資源簡介

專題6 三角形中最值與范圍問題
【典例1-1】（22-23高一下·福建福州·期中）
1．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·云南保山·期中）
2．已知的三個內(nèi)角分別為，，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【題后反思】在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇南通·期中）
3．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，垂足為（在邊上且異于端點），設(shè)，且滿足.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
（湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2022-2023學年高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題）
4．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且邊上的高.
(1)若，求；
(2)已知中角和是銳角，求的最小值.
【典例2-1】（22-23高一下·河北石家莊·階段練習）
5．已知中角、、對邊分別為、、，若，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．以上都不對
【典例2-2】（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
6．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且外接圓半徑為，則△ABC周長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題后反思】本類題型需要根據(jù)題意選擇方法，范圍問題多轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題，最值問題可以用基本不等式直接求解.同時，需要注意三角形中一些基本的性質(zhì)，例如兩邊之和大于第三邊，大邊對大角等.
【舉一反三】
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
7．三內(nèi)角，，所對邊分別是，，.若，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（22-23 高一下·新疆·期中）
8．“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量 畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女媧手執(zhí)規(guī)矩的記載（如圖（1））.今有一塊圓形木板，以“矩”量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-1】（21-22高一下·浙江·期中）
9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為 ．
【典例3-2】（22-23高一下·浙江·期中）
10．已知，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，，的角平分線交于點．若，則 ，的取值范圍是
【題后反思】中線問題多采用中線向量公式并結(jié)合平面向量的平方轉(zhuǎn)化法；角平分線問題多轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積和等于大三角形面積，通過兩個等角與公共邊進行聯(lián)系；高的問題多采用等面積法或圖形求解法（在圖形中找出高，結(jié)合已知角或自變量在直角三角形中表示高的長度）.
【舉一反三】
（22-23高一下·廣東汕頭·期中）
11．在中，角 的對邊分別為，若，且
(1)求；
(2)求邊上高的最大值.
（22-23高一下·江西·期末）
12．記的內(nèi)角的對邊分別為的面積.
(1)若，求；
(2)已知為上一點，從下列兩個條件中任選一個作為已知，求線段長度的最大值.
①為的平分線；②為邊上的中線.
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【典例4-1】（22-23高一下·山東青島·期中）
13．我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中提出了一種求三角形面積的方法——三斜求積術(shù)：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”．也就是說，在中，分別為內(nèi)角的對邊，那么的面積，若，且，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．
【典例4-2】（22-23高二下·河南開封·期中）
14．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，．若，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．16 D．
【題后反思】牢記三角形的面積公式：
（1）（為三角形的底，為對應(yīng)的高）
（2）.
此外，面積求最值時往往通過余弦定理的表達式進行整理，再利用基本不等式直接得到最值.
【舉一反三】
（22-23高一下·貴州遵義·期中）
15．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（21-22高一下·浙江嘉興·期中）
16．在銳角中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，已知，，則面積的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-1】（22-23高一下·江蘇南通·期中）
17．正三角形的邊長為3，點在邊上，且，三角形的外接圓的一條弦過點，點為邊上的動點，當弦的長度最短時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】（22-23高一下·廣東佛山·期中）
18．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M為DC的中點，P是以A為圓心2為半徑的圓弧BD上的點，則的范圍為
【題后反思】平面向量+三角形問題，出現(xiàn)直角多采用坐標法，常規(guī)圖形采用平面向量運算的定義法與轉(zhuǎn)化法.此類題型一定要數(shù)形結(jié)合尋找一些題目隱藏的條件與關(guān)系，從而達到簡化計算量的目的.
【舉一反三】
（2023·江蘇揚州·模擬預(yù)測）
19．在中，，，，則的取值范圍是 ．
（22-23高一下·吉林·期中）
20．萊洛三角形也稱圓弧三角形，是一種特殊的曲邊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以正三角形邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點間的距離為2，點為萊洛三角形曲邊上的一動點，則的最小值為 .
【典例6-1】（22-23高一下·湖南長沙·期末）
21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，.
(1)求B及a，c；
(2)若線段MN長為3，其端點分別落在邊AB和AC上，求△AMN內(nèi)切圓半徑的最大值.
【典例6-2】
22．已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．
【題后反思】對于外接圓相關(guān)的范圍與最值問題，可以通過正弦定理聯(lián)系三角形基本量與外接圓半徑，列出表達式后統(tǒng)一化為角或統(tǒng)一化為邊，結(jié)合不等式或函數(shù)求解答案；對于內(nèi)切圓相關(guān)問題，可以通過面積拆分法聯(lián)系內(nèi)切圓半徑與三角形基本量，結(jié)合三角形等面積法即可得到相關(guān)關(guān)系.
【舉一反三】
（22-23高一下·黑龍江雙鴨山·階段練習）
23．已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，且，．
(1)求的最大值；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，求的最大值．
（22-23高一下·山東淄博·期末）
24．如圖，平面四邊形中，，，，的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.

