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專題5 三角形的形狀問題
【典例1-1】（22-23高一下·安徽蕪湖·期中）
1．在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列判斷中正確的是（ ）
A．，，無解 B．，，有一解
C．，，有兩解 D．，，有一解
【典例1-2】（22-23高一下·河北石家莊·期中）
2．設(shè)的角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，的取值范圍是 .
【題后反思】常用結(jié)論：已知a、b、A，△ABC解的情況如下圖示．
（ⅰ）A為鈍角或直角時(shí)解的情況如下：
（ⅱ）A為銳角時(shí)，解的情況如下：
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
3．在中，，，，則角B的值為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·江西宜春·階段練習(xí)）
4．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【典例2-1】（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）
5．設(shè)是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心
【典例2-2】（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）
6．點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（ ）
A．若，則點(diǎn)O為的重心
B．若，則點(diǎn)O為的內(nèi)心
C．若，則點(diǎn)O為的垂心
D．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過的外心
【題后反思】牢記三角形五心的含義，進(jìn)而可以推到其一些性質(zhì)：
1.三角形的重心：三角形各邊中線的交點(diǎn)
2. 三角形的垂心：三角形各邊高線的交點(diǎn)
3. 三角形的內(nèi)心：三角形各個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
4. 三角形的外心：三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)
5. 三角形的中心：正三角形四心合一為中心
【舉一反三】
（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）
7．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
（22-23高一下·河南南陽·期中）
8．為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足
|則點(diǎn)為的 心.若,，，則
【典例3-1】（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）
9．P是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
【典例3-2】（22-23高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）
10．點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【題后反思】此類題目常常通過數(shù)量積的運(yùn)算律將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，通過邊的數(shù)量關(guān)系的情況判斷形狀.
【舉一反三】
（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）
11．在中，，，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．三邊均不相等的三角形
C．等邊三角形 D．等腰（非等邊）三角形
（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）
12．先根據(jù)下列條件畫圖，觀察并判斷以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，然后進(jìn)行證明．
(1)已知，，；
(2)已知，，；
(3)已知，，．
【典例3-1】（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）
13．在中，分別是內(nèi)角所對(duì)的邊，且滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰鈍角三角形
C．等邊三角形 D．以上結(jié)論均不正確
【典例3-2】（22-23高一下·海南海口·期中）
14．在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．以上答案都不對(duì)
【題后反思】轉(zhuǎn)化為三角形的邊來判斷：
（1）△ABC為直角三角形或或；
（2）△ABC為銳角三角形且且；
（3）△ABC為鈍角三角形或或；
（4）按等腰或等邊三角形的定義判斷.
【舉一反三】
（20-21高一下·吉林白城·階段練習(xí)）
15．已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
（22-23高二下·山西大同·階段練習(xí)）
16．在中，三角形三條邊上的高之比為，則為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
【典例4-1】（22-23高一下·廣東湛江·期中）
17．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【典例4-2】（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）
18．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【題后反思】
轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)（值）來判斷：
（1）若cosA=0，則A=90°，△ABC為直角三角形；
（2）若cosA<0，則△ABC為鈍角三角形；
（3）若cosA>0且cosB>0且cosC>0，則△ABC為銳角三角形；
（4）若，則C=90°，△ABC為直角角形；
（5）若sinA=sinB或sin（A-B）=0，則A=B，△ABC為等腰三角形；
（6）若sin2A=sin2B，則A=B或A+B=90°，△ABC為等腰三角形或直角三角形.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）
19．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）
20．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BD
【分析】A選項(xiàng)由余弦定理進(jìn)行判斷，B、C、D選項(xiàng)由正弦定理判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由余弦定理得，
即，故，，能構(gòu)成三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由正弦定理，即，解得，又，故，所以只有一解，故B正確；
對(duì)于C，由正弦定理，即，解得，所以不存在，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由正弦定理，即，解得，所以，只有一解，故D正確.
故選：BD.
2．
【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.
【詳解】由正弦定理可知，即，所以，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，即有兩解，又，則，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，
所以，即，解得，
即的取值范圍是.
故答案為：
3．A
【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.
【詳解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故選：A
4．(1);
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，利用兩角和差公式可得，即可得解；
（2）由及正弦定理可得，因?yàn)榻堑慕庥袃蓚€(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，從而有，，求解即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以；
（2）解：將代入正弦定理，得，
所以，
因?yàn)椋堑慕庥袃蓚€(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范圍為.
5．A
【分析】利用向量的加減法法則計(jì)算化簡(jiǎn)，再運(yùn)用向量垂直的充要條件進(jìn)行判斷即得.
【詳解】由題意可得，則，故點(diǎn)是的垂心.
故選：A.
6．ABD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合三角形的重心、內(nèi)心、垂心和外心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，可得，
則以為鄰邊作平行四邊形，可得，且，
設(shè)，根據(jù)平行四邊形法則，可得為的中點(diǎn)，即為上的中線，
同理可證：延長也過的中點(diǎn)，所以為的重心，所以A正確；
對(duì)于B中，由向量表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，
可得四邊形是菱形，則，
因?yàn)椋?br/>所以，即，即和共線，即是的角平分線，
同理可得是的角平分線，即是的內(nèi)心，所以B正確.
對(duì)于C中，如圖所示，取分別為的中點(diǎn)，
根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，
因?yàn)椋傻茫?br/>所以，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
所以點(diǎn)為的外心，所以C不正確；
對(duì)于D中，由,
因?yàn)椋傻茫?br/>即，
設(shè)為的中點(diǎn)，可得，
所以，即，且為的中點(diǎn)，
所以動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過的外心，所以D正確.
故選：ABD.
7．ABD
【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到，，三點(diǎn)共線，同理可得為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出余弦值；
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?br/>取的中點(diǎn)，則，所以，
故，，三點(diǎn)共線，且，
同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，
所以為的重心，A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對(duì)C選項(xiàng)，若，，為的外心，
則，
設(shè)的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯(cuò)誤．

