資源簡介

專題4 導數(shù)的概念、運算及其幾何意義
【必備知識】
1．平均速度與瞬時速度
在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系h（t）．
（1）平均速度：一般地，在t1≤t≤t2這段時間里，＝稱為平均速度．
（2）瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．
設運動員在t0時刻附近某一時間段內(nèi)的平均速度是，可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度，那么將越來越趨近于運動員在t0時刻的瞬時速度．
（3）為了求運動員在t＝1時的瞬時速度，任意取一個時刻1＋Δt，Δt是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.當Δt>0時，把運動員在時間段[1，1＋Δt]內(nèi)近似看成做勻速直線運動，計算時間段[1，1＋Δt]內(nèi)的平均速度，用近似表示運動員在t＝1時的瞬時速度．
2．拋物線的切線的斜率
當點P無限趨近于P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f（x）在點P0處的切線，我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0.
3.平均變化率
比值，即＝叫做函數(shù)y＝f（x）從x0到x0＋Δx的平均變化率.
4.瞬時變化率與導數(shù)的定義　　
導數(shù)是函數(shù)的平均變化率，當自變量的增量趨于0時的極限
如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f（x）在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f（x）在x＝x0的導數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝＝.
【必備技能】
（1）平均變化率與瞬時變化率的區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x＝x0處變化的快慢.
（2）平均變化率與瞬時變化率的聯(lián)系：當Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)在x＝x0處的瞬時變化率，它是一個固定值.
（3）在導數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必須選擇相應的形式，利用函數(shù)f（x）在點x0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數(shù)定義的結構形式.
【考向總覽】
考向一：平均速度與瞬時速度（★★★★）
考向二：曲線的割線與切線（★★★）
考向三：導數(shù)的定義（★★★★）
【考向歸類】
考向一：平均速度與瞬時速度
【典例1-1】（22-23高二下·北京通州·期中）
1．一質點A沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為，則這段時間內(nèi)的平均速度為 m/s；時的瞬時速度為 m/s．
【典例1-2】（22-23高二下·江西九江·期中）
2．某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程與時間的函數(shù)圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（ ）

A． B． C． D．
【備考提醒】
1.求物體運動的平均速度的主要步驟
（1）先計算位移的改變量s（t2）－s（t1），
（2）再計算時間的改變量t2－t1，
（3）得平均速度＝.
2.求運動物體瞬時速度的三個步驟
（1）求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度，即v＝.
【舉一反三】
（22-23高二下·陜西榆林·期中）
3．已知某物體在平面上做變速直線運動，且位移（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關系可用函數(shù)：表示，則該物體在秒時的瞬時速度為 米/秒．
（22-23高二下·江西·期中）
4．設某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的路程（單位：m）與時間（單位：s）滿足關系式.
(1)當時，求該運動員的滑雪速度；
(2)當該運動員的滑雪路程為37m時，求此時的滑雪速度.
考向二：曲線的割線與切線
【典例2-1】（22-23高二下·北京·期中）
5．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【典例2-2】（22-23高二下·河北邢臺·期中）
6．已知函數(shù)在上可導，其部分圖象如圖所示，設，則下列不等式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【舉一反三】
（22-23高二下·福建泉州·期中）
7．已知點在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)在上的平均變化率為，則下面敘述正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為 B．直線的傾斜角為
C．直線的斜率為 D．直線的斜率為
（22-23高二下·四川遂寧·期中）
8．拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間某點的局部變化率的關系，其具體內(nèi)容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續(xù)，②在內(nèi)導數(shù)存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得（為的導函數(shù)）．則函數(shù)在上這樣的點的個數(shù)為
考向三：導數(shù)的定義
【典例3-1】（22-23高二上·安徽安慶·期中 ）
9．若是函數(shù)的導數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．0
【典例3-2】（22-23高二下·河南洛陽·期末）
10．若，則（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
【備考提醒】
在導數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必須選擇相應的形式，利用函數(shù)f（x）在點x0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數(shù)定義的結構形式.
