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專題4 三角恒等變換
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
1．（1）設是方程的兩根，求的值；
（2）若，求的值.
（23-24高一上·江蘇南通·期末）
2．已知，，，.
(1)求；
(2)求.
（23-24高一上·江蘇泰州·期中）
3．已知，，其中.
(1)求的值；
(2)設函數，當且時，求的值.
（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）
4．設向量,函數.
(1)求的對稱軸方程；
(2)若且求的值.
（23-24高三上·江蘇鹽城·期中）
5．若函數在上恰有兩個零點，其中.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
6．求證下列恒等式：
(1)；
(2)
（22-23高一下·江蘇南京·期中）
7．由兩角和差公式我們得到倍角公式，實際上可以表示為的三次多項式.
(1)試用僅含有的多項式表示；
(2)求出的值.
（22-23高一下·江蘇淮安·期中）
8．已知，并且是第二象限角，求：
(1)的值；
(2)求的值.
（23-24高一上·江蘇無錫·期末）
9．已知.
(1)求函數在上的單調增區間；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再對圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象，若函數的圖象關于直線對稱，求取最小值時的的解析式．
（23-24高二上·江蘇南京·期中）
10．已知函數的最大值為．
(1)求的解析式；
(2)若，，求實數m的最小值．
（22-23高一下·江蘇徐州·期中）
11．已知函數.
(1)求的最小正周期；
(2)討論在上的單調性.
（22-23高一下·江蘇南京·期中）
12．已知，，設函數，其中.
(1)求及其函數的表達式；
(2)若函數的定義域為時值域為，求a，b的值.
（22-23高一下·江蘇淮安·期末）
13．已知，，.
(1)求；
(2)求.
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
14．已知角，為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·江蘇無錫·期末）
15．已知.
(1)求的單調遞增區間；
(2)若，，求滿足不等式的x的取值范圍.
（22-23高一上·江蘇常州·期末）
16．計算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1），（2）
【分析】（1）利用根與系數的關系分別求出及的值，然后將利用兩角和的正切函數公式化簡后，將及的值代入即可求出值.
（2）利用兩角差的正切公式求得的值，再結合的范圍，求得的值；
【詳解】（1）是方程的兩個根，
，
則.
（2）由題意可得，
由得，故；
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系可求出角的正弦值和余弦值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用同角三角函數的基本關系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.
【詳解】（1）解：因為，則，，
由可得，
所以，.
（2）解：因為，，則，所以，，
所以，，
因此，
.
3．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換計算即可；
（2）先利用（1）的結論化簡函數式，再利用恒等變換，結合角的范圍計算函數值即可.
【詳解】（1）由題意可知：，，
又，所以，
所以，
因為，所以；
（2）由上可知
，
易知，
又，
所以，
故
4．(1)
(2)
【分析】（1）由向量數量積坐標公式、二倍角公式、輔助角公式化簡函數表達式，結合對稱軸方程的定義即可求解.
（2）由已知條件先算出，，再結合兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】（1）因為
，
令，得，
所以的對稱軸方程為.
（2）因為，所以，即，
又因為所以，
故，
所以
.
5．(1)2
(2)
【分析】（1）根據已知條件及正弦函數的圖象，列不等式組結合整數限制條件即可求解；
（2）由題意可得，再根據誘導公式及二倍角的余弦公式即可得解.
【詳解】（1）∵，∴，
∵在上恰有兩個零點，
∴，
∵，∴；
（2）由（1）得，
則，∴，
即，
所以，即，
所以.
6．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化簡即可；
（2）先將正切化弦，通分得到原式，再用輔助角公式，最后利用二倍角公式，即可證明.
【詳解】（1）.
（2）左邊
,
原式得證.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦的兩角和公式和平方關系求解即可；
（2）利用，結合三角恒等變換求解即可.
【詳解】（1）
.
（2）因為，
所以，
所以，
所以，
解得，或（舍去），
故.
8．(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，求出，再利用誘導公式、二倍角的正余弦公式，結合齊次式法求值作答.
（2）由（1）的信息，利用誘導公式及差角的正切求值作答.
【詳解】（1）由是第二象限角，，得，則，
所以
.
（2）由（1）知，，
所以.
9．(1)，
(2)
【分析】（1）由題意，利用三角恒等變換，化簡函數的解析式，再根據正弦函數的單調性，得出結論．
（2）由題意，利用函數的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，求得的解析式．
【詳解】（1）由于，
令，，求得，，
可得函數的增區間為，.
（2）將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象；
再對圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象．
若函數的圖象關于直線對稱，
則，，即，
令，求得取最小值為，此時，
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換得到，根據最大值得到，得到函數解析式；
（2）先根據求出，求出，從而得到實數m的取值范圍，得到答案.
【詳解】（1）
，
因為的最大值為，所以，解得，
所以．
（2）由（1）可知，
當時，，
當時，即時，．
因為恒成立，所以即可，即恒成立，
因此m的最小值為．
11．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）先化簡函數的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期；
（2）利用代入法即可求得在上的單調性
【詳解】（1）
則的最小正周期
（2）由，可得
由，得，則在單調遞增；
由，得，則在單調遞減
故在上的單調遞增區間為，單調遞減區間為
12．(1)，
(2)或.
【分析】（1）利用向量坐標化的點乘公式以及二倍角公式、輔助角公式即可得到和的表達式；
（2）求出的范圍，再分和討論即可.
【詳解】（1）∵，，
∴
，
∴；
（2）∵，∴，
∴，
當時，可得，解得；
當時，可得，解得.
故或.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由已知函數值以及角的范圍可得，結合兩角差的余弦公式即可求值.
（2）根據，結合兩角差的正余弦公式即可求值
【詳解】（1）因為，則，
所以.
（2）由（1）可得：，
因為，則，
可得，
所以
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式及同角三角函數的基本關系求解即可；
（2）先由同角三角函數的基本關系得出，再根據兩角和與差的正切公式即可求解．
【詳解】（1）因為，
所以．
（2）因為，均為銳角，所以，
所以，
所以，
因為為銳角，所以，
又β為銳角，所以，
則，
所以．
15．(1)，
(2)
【分析】（1）化簡的解析式，根據正弦函數的單調性可求的單調遞增區間；
（2）利用換元法求x的取值范圍.
【詳解】（1）
=
=，
令，解得
所以單調遞增區間為，.
（2）由（1）可得，
令，則，所以
所以不等式為，得，即
由，解得，所以解集為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩角和的余弦、正弦、誘導公式化簡計算可得出所求代數式的值；
（2）利用誘導公式、二倍角的正弦公式可求得的值，結合角的取值范圍可求得的值，再利用誘導公式可求得的值.
【詳解】（1）解：原式
.
（2）解：原式，
即，
因為，則，所以，，則，
因此，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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