資源簡介

專題6 導數在不等式中的應用
【必備知識】1.求函數y＝f（x）的極值的方法
解方程f′（x）＝0，當f′（x0）＝0時：
（1）如果在x0附近的左側f′（x）>0，右側f′（x）<0，那么f（x0）是極大值；
（2）如果在x0附近的左側f′（x）<0，右側f′（x）>0，那么f（x0）是極小值．
2．函數在區間[a，b]上最值的求法
一般地，求函數y＝f（x）在區間[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求函數y＝f（x）在區間（a，b）上的極值；
（2）將函數y＝f（x）的各極值與端點處的函數值f（a），f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
【必備技能】不等式成立問題常用的轉化規則
1、單變量不等式成立問題：一般利用參變分離法求解函數不等式恒（能）成立
（1），
（2），
（3），
（4），
2、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
【考向總覽】
考向一 不等式恒成立求參數 （★★★★）
考向二 不等式能成立求參數 （★★★）
【考向歸類】
考向一 不等式恒成立求參數
【典例1-1】
（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）
1．已知函數有兩個極值點，，若不等式恒成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】
（23-24高二上·陜西榆林·開學考試）
2．已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，證明：當時，.
【舉一反三】
（22-23高二下·河南·期中）
3．若不等式在上恒成立，e是自然對數的底數，則實數的取值范圍是 ．
（22-23高二下·河南·期中）
4．已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)已知，證明：（其中e是自然對數的底數）
考向二 不等式能成立求參數
【典例2-1】
（22-23高二下·福建福州·期中）
5．若函數在上存在單調遞減區間，則的取值范圍是 ．
【典例2-2】
（22-23高二下·四川綿陽·期中）
6．已知函數．
(1)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；
(2)若函數，對，，使得成立，求實數的取值范圍．
【舉一反三】
（23-24高二上·陜西西安·期末）
7．已知若存在，使得成立，則的最大值為 .
（22-23高二下·山東煙臺·期末）
8．已知函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)證明：當時，，使得．
【必備知識】不等式證明的常用思路
1、移項構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
2、最值法：若無法轉化為一個函數的最值問題，則可以考慮轉化為兩個函數的最值問題．
在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處恒成立．從而f（x）>g（x），但此處與取到最值的條件不是同一個“x的值”．
3、適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
4、構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數
5、雙變量不等式的處理策略：
含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉化為一元的不等式，具體轉化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.
【必備技能】利用導數證明不等式的常用方法
1、直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
2、適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
3、構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
【考向總覽】
考向一 單變量不等式證明（★★★★）
考向二 雙變量不等式證明（★★★★）
考向三 含三角函數的不等式證明 （★★★）
考向四 同時含指對函數不等式證明（★★★★★）
【考向歸類】
考向一 單變量不等式證明
【典例1-1】
（23-24高二上·江蘇徐州·階段練習）
9．已知函數的導函數為，且對任意的恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（23-24高二上·湖北·期末）
10．已知函數
(1)討論的單調性；
(2)當，時，證明：
【舉一反三】
（23-24高二上·湖南衡陽·期末）
11．已知函數，.
(1)若的極大值為1，求實數a的值；
(2)若，求證：.
（22-23高二下·福建福州·期末）
12．已知函數，．
(1)討論函數的單調性；
(2)證明: ．
考向二 雙變量不等式證明
【典例2-1】
（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）
13．已知，函數．
(1)當與都存在極小值，且極小值之和為0時，求實數的值；
(2)當時，若，求證：
【典例2-2】
（22-23高二下·吉林長春·階段練習）
14．已知函數.
(1)求函數的單調區間；
(2)對任意的、，當時都有，求實數的取值范圍.
