huì)求切線(xiàn)方程進(jìn)行運(yùn)算轉(zhuǎn)換即可，綜合性較強(qiáng).
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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