對(duì)D選項(xiàng)，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點(diǎn)，
又，
，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
，則，
D正確；
故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.
8． 垂
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，同理可得，，結(jié)合垂心的定義可得出結(jié)論；由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，再利用垂心的幾何性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則，即，
即，
即，
即，
所以，，同理可得，，
故點(diǎn)為的垂心，
因?yàn)?br/>，即，
因?yàn)椋獾茫?br/>因此，，
解得，
因此，.
故答案為：垂；.
9．B
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算可得，兩邊平方后結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，即可推得答案.
【詳解】由，可得，
即，即，
將等式兩邊平方，化簡(jiǎn)得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故選：B．
10．A
【分析】利用三角形中向量運(yùn)算，先后判斷出點(diǎn)是三角形重心，垂直平分，進(jìn)而即可判斷三角形形狀.
【詳解】因?yàn)椋允堑闹匦模?br/>又，
所以垂直平分，所以為等腰三角形.
故選：A
11．D
【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以為等腰非等邊三角形.
故選：D
12．(1)圖見解析，直角三角形；
(2)圖見解析，銳角三角形；
(3)圖見解析，直角三角形.
【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一判定即可.
【詳解】（1）

如圖所示，易知：，
顯然，
即是直角三角形；
（2）

如圖所示，易得：，
顯然，故是銳角三角形；
（3）如圖所示，易得：，
顯然，即是直角三角形.

13．C
【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此確定正確答案.
【詳解】由于，所以為銳角，
由余弦定理得，則為銳角.
由以及余弦定理得，
，由于，所以，即，
所以，所以三角形是等邊三角形.
故選：C
14．B
【分析】利用余弦定理判斷的符號(hào)，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)即可判斷的形狀.
【詳解】由，而，
所以，即為鈍角，故為鈍角三角形.
故選：B
15．B
【分析】將化簡(jiǎn)并結(jié)合余弦定理可得的值，再對(duì)結(jié)合正、余弦定理化簡(jiǎn)可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.
【詳解】由，得，
整理得，則，
因?yàn)椋裕?br/>又由及正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，
所以為等邊三角形，
故選：B
16．A
【分析】由題可得三角形三條邊之比為，然后利用余弦定理，求出最大邊所對(duì)角的余弦值，即可判斷出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槿切稳龡l邊上的高之比為，
所以三角形三條邊之比為，即，
不妨設(shè)，
則最大角的余弦值為，
因此角為鈍角，三角形為鈍角三角形.
故選：A.
17．D
【分析】利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可得出，求出、，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可得出、的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)橹兄辽儆袃蓚€(gè)銳角，則、中至少一個(gè)為銳角，
不妨設(shè)為銳角，則，從而可知為銳角，
由正弦定理可得，即，
因?yàn)椤ⅲ瑒t、，
所以，或，即或，
因此，為等腰三角形或直角三角形.
故選：D.
18．B
【分析】由余弦定理求得，根據(jù)題意和正弦定理可得，即可求解.
【詳解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即為等邊三角形.
故選：B
19．B
【分析】由半角公式和正弦定理得到，結(jié)合角的范圍得到，，，得到答案.
【詳解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因?yàn)椋裕剩?br/>因?yàn)椋裕?br/>的形狀為直角三角形.
故選：B
20．B
【分析】由半角公式和正弦定理得到，結(jié)合角的范圍得到，，，得到答案.
【詳解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因?yàn)椋裕剩?br/>因?yàn)椋裕?br/>的形狀為直角三角形.
故選：B
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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