【舉一反三】
（21-22高二下·江蘇南通·期中）
15．已知函數
(1)討論函數的單調性；
(2)若有兩個極值點，證明
（22-23高二下·河北·期中）
16．已知函數；
(1)若無零點，求a的取值范圍；
(2)若有兩個相異零點，證明：．
考向三 含三角函數的不等式證明
【典例3-1】
（22-23高二下·內蒙古呼倫貝爾·期中）
17．已知函數.
(1)求在處的切線方程；
(2)求證時，.
【典例3-2】
（22-23高二下·陜西西安·期末）
18．已知函數.
(1)當時，求證：；
(2)證明：在上單調遞減；
(3)求證：當時，方程有且僅有2個實數根.
【舉一反三】
（2022下·北京·高二北理工附中校考期末）
19．已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，證明：.
（2023下·河北邯鄲·高二校聯考期中）
20．已知函數.
(1)當時，證明：.
(2)討論的單調性.
考向四 同時含指對函數不等式證明
【典例4-1】
（22-23高二下·廣西河池·期末）
21．已知函數．
(1)求函數的最小值；
(2)求證：．
【典例4-2】
（22-23高二下·遼寧大連·期末）
22．已知函數（R，為自然對數的底數），．
(1)討論的單調性；
(2)若，證明：當時，．
【舉一反三】
23．已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)求證：．
（23-24高二上·湖南衡陽·期末）
24．已知函數，.
(1)若的極大值為1，求實數a的值；
(2)若，求證：.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】由題意可得，由函數有兩個極值點，，可得方程在上有兩個不相等的正實數根，由根與系數的關系可求得的取值范圍，由，令，利用導數研究其范圍即可．
【詳解】函數的定義域為，且，
因為函數有兩個極值點，，
所以方程在上有兩個不相等的正實數根，
則，解得．
因為
，
設，
，易知在上恒成立，
故在上單調遞增，
故，
所以，
所以的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：先求導函數，根據極值點、韋達定理求，，關于a的表達式及的范圍，再將題設不等式轉化為恒成立，最后利用導數研究范圍可得答案.
2．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數與函數單調性的關系，分類討論即可得解；
（2）構造函數，利用二次導數，結合函數的最值情況，證得，從而得證.
【詳解】（1）因為的定義域為，
所以，
當時，恒成立，所以在上單調遞增；
當時，令，得，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當時，，
令，則，
令，則，
因為，所以，
所以當時，恒成立，所以在上單調遞減，
即在上單調遞減，所以，
所以在上單調遞減，
所以，即.
【點睛】結論點睛：恒成立問題：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
3．
【分析】將不等式化為，即得，討論的取值范圍，當時，構造函數，利用函數單調性可得，化為，繼而再構造函數，利用導數求其最值，即可求得答案.
【詳解】由題意知，，
所以，即,
①若，則，而，符合題意；
②若，令，則在恒成立，
∴在單調遞增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，則可化為，
令，，
當時，；當時，，
在單調遞減，單調遞增，
∴，即有．綜上：，
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是結合的結構特點，合理變形為，即而化為，從而可采用構造函數的方法，利用導數即可求解問題.
4．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出，對于二次方程，有，分、、討論，可得答案；
（2）即證，只需證，即證，令，利用導數可得，令，利用導數可得，從而得到答案.
【詳解】（1）的定義域為，
對于二次方程，有，
當時，恒成立，在上單調遞減；
當時，方程有兩根，
若，則，
因為在上，所以在上單調遞增；
因為在上，所以在上單調遞減；
若，則，
因為在與上，
所以在與上單調遞減，
因為在上，
所以在上單調遞增；
綜上所述，
當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在與上單調遞減，
在上單調遞增；
（2）證明，即證，
因為，所以，
當時，不等式顯然成立，
當時，因為，
所以只需證，即證，
令，則，
由得；由，得，
所以在上為增函數，在上為減函數，
所以，令，則，
易知在上為減函數，在上為增函數，
所以，
所以恒成立，即.
【點睛】關鍵點點睛：第二問解題的關鍵點是轉化為證，然后構造函數，，利用導數證得，從而得到答案.