【舉一反三】
（22-23高二下·重慶長壽·期中）
11．若函數(shù)在處的導數(shù)為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．4
（22-23高二下·上海閔行·期中）
12．若函數(shù)在處導數(shù)為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【必備知識】
1.幾個常用函數(shù)的導數(shù)
原函數(shù) 導函數(shù)
f（x）＝c（c為常數(shù)） f′（x）＝0
f（x）＝x f′（x）＝1
f（x）＝x2 f′（x）＝2x
f（x）＝ f′（x）＝－
f（x）＝ f′（x）＝
2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù) 導函數(shù)
f（x）＝c（c為常數(shù)） f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q*） f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sin x f′（x）＝cos__x
f（x）＝cos x f′（x）＝－sin__x
f（x）＝ax f′（x）＝axln__a（a>0）
f（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝logax f′（x）＝ （a>0，且a≠1）
f（x）＝ln x f′（x）＝
3.復合函數(shù)求導法則：從內(nèi)到外，層層求導
一般地，對于由函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x）復合而成的函數(shù)y＝f（g（x）），它的導數(shù)與函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導數(shù)間的關系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x.即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
【必備技能】
1.導數(shù)的計算方法：
（1）定義法；
（2）公式法；
（3）復合函數(shù)法　　
2.構造函數(shù)的主要思路有：
（1）條件中出現(xiàn)和時，適當轉換后考慮根據(jù)商的求導法則令；
（2）條件中出現(xiàn)和時，適當轉換后考慮根據(jù)積的求導法則令.
（3）條件中出現(xiàn)和時，適當轉換后考慮根據(jù)積的求導法則令.
【考向總覽】
考向一：簡單導數(shù)的計算（★★★★）
考向二：復雜函數(shù)的求導（★★★）
考向三：根據(jù)導數(shù)式子結構構造函數(shù)（★★★★）
【考向歸類】
考向一：簡單導數(shù)的計算
【典例1-1】（22-23高二下·甘肅武威·期中）
13．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）
14．已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【備考提醒】
求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法：
（1）用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁瑣；
（2）用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程，降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結構進行調(diào)整，再選擇合適的求導公式.
【舉一反三】
（22-23高二下·四川樂山·期中）
15．已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·四川廣元·期中 ）
16．下列求導結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
考向二：復雜函數(shù)的求導
【典例2-1】（22-23高二上·湖南益陽·期中 ）
17．下列導數(shù)運算正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（23-24高二上·江蘇·課前預習）
18．求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)；
(5) ；
(6)
【備考提醒】
利用導數(shù)運算法則的策略：
（1）分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定求導法則，基本公式.
（2）如果求導式比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮В淌阶兂朔e式求導，三角函數(shù)恒等變換后求導等.
（3）利用導數(shù)運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導.
（4）對于復合函數(shù)的求導，要注意分析問題的具體特征，靈活恰當?shù)剡x擇中間變量，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結構，切不可機械照搬某種固定的模式，否則會使確定的復合關系不準確，不能有效地進行求導運算．注意：一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導．不要忘記中間變量對自變量的求導．
【舉一反三】
（22-23高二下·遼寧沈陽·期中）
19．下列選項正確的是（ ）
A．，則 B．，則
C． D．
（22-23高二下·陜西咸陽·期中 ）
20．（1）已知函數(shù)，求的值
（2）已知函數(shù)，求的值
考向三：根據(jù)導數(shù)式子結構構造函數(shù)
【典例3-1】（23-24高二下·山東菏澤·期中 ）
21．若函數(shù)的定義域為，滿足，，都有，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（23-24高二下·重慶·期中 ）
22．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，且，當時，，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】
根據(jù)導數(shù)的結構構造函數(shù)的主要思路有：
（1）條件中出現(xiàn)和時，適當轉換后考慮根據(jù)商的求導法則令；
（2）條件中出現(xiàn)和時，適當轉換后考慮根據(jù)積的求導法則令.
（3）條件中出現(xiàn)和時，適當轉換后考慮根據(jù)積的求導法則令.
【舉一反三】
（21-22高二下·福建漳州·期中）
23．定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二下·廣東清遠·期中 ）
24．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【必備知識】
1.切線的概念
在曲線y＝f（x）上任取一點P（x，f（x）），如果當點P（x，f（x））沿著曲線y＝f（x）無限趨近于點P0（x0，f（x0））時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置P0T稱為曲線y＝f（x）在點P0處的切線.
2.導數(shù)的幾何意義　“在點（x0，f（x0））處”的切線就是指（x0，f（x0））是切點.