(1)判斷四邊形是否有外接圓 若有，求其半徑；若無，說明理由，
(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)余弦定理有，利用基本不等式求角的范圍，即可確定最大值.
【詳解】由，則，
所以，，
所以，故的最大值為.
故選：B
2．A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化簡表示，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍，從而求得的取值范圍，即可求解.
【詳解】由題意，由正弦定理得：，化簡得：，
由余弦定理得：，
當且僅當時等號成立，從而可得為銳角，
所以：，得：，則：，
所以：，
所以：的最大值為，故A項正確.
故選：A.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用面積公式、余弦定理及條件得到，再利用正弦、余弦的倍角公式即可得到結(jié)果；
（2）利用條件和余弦定理得，過點作，使得，連接，再利用幾何條件得到，從而得到，進而得出結(jié)果.
【詳解】（1）在中，可得，所以，又，由余弦定理可得，
即，所以，又，所以，故，
所以，得到.
（2）由，結(jié)合（1）可得，
所以，
如圖，過點作，使得，連接，
取的中點，易得且，所以，故，
在中，，又,
即，解得，則，所以，所以的最小值為.

4．(1)或；
(2).
【分析】（1）利用三角形面積公式，結(jié)合正弦定理邊化角得，再把代入，利用二倍角公式求出作答.
（2）利用（1）的信息，利用和角的正弦化簡變形，再利用均值不等式求解作答.
【詳解】（1）因為邊上的高，則，
由正弦定理得，而，則，
當時，，即有，即，
顯然，即，有，于是或，
所以或.
（2）在中，由，得，而和為銳角，
即，于是，
顯然，從而，
因此
，當且僅當時取等號，
所以當時，的最小值.
【點睛】思路點睛：涉及三角形中的三角函數(shù)等式求最值問題，可以利用三角恒等變形結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，化成含某個角或某兩個角的等式，再借助三角函數(shù)性質(zhì)或均值不等式求解即可.
5．C
【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值.
【詳解】由余弦定理可得
，
所以，，即，
當且僅當時，等號成立，故的最大值為.
故選：C.
6．C
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，求得，得到，且，又由外接圓半徑為，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】因為，由正弦定理的
又因為，可得，
所以，
即，
因為，可得，可得，即，
解得或（舍去），
因為，所以，則，
又因為外接圓半徑為，所以，
又由
，
因為為銳角三角形，且，所以且，
解得，可得，所以，
所以.
故選：C.
7．C
【分析】由已知及余弦定理可得，再應(yīng)用正弦定理有，，將目標式轉(zhuǎn)化為且，利用正弦型函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.
【詳解】因為，由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，則，，
所以，而，
則
，且，
又，當時的最大值為.
故選：C
8．D
【分析】作出圖形，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得這個矩形周長的最大值.
【詳解】由題圖（2）得，圓形木板的直徑為.
設(shè)截得的四邊形木板為，設(shè)，，，，，，如下圖所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，當且僅當時等號成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，當且僅當時等號成立，
因此，這塊四邊形木板周長的最大值為.
故選：D.
9．
【分析】利用正弦定理將條件進行變形，結(jié)合三角形內(nèi)角之和為π，可求得cosA，設(shè)AD＝x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范圍，從而求得x的取值范圍．
【詳解】因為，
由正弦定理可知：，
又因為A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB，
則2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以cosA，因為A∈(0,π)，所以，
設(shè)AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分別有：cos∠ADB，cos∠ADC，
又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因為b2+c2≥2bc，所以，從而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（當且僅當b＝c時等號成立），
所以BC邊上的中線AD長度的最大值為，
故答案為：．
10．
【分析】利用正弦定理邊角互化可得出的值，設(shè)，利用三角形的面積關(guān)系可得出，利用余弦定理得出，進而得出，利用基本不等式可求得角的取值范圍，由此可得出的取值范圍.
【詳解】解：已知，由正弦定理得．
又因為為的角平分線，可得面積關(guān)系為，
記，則有，
可得，
由余弦定理，
得，即．
又，即，
所以，，此時，即．
故答案為：；.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）利用替換等式中的“2”，由正弦定理將角化為邊，再由余弦定理即可求解；
（2）的面積，要求邊上高的最大值，即求的面積最大值，利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求解的面積最大值.
【詳解】（1）因為，由正弦定理
得 ，即，
故，
因為，故.
（2）因為的面積，所以要求邊上高的最大值，即求的面積最大值.
由余弦定理得，即，則，
當且僅當時取等號，
故的面積，
所以邊上高的最大值為.
12．(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理和三角形的面積公式即可得到，再由正弦定理即可得到結(jié)果；
（2）若選①，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果；若選②，由，再結(jié)合余弦定理與基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因為，
由余弦定理可得，所以，
由三角形的面積公式可得，所以，
所以，又，所以.
因為，所以為銳角，，
所以
，
由正弦定理得，即，
所以.
（2）選擇條件①：
在中由余弦定理得，即，
即，故，
當且僅當時等號成立，
又因為，所以，
所以，
當且僅當時等號成立，
故的最大值為.