5．
【分析】先求的導函數，再將函數在區間上存在單調遞減區間轉化為在區間上有解，再根據參數分離，構造函數，結合函數在區間的單調性即可求解實數的范圍．
【詳解】，則，
函數在區間上存在減區間，只需在區間上有解，
即在區間上有解，
又，則，
所以在區間上有解，
所以，，令，，
則，
令，則在區間恒成立，
所以在上單調遞減，所以，
即，所以，所以實數的取值范圍是．
故答案為：．
6．(1)1
(2)
【分析】（1）由單調性知在上恒成立，采用分離變量法知，由此可求得結果；
（2）將問題等價于，根據二次函數性質可求得，利用導數可求得，由此構造不等式可求得結果.
【詳解】（1），
在上單調遞增，在上恒成立，
，
當時，，，
實數的最小值為.
（2）對“，，使成立”等價于“當時，”，
在上單調遞增，，
，當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，，
，解得：，即實數的取值范圍為.
7．##
【分析】根據兩函數的同構特征，不難發現，考查利用函數的單調性推得，從而將轉化為，最后通過的最大值求得的最大值.
【詳解】因則，
由知時，，即函數在上單調遞增.
由可得：且,故得：，
則，不妨設，則，
故當時，，遞增，當時，，遞減，
即，故的最大值為.
故答案為：.
8．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）對求導，利用導數與函數單調性的關系，分類討論與兩種情況即可得解；
（2）結合（1）中結論，將問題轉化為恒成立，從而構造函數，利用導數求得即可得證.
【詳解】（1）因為，則，
當時，，函數在上單調遞減；
當時，
當時，單調遞減，時，單調遞增；
綜上，當時，函數在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）由（1）可知，當時，在處取得最小值，
若，使得，
只需，即恒成立即可，
令，則，
當時，單調遞增，當時，，單調遞減，
故當時，，
所以，使得.
9．B
【分析】由題意可構造函數，然后求出函數的單調性即可求解.
【詳解】由題意得構造函數，則對任意的恒成立，
所以在上是減函數，
對A：因為，所以，即，得，故A錯誤；
對B、C、D：因為，所以，即，故C錯誤；
因為，所以，所以，即，故D錯誤，故B正確.
故選：B.
10．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，分類討論的取值，即可根據導函數的正負確定函數的單調性，
（2）根據函數的單調性求解端點值以及極值即可求證.
【詳解】（1），
當時，，，單調遞增；，，單調遞減．
當時，當或，，單調遞增；
當，，單調遞減，
當時，，所以在R上單調遞增．
當時，當或，，單調遞增；
，，單調遞減．
（2），
由可得，或，，單調遞增；
，，單調遞減．
又因為，，
所以恒成立．
11．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論，利用導數判斷函數的單調區間，根據極大值建立方程求解即可；
（2）把問題轉化為證明，構造函數，利用導數研究函數最值即可證明.
【詳解】（1）的定義域為，.
當時，，在上單調遞增，函數無極值；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，取得極大值，極大值為，解得.
經驗證符合題意，故實數a的值為.
（2）當時，，故要證，即證.
令，則，.
令，，則，
所以在上單調遞增，
又因為，，
所以，使得，即，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
又因為，即，
所以，
所以，即，故得證.
12．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結合導數的符號，進而求得函數的單調區間；
（2）由（1），根據題意，得到，即，當時，結合，，，，將不等式累加后，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數，可得的定義域為，
且
若，可得，在上單調遞減；
若，令，因為，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
綜上可得：當時， 在上單調遞減；
當時，的遞增區間為，遞減區間為.
（2）證明：由（1）知，當時，的遞增區間為，遞減區間為，
所以，所以，即，
當時，可得：，
將不等式累加后，
可得
，
即.
13．(1)
(2)見解析
【分析】（1）分別對，求導，討論和，得出和的單調性，即可求出，的極小值，即可得出答案.