當點P沿著曲線y＝f（x）無限趨近于點P0時，即當Δx→0時，k無限趨近于函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)，因此，函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)f′（x0）就是切線P0T的斜率k0，即
k0＝＝f′（x0）.
曲線y＝f（x）點（x0，f（x0））處的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.
3.在點（x0，f（x0））處的切線與過點（x0，f（x0））的切線
在點（x0，f（x0））處的切線就是指（x0，f（x0））是切點.
過點（x0，f（x0））的切線，（x0，f（x0））不是切點，需要設出切點坐標，進而求切線方程.
【必備技能】
1．導數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率；反過來，在曲線上取定一點作曲線的切線時，能根據(jù)切線判斷斜率的符號，即導數(shù)的符號，進而根據(jù)符號確定在該點附近曲線的升降情況（或函數(shù)的增減情況）．同時可以根據(jù)切線傾斜程度的大小，判斷此曲線升降的快慢情況．
2．函數(shù)y＝f（x）在點x＝x0處導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率，據(jù)此可求曲線的切線方程．
【考向總覽】
考向一：求切線方程（★★★★★）
考向二：求與切線有關的參數(shù)值（★★★★）
考向三：切線的應用（★★★★）
【考向歸類】
考向一：求切線方程
【典例1-1】（23-24高二下·湖南益陽·期中 ）
25．曲線在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中 ）
26．已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線的方程；
(2)求過原點O與曲線相切的直線的方程.
【備考提醒】
1．利用導數(shù)的幾何意義求曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程的步驟如下：
（1）求函數(shù)f（x）在x0處的導數(shù)，即切線的斜率；
（2）根據(jù)直線方程的點斜式可得切線方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
2．運用導數(shù)的幾何意義解決切線問題時，一定要注意所給的點是否在曲線上．若點在曲線上，則該點的導數(shù)值就是該點處的切線的斜率；若點不在曲線上，應另設切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解．
【舉一反三】
（22-23高二下·河南駐馬店·期中）
27．已知函數(shù).
(1)求曲線與直線垂直的切線方程；
(2)若過點的直線與曲線相切，求直線的斜率.
（20-21高二下·陜西漢中·期中）
28．已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，，求曲線在處的切線的斜率．
考向二：求與切線有關的參數(shù)值
【典例2-1】（22-23高二下·湖北·期中）
29．點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22-23高二下·四川綿陽·期中）
30．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
【備考提醒】
求與切線有關的參數(shù)值還是先利用導數(shù)求出切線的斜率，得到切線方程，根據(jù)題意列方程（不等式組），進而求出參數(shù)的范圍.
【舉一反三】
（22-23高二下·安徽馬鞍山·期中 ）
31．若曲線在點(0,)處的切線方程為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（22-23高二下·河北邯鄲·期中 ）
32．已知，求：
(1)當時，求；
(2)在處的切線與直線平行，求a？
考向三：切線的應用
【典例3-1】（2024·廣東·一模）
33．設點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）
34．若點是函數(shù)圖象上的動點（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【備考提醒】
兩曲線上的動點間距離問題，通常轉化為兩條切線平行，進而轉化為求兩平行線間的距離問題.
【舉一反三】
（22-23高二下·湖北·期中）
35．若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，則的最小距離為 .
（22-23高二下·浙江杭州·期中）
36．若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 6 8
【分析】先利用平均速度的計算公式求解平均速度，再求出的導數(shù)，將代入計算可得答案．
【詳解】，，
物體在這段時間內(nèi)的平均速度，
，則，
當時，，即質點在時的瞬時速度為，
故答案為：6；8．
2．C
【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過兩點所對應直線的斜率，結合圖形即可求解.
【詳解】由題意知，汽車在時間，，，上的平均速度的大小分別為，，，，
設路程與時間的函數(shù)關系為，
則，即為經(jīng)過點的直線的斜率，
同理為經(jīng)過點的直線的斜率，
為經(jīng)過點的直線的斜率，
為經(jīng)過點的直線的斜率，如圖，
由圖可知，最小，即最小.
故選：C.
3．##5.25
【分析】先對函數(shù)求導，然后把代入即可求解．
【詳解】因為，
所以，
當時，．
故答案為：．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)路程與時間關系，求解即可得答案；
（2）解方程得，再求即可.