選擇條件②：
由點為的中點得，
平方得，
在中由余弦定理得，
即，所以.
當且僅當時等號成立，
故有
，
從而，故的最大值為.
13．B
【分析】利用正弦定理及兩角和的正弦公式得，代入“三斜求積”公式，利用二次函數(shù)求解最值.
【詳解】因為，所以，
所以，
由正弦定理得，又，所以
，
所以當即時，面積的最大值為.
故選：B
14．B
【分析】根據(jù)誘導公式，結(jié)合二倍角公式與正弦定理與余弦定理化簡可得，再根據(jù)基本不等式結(jié)合面積公式求解最值即可
【詳解】由，，
所以，即，
所以，因為，所以．
因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以．
故選：B．
15．A
【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式即可.
【詳解】由余弦定理得：，
（當且僅當時取等號），，
，即面積的最大值為.
故選：A.
16．D
【分析】根據(jù)銳角三角形的條件，求出的范圍，然后利用正弦定理將另兩邊表示出來，最后借助于面積公式，將所求表示為角的三角函數(shù)，求值域即可．
【詳解】解：設(shè)邊的對角為，由銳角，結(jié)合得：，
解得，又，由正弦定理得，又，
所以，所以，，
故①，
因為，故，所以，故，
所以①式的取值范圍是．
故選：D．
17．D
【分析】設(shè)為外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得，再由極化恒等式推出，于是問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)知識與余弦定理，即可得解．
【詳解】解：設(shè)為外接圓的圓心，
因為，所以，
當弦的長度最短時，，
在中，由正弦定理知，外接圓半徑，即，
所以，
因為，即，
所以，
因為點為線段上的動點，
所以當點與點重合時，；
當點與點重合時，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
綜上，，
所以．

故選：D．
18．
【分析】以點為原點建立平面直角坐標系，設(shè)，即可根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示求出，再根據(jù)三角函數(shù)的值域求法即可解出．
【詳解】如圖所示：以點為原點建立平面直角坐標系，設(shè)，，，所以，
，
而，所以，即．
故答案為：．
19．
【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得，再根據(jù)的范圍和正切函數(shù)的值域即可求出其范圍．
【詳解】根據(jù)正弦定理得，即，
，
，
，，所以，
，
即的取值范圍．
故答案為：．
20．
【分析】因為點為萊洛三角形曲邊上的一動點，所以需要討論點在哪一條弧上.每一種情況將原式中的向量利用向量的運算轉(zhuǎn)化為共起點且已知長度和角度的向量，再設(shè)出唯一變化的角或，進而利用數(shù)量積運算表示成該角的三角函數(shù)，借助輔助角公式求出最值.
【詳解】當點落在圓弧上時，長度恒為半徑2，
設(shè)，，
原式
其中，，
又，，
原式取最小值.
當點落在圓弧上時，根據(jù)對稱性同理可得原式取最小值.
當點落在圓弧上時，長度恒為半徑2，
設(shè)，，
原式
又
，∴當時，原式取最小值.
，故原式取最小值.
故答案為：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由題得，再結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可得到答案；
（2）設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式得，代入數(shù)據(jù)有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
【詳解】（1）由，得，又
，解得,
，或
由余弦定理，
得，
當時，，又，所以，，
當時，，矛盾
所以，，
（2）設(shè)△內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，由（1）知：△ABC為等邊三角形，
則，
從而（其中指的周長），
，
，
，則
，
又，當且僅當?shù)忍柍闪?br/>，
，當且僅當時等號成立，.
即內(nèi)切圓半徑的最大值為
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)切圓半徑公式，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求出的最大值.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合條件，進行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；
（2）利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因為為鈍角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的圖像與性質(zhì)知，所以
23．(1)
(2)
【分析】（1）化簡已知等式，結(jié)合余弦定理可求得，由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識可整理得到，由正弦型函數(shù)最值可求得結(jié)果；
（2）利用面積橋和余弦定理可將表示為，代入所求式子，結(jié)合正弦定理邊化角和三角恒等變換知識可得到，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得最大值.
【詳解】（1）由得：，
整理可得：，，
又，，
由正弦定理得：，，，
（其中，），
，，
當時，取得最大值.
（2），即，；
由余弦定理得：，，
，
，
由（1）知：；
，，，
，則的最大值為.
24．(1)有，；
(2).
【分析】（1）利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求出角D，再由正余弦定理求出角B，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的判定作答.
（2）利用三角形面積建立三角形內(nèi)切圓半徑的函數(shù)，再求出函數(shù)值域作答.
【詳解】（1）在中，，則，
由，得，于是，而，因此，
在中, ，解得，
在中，由正弦定理，得 ，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是四點共圓，且四邊形外接圓的半徑就等于外接圓的半徑，
所以四邊形有外接圓，圓半徑.
（2）由（1）知：，則，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形,又，則，
于是，又，解得，，
則，
所以內(nèi)切圓半徑的取值范圍是.
【點睛】結(jié)論點睛：的三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑，則.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