（2）首先將函數零點代入函數，變形為，不等式轉化為，再利用換元，構造函數，，利用導數證明不等式成立，即可證明.
【詳解】（1），定義域均為，
，
當時，則，在單調遞增，無極值，與題不符；
當時，令，解得：，
所以在單調遞減，在單調遞增，
在取極小值，且；
又，
當時：，在單調遞減，無極值，與題不符；
當時：令，解得：，
所以在單調遞減，在單調遞增，
在取極小值，且；
依題意，
解得：，
（2）當時，，
由題意可知，，兩式相減得，
整理為，
要證明，即證明，
不妨設，即證明，即，
設，即證明，
設，
，
所以函數在區間單調遞減，且，
即在區間恒成立，即,
即，得證.
14．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求出函數的定義域與導數，對實數的取值進行分類討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的增區間和減區間；
（2）設，分析可知函數在上為增函數，則在上恒成立，結合參變量分離法可得出，求出函數在上的最大值，即可得出實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：函數定義域為，.
當時，對任意的，，所以，函數的減區間為，無增區間；
當時，由得，由得.
此時函數的增區間為，減區間為.
綜上所述，當時，函數的減區間為，無增區間；
當時，函數的增區間為，減區間為.
（2）解：由，即.
令，
因為，則，所以，函數在上單調遞增，
所以，在上恒成立，即在上恒成立，
只需，
設，，在單調遞增，所以.
綜上所述，實數的取值范圍為.
15．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）求出，對a分類討論得出函數的單調性即可；
（2）化簡進而即證：對任意的恒成立，通過求導進而得證.
【詳解】（1）解：
當時，
當時，，則
令，則，或，，則，
綜上：當時，在上單調遞增，
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.
（2）有兩個極值
是方程的兩個不等實根，則
要證：，即證：
不妨設，即證：
即證：對任意的恒成立
令，，則
從而在上單調遞減，故，所以
16．(1)
(2)見解析
【分析】（1）在定義域內，根據函數求導判斷函數單調性，找出定義域內最小值，當滿足時即可求的取值范圍.
（2）根據（1）中求導結果得出零點的取值范圍，根據零點性質可知，據此利用函數單調性定義得出和的大小關系，從而證明出.
【詳解】（1），，，得，
當時，，單調遞減，
時，，單調遞增，所以函數的最小值是，
因為函數無零點，，得，
所以的取值范圍是；
（2）證明：不妨設，
由（1）得，在上單調遞減，在上單調遞增，
，故，
，
，
設，，
因為，，所以函數在區間單調遞增，且，
所以在區間上恒成立，
故，即，
又在上單調遞減，，
.
【點睛】本題考查利用導數研究函數的形狀，以及雙變量問題，綜合性較強，本題第二問的關鍵是利用，結合函數的單調性，判斷的正負.
17．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據導數的幾何意義即得；
（2）根據三角函數的性質可得時，構造函數，利用導數研究函數的性質可得時，進而可得函數的單調性，即得；
【詳解】（1）因為函數，
所以，
而，，
由，得，
所以在處的切線方程為；
（2）由（1）知，
當時，，，
令，則，
當時，，，單調遞增，
所以，
綜上，時，，即，且當時取等號，
所以在上單調遞減，
.
18．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）令，利用導數研究函數的單調性，即可得證；
（2）對求導，可得時，，即可得證；
（3）設，對求導，則，借助（2）的結論，結合零點存在性定理證明即可.
【詳解】（1）令，
的定義域為，，
當時，，則在上單調遞減，
所以當時，，
即當時，.
（2），
，
當時，，則在上單調遞減.
（3）設，
，由（2）知在上單調遞減，
∵，，
根據零點存在性定理可得；
存在唯一實數使得，
當時，，即則在上單調遞增，
當時，，即則在上單調遞減，
所以在處取得極大值也是最大值，
∵，，，
∴在和上各有一個零點，
即當時，方程有且僅有2個實數根.