【詳解】（1）解：因為，所以，
所以當時，該運動員的滑雪速度為.
（2）解：由題意得，解得或（舍去）.
因為，所以，
當運動員的滑雪路程為37m時，此時的滑雪速度為.
5．D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到，，再由平均變換的幾何意義得到，結合圖象得到圖象在點處的切線的斜率小于，即可求解.
【詳解】由題意，根函數(shù)的圖象，
當時，函數(shù)為遞增函數(shù)，所以，
當時，函數(shù)為遞減函數(shù)，所以，
又由表示兩點的連線的斜率，
可得，
因為兩點連線的斜率為，由圖象知在點處的切線的斜率小于，
所以.
故選：D.
6．B
【分析】利用直線的斜率公式和導數(shù)的幾何意義結合圖象即可判斷.
【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上的增長越來越快，
故函數(shù)圖象在點（）的切線的斜率越來越大，
因為，所以.
故選：B.
7．A
【分析】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率的幾何意義是曲線上兩點，所在直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系求出直線的傾斜角.
【詳解】在上的平均變化率為，，
在上的平均變化率就是直線的斜率，所以，
故直線的傾斜角為，
故選：A
8．
【分析】利用已知定義得到存在點，使得，轉化為研究和的圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象，即可得到答案.
【詳解】由函數(shù)，則，
根據(jù)題意知，存在點，使得，即，
所以，
作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，
由圖象可知，函數(shù)和的圖象只有一個交點，
所以只有一個解，即函數(shù)在上點的個數(shù)為個.
故答案為：.

9．A
【分析】根據(jù)導數(shù)值的定義，將待求表達式轉化成和有關的形式后計算.
【詳解】根據(jù)導數(shù)值的定義，
.
故選：A
10．C
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.
【詳解】由，所以，
所以，
故選：C
11．B
【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的定義，代入計算，即可得到結果.
【詳解】根據(jù)導數(shù)的定義可得，函數(shù)在處的導數(shù)為2，
則.
故選：B
12．D
【分析】利用導數(shù)的定義即可直接求解.
【詳解】
,
故選：D.
13．C
【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則一一判定即可.
【詳解】，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C.
14．A
【分析】先對函數(shù)求導，代入，求出的值，進而求解的值即可.
【詳解】因為
所以定義域為.
所以
當時，，，則
故選：A
15．B
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，結合得出，即可求得答案.
【詳解】由得,
故由得,
所以,
故選：B
16．D
【分析】根據(jù)求導公式分別計算即可.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：D.
17．BC
【分析】利用初等函數(shù)以及復合函數(shù)求導公式逐項求導即可.
【詳解】選項A，，故A錯誤；
選項B，，故B正確；
選項C，，故C正確；
選項D，，故D錯誤，
故選：BC.
18．(1)
(2)．
(3)．
(4)
(5)．
(6)
【分析】利用基本初等函數(shù)的導函數(shù)公式結合復合函數(shù)求導法則運算求解
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）,
（5）
（6）
19．BC
【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，所以A錯誤；
對于B中，由函數(shù)，可得，可得，所以B正確；
對于C中，由，所以C正確；
對于D中，由，所以D錯誤.
故選：BC.
20．（1）
（2）
【分析】利用復合函數(shù)的求導公式計算導函數(shù)，代入求值即可；
【詳解】（1）因為，所以；
（2）因為，所以.
21．D
【分析】本題為構造函數(shù)類型題，根據(jù)已知條件結構特征可知該部分是某個函數(shù)的導函數(shù)變形所得，由問題中的不等式提示可得到該函數(shù)為，再結合函數(shù)的單調(diào)性情況即可進一步求解出答案.
【詳解】因為，所以，，
所以構造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，
所以不等式，
因為在上單調(diào)遞增，所以，所以不等式的解集為，
故選：D.
22．A
【分析】構造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得出函數(shù)的符號分布情況，即可得解.
【詳解】令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，
則，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又，所以，
則當或時，，
當或時，，
由，
得或，
解得或，
所以關于的不等式的解集為.
故選：A.
23．D
【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)并求出導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求解不等式即得.
【詳解】令函數(shù)，而，則，
因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，
則不等式，
于是，解得，
所以不等式的解集為.