19．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導可得，再分和兩種情況討論即可；
（2）當根據函數的正負證明，當時，轉證，構造函數求導分析單調性與最值即可
【詳解】（1）依題意知，，
令得，
當時，在上，單調遞減，在單調遞增；
當時，在上，單調遞增，在單調遞減.
（2）依題意，要證，
①當時，，，故原不等式成立，
②當時，要證：，即證：，
令，則，，
∴在單調遞減，∴，∴在單調遞減，∴，即，
故原不等式成立.
20．(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）由導數求出的最小值，與的最大值比較可證不等式成立；
（2）求導后，分類討論，解導函數的不等式可得結果.
【詳解】（1）當時，，，
令，得，令，得，
所以在上為減函數，在上為增函數，
所以，當且僅當時，等號成立，
而當時，，當且時，，
所以.
（2）的定義域為，
，
當時，，令，得，令，得，
所以在上為減函數，在上為增函數.
當時，令，得或，
若，即時，令，得或；令，得，
所以在和上為減函數，在上為增函數；
若，即時，在上恒成立，所以在上為減函數；
若，即時，令，得或，令，得，所以在和上為減函數，在上為增函數.
綜上所述：當時，在上為減函數，在上為增函數；
當時，在和上為減函數，在上為增函數；
當時，在上為減函數；
當時，在和上為減函數，在上為增函數.
21．(1)1
(2)證明見解析
【分析】對求導，利用導數判斷函數的單調性，進而可得函數的最小值；
分析要證，只需證，
令，利用導數求得即可.
【詳解】（1），
，
設
在上為單調遞增函數，
，當時，，
當時，，在上單調遞減；在上單調遞增，
則；
（2）證明：，
只需證，即，
令，則，
當時，令，
則在上單調遞增，
即在上為增函數，
又因為，
所以存在，使得，
由，
得，即，即，
所以當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以，
令，
則，
所以在上單調遞增，
所以，
所以，
所以，
即．
22．(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）求導數，對分類討論，即可討論的單調性；
（2）由已知可得證明，當時，，令，分為和兩種情況分別證明即可.
【詳解】（1）函數的定義域為R，則，
①當時，，所以在定義域R上為單調遞增函數；
②當時，令，解得，令，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）要證當時，，
即證，
令，則，
易知在 上為單調遞增函數，所以，
若時，則，在上單調遞增，
所以，
若，則，，
，使，即，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以
設，
則，所以在上單調遞減，
所以，
因為，所以，
綜上所述，當，時，.
【點睛】若函數在區間內單調，且滿足，則在區間上有唯一的零點，這里的無法得到具體的值，如果討論的問題不得不使用到零點的值，那么就可以使用到零點代換的技巧，即對零點滿足的關系式進行相關代換.
23．(1)極小值為，無極大值
(2)證明見解析
【分析】（1）利用求導得出的遞增區間和遞減區間，即可得到結果；
（2）構造新函數，利用導數判斷函數的單調性，即可得證.
【詳解】（1），∴，
令，解得，
所以當時，，
當時，，
的單調遞減區間為，單調遞增區間為，
有極小值且為，無極大值．
（2）設函數，
則，，
因為遞增，遞增，
可得在上單調遞增，且，
所以當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
，故，
即得證．
24．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論，利用導數判斷函數的單調區間，根據極大值建立方程求解即可；
（2）把問題轉化為證明，構造函數，利用導數研究函數最值即可證明.
【詳解】（1）的定義域為，.
當時，，在上單調遞增，函數無極值；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，取得極大值，極大值為，解得.
經驗證符合題意，故實數a的值為.
（2）當時，，故要證，即證.
令，則，.
令，，則，
所以在上單調遞增，
又因為，，
所以，使得，即，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
又因為，即，
所以，
所以，即，故得證.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