故選：D
24．D
【分析】令 ，由題意可得 為定義域上的偶函數(shù)，且在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；分 與 兩類討論，將不等式 等價轉化為 與 ，分別解之即可．
【詳解】令 ，
當 時， ，
當 時， ，
在 上單調(diào)遞減；
又 為 的奇函數(shù)，
，即 為偶函數(shù)，
在 上單調(diào)遞增；
又由不等式 得 ，
當 ，即 時，不等式可化為 ，即 ，
由 在 上單調(diào)遞減得 ，解得 ，故 ；
當，即 時，不等式可化為 ，即 ，
由 在 上單調(diào)遞增得 ，解得 ，故 ；
綜上所述，不等式 的解集為： ．
故選：D．
25．D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，得，
則，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
故選：D
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.
（2）設出切點坐標，根據(jù)切線斜率和導數(shù)列方程，求得切點坐標，進而求得切線方程.
【詳解】（1）因為，所以.
，，
所以曲線在處的切線方程為，
即直線的方程為.
（2）設過原點的直線與曲線切于點.
則的斜率，
所以，整理得，所以，
所以，
所以直線的方程為，即.
27．(1)
(2)或5
【分析】（1）求出切線的斜率，再寫出切線方程；
（2）根據(jù)切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.
【詳解】（1）因為斜率為，所以，
所以，又.
所以所求切線方程為，即.
（2），設切點的橫坐標為，直線的斜率為，直線的方程：，
則
則，整理得，所以，
所以或5.
28．(1)
(2)．
【分析】（1）求出導數(shù)，計算和，由點斜式得切線方程并整理；
（2）求出導函數(shù)，計算即得．
【詳解】（1），則，
又，
曲線在點處的切線方程為，即．
（2）函數(shù)，
，
則，
，即曲線在處的切線的斜率為．
29．B
【分析】求導得，即，再根據(jù)傾斜角的范圍及正切函數(shù)的圖象求解即可.
【詳解】解：由，可得，
所以，即，
當時，，當時，，
所以角的范圍是.
故選：B.
30．A
【分析】設切點分別為、，根據(jù)導數(shù)幾何意義及公切線列方程求參數(shù)值即可.
【詳解】若，則，且，
若，則，且，
又是、的公切線，
設切點分別為、，則，
，則，即.
故選：A
31．D
【分析】由可知切線的斜率為，所以切線方程為，又切線方程為，比較系數(shù)可得a，b的值．
【詳解】因為，切點為(0,)，
所以切線的斜率為，則切線方程為，即，
又切線方程為，即，
所以，.
故選：D
32．(1)
(2)1
【分析】（1）將代入即可求出；
（2）在處的切線與直線平行，滿足在的導數(shù)值與已知直線的斜率相等，列出方程求出即可.
【詳解】（1）當時，，；
（2）因為，
所以，
因為在處的切線與直線平行，
所以，解得.
此時，切線方程為：，即，
滿足與直線平行
所以.
33．B
【分析】利用導數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】令，得，代入曲線，
所以的最小值即為點到直線的距離.
故選：B.
34．A
【分析】設，，設與平行且與相切的直線與切于，由導數(shù)的幾何意義可求出點的坐標，則到直線的距離最小值為點到直線的距離，再求解即可.
【詳解】解：設，，
設與平行且與相切的直線與切于
所以．
所以
則到直線的距離為，
即到直線的距離最小值為，
故選：A．
35．##
【分析】利用導數(shù)的幾何意義處理即可.
【詳解】
令，則，即曲線在處的切線方程為：，
即,
如下圖所示，當時的最小值為點到直線的距離（為垂足）.
故.
故答案為：
36．1
【分析】構造函數(shù)，設切點為，設，設切點為，結合條件得到是函數(shù)和的圖象與曲線交點的橫坐標，利用對稱性得出關于直線對稱，從而得出，，然后計算出．
【詳解】設，則，設切點為，則，
則切線方程為，即，
直線過定點，
所以，所以，
設，則，設切點為，則，
則切線方程為，即，
直線過定點，
所以，所以，
則是函數(shù)和的圖象與曲線交點的橫坐標，
易知與的圖象關于直線對稱，而曲線也關于直線對稱，
因此點關于直線對稱，
從而，，
所以．
故答案為：1.
答案第1頁，共2頁
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